【新课程】课时跟踪检测(二十三) 零点的存在性及其近似值的求法

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2021学年新教材高中数学零点的存在性及其近似值的求法学案含解析人教B版必修一

第2课时零点的存在性及其近似值的求法学习目标核心素养1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜，怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.思考：利用函数零点存在性定理能确定零点个数吗？[提示] 不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．2．二分法的定义(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断且f(a)f(b)＜0.(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．[拓展] (1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值．(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f (x )在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步检查|b －a |≤2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步计算区间(a ，b )的中点a ＋b2对应的函数值，若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步．第三步若f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步．[拓展] 求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点的近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．用二分法求函数零点的近似值一般需借助计算器计算．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y ＝f (x )在[a ，b ]上图像连续，且f (a )f (b )＞0，则y ＝f (x )在(a ，b )内一定没有零点．( ) (2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )f (b )<0.( )(3)若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上至多有一个零点．( ) (4)二分法可求所有函数的近似零点．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．下列函数不宜用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝x 3－1B ．f (x )＝2x 3＋x －5 C ．f (x )＝x 2＋22x ＋2D ．f (x )＝－x 2＋4x －1C [因为f (x )＝x 2＋22x ＋2＝(x ＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]4．(教材P119习题32A④改编)若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0，1)内有零点；②函数f(x)在区间(1，2)内有零点；③函数f(x)在区间(0，2)内有零点；④函数f(x)在区间(0，4)内有零点．④[∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴在区间(0，4)内有零点．]判断函数零点所在的区间【例1】求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．[证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，所以方程在(－1，0)，(0，2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．[跟进训练]1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C[对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]对二分法概念的理解【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )B[利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．[跟进训练]2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )A．(－2.1，－1) B．(1.9，2.3)C．(4.1，5) D．(5，6.1)B[只有B中的区间所含零点是不变号零点．]用二分法求函数零点的近似值【例3】求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.5 1.25(－2.5，－2)－2.250.062 5(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4 (－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8 (－2.25，－2.187 5)－2.218 75－0.077 1由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小． (2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．[跟进训练]3．证明函数f (x )＝2x＋3x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1).[解] 由于f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又函数f (x )在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1，2].下面用二分法求解．(a ，b ) (a ，b )的中点f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2(1，2) 1.5 f (1)<0 f (2)>0 f (1.5)>0 (1，1.5) 1.25 f (1)<0 f (1.5)>0 f (1.25)>0 (1，1.25) 1.125 f (1)<0 f (1.25)>0 f (1.125)<0 (1.125，1.25)1.187 5f (1.125)<0f (1.25)>0f (1.187 5)<0x似零点可取为1.25.一元二次方程根的分布问题【例4】已知关于x 的方程7x 2－(m ＋13)x －m －2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为( )A ．(－4，－2)B ．(－3，－2)C ．(－4，0)D ．(－3，1)[思路点拨]画出对应二次函数的大致图像→根据零点的位置列出关于m 的不等式（组）→求解即可A [设函数f (x )＝7x 2－(m ＋13)x －m －2，则由题意可画出函数f (x )的草图如图所示，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝－m －2＞0，f （1）＝－2m －8＜0，f （2）＝－3m ＞0，解得－4＜m ＜－2. 故实数m 的取值范围为(－4，－2).]二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：①判别式；②端点函数值的正负；③对称轴与区间的位置关系；④根与系数的关系．[跟进训练]4．关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m 的取值范围．[解] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]，若f (x )＝0在区间[0，2]上有一个实数解，∵f (0)＝1＞0，∴f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，－m －12≥2.又f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ＜－32.若f (x )＝0在区间[0，2]上有两个实数解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋（m －1）×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32，∴－32≤m ≤－1.综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．知识：1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a ，b ]上的图像连续不断； (2)f (a )·f (b )<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．方法：二分法：求函数零点近似值的一种常用方法．1．函数y ＝－x 2＋8x －16在区间[3，5]上( ) A ．没有零点 B ．有一个零点 C ．有两个零点D ．有无数个零点B [令－x 2＋8x －16＝0，得x ＝4，故函数y ＝－x 2＋8x －16在[3，5]上有一个零点．故选B.]2．已知函数f (x )＝3ax －1－2a 在区间(－1，1)上存在零点，则( ) A ．15＜a ＜1 B ．a ＞15C ．a ＜－15或a ＞1D ．a ＜－15C [∵f (x )＝3ax －1－2a 在区间(－1，1)上单调且存在零点， ∴f (－1)·f (1)＝(－3a －1－2a )·(3a －1－2a ) ＝(－5a －1)·(a －1)＜0， ∴a ＞1或a ＜－15.故选C.]3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )[答案] B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当|a n －b n |＜ε时，函数的近似零点a n ＋b n2与真正零点的误差不超过( )A ．εB ．12εC ．2εD ．14ε B [根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n －b n |＜ε时，区间[a n ，b n ]的中点x n ＝12(a n ＋b n )就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε.故选B.]5．求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间[－2，－1]上存在零点． [证明] 因为f (－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，f (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，所以f (－2)·f (－1)＜0.又函数f (x )的图像在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f (x )在区间[－2，－1]上存在零点．。

