自相关函数的估计
eviews-4.自相关解析
三、序列相关性的后果
计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS 法估计模型参数，则OLS估计量仍然是线性无偏估计量， 但是会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效
因为，在有效性证明中利用了 E(UU’)=2I 即同方差性和无序列相关假设。
证明：
ˆ k t t 1 1
ˆ ) E[ ˆ E( ˆ )]2 E( ˆ )2 var( 1 1 1 1 1
~ Y (Yˆ )ˆ e e i Yi (iY0ls)
t t
t ols
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。
自相关的检验方法
检验自相关的方法也可以分为两种：一种是图示 法，另一种是检验方法。
（一）图示法
由于回归残差 e 可以作为随机项 u t 的估计量， ut t 的性质可以从 e 的性质中反映出来。我们可以通 t 过观察残差是否存在自相关来判断随机项是否存 在自相关。
ts
经济变量以正相关居多， 所以此项多为正数
ˆ ˆ) var( ) var( 1 1
2、变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，统计量是建立在参 数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差 项具有同方差性和无序列相关时才能成立。
如果存在序列相关，参数估计量的方差 出现偏误（偏大或偏小），t检验就失 去意义。其他检验也是如此。
称ut具有一阶自回归形式。 比如:
ut 1ut 1 vt
满足经典假设
由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中， 因此，本节用下标t代表i。
ut 1ut 1 vt
ˆ1
u u
均值、方差、自相关函数的估计
2
{x(t)
E[x(t)]}2
f
( )d
0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d
1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d
2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)
E{[
2 x
E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2
N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn
1 N
mx2
N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )
1 N
mx2
N N
1
m2
x
m2x
1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
基于序列自相关的信道估计与均衡算法FPGA实现
基于序列自相关的信道估计与均衡算法FPGA实现序列自相关技术是一种用于估计信道响应的方法，它通过匹配接收信号与已知的发送信号序列来计算信道的冲激响应。
首先，发送端将发送信号通过信道发送到接收端，在接收端接收到信号后，通过采样和量化等处理得到接收信号的离散序列。
接下来，根据先前已知的发送信号序列和接收信号序列，利用自相关函数计算信道的响应，进而估计信道的冲激响应。
在FPGA中实现基于序列自相关的信道估计算法需要以下几个关键步骤：1.接收信号的采样和量化：在FPGA中，使用适当的模数转换器对接收信号进行采样和量化，以将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。
2.发送信号序列的存储：在FPGA中，需要将已知的发送信号序列存储在适当的存储器中，以便与接收信号进行匹配。
3.自相关计算：通过在FPGA中实现自相关函数的计算来匹配接收信号和发送信号序列。
自相关函数计算可以采用快速傅里叶变换（FFT）等算法来实现，以提高计算效率。
4.信道估计：根据自相关函数的计算结果，利用估计算法（如最小二乘法）来计算信道的冲激响应。
5.信道均衡：根据信道的冲激响应，使用等化器对接收信号进行均衡处理，以消除信道引起的失真和噪声。
上述步骤在FPGA中的实现需要适当的硬件设计和编程。
FPGA提供了灵活和可编程的硬件平台，能够高效地实现上述算法。
通过合理的硬件设计和优化，可以实现实时的信道估计和均衡，并满足实际通信系统对延迟和吞吐量的需求。
综上所述，基于序列自相关的信道估计与均衡算法能够有效提高数字通信系统的性能。
在FPGA中实现该算法需要进行适当的硬件设计和编程，以实现信号的采样和量化、发送信号序列的存储、自相关计算、信道估计和信道均衡等关键步骤。
