高中数学必修4第一章课件 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1. 列表：
x
2x sin 2 x
0 0 0

4
2

2

3 4
3 2

2
1
0
1
0
2. 描点： 2 y
1 2 O 1 2

3 x
y
1 2
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？ 3 4
O 1

x
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 2倍（纵坐标不变）。
例2：在同一坐标系内，作函数y=sin2x和y=sin x图象，并指出它们的图象与y=sinx的 关系。 1
2
解：
对于函数 y sin
1. 列表：
1 2
x
x
1 2
sin
0
x


2
2

3
3 2
4 2 0
0 0
1 x 2
1
0
－1
2. 描点：
y
1
2
O
1

3
4 x
对于函数y=
sin 2 x
的
A
y sin x
纵 向
坐
标
伸
长
为
原
1
横坐标伸长为原来的

倍
y sin x (周期变换）
右 （ <0)
或
向
左 （ >0) 平
移
|
y sin( x )
|
( 平移变换）
思考：
我们学习了三种函数 y＝sin(x±)， y＝sin(x)，y＝Asinx 的图象和函数 y＝sinx 图象的关系，那么 y＝Asin(x+) (A＞0，＞0)的图象和函数 y＝sinx 的图 象有何关系呢？
y=2sinx
y=sinx 2
x
y= 1 sinx 1 2 2
y
2
1
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？ 2
O 1
2

x
y=2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍。 1 y= 2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 1 的纵坐标缩短到原来的 倍。 2
解:y=sin(2x +π/3)
12
y=6sin(2x +π/3)
y=6sin[2(x +π/6)+ π/3]= 6sin(2x +2π/3 ) y=6sin[2(x/3) +2π/3 ]=6sin(2x/3 +2π/3 )
课堂小结
本节课我们进一步探讨了三角函数 各种变换的实质和函数 y＝Asin(x+) (A＞0，＞0)的图象的画法.并通过改变 各种变换的顺序而发现：平移变换应在 周期变换之前，否则得到的函数图象不 是函数 y＝Asin(x+)的图象由 y＝sinx 图象的得到.
1.5函数 y=Asin(x+) 的图象
1.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三 角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对 平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y A sin( x ) 的函数.我们需要了解它与函数y=sinx的 内在联系. 2.、、A是影响函数图象形态的重要参 数，对此，我们分别进行探究.

解：
x x
x x


3 4
5 6 4
2 2
4 3 3 4

11 5 6 4
3 3 2 2
7 7 3 4
2 2

3 4
3 4 ))
0 0
sin( x sin( x
0 0 1 O 1 y
1 1
0 0
-1 -1
0 0


4

3
2

x
y sin 2 x
2
各点 ( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的
1

6
各点向左平移

个单位
y sin( 2 x

3
y 3 sin( 2 x ) ) 3
各点 ( 横坐标不变 ) 纵坐标伸长到原来的 3倍
4、y＝Asin(x+)(A＞0，＞0)的图象和函数y＝sinx的图象关系
例4.画出函数 y=3sin(2x+π/3),x∈R的简图
解:
列表
x 2x+3



6

12

3
7 12 3
2

5 6

0

2
¦ 0

2¦ ¦ 0
3sin(2x+ 3 )
3
0 3
-3
y
对y=sinx的图象经 过怎样的移动可以 得到上题中数图象？
y =sin(ωx +φ )
伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)
y=Asin(ωx+φ)
或:
1
y =sinx

各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到原来的 倍
(纵标坐标不变)
y =sinωx
Байду номын сангаас
各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0
各点纵坐标伸长(A>1
右移)

函数y=sin(x+φ)图象


4
1
O 1

4

3
2
x
1 O


3
2
x
1
y sin( x 的图象，可以看作是把正弦 )
曲线
y sin x 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行移 动| |个单位长度而得到.这种变换称为
平移变换。
倍 来
y A sin x （振幅变换）
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸 长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来的A 倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ， x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A，最小值 为-A.这种变换称为振幅变换 。
2.函数 y=sinωx与y=sinx的图象的联系
先把函数 y sin x的图象向左（右）平移| y sin( x 的图 ) |个单位长度，得到函数 象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的 1 y sin( x ) 倍，得到函数 的图象；然后 把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍， y A sin( x ) 就得到函数 的图象.
7 12

5 6



6
0

12

3
x
例4.画出函数 y = 3sin(2x+π/3)的简图
解:y = sinx
3
各点向左平移

个单位
y sin( x

) 2 3
3倍
各点 ( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的
1
y sin( 2 x
y=3sin(1/2x- π/6)
2. 将y=2sin2x的图象作怎样的变换可得 到y=2sin(2x-π/4),的图象?
解:向右平移

8
个单位
3. 将y=3sin(3x +π/4)的图象向__右_____平移 ______个单位便可得到y=2sin3x的图象. 4.已知函数y=2sin(2x +π/3)的图象每点的纵坐 标伸长到原来的2倍后,再将每点向左平移 个单位,然后再将所得图象上每一点的横坐标 6 伸长到原来的3倍,求所得图象的解析式.
1、函数 y=Asinx与y=sinx的图象的联系
例1：在同一坐标系，作函数y=2sinx和y=
1 sinx的图象，并指出它们的图象与y=sinx的关系 2
解:列表： x
sin x 2 sin x
0 0
0
2

3 2
2 0
0
1
0
0
1
2
2
1 sin x 2
0
1 2
0
1 2
0
描点、作图： y 2 1 O

练习：
1. 要得到y=3sin(x/2 +π/6),的图象只要将 y=sinx 作怎样的平移?
解:y=sinx

6
向右平移

个单位
y=sin(x- π/6)
3倍

横坐标伸长为原来的
2倍
y=sin(1/2x- π/6)

纵坐标伸长为原来的
上面我们学习了函数 y＝Asin(x+) 的图象可由 y＝sinx 图象 平移变换→周期变换→振幅变换 的顺序而得到，若按下列顺序可以得到 y＝Asin(x+)的图象吗？ ⑴ 周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵ 振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶ 平移变换→振幅变换→周期变换
或:y = sinx

y
3
1
0
6
7 12

5 6


12


2
2
x
函数y = Asin(ωx+φ),x∈R的图象可由y=sinx经过 如下变换得到:
y =sinx
1
各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0 右移)
个单位
y =sin(x+φ )
各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到
各点纵坐标
原来的 倍(纵标坐标不变)
个单位
y =sin(ωx +φ )
或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)
y=Asin(ωx+φ)
例 1、 画 出 函 数 y 2 sin(
1 3
x

6
)的 图 像
y sin x
将图像向右平移

6
个单位
y sin ( x

6
)
将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变 3 x y sin( ) 3 6
将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
y 2 sin( x 3

6
)
例 1、 画 出 函 数 y 2 sin(
1 3
x

6
)的 图 像
y sin x
将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
y 2 sin x
将横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变 3
y 2 sin
x 3
将图像向右平移 个单位 2 x y 2 sin( ) 3 6
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象
可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的
横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的
1

倍(纵坐标不变) 而得到的。
这种变换称为周期变换
3.函数y=sin(x+φ ) 与y=sinx的图象的联系
) 例3：在同一坐标系内，作函数 3 和 y sin( x 4 ) 图 象，并指出它们的图 象与y=sinx的关系。 y sin( x

) y 3 sin( 2 x ) 3 3 y
各点 ( 横坐标不变 ) 纵坐标伸长到原来的

3
1

3
5

12

0
6

2
5 6


3
2
x
) 一般地，函数 y A sin( x （A＞0， y sin x ＞0）的图象，可以由函数 的 图象经过怎样的变换而得到？