新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修17

【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0， f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，
f(1)·f(2)<0，所以∃x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)， x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0. 则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即 ①②③正确. 答案：①②③
【解析】1.选C.对于函数f(x)=x3-2x-1，因为f(1)=-2<0，f(2)=3>0，f(1.5)=-5 <0，
8
因此∃x0∈(1.5，2)，f(x0)=0. 所以下一个有根区间是(1.5，2).
2.选D.由表格可得，f(1.625)·f(1.75)<0，那么∃x0∈(1.625，1.75)，f(x0)=0，所以函数f(x)的零点在(1.625，1.75)之间，又1.75-1.625=0.125<2×0.1=0.2，所以方程的零点可以取 1.625 1.75 1.687 5.
2
(2)×.如f(x)=x2在区间(-1，1)上有f(-1)f(1) =1×1=1>0，但是在区间(-1，1)上有零点0. (3)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点.
2.下列图像表示的函数中没有零点的是 ( )
【解析】选A.B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点.
2.下列函数的零点不能用二分法求解的是 ( )
A.f(x)=x3-1

2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：零点的存在性及其近似值的求法(含答案)

2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第3章：零点的存在性及其近似值的求法
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是()
A．f(x)＝2x＋3B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是()
A．a＜－1 B．a＞1
C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1
4．函数y＝f(x)的图像在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且f(1)·f(4)＜0，则函数y＝f(x)()
A．在(1,4)内有且仅有一个零点
B．在(1,4)内至少有一个零点
C．在(1,4)内至多有一个零点
D．在(1,4)内不一定有零点
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋为()
A．1.5 B．1.25
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2021年高中数学第3章函数第24课零点的存在性及其近似值的求法课时同步练含解析新人教B版必修第一册

第24课零点的存在性与其近似值的求法一、根底巩固1．函数f(x)＝x 2－5x －6的零点是( )A ．2,3B ．－2,3C ．6，－1D ．－6,12.函数y ＝f(x)的大致图像如下列图，如此函数y ＝f(|x|)的零点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的答案是( )A ．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B ．函数f(x)在(3,5)内无零点C ．函数f(x)在(2,5)内有零点D ．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，如此a 的取值X 围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜12，如此ab 的值为( )A ．－6B ．－2C ．2D ．66．假如函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，如此函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是________．7．假如f(x)＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，如此b 的取值X 围为________．8．函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，如此该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．9．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值X 围．10．y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x.(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；(2)假如方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值X 围．二、拓展提升11．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为(－1,2)，如此关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)12.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，如此实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]13．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，假如f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，如此方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．414．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A(1－B)，假如不等式(x －a)⊙(x ＋a)＜1对任意的实数x ∈R 恒成立，如此实数a 的取值X 围为________．15．设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)．(1)假如m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)假如a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比拟f(x)与m 的大小．。

课件1：3.2 第2课时零点的存在性及其近似值的求法

3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( C ) A．(0.5,1)，f(0.75) B．(0,0.5)，f(0.125) C．(0,0.5)，f(0.25) D．(0,1)，f(0.125) 解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．
第三步，f(a)·fa＋2 b＜0，将a＋2 b→b，回到第一步；否则必有 fa＋2 b·f(b)＜0，将a＋2 b→a，回到第一步．
思考2：当|b－a|＜2ε时，取区间(a，b)的中点作为零点的近似解，区间 (a，b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？
提示：设函数的零点是x0，区间(a，b)的其他点为x′，x′也可能是零点的近似解，即满足|x′－x0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．
4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003
f(1.587 5)≈0.133 f(1.549 5)≈－0.029
f(1.575 0)≈0.067 f(1.540 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1_._5_5_6___. 解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.