通过合理的硬件设计和优化，可以实现实时的信道估计与均衡，并满足实际通信系统的需求。
实验三、随机信号的功率谱估计方法
随机信号的功率谱估计方法一、 实验目的1、 利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计2、 观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次 数等谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。
3、 学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。
4、 体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。
二、 实验原理假设信号x(n)为平稳随机过程，其自相关函数定义为(3-∅（m ）≜E{x ∗(n)x(n +m)}1)其中E 表示取数学期望，*表示共轭运算。
根据定义，x (n )的功率谱密度与()P ω自相关序列存在下面关系：()m φ (3-2)()()j mm P m eωωφ∞-=-∞=∑ (3-3)1()()2j m m P e d πωπφωωπ-=⎰但是，实际中我们很难得到准确的自相关序列，只能通过随机信号的()m φ一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。
目前，常用的线性谱估计方法有两种，即相关函数法和周期图方法，本实验对这两种方法分别予以讨论。
1． 自相关函数法假设我们已知随机信号x(n)的M 长的自相关序列{}，利用自相关函数法()m φ可以得到x(n)的功率谱估计：(3-4)*11()()()L mi m x i x i m L mφ-Λ==+-∑11ˆˆ()()M j m m M Pm e ωωφ--=-+=∑利用窗函数，上式又可表达为(3-5)ˆˆ()()()Rj m Mm PWm m e ωωφ∞-=-∞=∑其中，为矩形窗函数，定义为()RMW m (3-6)1()0R Mm MW m m M<⎧=⎨≥⎩因此，实际上是真正功率谱与窗函数傅立叶变换的卷积。
ˆ()P ω()P ω()R M W m 矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣。
为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为(3-7)0.540.46cos ()0HM m Mm W m Mm Mπ⎧<+⎪=⎨≥⎪⎩这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是，此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。
独立同分布过程的自相关函数
独立同分布过程的自相关函数
自相关函数是描述随机过程中变量自身与不同时刻的相关性的重要工具。
它可以帮助我们了解变量的演化规律以及预测未来的走势。
在独立同分布过程中，自相关函数的特点是变量在不同时刻之间没有相关性，即过程中的每个时刻都是相互独立的。
假设我们有一个独立同分布的过程，代表着每天的气温变化。
我们可以使用自相关函数来分析不同时间点之间的温度相关性。
以某个特定的日期为例，我们可以计算该日期与之前每一天的温度之间的相关性。
如果自相关函数的值接近于零，那么说明该日期与之前的温度变化没有明显的关联。
相反，如果自相关函数的值接近于一，那么说明该日期与之前的温度变化高度相关。
通过分析自相关函数，我们可以发现一些有趣的现象。
例如，当自相关函数的值逐渐减小并趋于零时，说明气温变化趋于随机，没有明显的周期性变化。
而当自相关函数呈现出明显的周期性变化时，说明气温变化存在一定的周期性规律。
除了气温变化，自相关函数在许多领域都有广泛的应用。
在金融领域中，我们可以使用自相关函数来分析股票价格的波动性和相关性。
在信号处理中，自相关函数可以用来检测信号中的周期性成分。
在天文学中，自相关函数可以帮助我们了解星体的运动规律。
总的来说，自相关函数是研究随机过程中变量自身与不同时刻的相
关性的重要工具。
通过分析自相关函数，我们可以揭示变量的演化规律和周期性变化，从而更好地理解和预测随机过程的行为。
自相关函数的多普勒信号频率估计算法
