高中数学说题课件

(
8 − (Y 2 )
min
)=
8=2 2
点评：构造的函数Y = 1− x − 是单调递减的容易求出值域。
x+3
三.解题方法
解法10， 解法10，对称性法 10
对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等） 时，两变量相等时，可使目标函数取得最值。 令u = 1− x , v = 3 + x，则有u2 + v2 = 4(u ≥ 0, v ≥ 0) 去求u + v的最大值显然u, v两个变量对称，故令u = v, 则有u = v = 2，ymax = u + v = 2 2。
二.解题思路
题目出处 已知求证
条件信息 解题关键
则它的最大值为( 1、已知函数 y = 1 − x + x + 3, 则它的最大值为 ) 、 (A)
2
(B)2
(C) 2
2
(D)
4 3
3
隐含条件和潜在信息为： 隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为 [ −3,1] , 且有 (1− x) + ( x + 3) = 4.
数学说题
说题 引入 解题 思路
说题
高考 链接 题目 变式
解题 方法
一、说题引入
数学的世界里并不缺少美， 数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思 考的大脑。数学本身是美妙的， 考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美 在数学的世界里， 妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变 万化，数学的美妙让你流连忘返， 万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让 你如痴如醉。这种种数学的美妙， 你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之 数学美” 正因为这“数学美” 为“数学美”。正因为这“数学美”，科学得以 巨大飞跃，社会得以高速发展， 巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世 在数学的小世界里， 界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世 在浩瀚无垠的数学题海里， 界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小 淋漓尽致的诠释了她的美妙， 题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考， 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数 学的世界就是美的世界。 学的世界就是美的世界。
2 2
三.解题方法
解法9 解法9，构造对偶函数
依题意y = 1 − x + x + 3我们构造Y = 1 − x − x + 3 于是y 2 + Y 2 = 8, 即y 2 = 8 − Y 2显然Y = 1 − x − x + 3 故Y = 1 − x − x + 3 ∈ [ −2, 2] , 即Y 2 ∈ [ 0, 4] ymax =
点评： 点评：平方后化归为二次函数的最值问题
三.解题方法
解法3 解法3，基本不等式
在基本不等式a 2 + b2 ≥ 2ab两边同时加上a 2 + b2， 有2a 2 + 2b2 ≥ 2ab + a 2 + b2两边同时除以4，整理得， a +b a+b a+b a 2 + b2 对于本题， ≥ ≤ 即 2 2 2 2
解法 探究
解法3 解法3，基本不等 式 解法4 解法4，柯西不等式 解法5 解法5，三角代换 解法6 数形结合1 解法6，数形结合1
三.解题方法
解法1 解法1，函数单调性
想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。 想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。 则它的最大值为( 1、已知函数 y = 1 − x + x + 3, 则它的最大值为 ) 、 4 3 依题意， 依题意，函数的 y = 1− x + x + 3 的定义域是 [ −3,1] (D) (A) 1 2 (B)2 (C) 2 2 1 3 − = 0, 得 x =−1 显然在 [ −3, −1) 内是单调 令 y′ = 2 x +3 2 1− x 递增函数， 内是单调递减函数， 递增函数，在 ( − 1,1 ] 内是单调递减函数，即函数在
2
我们大家都知道著名的柯西不等式( ac + bd ) ≤ ( a2 + b2 )( c2 + d 2 ) 对于本题来讲，我们令a = 1, b = 1, c = 1 − x , d = x + 3, 1− x 2 + 则有(1 1 − x +1 x + 3) ≤ (1 +1 )