3.2 第二课时零点的存在性及其近似值的求法

知识点函数零点存在定理及二分法 (一)教材梳理填空 (1)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 _f_(a_)_·f_(_b_)<_0_(即在区间两个端点处的函数值_异__号)，则函数 y＝f(x) 在区间 (a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 f(a)
f(b)
fa＋2 b
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)<0
(0.75,1) 0.875 f(0.75)<0 f(1)>0 f(0.875)>0
因为|0.75－0.875|＝0.125<0.2，所以方程 2x3－1＝0 的一个近似
第二步计算区间(a，b)的中点a＋2 b对应的函数值，若 fa＋2 b＝0，取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步．
第三步若 f(a)fa＋2 b<0，将a＋2 b的值赋给 b用a＋2 b→b表示，下同，
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点；若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
2．判断函数存在零点的 2 种方法 (1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图像法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．

高中数学第三章函数零点的存在性及其近似值的求法课后课时精练新人教B版必修第一册

第2课时零点的存在性及其近似值的求法A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3答案 D解析由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( ) A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点答案 C解析利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C正确．3．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)<0，f(2.5)>0，f(2.25)<0，则方程的解所在的区间为( ) A．(2.25,2.5) B．(2,2.25)C．(2.5,3) D．不能确定答案 A解析由于f(2.25)f(2.5)<0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16内一定有零点B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a8内有零点 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 内无零点D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a16，a8内有零点，或零点是a16答案 D解析根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内，或零点是a 16.5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375 D ．1.4375答案 D解析由参考数据，知f (1.40625)≈－0.054，f (1.4375)≈0.162，即f (1.40625)f (1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.二、填空题6．已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案 4解析设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，∴n 的最小值为4.7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案(2,3)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．8．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．答案④解析∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.三、解答题9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差小于的值(2,3)2＋32＝2.5f(2.5)＝0.5∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.10．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)解函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－2)(x＋2)＝0，所以f(x)在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.用二分法逐次计算，列表如下：故函数y＝f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．B 级：“四能”提升训练1．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？解先在天平左右各放4个球．有两种情况： (1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．2．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明 ∵f (1)>0.∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0. 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

第2课时零点的存在性及其近似值的求法(新教材教师用书)