自相关函数的多普勒信号频率估计算法苏耀;刘钧;李艳萍【摘要】For the low intensity of shift signal and low signal-to-noise ratio in laser Doppler vibrometer system,a normalized autocorrelation function method for frequency estimation,on the basis of the autocorrelation function,is put forward.Through the normalization of autocorrelation function to improve the robustness of the algorithm,and to evaluate the accuracy of frequency estimation.The laser Doppler velocity interferometer is used to measure the vibration of a tuning fork,and this algorithm is used to estimate the frequency of Doppler signal.The simulation results show that the signal frequency curve calculated by the algorithm and the tuning fork speed curve are consistent with the nominal frequency of the tuning fork.When the amplitude of the Doppler signal and the signal to noise ratio change,normalized autocorrelation function method has strong robustness.It has high precision for Doppler frequency estimation and strong toleration for noise.The frequency estimation accuracy of the algorithm is affected by the change rate of the signal frequency.While change rate of the signal frequency is smaller,the frequency estimation accuracy is higher.%针对激光多普勒测振系统中多普勒信号强度弱、信噪比低的特点,在自相关函数法的基础上,提出了用于频率估计的归一化自相关函数法.通过对自相关函数归一化以提高算法的鲁棒性,同时对频率估计的精度进行评估.采用激光多普勒速度干涉仪测量音叉振动,使用该算法对多普勒信号进行频率估计.实验结果表明:信号频率曲线和音叉速度曲线与音叉的标称频率相符,在多普勒信号的幅值和信噪比变化时,归一化自相关函数检测法具有极强的鲁棒性,用于多普勒频率估计时精度高,对噪声的容忍能力较强.算法的频率估计精度受信号频率变化率影响,信号频率变化率越小,频率估计精度越高.【期刊名称】《西安工业大学学报》【年(卷),期】2017(037)010【总页数】5页(P711-715)【关键词】激光多普勒频移信号;自相关函数检测法;自相关函数归一化;信噪比【作者】苏耀;刘钧;李艳萍【作者单位】西安工业大学光电工程学院,西安710021;西安工业大学光电工程学院,西安710021;西安工业大学光电工程学院,西安710021【正文语种】中文【中图分类】TN914激光多普勒测振系统是通过运动物体的多普勒频移来获得目标的振动速度，以其测量精度高，空间分辨率高，动态响应快及非接触测量等优点在航空、航天等领域得到了广泛应用和快速发展.激光多普勒测振系统主要依据光的多普勒效应和光外差检测技术，使得参考光和信号光发生干涉，最终通过光电探测器得到多普勒信号.由于有效漫反射光很弱及外界杂散光等因素影响，使得激光多普勒信号强度弱，信噪比低.因此，激光多普勒信号的处理在激光多普勒测振设计中占有重要地位.目前，多普勒信号处理常见的方法是频谱分析法、小波变换法和自相关函数检测法等.文献[1]应用频谱分析技术进行多普勒信号的处理，先对原始信号进行细分，再对细分后的频谱进行分析，能够提高信号的频谱分辨率.文献[2-3]给出了基于小波变换检测多普勒信号的自适应阈值设计.文献[4]采用自适应阈值检测来实现激光多普勒测速系统的频率计算，此算法需设计带阻滤波器对信号进行滤波，使信号和噪声在频谱中区分明显.文献[5]中，在对信号处理精度要求不高时，快速傅里叶变换与自相关函数检测法都可以满足信号处理的要求.自相关函数检测法是基于自相关函数具有周期性的特点来实现信号周期或频率的估计.文献[6]为自相关函数在基因周期检测中的应用.文献[7]在自相关函数的基础上提出了消除相位模糊的方法，以对信噪比较高的正弦信号进行频率估计.针对多普勒信号强度弱，信噪比低的特点，以上几种多普勒信号处理算法中，频谱分析法和小波变换法在频域内对信号进行分析时，噪声的频谱很宽，严重影响信号处理的精度[1-2,5].由于噪声没有相关性，噪声的自相关函数为零，因此，自相关函数检测法对噪声有很好的容忍度[5].