初二上册数学算术平方根知识点总结
八年级数学上人教版《平方根》课堂笔记
《平方根》课堂笔记一、知识点1.平方根的定义：如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就叫做另一个数的平方根。
例如，因为2²=4，所以2是4的平方根。
2.平方根的分类：正数的平方根有两个，一个正数和一个负数，它们互为相反数。
0的平方根只有一个，就是0本身。
负数在实数范围内没有平方根。
3.平方根的表示方法：正数a的平方根用符号“√a”表示，其中a≥0。
规定0的平方根是0。
负数在实数范围内没有平方根。
4.平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
5.算术平方根：正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
例如，9的算术平方根是3。
6.平方根的估算：对于某些平方根，我们可以进行估算，如通过比较大小或者用计算器来得到近似值。
二、解题方法1.求一个数的平方根时，先判断这个数是否为正数、0或负数，然后再根据定义求解。
2.对于含有平方根的方程或不等式，可以通过两边同时平方来消去平方根，但需要注意方程的解可能发生变化。
3.在解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题方法。
三、注意事项1.在求解平方根时，要注意正负号的取值。
2.在计算含有平方根的表达式时，要注意运算顺序和符号问题。
3.要理解平方根与算术平方根的区别和联系，能够正确地进行转换。
四、课堂小结本节课我们学习了平方根的概念、分类、表示方法、性质和求解方法，掌握了运用平方根知识解决实际问题的方法。
在学习过程中，我们要注意理解概念、掌握方法、勤于练习、善于总结，提高自己的数学素养和解题能力。
初二上册数学平方根讲解
初二上册数学平方根讲解一、平方根的定义在数学中，平方根是指一个数的平方等于被开方数的运算。
用符号√来表示平方根，被开方数称为被开方数或被开方数。
例如，√9 = 3，表示9的平方根是3，因为3²=9。
二、平方根的性质1. 正数的非负平方根对于一个正数a，它的非负平方根是有两个数，一个为正数，一个为负数。
通常我们所指的平方根是指非负平方根，也就是正数平方根。
2. 零的平方根零的平方根是零本身，即√0 = 0。
3. 负数的平方根一个负数不具有实数域内的平方根。
在复数域内，虚数单位 i 表示一个负数的平方根，即√-1 = i。
如果需要计算负数的平方根，需要在复数域内。
4. 平方根的运算性质•乘法简便法则：√(a b) = √a √b•除法简便法则：√(a/b) = √a / √b（其中b ≠ 0）•乘方转换：√(a^b) = (√a) ^ b三、平方根的求解方法1. 直接求解法对于一个平方数，我们可以直接求解其平方根。
例如，√25 = 5，√100 = 10。
2. 利用分解法求解如果一个数字不是一个完全平方数，可以通过因式分解的方法来求解其非精确平方根。
例如，我们可以将√8分解为√(4 * 2)，即√4 * √2 = 2√2。
3. 近似求解法对于无理数或者无法被整数除尽的有理数，我们可以采用近似求解的方法。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732。
四、平方根的应用1. 几何应用平方根在几何中有着广泛的应用，例如计算三角形的斜边长度、正方形的对角线长度等。
2. 物理应用平方根在物理学中也有重要的应用，例如用于计算物体的速度、加速度、功率等。
3. 工程应用在工程学中，平方根常被用于计算路程、距离、能量等，并且可以通过平方根的相关运算性质简化计算过程。
五、补充说明本文主要讲解了初二上册数学中关于平方根的定义、性质、求解方法以及应用。
通过学习平方根的知识，我们可以更好地理解数学中的运算规律，并且能够将其应用到实际问题中。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
八年级上册平方根知识点
八年级上册平方根知识点在八年级的数学学习中，平方根是一个非常重要的知识点。
平方根是指一个数的平方等于原数的数值，可以用符号√表示，例如√9=3，√16=4。
在本文中，我将详细介绍八年级上册平方根的相关知识点。
一、平方根的符号及表示方法平方根用符号√来表示，如√9表示9的平方根，读作“根号9”或“9的根号”。
平方根还可以用字母表示，例如a的平方根可以表示为√a。
当a为正整数完全平方数时，√a是有理数，否则是无理数。
例如√4=2，√9=3，但√2是无理数，不是有理数。
二、简化√n的步骤当n是一个正整数时，n的因数中，相同的因子成对出现，例如16的因数为1、2、4、8、16。
而且它们都是成对出现的，其中2与8、4与4配对，所以可以得到以下简化√n的步骤：1.将n进行质因数分解，使因数中每个质数的指数都为2的倍数。
2.把每个根号内部成对的质因数提取出来，得到这个数的基本根式。
例如：√36=√(2²×3²)=√2²×√3²=2√3。
三、平方根的运算法则1.平方根的分配律：对于任意正实数a和b，有√(a×b)=√a×√b。
例如：√20=√(4×5)=√4×√5=2√5。
2.平方根的合并同类项：对于任意正实数a和b，有√a±√b=√(a±b)。
例如：√7+√5=√(7+5)=√12。
3.平方根的乘法公式：对于任意非负实数a和b，有√a×√b=√(ab)。
例如：√7×√5=√(7×5)=√35。