第2课时零点的存在性及其近似值的求法(教师独具内容)课程标准：1.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理.2.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性．教学重点：二分法求函数零点的步骤．教学难点：二分法求函数零点的原理.【情境导学】(教师独具内容)在一个风雨交加的夜里，从某水库到防洪指挥部的通信光缆发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何才能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km内，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理呢？学完本节课的知识你就知道了．【知识导学】知识点一函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是□01连续不断的，并且□02f(a)f(b)<0(即□03在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上□04至少有一个零点，即□05∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.知识点二二分法的概念对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．知识点三用二分法求函数零点近似值的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是□01连续不断的，且□02 f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：第一步：□03检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：□04计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步．第三步：□05若f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；否则必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·f (b )<0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步．这些步骤可用如下所示的框图表示．【新知拓展】1．函数零点存在定理的使用范围(1)此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f (a )f (b )<0，但图①中有4个零点，而图②中仅有1个零点．(2)此判定定理是不可逆的，因为f (a )f (b )<0⇒函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点．但是已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点不一定推出f (a )f (b )<0.如图③，在区间(a ，b )内函数有零点，但f (a )f (b )>0.2．函数零点的判定(1)若f(a)f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点．(2)若f(a)f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点．(3)若f(a)f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则零点在(a，b)内是否存在不确定．(4)若f(a)f(b)＝0，则a或b是零点．3．关于用二分法求函数零点近似值的一般步骤在第一步中，初始区间[a，b]的选定一般在两个整数间，且区间长度尽量小，另外f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)<0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)<0.()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)二分法求出的函数的零点都是近似值．()(4)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f (x )在区间(2,5)上是减函数，且图像是一条连续不断的曲线，f (2)f (5)<0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．(2)用二分法求函数f (x )＝x 3－3的零点时，若初始区间为(n ，n ＋1)，n ∈Z ，则n ＝________. (3)用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f (2)f (3)<0，取区间[2,3]的中点x 1＝2＋32＝2.5，计算得f (2.5)f (3)>0，此时零点x 0所在的区间是________．答案 (1)1 (2)1 (3)(2,2.5)题型一二分法的适用条件例1 下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )[解析]按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.[答案]A金版点睛运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．[跟踪训练1](1)下列图像中表示的函数能用二分法求零点的是()(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④D．②答案(1)C(2)A解析(1)由于只有C中的图像满足连续，且零点左右函数值异号，故只有C能用二分法求零点．(2)由二分法的定义知①②正确.题型二判断函数零点所在的区间例2若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b －c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．[答案]A金版点睛确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点．[跟踪训练2]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案A解析因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根.题型三用二分法求函数零点的近似值例3判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]上有无零点，如果有，求出一个零点的近似值(精确度小于0.1)．[解]因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：由上表可知，1.3125就是所求函数的一个近似零点，且精确度小于0.1.金版点睛利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图像确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足小于精确度2倍的方程的根所在的区间M.(3)区间M的中点就是方程的近似解．[跟踪训练3]求33的近似值(精确度小于0.1)．解令33＝x，则x3＝3.令f(x)＝x3－3，则33就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算，列表如下：由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以33的近似值可取为1.4375.1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝x2－3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1答案C解析因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]答案A解析∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．3．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是()A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)答案B解析令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.4．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点个数是________．答案2解析由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2.5．求函数f(x)＝x2－8的正无理零点的近似值(精确度小于0.1)．解由题意只需求出函数f(x)＝x2－8的正零点即可，由于f(2)＝－4<0，f(3)＝1>0，故取区间(2,3)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：的近似值可取为2.8125.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3答案D解析由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点B．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点答案 C解析利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c ＝1，则f (x )＝x 2＋1，f (2)＝f (－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c ＝0，则f (x )＝x 2，f (2)＝f (－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c ＝－1，则f (x )＝x 2－1，f (2)＝f (－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C 正确．3．函数f (x )的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(2,3)内近似解的过程中得f (2)<0，f (2.5)>0，f (2.25)<0，则方程的解所在的区间为( )A ．(2.25,2.5)B ．(2,2.25)C ．(2.5,3)D ．不能确定答案 A解析由于f (2.25)f (2.5)<0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．4．已知函数f (x )在区间(0，a )上有唯一的零点(a >0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16内一定有零点B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内有零点C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 内无零点D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a 16答案 D解析根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内，或零点是a 16. 5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为()A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.4375答案D解析由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.二、填空题6．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案4解析设等分的最少次数为n，则由0.12n<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案(2,3)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．8．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．答案④解析∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.三、解答题9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．用二分法逐次计算，列表如下：∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.10．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)解函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－2)(x＋2)＝0，所以f(x)在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.用二分法逐次计算，列表如下：故函数y＝f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．B级：“四能”提升训练1．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？解先在天平左右各放4个球．有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．2．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明∵f(1)>0.∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0.则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