2 2 2
2
x+3
) ＝4
2
形式很像圆的方程，我们可以 令u = 1− x , v = x + 3则 有 于 是 原 题 变 为 y = u + v的 最 大 值 而 直 线 |−y | 与 圆 相 切 时 有 d = r于 是 d = 1+1 = r = 2因 此 y max = 2 2， 故 选 （ C ）
二.解题思路
题目出处 已知求证
条件信息
解题关键
则它的最大值为( 1、已知函数 y = 1 − x + x + 3, 则它的最大值为 ) 、 (A)
2
(B)2
(C) 2
2
(D)
4 3
3
已知点为给出函数解析式，求证点为求该函数的最 已知点为给出函数解析式， 大值，题眼为观察式子结构，定义域 大值，题眼为观察式子结构，
三.解题方法
解法11， 解法11，向量法 11 r r r r 根据向量不等式 | a ⋅ b |≤| a || b | r r 令 a = (1,1), b = 1 − x , x + 3 ，代入上式，
有 | (1,1) ⋅
(
(
1 − x , x + 3 |≤ 1 + 1 ⋅ 1 − x + x + 3 x+3 ≤ 2 4 = 2 2因此 y max = 2 2
三.解题方法
解法7，数形结合 解法 ，数形结合2 解法8 解法8，利用充要条件 解法9 解法9，构造对偶函数 解法10， 解法10，对称性法 10 解法11， 解法11，向量法 11 解法12， 解法12，公式法 12
解法 展示
三.解题方法
注意到
解法7 数形结合2 解法7，数形结合2
(
1− x
) +(
三.解题方法
把y = 1− x +
解法2 解法2，平方法
x + 3两 边 平 方 得
y2 = 1− x + x + 3 + 2 1− x x + 3 = 4 + 2 − x 2 − 2 x + 3 = 4 + 2 − ( x + 1) 2 + 4 函数的y = 1− x + x + 3的 定 义 域 是 − 3,1 根 据 二 次 函 数 的 性 质 ， 显 然 当 x = − 1时 y 2的 最 大 值 为8， 即 y max = 2 2故 选 （ C）
π
4
时，有ymax = 2 2故选（C）
点评： 点评：换元后注意新元的范围
三.解题方法
注意到
解法6 数形结合1 解法6，数形结合1
(
1− x
) +(
2
x + 3 ＝4
)
2
形式很像圆的方程，我们可以 令u = 1 − x , v = x + 3则有于是 原题变为y = u + v的最大值我们 可以把y看成直线的截距，如图， 很明显ymax = 2 2故选（C）
二.解题思路
(A)
题目出处 已知求证
条件信息
解题关键
则它的最大值为( 1、已知函数 y = 1 − x + x + 3, 则它的最大值为 ) 、
2
(B)2
(C) 2
2
(D)
4 3
3
它选自2012年江苏南通数学模拟卷三，知识点涉及 年江苏南通数学模拟卷三， 它选自 年江苏南通数学模拟卷三 已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳， 已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳， 化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。 化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。母 题可见于《选修1-1》第四章习题4-1A组第 题。 组第3题 题可见于《选修 》第四章习题 组第
三.解题方法
解法8 解法8，直线与椭圆相切的充要条件
x2 y 2 直线Ax + By + C = 0与椭圆 2 + 2 = 1相切的 a b 2 2 2 2 2 充要条件为A a + B b = C 把圆看成特殊的 u v 椭圆，那么直线u + v − y = 0与圆 + = 1相 4 4 2 切需满足1⋅ 4 + 1⋅ 4 = y 因此ymax = 2 2故选（C）
x2 −5 x+4
, 则它的最小值为 的值域。 变式4： 变式 ：求函数 y = x 2 − 6 x + 13 − x 2 + 4 x + 5 的值域。 1 1 变式5： 变式 ： 已知a, b为正实数，且a + b = 1, 求证：a + + b + ≤ 2 2 2
四.题目变式
变 式 题
1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件， 式子结构进行变式。 式子结构进行变式。 2、该题的变式题可以设计出如下一些 、
(1 + 1)(1 + 3 ) = 2
2
故 选 （ C） .
三.解题方法
解题思想，方法和规律总结 解题思想，
解决此题我想到了十二种方法， 解决此题我想到了十二种方法，全部属于 高中数学中常用的方法，属通性通法， 高中数学中常用的方法，属通性通法，这些方 法中涉及到了函数与方程，化归与转化， 法中涉及到了函数与方程，化归与转化，数形 函数与方程 结合，构造函数等数学思想。 结合，构造函数等数学思想。 等数学思想