4.平方根的倒数法则：对于任意正实数a，有1/√a=√a/√(a×a)=√a/a。
例如：1/√5=√5/√25=√5/5。
四、平方根的应用平方根除了在数学中的运算中有着广泛的应用外，在我们的日常生活中也经常会遇到。
例如：1.计算三角形的斜边长度。
设三角形两个直角边分别为a和b，则三角形的斜边长度为√(a²+b²)。
八年级数学上册平方根
八年级数学上册平方根一、平方根的定义。
1. 概念。
- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
2. 表示方法。
- 正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（又叫算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如，9的平方根表示为±√(9)=±3。
二、平方根的性质。
1. 正数的平方根。
- 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如16的平方根是±4，4和-4互为相反数。
2. 0的平方根。
- 0的平方根是0，因为0^2=0。
3. 负数的平方根。
- 在实数范围内，负数没有平方根。
因为任何实数的平方都是非负数，例如-4没有平方根，因为不存在一个实数x，使得x^2=-4。
三、求平方根的运算。
1. 利用定义求平方根。
- 对于简单的数，可根据平方根的定义来求。
例如求25的平方根，因为(±5)^2=25，所以25的平方根是±5。
2. 利用计算器求平方根（拓展）- 对于一些比较复杂的数，如√(2)≈1.414，√(3)≈1.732等，可以使用计算器来求其近似值。
在计算器上一般先输入被开方数，然后按平方根键（√()）即可得到其算术平方根的值，再添上正负号得到平方根。
四、平方根在实际问题中的应用。
1. 几何问题中的应用。
- 例如，已知正方形的面积为S，求正方形的边长a。
根据正方形面积公式S = a^2，那么a=√(S)（因为边长不能为负，所以取算术平方根）。
如果正方形面积S = 36平方厘米，那么边长a=√(36) = 6厘米。
2. 物理等其他学科中的应用（拓展）- 在物理中，例如根据自由落体公式h=(1)/(2)gt^2（h是下落高度，g是重力加速度，t是下落时间），如果已知h和g，求t时，t=√(frac{2h){g}}，这里就用到了平方根的运算。
初二上册数学第二章实数无理数、平方根和算术平方根讲义
无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。
八年级上册数学算术平方根知识点总结
八年级上册数学算术平方根知识点总结八年级上册数学算术平方根知识点总结「篇一」八年级上册数学算术平方根知识点总结算术平方根的双重非负性1.a中aR02.aR0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度根号二，这个根号二的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。
对于这个无理数根号二，最终人们选取了用根号来表示算术平方根举例9的平方根为9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加，算术平方根全部都是正数。
算术平方根辨析算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。
可对于初学者来说是对孪生杀手，很容易在解题过程中产生错误。
算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?一、两者区别1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。
⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。
这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：⑴a的'算术平方根记为a ，读作根号a，a叫做被开方数(radicand)。
⑵a的平方根记为a，读作正负根号a，其中a叫做被开方数。
3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上。
这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。
零只有一个平方根二、两者联系1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是只有非负数才有算术平方根和平方根。
2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。
