离散数学11

判断； 由一个或几个判断推出另一判断的思维形式，就是推理。



研究推理有很多方法，用数学方法来研究推理的规律称为数 理逻辑，即通过引入表意符号研究推理，因此，数理逻辑又 名符号逻辑。 现代数理逻辑可分为证明论、模型论、递归函数论、公理化 集合论等 命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑最基本的内容。命题逻辑， 也称命题演算，记为Ls。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础， 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。
（1）、（2）和 （5）是命题， （2）对于每一个正整数n存在一个大于n的素数。 真值为T。 （3）和（4） （3）煤是白的。 是命题，真值 （4）雪是黑的。 为F。 （6）是命题，有确定真值， （5）我学英语，或者我学日语。 只是目前还不知道。 （6）在宇宙中地球是唯一有生命的地球。 （7）是命题，在二进制中为T，在十进制中为F， 可根据上下文确定其真假 。 （7）1+101=110
P T F
┐P F T
命题P与其否定 ┐P的关系如表 1-2.1所示。

“否定”的意义仅是修改了命题的内容，它是一 个一元运算，我们仍把它看作为联结词。 自然语言中的“不”、“无”、“没有”等词在 命题演算中常与“非”相当。 例：P：今天下雨。 ┐P：今天不下雨。 ┐P：今天无雨。 ┐P：今天没有下雨。 P：上海是一个大城市。 ┐P：上海不是一个大城市。 ┐P：上海是一个不大的城市。 练习：P：一个世纪是一百年。写出┐P。
的科学。逻辑学分为辩证逻缉与形式逻 辑两种。
辩证逻缉是以辩证法认识论的世界观为基
础的逻辑学; 形式逻辑是对思维的形式结构和规律进行 研究的类似于语法的一门工具性学科。
第一篇

数理逻辑
思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构和联系， 其中:
概念是思维的基本单位; 通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答，这就是


命题常量
命题变元 原子变元
wenku.baidu.com
一个命题标识符表示确定的命题，该标识符称作命题常量。
题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就成为命题变元。 当命题变元表示原子命题时，该变元称原子变元。
§1—2 联结词



在数理逻辑中，复合命题是由原子命题与逻辑联结 词组合而成，命题的连接方式叫做命题联结词或命 题运算符。 联结词是复合命题中的重要组成部分，为了便于书 写和进行推演，必须对联结词作出明确规定并符号 化。 我们主要讨论下述五种联结词（亦称真值联结词， 逻辑联结词或逻辑运算符），借助它们组成复合命 题。
练习：指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题， 指出它的真值。（见教材第8页习题（1）） a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 b）计算机有空吗？ c）明天我去看电影。 d）请勿随地吐痰！ e）不存在最大质数。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 g）9+5≤12 h）x=3 i）我们要努力学习。
四、参考网站
哈尔滨理工大学离散数学精品课网站 http://www1.hrbust.edu.cn/xueyuan/com/jpklssx/in dex.htm 西南交通大学离散数学精品课程网站
http://jp.em.swjtu.edu.cn/courselist/lssx/Cou rse/Index.htm
三、教材及主要参考书
教材：左孝凌等编著，离散数学，上海科学技术 出版社，1982年9月第1版。 参考书：王元元，张桂芸编著，离散数学导论， 科学出版社，2002年2月第一版。 [美]Richard Johnsonbaugh 著，王孝喜等译，离 散数学，第4版，电子工业出版社，1999年11月第1 版。 [美]Kenneth H,Rosen 著，袁崇义，屈婉玲等译， 离散数学及其应用，第4版，机械工业出版社，2002 年1月第1版。
三、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。 在数理逻辑中，使用大写字母，或带下标的大写字 母，或用方括号括起的数字表示命题。 例：P：今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。 A1：今天下雨。 [12]：今天下雨。 A1 、 [12]也是命题标识符。
三、命题的表示法
解：
a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 是命题，真 值为T。 b）计算机有空吗？ 疑问句，不是命题。 c）明天我去看电影。 是命题，真值要根据具体情况确定。 d）请勿随地吐痰！ 祈使句，不是命题。 e）不存在最大质数。 是命题，真值为T。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 是命题，真值为T。 g）9+5≤12 是命题，真值为F。 h）x=3 不是命题，x=3的真假由x确定，当x取3时句子为 真，当x取其他值时句子为假。 i）我们要努力学习。 祈使句，不是命题。
3、分类 命题有两种类型：原子命题和复合命题
原子命题：不能分解为更简单的陈述句。
复合（分子）命题：由联结词、标点符号和原
子命题复合构成的命题。
下面的命题中，哪些是原子命题，哪些是复 合命题：
（1）能整除7的正整数只有1和7本身。
（2）对于每一个正整数n存在一个大于n的素数。
（3）煤是白的。 （4）雪是黑的。 （5）我学英语，或者我学日语。 （6）在宇宙中地球是唯一有生命的地球。 （7）1+101=110
2、真值：命题所表达的判断结果称为命题的 真值（值）。

注：
真值只有“真”和“假”两种，记作True（真）
和False（假），分别用符号T和F表示。 由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值 逻辑。 命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主 观决定的。
下面的哪些语句是命题，如果是命题，指出它的真值：
教学要求:
1.准备作业本（16开）：要求作业写清日
期并且抄题再做解答。 2.课堂上带好练习纸，做好课堂练习。 3.做好复习、预习。 4.做好出勤。
课代表
计算机08－1： 计算机08－2：

