高中导数题的解题技巧

导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2006年辽宁卷）与方程

221(0)x x

y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为 A.ln(1)y x =+ B.ln(1)y x =- C. ln(1)y x =-+ D. ln(1)y x =--

[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥， 即：1ln(1)x e y x y =+⇒=+，所以1()ln(1)f x x -=+. 故选A.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1

x a f x x -=-,集合{|()0}x f x <'{|()0}x f x >,若,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1∞)

D. [1∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线(x)在某一点P （）的切线，即求出函数(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.（2004年重庆卷）已知曲线3

13+3

4，则过点P （2，4）的切线方程是.

思路启迪：求导来求得切线斜率.

解答过程：y ′2，当2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.

∴切线的方程为y －4=4（x －2），即4x －4. 答案：4x －y －4=0.

例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 22 -422

50相切的直线的方程为 ( )

3x 或3

1 B. 3x 或3

1 3x 或3

1 D. 3x 或3

1

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

21

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222⎛

⎫- ⎪⎝⎭

由 ()()/

/

2

2

//

/

/113

231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.313,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

1,12

22121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+⨯-a ，即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式.

典型例题

例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12

时，

f x ()的极小值为

-1，求出函数f x ()的解析式.

思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-=

-f x ()，得