多普勒频移信号为非平稳信号，采用自相关函数法进行处理时，在多普勒信号周期性较差的区域会出现频率估计精度低甚至频率估计错误，为解决这一问题，本文将对自相关函数检测法做出优化.本文对自相关系数进行归一化，使自相关函数窗口长度可自适应，且准确得到自相关函数峰值对应的点，从而计算出多普勒频移信号的周期.同时通过归一化自相关系数得到频率估计的精度因子，对频率检测的精度进行评估.采用激光多普勒速度干涉仪对音叉的振动进行测量，多普勒信号使用归一化自相关函数算法进行频率提取，得到音叉振动的速度和位移.1 自相关函数检测法1.1 自相关函数法原理自相关函数是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度.多普勒信号为非稳定的数字信号，采用自相关函数对信号处理时，离散信号在k点的自相关函数R(k)的定义为(1)式中：n为多普勒信号窗口长度；x(k+i)为所截取的多普勒信号；τ为延时.多普勒信号x(i)具有周期性，其自相关函数也具有周期性，且两者周期性相同.在信号x(i)周期的整数倍上，它的自相关函数可以达到最大值[6].1.2 自相关函数实现频率检测流程传统自相关函数法提取多普勒信号频率的基本流程如图1所示.图1 自相关函数法提取信号频率的基本流程Fig.1 The basic process of extracting signal frequency by autocorrelation function detection1) 原始信号来自光电探测器输出,表征激光干涉空间某一点处光强随时间的变化；2) 在对输入的多普勒信号进行分帧处理时，每段应至少包含两个以上的周期；3) 计算出每段多普勒信号的自相关函数，对该函数曲线进行分析，找出自相关函数的第一个最大值；4) 根据自相关函数第一个峰值所对应的位置，估计出多普勒频移信号的周期，根据周期计算信号频率.2 多普勒信号频率计算多普勒效应是激光多普勒测速技术的重要理论基础,当光源和物体发生相对运动时,从物体散射回来的光会产生多普勒频移,频移量的大小与运动物体的速度、入射光和速度方向的夹角都有关系[8].激光多普勒效应的示意图如图2所示.图2 激光多普勒效应示意图Fig.2 The diagram of laser Doppler effect图2中，O为光源，Y为运动物体，P为观察者的位置.激光的频率为v，运动物体的速度为u，由于物体运动所产生的多普勒频移量可表示为(2)式中：c为光速;es为散射光的单位向量;eo为入射光单位向量.由式(2)可知,可以通过测量激光多普勒频移量的值来获得运动物体的速度信息.通过激光多普勒测振系统对音叉振动进行测量，所测得的多普勒频移信号如图3所示.该信号为非稳定信号，在不同的时段具有不同的幅值和信噪比.图 3 原始多普勒频移信号Fig.3 Original Doppler frequency shift signal2.1 自相关函数曲线分析对输入的多普勒信号循环进行自相关函数计算，取其中一段的自相关函数曲线进行分析，如图4所示.从图4可以看出，自相关函数有多个极大值点，各峰值随着时间增加而逐渐减小.2.2 自相关函数归一化由式(1)可知,自相关函数的值和窗口长度及信号幅值有关，因此在检测自相关函数的第一个极值点时，无法预估极值点的大小，容易造成误判.本文通过对自相关函数归一化来解决这一问题，使归一化的自相关函数和窗口长度及信号幅值无关，有助于更准确的检测到第一个极值点.图4 多普勒信号自相关函数曲线Fig.4 The curve of doppler signal autocorrelation function针对任意一段多普勒频移信号，其自相关函数归一化的基本过程为1) 计算多普勒信号的标准差，表达式为(3)其中E为信号的均值.多普勒信号作为随机信号处理时，其标准差表征了信号的大小，当信号为正弦信号时，其标准差与幅值A之间的关系为(4)2) 归一化自相关函数定义为(5)其中R(k)为自相关函数.当信号为正弦信号时，ak的取值范围为[0,1]，与信号幅值及窗口大小无关.理论上，对自相关函数归一化后，其最大值为1，而在算法实际应用中，由于原始多普勒频移信号为非平稳信号，在某些信号段(过零点处)周期性较差，因此,归一化值会随信号的周期性特征变化而小于1，多普勒频移信号频率估计的精度也会随之变化[9].归一化自相关函数的最大值越接近1，则频率估计准确度越高，所以可以把归一化自相关函数的最大值作为频率估计的精度因子，对频率估计得精度进行评估.2.3 自相关函数峰值估计在检测归一化自相关函数的第一个极大值点时，为了避免信号噪声带来的极值点误判，对极大值点的判定需满足两个条件：① 归一化自相关函数的值大于阈值0.6；② 相邻的3个点，归一化自相关函数满足不等式ak-1<ak>ak+13 多普勒信号频率估计实验使用激光多普勒速度干涉仪对音叉的振动进行测量，音叉的标称频率为440 Hz.多普勒信号使用数字示波器进行采集，采样率为2.5 MS·s-1.