麦克斯韦方程与电磁场

b 0I ldr 0Il ln b
a
a 2r
2 a
l 2） I=kt时 d 0kl ln b
dt 2 a
b
k > 0 逆时针方向; k < 0 顺时针方向
3）t时刻此时回路的磁通： 0 Il ln b0 vt
d
dt
0 Il 2
b0
v
vt
a0
v
vt
2 a0 vt
v >0, >0 顺时针方向
s t
w
i N
S
(c) B、S = constant
t
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法拉第电磁感应定律
10
5 单匝 —> 多匝
d
dt
全磁通
其中 =1+ 2+ ···+ N，称为回路的总磁通匝链数；
• 若1= 2= ···=N，则 =－Nd/dt。
•回路中相应的感应电流： I / R N (d / dt) / R
N
w i
S
4
(a2) (c)
共同因素：穿过导体回路的磁通量 发生变化。
d
dt
法拉第电磁感应定律
其中 为回路中的感应电动势。
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5
法拉第电磁感应定律
2、 电磁感应定律 d
* 产生条件：
dt
sB ds sB cosds
其中B、、s 有一个量发生变化，回路中就有的i 存在。
•从t1→ t2时间内，通过回路导线任一横截面的电量：
q
It2 dt N
t1
R
2 d
1 dt
dt
N (2
1) /
R
与d/dt无关
磁通计原理
若已知N、R、q，便可知=？ 若将1定标，则2为t2时回路的磁通量2021/4/10
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法拉第电磁感应定律
丹麦工程学院研制的空间磁力计
分辨率： 10 pT 工作原理： 磁通计
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法拉第电磁感应定律
8
满足愣次定律 i
S
N NS
正是外界克服阻力作功，将 其它形式的能量转换成回路 中的电能。
不满足愣次定律 若没有“–—”或不是反抗将是什么情形？
过程将自动进行，磁铁动能增加
N
S N S 的同时，感应电流急剧增加，而
i↑，又导致↑→ i↑…而不须外界
电磁永动机 提供任何能量。
非保守场
•感应电场的电力线是无头无尾闭合曲线 — 涡旋电场。
•感应电场的方向判断用楞次定律，E涡与 方向基本一致。2021/4/10
感生电动势与感应电场
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例3 求一个圆柱对称磁场变化时的涡旋电场。已知磁场均匀分布 在半径为R的范围，且dB/dt=常量，而且大于零。求 1）任意距中 心o为r处的E涡=? 2）计算将单位正电荷从a→b， E涡的功。
B
补偿
B
磁通量的变化 （增加或减小）
B
N
S
vN
vN
v
S
S
vS
N
f>0, df/dt > 0f>0, df/dt < 0 f<0 df/dt < 0 f<0, df/dt > 0 < 0 顺时针 > 0 逆时针 > 0 逆时针 < 0 2顺021时/4/1针0
法拉第电磁感应定律
7
应用此定律时应注意： (1) 磁场方向及分布;
环套变化磁场，涡旋电场
非保守场
E涡的 特点
•与 Ee 一样，对场中的电荷有电场力的作用。 Ei F / q
* 不依赖空间是否有导体存在，
只要有dB/dt≠0，则就有E涡的存在。
* 是非保守力场，
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感生电动势与感应电场
（2） 感生电动势
对闭合 回路：
d
dt
L E涡 dl
M
C
v
解： 设回路绕向逆时针
O B
D
1）t时B刻 S，x=Bvt。12 x
xtg
1 2
Bv
2t
2 tg
.
