结构动力学计算

(t ) m y
P(t ) P(t )
=1
l
11
1P
EI
3
P(t)
Pl/4
EI l/2 l/2
2l 11 3EI
Pl 1P 16EI
3
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
1 m
8 EI ml 3
4. 振动特征 Vibration Characteristic
Displacement
Acceleration
y A sin(t ) A sin(t ) y
2
2 Inertia Force FI ( t ) my mA sin(t )
1 mA 2 m 1.5l 2 3
Homework
补充题：求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为m，梁与
弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度k的变化 m 规律。 EI l k
10-3
10-4 10-5 可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。
习题课

st m w T 2 2 m 2 2 k g g
W m g
2
st 为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移
结构自振周期的一些重要性质： ⑴ 自振周期是结构固有特性，仅与结构的质量和刚度 有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改 变自振周期；
k 2A
m 3A
其方向与位移同向。
M
2
A
0
2
2m A l m 3 A 3l k 2 A 2l
11mA l 4kAl
2

4k 11m
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生 相对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层 的层间侧移刚度。 画弯矩图？ 位移法 6i 6 EI m l h k
B
0.5l
EI
l
C
1 m2 m 3
m l kl
2 2
2
A
k
0.5l
D

k m
单自由度体系 FIm ax Am 2 列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同
0.5 l
mA m 0.5l
2 2

kl
l
1.5 l
MB 0
1 2 0.5ml 0.5l ml 2 1.5l kl l 3
6 EI h2
12 EI h3
6 EI h2
12 EI h3
k 24 EI m mh3
6 EI h2
6 EI h2
T
2

练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振 频率，自重忽略不计。
m
EI 常数
l
l
l
Horizontal Vibration：
-----Flexibility Method Anti-symmetrical Load +symmetrical Structure
⑵ 要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚
度入手； ⑶ 自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。
例5. 如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在 梁的跨度中点有一个集中质量m。如果忽略梁本身的质量，试 求梁的自振周期T和圆频率ω。 m
l
P=1 EI
1 l 4
EI
2
l
T 2

建立振动微分方程的 2 种方法
刚度法(Stiffness method)
悬臂梁-质量模型
y
k
理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型
O y k m
y
-ky
O
y
F
m y
y
0
描述下其运动过程？
ky 0 m y
弹性力-ky（Elastic force ）：与位移方向相反
k—刚度系数（Stiffness coefficient）：使弹簧发生单位变形 时所需施加的力。
1 2 l 2
M
4 1 l l 2 l3 l EI 2 2 2 3 3EI
1 3EI m ml 3
Horizontal Vibration：
1
教学内容

自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法
自由振动微分方程的解
解的物理意义
重要性
单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估
算，如：水塔、单层厂房等。
单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的
基础。
1. 自由振动方程的建立
Formulation the equation of free-vibration
2
m 2 m k
l3 48 EI
ml 3 48EI
T 2 m 2
1 48 EI ml 3 m
例6. 求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给
质量一个初速度v0，求自由振动的响应（振幅和相位） m 初始条件： (t ) v y(0) 0, y EI
2
EI1
l
EI
EI
1
l
1
12EI / l 3 12EI / l 3
1 24 EI k 3 k l

m
EI1
EI EI EI
k
k ?
练习2. 计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
Stiffness coefficient
24 EI k 3 h
k
1
例2. 用柔度法建立体系的运动方程 m
l EI EI l
y m y
m y 1
O
2l 3 11 3 EI
3 EI ( t ) 3 y( t ) 0 m y 2l
P=1

y0
?
y
y
m y
图乘法
l
例3：用柔度法列运动方程
m y(t )
l
y(t )
y( t )
y
v0
sin t y0 cos t v 0 sin t T
v0

