刚架结构的有限元法

{M z1

6EI

L2


w1


4EI L



z1


6EI L2


w2

2EI L



z2
M z2

6EI

L2


w1


2EI
L



z1


6EI L2


w2


4EI
L

V

单元刚度矩阵
11
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空间梁单元的定向
梁单元定向目的—确定梁的主惯性轴 梁单元定向的步骤
12
z2 1 2 2 L 33 L2
表达成矩阵形式
0 1
12 3



0
3 / L2

2/
L3
0 1 2/ L 1/ L2
0 0 3/ L 2/L
0 w1
0 1/ L 1/ L2

弹性矩阵 几何矩阵
求节点力和节点位移
积分
Wintdv BT e* T DB e dv Wext e* T F e
V
V
节点虚位移是任意的，因此
F
e


BT

D
Bdv


e


Fy1 M z1 Fy2
M z2


EI L3
12


6L
12

6L
6L 4L2 6L 2L2
12 6L 12 6L
F e K e e
6L w1
2L2

6L
4L2


wz21 z2

直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元在整体坐标下的形式
[Ke ] [T ]T [K e ][T ]
直接刚度法推导有限元格式
从单元受力（力矩）和位移之间的关系导出
3
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虚功原理推导梁单元有限元格式
步骤
写出节点的位移、节点力向量 选择适当的位移函数 求单元中任意点的位移和节点位移关系 求单元应变——单元位移—节点位移的关系 求应力——应变—节点位移间的关系 求节点力与节点位移关系 节点位移与应力关系

wz21 z2


A


6
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单元中任一点的位移和节点位移关系
位移模式 形函数
Leabharlann Baidu{ (x, y)} [ f (x, y)]{} A1 { e}
单元上任 意点位移
节点位移
求单元应变
应变是位移函数的微分

(x,
y)
求节点力和节点位移
虚位移原理应用于弹性体
在外力作用下，处于平衡状态的弹性体，当发生约 束允许的任意微小虚位移时，外力在虚位移上所做 的功等于虚位移发生时引起的弹性体的应变能增量， 即整个体积内应力在虚应变上所做的功 U W 0
求节点力和节点位移
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求节点力和节点位移
z2
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求节点力和节点位移
虚功原理
系统保持平衡的充要条件是外力在虚位移上所做的 功等于相应内力在虚位移上所做的功
刚体虚位移原理 弹性体虚位移原理
求节点力和节点位移
虚位移原理应用于刚体
平衡关系
PA A PB B 0
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z2
位移法简介
i EI / l 2
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直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元静力平衡关系式
Fy1

Fy2

( M z1
M z2 L
)

(12LE3 I
) w1

(
6EI L2
) z1
(12LE3 I
) w2

(
6EI L2
) z2
矩阵形式表示的节点力和变形表达式

(
x,
y)
w z


1 0
x 1
x2 2x
f (x, y)
0
3
x3 x
2


12

3
单元中任一点的位移和节点位移关系
已知单元节点处的位移值
x 0, w1 0;z1 1 x L, w2 0 1 L 2 L2 3 L3
单元分析
单元分析过程
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选择位移函数
有限元法中，载荷的移置、应力矩阵和刚度矩 阵的建立依赖于位移函数
位移函数满足的条件
位移函数必须能反映单元的刚体位移 位移函数必须能反映单元的常量应变 位移函数应尽量反映位移的连续性
反映刚体位移和常量应变是必要条件，反映相 邻单元的位移连续性是充分条件
d 2w dx2

2 2

6
3

x
以矩阵形式表达
0
(x, y) 0
0
2

6

x
12

3
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求单元应变
节点位移表示的单元应变
几何矩阵
(x, y) C B e
单元应变
节点位移
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节点虚位移
外力虚功
向量
Wext

e* 1
T

F1e

e* 2
T

F2e

e* n
T

Fne
e* T
Fe
内力虚功
Wint *(x, y) T (x, y) BT e* T DB e
求单元应力
应力应变关系
(x, y) D(x, y) DB e
以矩阵形式表达

(x,
y)
EI


6 L2

12 x L3
4 L

6x L2

6 L2

12 x L3
w1
2 L

6x L2


wz21

选择位移函数
位移函数表达式
通过节点位移表达单元上任意点的位移

(
x,
y)

w z

w 0 1 x 2 x2 3 x3
z

dw dx
1

22
x
33
x2
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选择位移函数
位移函数表达式
以矩阵形式表示
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刚架结构的有限元法
刚架结构的有限元法
直接刚度法推导梁单元有限元格式 位移函数—虚功原理推导梁单元有限元格式
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2012/5/24
直接刚度法推导梁单元有限元格式
梁单元 梁单元定义—两端刚性连接的杆件 梁单元和杆单元的区别 梁单元节点力和位移 梁单元力和变形关系