采用归一化自相关函数算法提取信号频率，首先进行信号分帧[10]，帧长度应大于200个点，保证包含两个周期以上的信号.当帧长度分别为240个点和280个点时，自相关函数曲线如图5和图6所示.图5 取样240个点的自相关函数曲线Fig.5 The curve of autocorrelation function of 240 sampling points对比两组实验结果，当帧长度不同时，自相关函数第一个峰值对应位置为74 μs.与帧长度无关.采用归一化自相关函数提取的频率曲线如图7所示，示波器采样率为2.5 MS·s-1，可计算出采样时间间隔为0.4×10-6s，在归一化自相关函数进行信号处理时，每帧取点个数为210，由图7可以看出，多普勒信号一个周期为27帧，计算出音叉振动的频率f=441 Hz,与音叉的标称值相符.由多普勒信号的频率计算音叉振动速度的计算表达式为v=fλ/2(6)式中：f为多普勒信号的频率；λ为激光波长.图6 取样280个点的自相关函数曲线Fig.6 The curve of autocorrelation function of 280 ampling points图7 多普勒频移信号频率图Fig.7 The curve of frequency for doppler frequency shift signal频率提取的精度因子曲线如图8所示，图8表明，在音叉振动到达最大位移时(速度最小)时，频率估计的精度因子最小，精度最差.引起该现象的原因为，在振动到达最大位移时，加速度最大，对应的多普勒信号的频率变化率最大，信号的周期性最差，导致频率估计的精度最差.图8 多普勒频移信号频率估计精度因子曲线图Fig.8 The curve of frequency estimation precision factor for Doppler frequency shift signal4 结论文中根据自相关函数检测信号周期的基本原理，对多普勒频移信号进行分段自相关函数计算，并对自相关函数曲线归一化，准确检测到自相关函数第一个极大值，从而计算出信号频率，并同时得到频率估计的精度因子.采用激光多普勒速度干涉仪和音叉进行了试验，采用归一化自相关函数对音叉振动的多普勒信号进行处理.得到了多普勒信号的频率曲线、音叉振动的速度曲线以及测量的精度因子.音叉振动频率的测量与音叉标称频率相符合，证明了算法的有效性.归一化自相关函数用于多普勒信号的频率提取,避免了在自相关函数极大值点检测时的误判，提高了算法的鲁棒性.在频率估计的同时，可以对频率估计的精度进行评估.该算法的频率估计精度由信号频率变化率决定，当信号的频率变化率较高时，算法的精度变差.参考文献：【相关文献】[1] 刘帆,金世龙.激光多普勒测速仪中的频谱分析技术[J].红外与激光工程,2012,41(6):1462.LIU Fan,JIN Shilong.Frequency Analysis Technology in Laser DopplerVelocimeter[J].Infrared and Laser Engineering,2012,41(6):1462.(in Chinese)[2] AYDIN N.DWT Based Adaptive Threshold Determination in Embolic Signal Detection[C]// Proceedings of the Second NASA/ESA Conference on Adaptive Hardware and Systems.Edinburgh:IEEE,2007:214.[3] GONCALVES I B,LEIRIA A,MOURA M M M.STFT or CWT for the Detection of Doppler Ultrasound Embolic Signals[J].International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2013, 29(9):964.[4] 聂延举,孟照魁,胡姝玲,等.激光多普勒测速仪的频域自适应阈值检测[J].红外与激光工程,2016,45(4): 0406002.NIE Yanju,MENG Zhaokui,HU Shuling,et al.Frequency Domain Adaptive Threshold Detection of Laser Doppler Velocimety[J].Infrared and LaserEngineering,2016,45(4):0406002.(in Chinese)[5] 汪涛,袁红,马泉之,等.激光多普勒信号的几种处理方法在Matlab中的实现[J].现代电子技术,2012,35(13):78.WANG Tao,YUAN Hong,MA Quanzhi,et al.Several Methods of Laser Doppler Signal Processing in Matlab[J].Modern Electronics Technique,2012,35(13):78.