Nx
d Bv2t tg 0 方向与绕向相反, 顺时针。
dt
此处可直接利用均匀场：
BS
d B dS
d B dS B d 1 x2tg Btgv2t
dt
dt
dt 2
H dl
L
3 总结 洛伦兹力： F
qE
qv
B
无源场
Ii
介质 特性：
涡旋场
D E H B/
静电场有源无旋 电力线：正电荷 —> 负电荷 稳恒磁场无源有旋 磁感应线： 环套通电导线
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一、 法拉第电磁感应定律
1 法拉第实验 (1821-1831)
S
N
v
(a1)
B
v
(b)
F v ev B
FV Fv Fu
作功？ 作功？
Fu
v
FV
u
Fv
V
Fv 对电子的漂移运动而言作正功 —> 动生电动势
这一能量从何而来？
Fu 对导体的运动而言作负功 <— 外界提供能量 FV 的作用：并不作功提供能量，转化能量的中介所
定量上看： Pe I BlvI Fuv Pext2021/4/10
(b)
回路中 i 变化→B变化→ 变化→ L
L~~自感系数或电感:取决于回路的大小、形状、匝数以及
自感电动势： L
d
dt
L di i dL dt dt
当L=Constant
L
L
di dt
“－”表示L的方向，
可见， L总是阻碍回路自身电流的变化。 2021/4/10
讨 论：
自感
30
L
L
di dt
线圈2中出现感应电流Ii
电动势 内是什么力作功？
• 驱动线圈2中电荷运动的决不是磁 场
• 是静电场E？ E dl 0, E为保守力场.
静电场E不能为闭合回路运动的电荷提供能量。 2021/4/10
感生电动势与感应电场
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麦克斯韦 引入 感应电场的概念
磁场 Bt 变化的同时 产生 电场
Ei
感应电场 E涡 的电力线是闭合的，
动生电动势
25
+
E* v
F-
F ev B E
F
vB
e
E
dl
v
B
dl
Blv(直导线)
闭合回路在磁场中运动时：
v
B
dl
d
L
dt
讨 • E*与Ei的区别
论： • E*产生条件
• 表达式与法拉第感应定律吻合
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例5 如图 导线回路架铅直放在均匀磁场B中。导线长 26
mg
v
初始条件： v(0)=0
A= -mgR/(B2l2)
两棒切割 演示
v(t)
mgR B2l 2
(1 eB2l2t /(mR) )
v vm
mg = Fm —> vm=mgR/(B2l2)
o
t
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导体回路在变化磁场中运动情况
d
B
ds
v
B
dl
dt s t
L
27
例6.长直导线通有电流I，在它附近放有一矩形导体回路
28
三、自感与互感（线圈中两种典型的电磁感应）
引言
电磁感应定律： d
dt
感生电动势
动生电动势
E涡
dl
vB
dl
L
问题：下图中当K接通1端时回路中的电流变化？
1 K2
L L
R
i
/R
a b
c
o
t
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自感与互感
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1. 自感
1） 自感现象 i
L
L
Bi
Li
(a)
4）回路的磁通： 0kl t ln b vt . 2 a vt
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例2. 弯成角的金属架COD，导体棒MN垂直OD以恒定速度在 13
金属架上滑动，设v向右，且t=0， x=0，已知磁场的方向垂直纸
面向外，求下列情况中金属架内的 =？
1）磁场B分布均匀，且磁场不随时间变化。
2）非均匀时变磁场，B=kxcos t。
+ 反馈控制技术
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例1.长直导线通有电流I，在它附近放有一 矩形导体回路求： (1) 12
穿过回路中的；(2)若I=kt,回路中 =？(3)若I=常数，回路以v向 右运动， =？(4)若I=kt，且回路又以v向右运动时，求 =？
I dr
a
r
解： 设回路绕行方向为顺时针
1）
b B ldr
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wenku.baidu.com
2） B不均匀， B S
d
B(t
)
ds .
14
Bds
0x kxcos t xtg dx
1 kx 3 cos ttg .
O
3
dx
M
C
v
B
D
N
x
x
t 1 ktg v 3t 3 cos t.
3
2）时变磁场，B=kxcos t
d 1 k tg sin t v3t 3 ktg cos t v3t 2
* 电感（线圈）和电容一样是储能元件。
*
L
di dt
回路里di/dt0 L
i
直流电路在开或关的瞬间才出现L.