八年级上册数学算术平方根知识点总结「篇二」八年级上册的数学知识点总结1、 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc，如果ad=bc,那么a:b=c:d2、 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(ab)/b=(cd)/d3、 (3)等比性质如果a/b=c/d==m/n(b+d++n0),那么(a+c++m)/(b+d++n)=a/b4、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例5、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例6、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边7、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例8、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似9、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)10、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似11、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)12、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)13、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的.斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似14、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比15、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比16、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方17、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值18、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值八年级上册数学算术平方根知识点总结「篇三」一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，特别是在代数、几何和物理中。
掌握平方根的概念和相关的知识，对于初中学生来说至关重要。
以下是初二上册数学《平方根》的一些重要知识点：一、什么是平方根1.定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x使得x²=a，那么x就是数a的平方根。
2.平方根的表示方法：√a，读作"a的平方根"。
3.平方根的性质：非负实数a的平方根是存在且唯一的。
二、平方根的运算1.平方根的加减法：√a±√b=√(a±b)2. 平方根的乘法：√a× √b = √(ab)3.平方根的除法：√a/√b=√(a/b)，其中b≠04.平方根与混合数的乘法：√(a×b)=√a×√b5.平方根的开方法则：√(a^m)=a^(m/2)，其中a≥0，m为正整数三、平方运算与平方根1.平方运算和平方根的逆运算关系：√(a²)=，a，即任意实数a的平方根的平方等于a的绝对值。
2.平方根与平方运算的运算规律：a)(√a)²=a，即平方根的平方等于原来的数。
b)√(a×b)=√a×√b，即两个数的乘积的平方根等于各个因数的平方根的乘积。
c)√(a/b)=√a/√b，即两个数的商的平方根等于各个因数的平方根的商。
四、平方根的应用1.平方根的几何意义：平方根表示直角三角形的边长关系。
2.平方根的估算：使用近似值计算平方根，例如使用奇数的平方根进行估算。
3.平方根的图像表示：绘制平方根函数的图像，了解其随着自变量的变化而变化的规律。
4.平方根在实际问题中的应用：例如计算长方形的对角线长度、计算三角形的边长等。
总而言之，初二上册数学《平方根》主要包括平方根的定义、运算法则以及平方根与平方运算的逆运算关系等知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用平方根，在解决实际问题时有更好的思路和方法。
苏教版八年级上册数学[平方根(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0 ||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()20a a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2016春•庐江县期末）已知()22230x y x y ++++=，求2x y -的平方根．【答案】解：， 解得，∴ 2x y -=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
八年级数学上册知识点：平方根
八年级数学上册知识点：平方根常见考法平方根与立方根是解决实际问题的重要手腕，是后续学习的基础。
要紧考查平方根及立方根的运算，即可单独考也能够与其他知识点综合考查。
【例】小丽想用一块面积为4002的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不明白可否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗？【答案】不能【解析】，设长方形的长是3x，那么宽是2x，由此可得3x×2x=300，长方形的长为21，21＞20,因此不能裁出来误区提示很多同窗可不能用数学的方式解决问题。
