线性代数与解析几何(王中良编)思维导图
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线性代数思维导图全6页及其总结
注意例5.4
若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对 角化
将给定的一组基转化成正交基
将给定的一个向量组变 为单位正交的向量组 先用施密特正交法将其 正交化，再将其单位化
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个 特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等
于该特征值的重数
求齐次方程组的解空间W的正交 基，并将其扩充
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任 意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间
的一组基
注意例4.23
子空间
求已知向量在某组基下 的坐标
例4.29
行列式行与列的地位是对称的，即对 行成立的性质对列也成立，矩阵则不
然
线性代 数
对角矩阵相乘（必须同阶）， 等于各位置元素直接相乘'
(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B 在前，顺序换了，该性质可以推广到多元
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
线性代数与空间解析几何复习(哈工大)
m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
19
直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解
19
直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
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位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解
线性代数与解析几何
1 2
y2
x3 y3
也可写成矩阵形式, 令
X (x 1 ,x 2 ,x 3 )T ,Y (y 1 ,y 2 ,y 3 )T
C
1
0
1 2 1
0
0
0 0 1
C显然是个可逆矩阵, 因此所作可逆线
性变换为X = CY .
使
f y12 14y22 2y32
注: (1) CTAC= , C是可逆阵,不唯一.
3.二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系
例1 将三元二次型 f (x1,x2,x3) 写成矩阵形式.
f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x 3
解 二次型 f 的矩阵应为3阶对称阵,
3
A 1
1 1
对特征值2=-1求解方程组 EA0
222 111 EA222000
222 000
得到基础解系: 2=(1,0,-1)T, 3=(0,1,-1)T
将2 ,3施行施密特正交化,得到
1
1
η2
1 2
0
,
1
η3
1 6
2 1
1 1 1
令
P(1,2,3)
3 1 3
2 0
6 2
为正交阵,
6
5 则PTAP 1
注意:对角阵中特征值的顺序和对应的 特征向量在P 中的排列顺序一致.
例4 试将下列二次型化为标准形
f x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 3
解 (1) 二次型 f 的矩阵为
1 2 2 A 2 1 2
2 2 1
线性代数思维导图全6页及其总结
第五章
若k为A的特征值，X为其对应的特征向量， 设有多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x(m)次方， 则方阵f(A)=a0E+a1A+...+amA(m次方)的特
征值为f(k),X仍为其相应的特征向量
注意P的逆矩阵在前 A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B则称A与B相似，记作A~B，P被称为A
参见P95 例5.8
A为正交矩阵的充要条件是其列（行） 向量组是Rn中的单位正交基
若A为正交矩阵，则A的逆矩阵也为正交矩阵
若A,B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵
若A为正交矩阵，则 det(A)=+-1
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正 交
第一章
若矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，若矩阵 A，B可逆，则两者乘积也可逆
对角矩阵的逆矩阵为其 对应位置的各数变成其
倒数
都是针对n阶方阵而言
如何求逆矩阵
第三章
对称矩阵：对称位置的元素相等 反对称矩阵：对称位置元素相反，主对角线上元
素全部为零
有一线性方程组，其系数矩阵为A，增广矩阵为 B，其有n条方程