oR
当r＞R时： E涡 dl E涡 2 r
r
B t
ds
dB dt
R2
R2 dB E涡 2r dt
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感生电动势与感应电场
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2）沿1/4圆周将单位正电荷从a→b，Ei作功
b r
oa
A1ab 4
E涡 dl
r 2
r
dB
0 2 dt
r 2 dB
dl 4 dt
沿3/4圆周E涡作功？
可能存在这种能产生如此无境止电流增长的能源20?21/4/10
法拉第电磁感应定律
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4
感应电动势i
d
计算
sB
ds
sB
cosds
(
B,
s,
)
dt
[ B s ] B t s t t
S
N v
(a)
S、q = constant
B
B t
B
v
(b) B、q = constant s
E涡
A3ab 4
E涡 dl
—
3r 2 0
r 2
dB dt
dl 3r 2 dB
4 dt
结论： 1）E涡∝dB/dt，与B大小无关？
2）r＞R，磁场外E涡≠0。
3）A1/4ab≠ A3/4ab
即: E涡作功与路径有关——非保守场 2021/4/10
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感应电场
2 动生电动势
B不变，导体回路运动。
* 的大小: d /dt (SI)
的变化率
* 的方向：“–”表示感应电动势的方向。“愣次定律
”
感应电流的出现总是阻碍引起感应电流的变化。
* 的计算
* 磁通计原理
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法拉第电磁感应定律
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3 楞次定律
判断感应电流方向的定律。
感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。
B
感应电流激发 的磁场通量
dt 3
0, 与绕向相同。
0, 与绕向相反。
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二、 感应电场
法拉第电磁感应定律：
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d
dt
的变化方式： 导体回路不动，B变化 —> 感生电动势
导体回路运动，B不变 —> 动生电动势
1、感生电动势
(1) 产生感生电动势的机制——感应电场Ei
两个静止的线圈
2
线圈1中，I 变化时，
b r
oa
解： 1)由Ｂ的均匀及柱对称性可知， 感应的
E涡应具有圆柱对称性，即在同一圆周上E涡的 大小相等，方向沿切线方向，取半径为r的电 力线为积分路径，方向沿逆时针方向:
R dB E涡
2 dt
E涡
当r＜R时： E涡 dl E涡 2 r
B
ds
dB
r 2
E涡
r 2
dB dt
t dt
1 2021/4/10
2
电磁学已学知识回顾:
1 静电场
高斯定理: 环路定理: 电势(电位)定义:
E与试验电荷q 受力F 方向一致
有源场 无旋、保守场
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静电场、稳恒磁场回顾
2 稳恒磁场
毕萨定律:
F
dB
qv B
0 Idl
r
高斯定理:
安培环路定理:
4 r 3
B ds 0 s
(2) 发生什么变化？
(3) 确定感应电流激发磁场的方向;
(4) 由右手定则从激发B 方向来判断 的方向。 由d/dt 的大小；由楞次 的方向
注：楞次定律中“反抗”与法拉第定律中“–”号对应。
与能量守恒定律相一致，保证了电磁现象中的能量守恒
与转换定律的正确，并且也确定了电磁“永动机”是不
可能的。
求若I=kt，且回路又以v向右运动时，求 =？
I
a
b
l
0kl t ln b0 vt
2 a0 vt
B
ds
.
v
B
d
dt
dl
s t
L
b 0k ldr 0ktvdl 0ktvdl
a 2r
la 2a
lb 2b
0kl ln b0 vt 0ktlv 0ktlv 2r a0 vt 2 (a0 vt ) 2 (b 20210/4/10vt )
导线切割磁力线 =Blv
法拉第电磁感应定律 B=C s、q 变化 -> (动生电动势）
（1） 产生动生电动势的机制
• 静电场？
Ek v F
• 非静电场
• 感应电场？ dB/dt=0，则Ei=0。
•洛仑兹力—>非静电场？
F ev B
E
F
vB
e
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动生电动势
• 洛仑兹力作功？
ab=l，质量为m，回路电阻为R。在重力作用下ab边由
静止开始运动，不计摩擦下求导线ab的运动速度。
解： 导线杆ab的受力分析，然后给出其运动方程：
mv mg F
F BIl BlBlv / R B2l2v / R
a iF b
该方程的解为：
v(t) AeB2l2t /(mR) mgR /(B2l 2 )
定 义：
B
ds
t
17
E涡 dl .
B
E涡 t
•
显然
与导体 回路形d状l与有d关s成。右手螺旋关系。
环路定律
（3）E涡与 Ee 的异同
相同处:
不同处
对E电Ee 涡荷 ds的ds作10用0相q同i无有。源源
保守场→电势
Ee
E涡 dl
dl
0.
B t
无旋
ds
有旋
•感应电场不能引入电势概念。