易显现思维定势，误以为用一个面积大的纸片必然能裁出一个面积小的纸片。
显然，若是咱们明白了这两个平方根的一个，那么就能够够及时的依照相反数的概念取得它的另一个平方根。
若是一个数的平方等于a，那么那个数叫做a的平方根。
0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才能够开平方根。
例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包括了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
假设x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即√a=x重点与难点分析本节重点是平方根和算术平方根的概念平方根是开方运算的基础，是引入无理数的预备知识平方根概念的正确明白得有助于符号表示的明白得，是正确求平方根运算的前提，而且直接阻碍到二次根式的学习算术根的教学不可是本章教学的重点，也是尔后数学学习的重点在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根。
本节难点是平方根与算术平方根的区别于联系第一这两个概念容易混淆，而且各自的符号表示意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根式平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示的不同关于平方根运算不仅数3本节要紧内容是平方根和算术平方根，注意数字要简单，关键让学生明白得概念另外在文字表达时注意语言的严谨标准,知识归纳：若是一个正数的平方等于a，那么那个正数x叫做a的算术平方根，a叫做被开方数。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
八年级开平方知识点
八年级开平方知识点开平方是初中数学课程中的重要知识点，也是高中数学的基础内容。
在八年级的阶段，开平方的知识点主要集中在正整数的平方根以及简单的无理数的近似值的计算上。
一、正整数的平方根正整数平方根是指一个正整数n的平方根在实数范围内的非负解，记为√n。
求正整数的平方根主要有以下两种方法：1. 试除法以求8的平方根为例，可以通过以下步骤进行试除法：（1）从个位开始，取出第一对数字，结果为2，2的平方等于4；（2）将8与4相减，得到余数4；（3）将余数4与下一对数字16合并，结果为416，当做被除数进行下一轮运算；（4）在商数后面再加上一对数0，即20，将其与目前的商数42合并，结果为420，当做新的被除数进行下一轮运算。
最终可以得到8的平方根为2√2。
试除法的精度较低，适用于整数位数较少的情况。
2. 迭代法以求8的平方根为例，迭代法的思路如下：（1）令x为一个初始值，例如x=2；（2）根据x的取值进行迭代运算，得到新的值y=(x+8/x)/2；（3）将y代入迭代公式，再次计算新的值，以此类推，直至精度满足要求。
通过迭代法可以得到8的平方根精确到小数点后若干位。
二、无理数的近似值无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数，其平方根是一种常见的无理数。
在八年级的阶段，学生需要掌握求无理数近似值的方法。
1.小数法小数法主要适用于要求近似值精度较低的情况。
以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根为1.7；（2）进行平方运算，得到1.7的平方为2.89，与3相差很大；（3）逐渐调整1.7的值，目标是使其平方接近3，例如将1.7调整为1.8；（4）再次进行平方运算，得到1.8的平方为3.24，与3的差距较小，可以接受。
小数法的优点是简单易行，缺点是精度不高。
2.倍增法倍增法主要适用于要求近似值精度较高的情况。
以3的平方根为例，可以通过以下步骤求得其近似值：（1）假设3的平方根在1和2之间；（2）计算平方根的中间值（即1与2的平均数），得到1.5；（3）将1.5的平方与3进行比较，如果太小就将1.5作为新的下界，否则就将1.5作为新的上界，然后重复步骤（2）。
八年级上册数学平方根概念
八上数学：平方根的概念及特征一、平方根的概念：如果x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根。
如：因为－2的平方等于4，所以－2是4的平方根；又因为2的平方也等于4，所以2也是4的平方根。
所以4有两个平方根±2。
所以一个正数a有一正一负两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根也叫a的算术平方根。
二、算术平方根：如果一个正数m的平方等于a，即m=a，那么这个正数m叫做a的算术平方根。
※0的算术平方根还是0。
三、算术平方根与平方根的区别：1、一个正数的算术平方根只有一个（正数），而平方根有两个（互为相反数）；2、表示方式不同：算术平方根表示为√a，而平方根表示为±√a。
※①一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；②0的平方根还是0；③负数没有平方根；④0和1的算术平方根是它本身；⑤0、1、－1的立方根是它本身；⑥当被开方数a大于0且小于1时，它的算术平方根比其本身大；当被开方数a大于1时，它的算术平方根比其本身小。