| B)
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
将nX2n矩阵(A | E)进行一系 列行初等变换，直到变成( E | A-1)，即得方阵A的逆矩阵
线代命题点思维导图
二次型的秩：矩阵A的秩
存在可逆矩阵C使得CT AC = B, 则A与B合同
基本概念
合同
合同具有传递性 合同矩阵不唯一 两个二次型矩阵合同，则正负惯性指数相同
向量组I :α1,,αs中所有向量都能由向量组II : β1,, βt 线性表出， 则称I 可由II 线性表出 ⇔ r(β1, β2 ,, βt ) = r(β1, β2 ,, βt ,α1,α2 ,,αs )
向量组等价：α1, ,αs 与β1,, βs 可相互线性表出
设α1,,αs 可由β1,, βs 线性表出, 则r(α1, ,αs ) ≤ r(β1,, βs )
余子式M 为划去aij 所在行和列， 剩下的元素按原来位置排列的行列式（是一个值）
余子式与代数余子式
代数余子式Aij = (−1)i+ j M ij
展开
化为上下三角行列式 递推法
数学归纳法 直接按某一行（列）展开
逐行（列）相加 把每一行（列）都加到第一行（列）
把第一行（列）的k倍加到第i行
具体型
行列式计算
非齐次线性方程组
矩阵形式
解的性质
非齐次方程组的两个解之差是对应齐次方程组的解 非齐次方程组的解加上任意一个对应的齐次方程组的解后任然是该非齐次方程的解
解的结构：非齐次方程组的解等于一个特解加上对应齐次方程组解的任意线性组合
1.对增广矩阵做行变换得到行阶梯矩阵/行最简据矩阵
计算方法
2.判断解的情况 3.求对应齐次方程组的基础解系
= a11a22a33ann
ann an1 an2 ann
拉普拉斯
A O
* B
=
A *
O B
=| A || B |
线性代数复习思维导图脑图
线性代数行列式
基本运算
代数余子式
展开
矩阵基本运算
矩阵的初等变换求满足初等变换的可逆矩阵( A , E) ~ ( E , P ) P = A^(-1)
矩阵的秩
可用初等变换求矩阵的秩 A ~Ｂ，R(A) ~ R(B)
非齐次线性方程组是否有解
R(A) < R( A,b ) 无解
R(A) = R( A,b ) 有解
R=n 唯一解
R=r <n 无穷解，解有 n-r 个参数齐次线性方程组有非零解R(A)<n
秩的性质
向量组及线性表示
向量b 能由 向量组A 表示
有解
R(A) = R(A,b)
向量组B 能由 向量组A 表示
R(A) = R(A,B)
R(B) ≤ R(A)
向量组A 和 向量组B 等价R(A) = R(A,B) = R(B)
向量组的线性相关
k1......km不全为0
R(A) ＜ 向量个数R(A) = 向量个数 => 线性无关
线性方程组解的结构
相似矩阵及二次型
斯密特正交化
方阵的特征值和特征向量
相似矩阵
对称矩阵的对角化
二次型及标准型
正交变换
配方
正定二次型。
《线性代数的几何意义》之一(什么是线性代数)
如何通俗易懂还不能多说？我一直认为，加上几何意义或者物理意义啥的，一步到位搞定。
这就是本《线性代数的几何意义》的由来。也是这个本子的目标。
目标有了，具体如何编写呢？模仿一下科学大德牛顿的口气：
从线性代数书籍的浩瀚海洋的沙滩上（还没有更高的能力去远洋、去深海处），用一双自己的 眼睛，寻找到了一个个闪闪的小珍珠，一片片如玉的小彩贝，然后细细的打磨和擦拭，拂去沙尘，使 它们重放光彩，用一根几何意义的锦丝，穿就了这本《线性代数几何意义》的项链，献给热爱思考、 痴迷于创造的人们。
z 然后，在回到现在的抽象的线性代数的教材，短时间内构筑个人的线性代数的知识体系的“向 量空间”，通过适量的习题训练，巩固解决具体问题的动手能力。此时，具体与抽象一体， 理想与现实齐飞。您，已经成为线性代数的高手和大牛。
注：本文中，几何意义和几何解释的文字意思没有根本区别，一般对于数学概念的对应的几何图 形而言称为几何意义，而对运算、变换的过程可对应几何图形的变化过程称为几何解释。
================================================================================= 第 2 页， 共 28 页
《线性代数的几何意义》
前言
为什么要给出线性代数的几何意义
作为一名工作十多年的电子工程师，作者在想提高自己的专业水平时，深感数学能力的重要。随 便打开一篇专著或论文，满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上，每每被打得灰头土脸、晕 头转向。我天生就不是搞数学的？我的智力有问题吗？
扯来扯去，千言万语汇成一句话：什么样的《线性代数》学习资料较好，较适合中国学生？我想， 本子的物理尺寸要越薄越好，内容要越通俗易懂越好。
书本越薄大家学习的信心越强：小样，这么点厚度还搞不定你，看，信心先有了。
这就是本《线性代数的几何意义》的由来。也是这个本子的目标。
目标有了，具体如何编写呢？模仿一下科学大德牛顿的口气：
从线性代数书籍的浩瀚海洋的沙滩上（还没有更高的能力去远洋、去深海处），用一双自己的 眼睛，寻找到了一个个闪闪的小珍珠，一片片如玉的小彩贝，然后细细的打磨和擦拭，拂去沙尘，使 它们重放光彩，用一根几何意义的锦丝，穿就了这本《线性代数几何意义》的项链，献给热爱思考、 痴迷于创造的人们。