【高中数学】课时跟踪检测(二十三) 零点的存在性及其近似值的求法

课时跟踪检测（二十三）零点的存在性及其近似值的求法A级——学考水平达标练1．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是()A．(1,2) B．[1,3]C．[2,5) D．(3,5)解析：选D由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点，则函数f(x)在[1,3]上一定有零点．由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点，则函数f(x)在[2,5)上一定有零点．由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点．所以函数f(x)不一定存在零点的是(3,5)．2．已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是()A．9 B．8C．7 D．6解析：选A f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则x2＋6x＋c＝0，有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9.3．函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是()A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：选D因为函数f(x)＝x3－9在R上单调递增，且f(2)＝8－9＝－1<0，f(3)＝27－9＝18>0，所以根据零点存在定理，可得函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是(2,3)．4．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为()A．1.6 B．1.7C．1.8 D．1.9解析：选C由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75,1.875)之间，结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8，故选C.5．对任意实数a ，b 定义运算⊗：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,2)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3作出f (x )的函数图像，如图所示．因为y ＝f (x )＋k 有三个零点，所以－1<－k ≤2，即－2≤k <1.6．若函数y ＝x 2＋a 存在零点，则a 的取值范围是__________．解析：函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0. 答案：(－∞，0]7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3 08．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，且f (0)＝2>0，结合函数f (x )的图像(图略)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2a 2≤4，Δ＝4a 2－8≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2a 2>4，f (4)≤0，解得2≤a ≤4或a >4，即a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：∵f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，∴f (0)·f (2)＝－13<0，由函数零点存在定理可得方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解． (2)取x 1＝12×(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)＝－19<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x 2＝12×(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， ∴f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＝－124<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32. 再取x 3＝12×⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 故f (x )＝0的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．10．若方程x 2－2kx ＋k 2－1＝0有两个不等实数根介于－2与4之间，求k 的取值范围．解：令f (x )＝x 2－2kx ＋k 2－1，则二次函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝k ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－4(k 2－1)>0，－2<k <4，f (－2)＝3＋4k ＋k 2>0，f (4)＝15－8k ＋k 2>0，解得－1<k <3，故k 的取值范围是(－1,3)． B 级——高考水平高分练1．已知函数y ＝f (x )为[0,1]上的连续函数，且f (0)·f (1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设需计算n 次，则n 满足12n <0.1，即2n >10.因为23＝8,24＝16，所以计算4次就可满足要求，所以将区间(1,2)等分的次数为4次．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－3，x ≤3，－(x －3)2，x >3，函数g (x )＝b －f (3－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－114，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－3，－114 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－114 D ．(－3,0)解析：选B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－3，x ≤3，－(x －3)2，x >3，所以f (3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3－x |－3，x ≥0，－x 2，x <0.由y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (3－x )－b ＝0. 得b ＝f (x )＋f (3－x )，令h (x )＝f (x )＋f (3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3，x <0，－3，0≤x ≤3，－x 2＋7x －15，x >3，函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即y ＝b 与h (x )＝f (x )＋f (3－x )的图像有4个不同交点，作出函数图像如图所示．结合函数的图像可得，当－3<b <－114时，函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 3．已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的两个零点分别为x 1，x 2，且－2<x 1<0与1<x 2<3，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝3x 2－5x ＋a ，所以f (x )的图像是开口向上的抛物线．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a >0，a <0，3－5＋a <0，27－15＋a >0，解得－12<a <0.故实数a 的取值范围为(－12,0)． 4．已知函数f (x )＝x |x －1|－a .(1)当a ＝0时，在直角坐标系内画出f (x )的图像，并写出函数的单调区间； (2)讨论函数y ＝f (x )零点的个数．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ≥1x (1－x )，x <1，则函数y ＝f (x )的图像如图所示，由图可知，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减． (2)函数y ＝f (x )零点的个数等价于函数y ＝x |x －1|的图像与直线y ＝a 的交点个数，由(1)得：①当a <0或a >14时，函数y ＝f (x )零点的个数为1个；②当a ＝0或a ＝14时，函数y ＝f (x )零点的个数为2个；③当0<a <14时，函数y ＝f (x )零点的个数为3个．5．北京时间2018年4月10日18时19分智利发生6.0级地震，震源深度50千米．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A 地到B 地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km 长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解：如图，可首先从中点C 开始检查，若AC 段正常，则故障在BC 段；再到BC 段中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；再到BD 段中点E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m 之间，即可迅速查出故障所在．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

新教材高中数学课时过程性评价第三单元第2课时零点的存在性及其近似解的求法练习人教B版必修第一册ppt

四、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．已知函数 f(x)＝2x3－x2－3x＋1. (1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点． (2)若 f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算 f(x)＝0 的一个近似解(精度 0.1).
x f(x)的近似值
1 1.5 1.25
【应用创新练】
1.(2021·重庆高一检测)已知函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+¥),f(x)是奇函数,且当 x>0
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】选 A.函数 f(x)的零点所在区间的长度是 1，用二分法经过 6 次分割后区间的
长度变为216 <0.02.
4．若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
x
1 1.5 1.25 1.375 1.437 5
f(x)的近似值－2 0.625 －0.984 －0.260 0.162
f(a)·f(b)＜0，则方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根
D．必有唯一的实数根
【解析】选 D.由题意知，函数 f(x)为连续函数，因为 f(a)·f(b)＜0，
所以函数 f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又因为函数 f(x)在区间[a，b]上是单调
数 g(x)＝bx2－ax 的零点是 0，－21 .
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 7．已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，－2 是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于__________．【解析】因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，又因为 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，因为 f(2)＝－f(－2)＝0，所以在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，f(x)在 R 上共有 3 个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 答案：3 0