(in Chinese)[6] 赵萍.语音信号的自相关基音周期检测[J].上海电力学院学报,2011,27(3):297.ZHAO Ping.Autocorrelation Pitch Period Detection of Voice Signal[J].Journal of Shanghai University of Electric Power,2011,27(3):297.(in Chinese)[7] 黄超,索继东,于亮.基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法[J].电讯技术,2014,54(1):63. HUANG Chao,SUO Jidong,YU Liang.A Novel Algorithm for Estimation of Sinusoid Frequency Based on Argument of Sample Autocorrelation Function[J].TelecommunicationEngineering,2014,54(1):63.(in Chinese)[8] 沈熊.激光多普勒测速技术及应用[M ].北京:清华大学出版社,2004.SHEN ser Doppler Velocimetry and Application[M].Beijing:Tsinghua University Press,2004.(in Chinese)[9] 张晓威,李洋洋,孟凡明.分段自相关频率估计算法研究[J].计算机应用研究,2014,31(1):92. ZHANG Xiaowei,LI Yangyang,MENG Fanming.Research of Segmented Autocorrelation Frequency Estimation Algorithm[J].Application Research of Computers,2014,31(1):92.(in Chinese)[10] 黄超,索继东,于亮.扩展自相关的正弦信号频率估计算法[J].信号处理,2014,30(10):1229. HUANG Chao,SUO Jidong,YU Liang.Extended Autocorrelation Method for Frequency Estimating of a Sinusoid[J].Signal Processing,2014,30(10):1229.(in Chinese)。
Yule-Walker法和Burg法对信号进行谱估计的Matlab仿真
摘要：用现代谱估计中的AR 模型参数法中的Y ule-Walker 法和Burg 法对信号进行谱估计，并用MATLAB 进行信号的仿真，对于不同阶数下的信号进行对比分析。
关键词：谱估计；AR 模型参数法；Yule-Walker 法；Burg 法；MA TLAB （一）原理 1.Y ule-Walker 法：将一平稳随机信号x(n)表示成一个白噪声w(n)激励一个因果稳定的可逆系统H(z)产生的输出，再由已知的x(n)及其自相关函数()x R m 来估计H(z)的参数，由（1）式，可以用H （z ）的参数来表示x(n)的功率谱。
22()|()|jw jw x S e H e σ= （1） AR 模型又称为自回归模型，系统函数H （z ）只有极点没有零点,P 阶AR 模型的系统函数为：1()1pii i G H z a z -==+∑在白噪声激励下的输出：1()()()pi i x n a x n i Gw n ==--+∑令预测误差为e(n):1()()()()pi i e n Gw n x n a x n i ===+-∑尤勒-沃克方程：121(1),1,2,...,()(),0pi x i x pi x i a R m m p R m a R i G m ==⎧--=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩∑∑可表示为下面矩阵式形式：2121(0)(1)(2)()(1)(0)(1)(1)0(2)(1)(0)(2)0()(1)(2)(0)0x x x x x x x x x x x x p x x x x R R R R p a R R R R p a R R R R p a R p R p R p R σ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦只要已知或估计出p+1个自相关函数就可以由此方程解出p+1个模型参数{}21,2,,aa σ 。
Levinson-Durbin 递推算法是解尤勒-沃克方程的快速有效的算法，这种算法利用方程组系数矩阵所具有的一系列好的性质，使运算量大大减少。
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计是一种常用的信号处理方法，其中自相关法是其中一种常见的实现方式。