例1、下列说法中正确的是（ D ）。
A 、如果一个数为正数，那么这个数的平方根也一定为正数 分析：正数有一正一负两个平方根，所以本选项错误。
B 、任何数都有两个平方根分析：正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根，所以本选项错误。
C 、任何数的平方是非负数，所以任何数的平方根也是非负数 分析：正数有一正一负两个平方根，故本选项错误。
D 、如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数 分析：本选项正确。
故本题正确的选项为D 选项。
例2、求下列各数的平方根。
①；②7.84；③13613；④(－4)2；⑤49。
解：①因为±54的平方等于2516所以2516的平方根为±54（±2516＝±54）； ②因为±2.8的平方为7.84，所以7.84的平方根为±2.8（±7.84＝±2.8）；③13613＝3649，因为±67的平方等于3649 ，所以13613 的平方根为±67； ④因为(－4)2＝16，又因为±4的平方等于16，所以(－4)2的平方根为±4（±24)－(＝±4)； ⑤因为49＝7，7的平方根为±7，所以49的平方根为±7。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中一个基础且重要的概念。
在我们的日常生活和学习中，它有着广泛的应用。
接下来，让我们详细地了解一下算术平方根的相关知识。
一、算术平方根的定义若一个非负数 x 的平方等于 a，即\（x^2 ＝ a\），那么这个非负数x 叫做 a 的算术平方根，记作\（＼sqrt{a}＼），读作“根号a”，a 叫做被开方数。
特别地，0 的算术平方根是 0。
例如，因为\（2^2 ＝ 4\），所以 2 是 4 的算术平方根，即\（＼sqrt{4} ＝ 2\）；因为\（0^2 ＝ 0\），所以 0 是 0 的算术平方根，即\（＼sqrt{0} ＝ 0\）。
需要注意的是，负数没有算术平方根，因为任何数的平方都是非负数。
二、算术平方根的性质1、双重非负性算术平方根具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），算术平方根\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。
这是因为一个数的平方不可能是负数，所以被开方数必须是非负的；同时，算术平方根表示的是一个非负的数。
2、唯一性一个正数的算术平方根是唯一的。
例如，9 的算术平方根只有一个，就是 3，而不是\（－3\）。
3、运算性质＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
三、算术平方根的计算1、常见数的算术平方根要牢记一些常见数的算术平方根，例如：＼（＼sqrt{1} ＝ 1\），＼（＼sqrt{4} ＝ 2\），＼（＼sqrt{9} ＝3\），＼（＼sqrt{16} ＝ 4\），＼（＼sqrt{25} ＝ 5\）等等。
2、利用平方运算求算术平方根对于一个数 a，如果要计算它的算术平方根，可以通过试探找到一个数 x，使得\（x^2 ＝ a\），则\（x ＝＼sqrt{a}＼）。
例如，要计算\（＼sqrt{10}＼），因为\（3^2 ＝ 9\），＼（4^2 ＝16\），而 10 在 9 和 16 之间，所以\（＼sqrt{10}＼）在 3 和 4 之间。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点《平方根》是初中数学中的重要知识点之一，它是解决一元二次方程、勾股定理、正方形和正方体的表面积等问题的基础。
本文将详细介绍《平方根》的相关概念、性质和解题方法。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
其中，平方根后面的方括号[]表示正平方根的意思。
例如，若a²=b，则称b为a的平方根。
若a²=b²，则称b为a的绝对值。
二、平方根的性质1.非负数的平方根是非负数。
2.负数没有实数平方根，但可以有虚数平方根。
例如，-1的平方根为i（虚数单位）。
3.平方根具有唯一性。
正数的平方根只有一个值，且为正数；负数的平方根只有一个值，且为虚数。
三、平方根的运算法则1.两个平方数的积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
即√(a*b)=√a*√b。
2.两个平方数的商的平方根等于这两个数的平方根的比值。
即√(a/b)=√a/√b。
3.任意一个非负实数的平方根都可以写成一个非负实数的平方根与i （虚数单位）的乘积形式。
即√a=√（a*k²）=k*√a。
四、平方根的求解方法1.直观法：通过检验其中一数的平方与所求的值相近程度来估算。
例如，√3≈1.73，因为1.73²≈32.质数因子分解法：将数分解为质数的乘积，然后提取平方根。
例如，√48=√(2²*2*2*3)=2√33.倒数法：根据倒数的性质，将数分解为两个因数，其中一个因数的平方是已知的。
例如，√0.04=0.24.计算器使用法：利用计算器的平方根功能求得结果。
这种方法简便且精确。
五、平方根的应用1.解一元二次方程：通过求解一元二次方程的平方根来获得方程的解。
例如，对于方程x²+4x+3=0，可通过求解√(4²-4*3)来获得方程的解。