2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课堂检测素养达标新人教B版必修1

3.2.2 零点的存在性及其近似值的求法
课堂检测·素养达标
1.已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
那么函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选B.由数表可知，函数分别在(2，3)，(3，4)，(4，5)上各至少有一个零点，因此在区间[1，6]上的零点至少有3个.
2.函数f(x)=2x2-4x-3的零点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
【解析】选C.由f(x)=0，即2x2-4x-3=0，因为Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0.所以方程2x2-4x-3=0有两个根，即f(x)有两个零点.
3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别
为( )
A.(0，0.5)，f(0.125)
B.(0.5，1)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75)
D.(0，0.5)，f(0.25)
【解析】选D.令f(x)=x5+8x3-1，
则f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，
所以其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，
第二次应计算的函数值应该为f(0.25).。

2021_2022学年新教材高中数学课时分层作业25零点的存在性及其近似值的求法(含解析)新人教B版

课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．以下函数中，不能用二分法求零点的是( )A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝x2＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1C[因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，应选C.]2．以下关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的选项是( )A．假设x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，那么x0是f(x)的一个零点B．假设x0是f(x)在[a，b]上的零点，那么可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A[使用“二分法〞必须满足“二分法〞的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是准确解，D不正确，只有A正确．]3．假设函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，那么a的取值范围是( ) A．a＜－1 B．a＞1C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1B[由题意知f(0)·f(1)＜0，即 (－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1.]4．函数y＝f(x)的图像在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且f(1)· f(4)＜0，那么函数y＝f(x)( )A．在(1,4)内有且仅有一个零点B．在(1,4)内至少有一个零点C．在(1,4)内至多有一个零点D．在(1,4)内不一定有零点B[可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝f(x)在[1,4]内至少有一个零点．] 5．假设函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝00.04)为( )C．1.375 D．1.437 5D[由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为 1.43 75，应选D.]二、填空题6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(0,0.5)，f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，那么第二次应计算f,2)))＝f(0.25)．]7．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(准确度为0.1)．0．75(答案不唯一) [因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．]8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全一样的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，那么应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．4[将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，那么假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，假设天平平衡，那么假币一定是拿出的那一枚，假设不平衡，那么假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，那么假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，假设天平平衡，那么剩下的那一枚即是假币，假设不平衡，那么质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]三、解答题9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(准确度0.1)．[解] f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·fx0∈(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f (0.75)·fx 0∈(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x 4＝0.812 5，f (0.812 5)≈0.073>0.∴f (0.75)·f (0.812 5)<0，即x 0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1. 所以，f (x )的零点的近似值可取为0.75.10．甲从A 地以每小时60 km 的速度向B 地匀速行驶，15分钟后，乙从A 地出发加速向甲追去，乙距A 地的路程s (km)与时间t (h)的关系为s ＝20t 2，求乙多长时间可追上甲．(准确到0.1)[解] 设乙经过t (h)可追上甲，那么60⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋14＝20t 2，整理得4t 2－12t －3＝0，设f (t )＝4t 2－12t －3， ∵f (3)＝－3＜0，f (4)＝13＞0，∴函数f (t )＝4t 2－12t －3在(3,4)上必有一零点，即方程4t 2－12t －3＝0在(3,4)上必有一实数根．设该实数根为t 0，那么t 0∈(3,4)，用二分法可知：t 0∈(3,3.5)，t 0∈(3,3.25)，t 0∈(3.125,3.25)，t 0∈(3.187 5，3.25)，t 0∈(3.218 75,3.25)，t 0∈(3.218 75,3.234 375)．由于区间的两个端点值准确到0.1时都是3.2，故t 0＝3.2，即乙需3.2小时可追上甲．[等级过关练]1．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8))C [设f (x )＝2x－x 2，根据列表有f (0.2)>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]2．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ](n ∈N )上，当|a n －b n |＜m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n2与真实零点a 的误差最大不超过( )A.m 4B.m2 C ．mD ．2mB [假设a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ，a n ＋b n 2，因为|x 0－a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋b n 2－a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋b n 2－a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －a n 2＜m 2.选B.]3．如果一个正方形的体积在数值上等于V ，外表积在数值上等于S ，且V ＝S ＋1，那么这个正方体的棱长(准确度为0.01)约为________．6．03 [设正方体的棱长为x ，那么V ＝x 3，S ＝6x 2，∵V ＝S ＋1，∴x 3＝6x 2f (x )＝x 3－6x 2－1，应用二分法得方程的近似解为6.03.]4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________． 2 [(数形结合法)∵a >0，∴a 2y ＝|x 2－2x |的图像如图，∴y ＝|x 2－2x |的图像与y ＝a 2＋1的图像总有2个交点．] 5．函数f (x )＝x 3＋x . (1)试求函数y ＝f (x )的零点；(2)是否存在自然数n ，使f (n )＝1 000？假设存在，求出n ，假设不存在，请说明理由． [解] (1)函数y ＝f (x )的零点即方程x 3＋x ＝0的实数根，解方程得x ＝0.(2)计算得f (9)＝738，f (10)＝1 010，由函数f (x )＝x 3＋x 在区间(0，＋∞)单调递增，可知不存在自然数n ，使f (n )＝1 000成立．。

