【新课程】课时跟踪检测(二十三) 零点的存在性及其近似值的求法

课时跟踪检测（二十三）零点的存在性及其近似值的求法A级——学考水平达标练

1．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( )

A．(1,2) B．[1,3]

C．[2,5) D．(3,5)

解析：选D 由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.

由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点，则函数f(x)在[1,3]上一定有零点．

由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点，则函数f(x)在[2,5)上一定有零点．

由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点．所以函数f(x)不一定存在零点的是(3,5)．

2．已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )

A．9 B．8

C．7 D．6

解析：选A f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，

则x2＋6x＋c＝0，有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9.

3．函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是( )

A．(－1,0) B．(0,1)

C．(1,2) D．(2,3)

1

1

解析：选D 因为函数f (x )＝x 3－9在R 上单调递增， 且f (2)＝8－9＝－1<0，f (3)＝27－9＝18>0，

所以根据零点存在定理，可得函数f (x )＝x 3－9的零点所在的大致区间是(2,3)． 4．用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的部分函数值数据如表所示：

x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5

f (x )

－6

3

－2.625

－1.459

－0.14

1.341 8 0.579 3

则当精确度为0.1时，方程x 3＋2x －9＝0的近似解可取为( ) A ．1.6 B ．1.7 C ．1.8

D ．1.9

解析：选C 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋2x －9的零点在(1.75,1.875)之间， 结合选项可知，方程x 3＋2x －9＝0的近似解可取为1.8，故选C.

5．对任意实数a ，b 定义运算⊗：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧

b ，a －b ≥1，

a ，a －

b <1，

设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，

若函数y ＝f (x )＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )

A ．(－1,3]

B ．[－3,1]

C ．[－1,2)

D ．[－2,1)

解析：选D 由题意可得

f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋4，x ≤－2或x ≥3，

x 2－1，－2

作出f (x )的函数图像，如图所示． 因为y ＝f (x )＋k 有三个零点， 所以－1<－k ≤2，即－2≤k <1.

6．若函数y ＝x 2＋a 存在零点，则a 的取值范围是__________．

1

解析：函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0. 答案：(－∞，0]

7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．

解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.

答案：3 0

8．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，则实数a 的取值范围为________．

解析：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，且f (0)＝2>0，结

合函数f (x )的图像(图略)，所以⎩⎪⎨

⎪⎧

0≤2a 2≤4，

Δ＝4a 2

－8≥0

或⎩⎪⎨⎪⎧

2a

2>4，f (4)≤0，

解得2≤a ≤4或a >4，

即a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[

2，＋∞)．

答案：[

2，＋∞)

9．已知函数f (x )＝1

3

x 3－x 2＋1.

(1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．

解：(1)证明：∵f (0)＝1>0，f (2)＝－1

3<0，

∴f (0)·f (2)＝－1

3

<0，