不算是问题的问题：
学了一年的计算机专业， 大家感受如何？
一、课程简介 课程名称：离散数学 英文名称：Discrete Mathematics 离散数学：离散数学是现代数学的一个重 要分支，是计算机科学的核心课程。以研 究离散量的结构和相互间的关系为主要目 标，其研究对象是有限个或无限个元素。 离散数学与计算机科学中的数据结构、操 作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计 、系统结构、数据库原理等课程紧密相关 。是一门重要的基础课程。
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻 辑中，使用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括 起的数字表示命题。 2、命题常量：一个命题标识符如表示确定的命题，就称为命 题常量。 3、命题变元：如果命题标识符只表示任意命题的位置标志， 就称为命题变元。 命题变元可以表示任意命题，所以它不能确定真值，故命题 变元不是命题。当命题变元用一个特定命题取代时，才能确 定真值，这称为对命题变元进行指派。 4、原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为原子 变元。
北京大学离散数学精品课程网站
www.jpk.pku.edu/pkujpk/course/lssx/index.htm
离 散 数 学
Discrete Mathematics
曾庆田
Email:qtzeng@163.com
山东科技大学 信息科学与工程学院 二00九年九月
第一篇
数理逻辑
逻缉学是一门研究思维形式及思维规律
四、小结
学习本节要掌握下列概念：


命题
能表达判断的语句，并具有确定真值的陈述句。
真值 一个命题总具有一个“值”，称为真值。真值只有真和假两种，分别记 为T和F。 原子命题 不能分解为更简单的陈述句，称为原子命题。 复合命题 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题，称为复合命题。 复合命题亦称分子命题。 命题标识符 表示命题的符号。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
曾庆田
Email:qtzeng@163.com
山东科技大学 信息科学与工程学院 二00九年九月
联系方法:
授课教师：曾庆田
Email: qtzeng@163.com 办公室：J13-226 分布式智能系统实验室 公用邮箱：dismath@163.com 密码：c…123
为什么要学习离散数学？
20世纪，计算机学科及其它学科为应用数学 提出了越来越多的问题，而几乎所有这些问题都具 有离散的性质，亦具有有限结构，在解决和转换这 些问题的过程中应用数学的新学科——离散数学诞 生和发展了。 什么是离散的性质呢？简单地说，是问题本 身具有离散的结构，它们涉及的函数是定义在离散 的点而不是连续的点的集合上，即它们涉及离散的 量，因而需要离散地求解这些问题。
§1—1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: 陈述句：述说一件事情的句子，句末用句号。 (1)地球外存在智慧生物。 祈使句：要求或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (2)1＋1=10。 句子，句末用句号或感叹号。 (3)逻辑是枯燥无味的。 疑问句：提出问题的句子，句末用问号。 (4)你今年暑假去旅行吗？（疑问句） 感叹句：带有浓厚感情的句子，句末用感叹号。 (5)克里特岛人说：“克里特岛人都是说谎话者”。 （悖论） 悖：相反。悖论：自相矛盾的陈述。
数字计算机本身就是点量的机器，它仅涉及整 数，而离散数学恰好提供点量的模型，于是它成为 计算机学科的一个极其有用且容易理解的工具。
为什么要学习离散数学？
李开复：给中国学生的第四封信——大学四年应该这么度过 数学是理工科学生必备的基础。很多学生在高中时认为数学是 最难学的，到了大学里，一旦发现本专业对数学的要求不高， 就会彻底放松对数学知识的学习，而且他们看不出数学知识 有什么现实的应用或就业前景。但大家不要忘记，绝大多数 理工科专业的知识体系都建立在数学的基石之上。例如，要 想学好计算机工程专业，那至少要把离散数学（包括集合论、 图论、数理逻辑等）、线性代数、概率统计和数学分析学好； 要想进一步攻读计算机科学专业的硕士或博士学位，可能还 需要更高的数学素养。同时，数学也是人类几千年积累的智 慧结晶，学习数学知识可以培养和训练人的思维能力。
教学目的：
通过该课程的学习，培养和锻炼抽象思维 和缜密概括的能力，为专业基础课和专业课的 学习打下坚实的理论基础。
总学时： 计算机科学与技术 70学时
二、学习要领
概念（正确）： 必须掌握好离散数学中大量的概念 判断（准确）： 根据概念对事物的属性进行判断 推理（可靠）：
根据多个判断推出一个新的判断
离散数学与计算机的关系 第一部分 数理逻辑 计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物 第二部分 集合论
集合：一种重要的数据结构 关系：关系数据库的理论基础 函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分
第三部分 代数系统
计算机编码和纠错码理论 数字逻辑设计基础 计算机使用的各种运算
第四部分 图论
数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础
教学内容：
数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数 、图论和计算机中的应用共五部分。
第一篇 数理逻辑
第六章 格和布尔代数
第四篇 图 论
第一章 命题逻辑
第二章 谓词逻辑
第二篇 集合论
第七章 图论
第五篇 应用
第三章 集合与关系 第四章 函数
第三篇 代数系统
第八章 形式语言与自动机
第五章 代数结构
第九章 纠错码初步
（1）能整除7的正整数只有1和7本身。
（8）买两张星期六的电影票。（祈使句） （9）全体立正！（祈使句） （10）明天是否开会？（疑问句） （11）天气多好啊！（感叹句） 祈使句、疑问句、感叹句 等都不能作为命题，悖论 （12）我正在说谎。（悖论）
无真值，也不能作为命题。 语句（8）—（12）都不 是命题。
1.定义 定义1-2.1 设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作 ┐P。若P为T，┐P为F；若P为F，┐P为T。 联结词“┐”表示命题的否定，称为否定联结词或否定词， 读作“非”或“not”。否定联结词有时亦可记作“ˉ”。 2.真值表
表1-2.1
（1）否定（Negation） （一元联结词）