初高中数学衔接精讲精练(第二讲 因式分解)
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解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5
2 1 2 4
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).
二、十字相乘法
1． x ( p q) x pq 型的因式分解
2
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x 2 ( p q ) x pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q ) ( x p )( x q )
一、公式法(立方和、立方差公式)
维度A
平方差公式：a
2
b (a b)(a b)
2
完全平方公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
a 2ab b (a b)
2 2
2
维度A
乘法公式： 三个数和的平方公式：
(a b c) a b c 2ab 2bc 2ac
2 2 2 2
因式分解公式：
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(x－a)
2
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
三个数和的平方公式：
a b c 2ab 2bc 2ac (a b c)
2 2 2
2
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
一、公式法(立方和、立方差公式)
【例2】因式分解： (1) x 2 7 x 6
(2)x 13 x 36
2
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6). (2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
c1 ，这里按 c2
2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ，那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例3】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5
2 1 2 4
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).
二、十字相乘法
1． x ( p q) x pq 型的因式分解
2
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x 2 ( p q ) x pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q ) ( x p )( x q )
一、公式法(立方和、立方差公式)
维度A
平方差公式：a
2
b (a b)(a b)
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完全平方公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
a 2ab b (a b)
2 2
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维度A
乘法公式： 三个数和的平方公式：
(a b c) a b c 2ab 2bc 2ac
2 2 2 2
因式分解公式：
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(x－a)
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三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
三个数和的平方公式：
a b c 2ab 2bc 2ac (a b c)
2 2 2
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立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
一、公式法(立方和、立方差公式)
【例2】因式分解： (1) x 2 7 x 6
(2)x 13 x 36
2
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6). (2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
c1 ，这里按 c2
2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ，那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例3】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2