o
v0
y
T
t
y0 cos t
t
y0
o
y0
y( t )
v0

sin t y0 cos t
A
y0
2

v0 2
2
振幅：Amplitude
y A sin t
Review
动荷载(Dynamic Load)的定义与分类； 动力学研究的内容、任务； 动力自由度(Dynamic Degree of Freedom)
10.2 单自由度无阻尼体系的自由振动
Free-Vibration of SDOF System without Damping
SDOF：single degree of freedom
EI ml 3
2. 自由振动微分方程的解
my ky 0
k m
y + y 0
2
,
高等数学知识
Solution : y(t ) c1 sin t c2 cos t
v0
C1、C2为由初始条件确定的待定常数
c1 c2 y0 y(0) y0 , v(0) v0 v0 y( t ) sin t y0 cos t
y 惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是 m
与位移y(t)同向。
Displacement
y A sin(t )
2
mA sin(t ) Inertia Force FI ( t ) m y
sin t 1
ymax A ymax A 2 2 FIm ax Am
y
F=1
受力分析，求外力作 用下体系的位移
k
) y f I (m y
my ky 0
my
k
从柔度的概念出发，分析结构的变形，建立运动方程 不同方法得到相同的表达式
柔度法列运动方程的步骤
在质量上沿位移方向施加惯性力；
求外力（包括惯性力）引起的质量的位移； 令该位移等于体系的位移；
刚度法列运动方程的步骤
建立体系的坐标系，确定坐标原点；
取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力）； 列平衡方程；
建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析
以平衡位置
k
为坐标原点
O
O
W
W k st
m y
y
st Y y st y Y
y
k ( y st )
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
例4.求图示体系的自振频率和周期。 解：自由度数判断：1个

m k 1 m
m/2
EI EI
m
EI
l
l
2 l3 11 3 EI
l
l
=1

1ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 2l 3 m 2 3EI ml 3 T 2 EI
y
A
T
tan
1
初始相位角：Initial phase angle
y0 v0
A
o

t
3. 基本概念及其物理意义
圆频率

自振周期 T
2
k m
在2π个单位时间内的振动次数，单位Rad/s
y (t + T)=y (t) 单位时间内的振动次数，单位s-1或者Hz
频 率
1 f T 2
单自由度体系运动方程的通用形式 k=?，静力学知识为基础
P=1
图乘法
EI
m EI m
O
y
l
my ky
2l 3 11 3EI
EI
F
y
0
3 EI ( t ) 3 y( t ) 0 m y 2l
柔度法(Flexibility method)
柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？ 1 单位荷载引起的结构的变形 k O y
y(t)
(t ) 2m y
单自由度体系运动方程通用形式 (t ) y 2 yk 3m

4k 11m
方法2：列幅值方程 O y A
A
2m
2A
m
3A
y 列运动方程时，惯性力 m 是一个整体，其方向与位移同 向；
2 mA 列幅值时，惯性力幅值
2
2m A 2
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构 运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，这里介绍建 立在达朗伯原理基础上的“动静法”。
质点的达朗伯(d’Alembert)原理
在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束
反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。 形式上的平衡方程，实质上的运动方程。
my
Inertia force）:与加速度的方向相反 y 惯性力 m （ 约束反力和惯性力的平衡
O
y
O
y
m y
y
k
F
-ky
y
0
ky 0 m y
k—刚度系数（Stiffness coefficient）：使结构发生单位位移 时所施加的力。 从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法 (Stiffness method).
l
0.5l
0
自由振动的响应为：
y A sint
2 v0 2
P=1
A
y0
2



v0
v0
ml 3 8 EI
自由度个数判断：1个 自振频率计算公式 计算k或δ：静力学知识
k m
1 m
tan 1
y0 0 v0
l3 8 EI

练习1. 列出体系的运动方程，并求自振频率。
A
l
2m
l
EI
m
k
l
M
A
0
l 2 yk 2l 3m 3l 0 2m y y (t ) 4ky(t ) 0 11m y
( t ) y 4k y( t ) 0 11m
方法1：根据受力分析，列运动方程 O A 2m m y 2y(t) 3y(t)
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值； 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值 处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为 代数方程，使计算得以简化。
例7. 求图示体系的自振频率
m1 m
W
mY
kY W
kY W k ( y st ) W mY m y
ky 0 m y
ky 0 m y
以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位 移与静位移之和。
例1. 用刚度法列体系的运动方程 m
l EI EI l
my ky 0