2.求直角三角形的边长：根据勾股定理，直角三角形的斜边等于两直角边的平方和的平方根。
例如，若直角边分别为3和4，则斜边为√(3²+4²)=53.求正方形和正方体的面积：正方形的面积等于边长的平方，正方体的表面积等于一个面的面积乘以6、例如，正方形的面积为a²，正方体的表面积为6a²。
八年级上册平方根的知识点
八年级上册平方根的知识点平方根在八年级数学中是一个非常重要的概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即通过平方根可以得到一个数的正平方根和负平方根。
在本文中，我们将探讨八年级上册中有关平方根的知识点，包括定义、性质以及应用。
一、定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的现象。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
同样，-4也有一个平方根，记为√-4，它等于2i，其中i是虚数单位。
在数学中，我们通常将正平方根表示为√a，将负平方根表示为-√a，其中a是不为负的实数。
二、性质1. 任何正实数都有两个正平方根和两个负平方根。
2. 不能对负数或零取正实数的平方根。
3. 非负实数与其平方根的乘积为该实数的绝对值。
三、应用平方根在实际生活中有许多应用，例如测量物体的长度、计算电路中的电压和阻抗、以及计算房间的面积和体积等。
在数学中，平方根在代数中也起着重要的作用。
1. 求解方程以一元二次方程为例，其中ax²+bx+c=0。
当我们求解时，需要将方程转化为标准形式，即x²+pX+q=0，其中p=b/a，q=c/a。
根据求根公式，可以得到x=(-p±√(p²-4q))/2。
2. 求解三角函数值三角函数的值是通过三角形中的角度来定义和计算的。
例如，sin30°表示一个30度角的正弦值。
通过使用平方根公式，我们可以求解三角函数的值，例如sin45°，cos60°等。
3. 计算几何图形的面积和体积许多几何图形中的面积和体积可以通过使用平方根计算。
例如，正方形的面积是边长的平方，而立方体的体积是长度、宽度和高度的乘积。
通过使用平方根，我们可以计算出梯形、圆锥体、球体等更复杂的几何图形的面积和体积。
总结：平方根是八年级上册数学中重要的知识点，我们可以通过掌握平方根的定义和性质，以及应用它的方法来解决各种数学问题。
了解平方根的知识，不仅可以提高我们的学术成就，还可以帮助我们更好地理解数学的应用，从而更好地应对日常生活中的各种挑战。
2024八年级数学上册第十四章实数14.1平方根第2课时算术平方根习题课件新版冀教版
所以
b － a 的算术平方根是 ，
＝
b － a ＝ ，则 b ＝－ .
ab ＝ × − × − ＝ .
又因为
＝
，所以
，
＝ .
即 ab 的算术平方根是 .
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利用特殊到一般思想探究 的性质
所以2 xy ＝2× ×(－3)＝－15.
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【点要点】
对于任意一个数 a ，若 a ≥0，－ a ≥0，则 a ＝0.
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易错点 在求带根号的数的算术平方根时，忽略根号的作用
而致错
的算术平方根.
11. [新考法·过程辨析法]求
所以原式＝－ a － b ＋( a － b )－( a ＋ b )＝－ a － b ＋
a － b － a － b ＝－ a －3 b .
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初二上册数学算术平方根知识点总结
关于初二上册数学算术平方根知识点总结
算术平方根的双重非负性
1.√a中a≧0
2.√a≧0
算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学
派的恐慌。
因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示
算术平方根举例
9的平方根为±3;9的`算术平方根为3，正数的平方根都是前面
加±，算术平方根全部都是正数。
算术平方根辨析
一、两者区别
1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmeticsquareroot)。
⑵一般地，如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根或二次方根(squareroot)。
这就是说，
如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：⑴a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数(radicand)。
⑵a的平方根记为±√a，读作“正负
根号a”，其中a叫做被开方数。
3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。
这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。
零只有一个平方根
二、两者联系
1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。