高中数学第三章函数3.第课时零点的存在性及其近似值的求法课时跟踪训练含解析B版第一册

零点的存在性及其近似值的求法一、复习巩固1．如下四个函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(）解析:由于用二分法求零点的使用条件为“变号零点”,而B中零点为不变号零点，不宜用二分法求．答案:B2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B3．用二分法求函数f(x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(）A．［－2，1］B．［－1,0]C．［0,1] D．［1,2]解析：f(－2）＝－3<0,f（1）＝6>0,逐次验证得出初始区间为A。

答案：A4．在用二分法求函数f(x）的一个正实数零点时,经计算，f （0.64）<0，f(0。

72）〉0，f（0。

68)〈0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0。

72C．0。

7 D．0.6解析：已知f（0。

64)〈0，f（0.72)>0,则函数f（x)的零点的初始区间为［0。

64，0.72]．又0.68＝错误!×（0。

64＋0。

72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68，0。

72]上，且该区间的左、右端点精确到0。

1所取的近似值都是0。

7,所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案:C5．二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c（x∈R)的部分对应值如下表:不求a、b、c的值，可以判断方程ax＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是（）A．(－3，－1）和(2,4) B．(－3，－1）和(－1，1) C．（－1,1）和（1，2）D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：∵f(－3）·f（－1）〈0,f（2)·f（4）<0，∴故选A。

答案：A6．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：则方程2＋3＝7的近似解(精确度0.1)可取为（) A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3解析:由题表知f（1。

高中数学第三章函数3.第课时零点的存在性及其近似值的求法课时作业含解析B版第一册

第三章3。

2 第2课时请同学们认真完成[练案25]A级基础巩固一、单选题（每小题5分，共25分）1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为（C）A．(－2，－1)B．（－1，0)C．(0，1）D．(1，2）解析：∵f(－2)＝－1〈0,f(－1)＝1〉0,f(0）＝－1<0，f(1）＝－1〈0，f(2）＝7>0，∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2,－1）、（－1，0)、(1,2）内，故选C．2．若函数f（x)在[a，b］上连续，且同时满足f(a）f(b）<0，f(a）f(错误!)>0.则（B）A．f（x)在［a，错误!］上一定有零点B．f（x）在［错误!，b]上一定有零点C．f（x)在［a,错误!]上一定无零点D．f（x)在［a＋b2,b]上一定无零点解析：a〈错误!〈b，由题意知f错误!f（b)〈0,所以f（x）在错误!上有零点．3．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是（ B )A ．（－∞,错误!）B ．（错误!，＋∞)C ．（错误!,3）D ．（1，错误!）解析:令f （x ）＝x 2－2mx ＋4，由题意可知错误!即⎩⎨⎧1－2m ＋4<0，4－4m ＋4<0，所以错误!即m >错误!. 4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算, f (0。

64)<0， f （0。

72）>0, f (0.68)〈0,则函数的一个精确到0。

1的正实数零点的近似值为（ C )A ．0.68B ．0.72C ．0。

7D ．0。

6 解析：已知f (0。

64)〈0，f （0。

72）〉0,则函数f （x )的零点的初始区间为［0。

64，0。

72],又0.68＝（0.64＋0.72)/2,且f （0.68）〈0，所以零点在区间［0。

68,0.72］上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0。

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