z 然后，在回到现在的抽象的线性代数的教材，短时间内构筑个人的线性代数的知识体系的“向 量空间”，通过适量的习题训练，巩固解决具体问题的动手能力。此时，具体与抽象一体， 理想与现实齐飞。您，已经成为线性代数的高手和大牛。
注：本文中，几何意义和几何解释的文字意思没有根本区别，一般对于数学概念的对应的几何图 形而言称为几何意义，而对运算、变换的过程可对应几何图形的变化过程称为几何解释。
================================================================================= 第 2 页， 共 28 页
《线性代数的几何意义》
前言
为什么要给出线性代数的几何意义
作为一名工作十多年的电子工程师，作者在想提高自己的专业水平时，深感数学能力的重要。随 便打开一篇专著或论文，满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上，每每被打得灰头土脸、晕 头转向。我天生就不是搞数学的？我的智力有问题吗？
扯来扯去，千言万语汇成一句话：什么样的《线性代数》学习资料较好，较适合中国学生？我想， 本子的物理尺寸要越薄越好，内容要越通俗易懂越好。
书本越薄大家学习的信心越强：小样，这么点厚度还搞不定你，看，信心先有了。
线性代数习题解答(王中良)
= + =
(3)
(4)
.
(5)
注：求解方程组时，对增广矩阵只能做初等行变换。
DCDC
（6题）O（7题）
ABAB
当n=4m时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列；
当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。
4．求i、j使
（1）2i68j431为奇排列解：i=5, j=7.
(2) 162i54j8为偶排列解：i=7 , j=3.
5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？
1
解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。
（2）
解：因为τ（24153）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。
6．写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a 的项。
解：
7．按定义计算行列式：
(1)
(2)
(3)
(4)
8．由行列式定义证明：
证：展开式中任意一项为 ,而 中至少有一个取到3、4、5中的一个，所以 中至少有一个数为零。故行列式的所有项均为零----即行列式为零。
(2) =
(3)
(4)
2．解三元线性方程组：
解：
, , .
3.求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。
(1) 354612解：τ=4+4+1=9奇排列
（2）7563421解：τ+6+5+3+3+1+1=19奇排列
(3) 345…n21τ=n-1+n-2=2n-3奇排列
（4）(n-1)(n-2)…21nτ=(n-2)+(n-3)+…+1=
(3)
(4)
.
(5)
注：求解方程组时，对增广矩阵只能做初等行变换。
DCDC
（6题）O（7题）
ABAB
当n=4m时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列；
当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。
4．求i、j使
（1）2i68j431为奇排列解：i=5, j=7.
(2) 162i54j8为偶排列解：i=7 , j=3.
5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？
1
解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。
（2）
解：因为τ（24153）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。
6．写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a 的项。
解：
7．按定义计算行列式：
(1)
(2)
(3)
(4)
8．由行列式定义证明：
证：展开式中任意一项为 ,而 中至少有一个取到3、4、5中的一个，所以 中至少有一个数为零。故行列式的所有项均为零----即行列式为零。
(2) =
(3)
(4)
2．解三元线性方程组：
解：
, , .
3.求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。
(1) 354612解：τ=4+4+1=9奇排列
（2）7563421解：τ+6+5+3+3+1+1=19奇排列
(3) 345…n21τ=n-1+n-2=2n-3奇排列
（4）(n-1)(n-2)…21nτ=(n-2)+(n-3)+…+1=
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