数学物理方程考试试题及解答
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数学物理方程试题（一）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为
x 2cos 。则其定解条件是
2. 方程
03=∂∂-∂∂x
u t u 的通解为 3.已知边值问题⎩⎨⎧===+0
)()0(0
)()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n =
4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为
二.单项选择题（每小题5分，共15分）
1. 拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂y
u
x u 的一个解是（ ）
（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=
（C ）2
21),(y x y x u +=
（D ）22ln
),(y x y x u +=
2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( )
（A ）ρc t x F x u a t u
),(222
22+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x
u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x
F a t F ),(22
2+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∂∂=∂∂=∂∂=x
aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0
2
2
222
( 其中C
L a
1
2
=
)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω
三. 解下列问题
1.
( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪
⎨⎧==∂∂+∂∂x e
x u y
u x u 38)0,(03的解 2.
( 本题8分)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u
3 . ( 本题8分) 求问题 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∂∂=∂∂=∂∂=2
222223,2sin )0,(x t u x x u x u
a t u t 的解
四. 用适当的方法解下列问题
1.
( 本题8分) 解问题 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=∂∂=∂∂22
2
2321)0,(x x x u x u a t u 2.
( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==20
22
0222222
2226,32)(y t u xz y u z
u y u x u a t u t t 五． ( 本题10分)解混合问题： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(2
2
2 六．( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：
⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=x
t u x x x u t u t u x u a t
u t 2sin 3,
)(2)0,(0),(),0(0
2222
2ππ
一. 单项选择题（每小题4分，共20分） 1.（D ） 2.（B ） 3. （D ） 4. （D ） 二. 填空题（每空4分，共24分）
1. 12,2x y C x y C +=+=
2.0(0,)(2,)0(,0),2t u t u t u x x x t π===⎧⎪
∂
⎨==⎪∂⎩
, 3. (,)(32)u x t x f x y =++ ，
4.)(x X n =cos
,(0,1,2,3,)2
n n x
B n π= 5.通解为22
3(,)()()2
u x t x y f x g y =
++ 三. 解下列问题 ( 本题7分)
1．求问题 ⎪⎩
⎪
⎨⎧==∂∂+∂∂x e x u y
u x u 38)0,(03的解 解：设3(,)8x m y u x t e += （2分）
代入方程，33(8)33(8)0x m y
x m y e
e m ++⨯+⋅⨯=
330,1m m +==- （6分）
所以解为
3(,)8x y u x t e -= （7分）
2．
( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∂∂=∂∂=∂∂=2
222223,2sin )0,(x t u x x u x u a t u t 的解
解：由达朗贝尔公式，得
2
11(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d a
ξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）
四. 用适当的方法解下列问题
1. ( 本题7分) 解问题 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=∂∂=∂∂22
2
2321)0,(x x x u x u a t u 解：设2(,)
123u x t x x At =-++