经典谱估计的主要目的是通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号与自身在不同时间点的相关性，通过对自相关函数进行合适的处理，可以得到信号的频谱信息。
自相关法的基本原理是利用信号的自相关函数来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号在不同时间点上的相关性，它可以通过计算信号与其自身在不同时间延迟下的乘积来得到。
在实际应用中，可以使用不同的自相关函数估计方法，如周期图谱法、傅里叶变换法等。
在进行自相关法时，需要考虑一些关键因素。
首先是选择合适的信号长度和时间窗口大小，这会影响到自相关函数的准确性和分辨率。
其次是对信号进行预处理，如去除噪声、进行平滑处理等，以提高自相关函数的稳定性和可靠性。
另外，还需要考虑自相关函数的计算方法和参数选择，以确保得到准确的频谱估计结果。
自相关法在实际应用中有着广泛的应用，特别是在信号处理、
通信系统和频谱分析等领域。
它可以用于估计信号的频谱特性，如频率成分、功率谱密度等，对于信号的特征提取和分析具有重要意义。
同时，自相关法也可以用于信号的调制识别、信道估计和系统建模等方面，为工程实践提供了有力的工具和方法。
总的来说，经典谱估计中的自相关法是一种重要的信号处理方法，通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
在实际应用中，需要综合考虑信号处理的各个环节，合理选择方法和参数，以获得准确可靠的频谱估计结果。
自相关与互相关函数的快速估计方法
自相关与互相关函数的快速估计方法引言：自相关与互相关函数是信号处理中常用的工具，用于研究信号之间的相似性和相关性。
准确估计自相关与互相关函数对于很多应用至关重要，然而传统的估计方法存在计算复杂度高、计算效率低等问题。
本篇文章将介绍一些快速估计自相关与互相关函数的方法，旨在提高计算效率和降低计算复杂度。
一、自相关函数的快速估计方法1. 快速自相关函数方法一这种方法基于傅里叶变换的性质，将信号经过傅里叶变换后再进行逆变换，即可得到自相关函数。
这种方法的优点是计算速度快，适用于信号长度相对较短的情况。
2. 快速自相关函数方法二这种方法基于平滑技术，利用滑动窗口对信号进行平移和缩放，在每个窗口内计算局部自相关函数，最后取平均得到全局自相关函数。
这种方法适用于信号长度较长的情况，并且可以通过调整窗口大小来控制估计的精度和计算效率。
二、互相关函数的快速估计方法1. 快速互相关函数方法一与快速自相关函数方法一类似，利用傅里叶变换和逆变换的性质，可以快速计算互相关函数。
不同之处在于，需要将两个信号都进行傅里叶变换，并在频域中相乘后再进行逆变换。
2. 快速互相关函数方法二这种方法基于矩阵乘法的快速算法，利用Toeplitz矩阵的特性将互相关函数的计算转化为矩阵乘法的形式。
通过对Toeplitz矩阵进行特殊处理，可以大大降低计算复杂度，提高计算效率。
三、快速估计方法的实际应用1. 语音信号处理领域自相关与互相关函数在语音信号处理中广泛应用，如语音识别、语音合成等。
利用快速估计方法可以加快计算速度，提高实时性，使得语音处理算法更加高效可靠。
2. 图像处理领域图像处理中的相关性分析也是一个重要的研究方向。
快速估计方法可以应用于图像匹配、图像识别等问题，提供准确的相关性计算结果。
结论：通过快速估计自相关与互相关函数的方法，可以提高计算效率和降低计算复杂度，为信号处理及相关领域的研究和应用提供更高的性能和效率。
未来，随着计算技术的不断进步，相信会有更多快速估计方法被提出和应用于实际问题中，推动相关领域的发展和创新。
自相关函数
f (t ) t ≤ T0 2 fT0 (t ) = 0 t > T0 2
S (ω ) = lim
FT0 (ω ) T0
2
T0 →∞
所以
1 P= 2π
∫
+∞
∞
S (ω )dω
5
5.1 信号的互能量与互能谱
(三).两信号的互能量 两信号的互能量 两信号x(t) ,y(t)之和的能量为: 之和的能量为: 两信号 之和的能量为
return 7
5.2 信号的相关分析
(一)信号的自相关函数 为了定量地确定信号x(t) 与时移副本 与时移副本x(t-τ) 的差别或 为了定量地确定信号 τ 相似程度,通常用自相关函数: 相似程度,通常用自相关函数:
R x (τ ) =
∫
∞
∞
x ( t ) x ( t τ ) dt
自相关函数的特点: 自相关函数的特点: 1. 自相关函数是偶函数
Rxy (τ ) Wxy (ω ) = X (ω )Y (ω )
(四)离散信号的互相关函数
Rxy (τ ) =
j = ∞
∑ x( j ) y ( j n)
return 17
∞
作业: , , 作业:5-3,5-4, 5-10,5-11 ,
return 18
�
R (n ) = R ( n )
1,离散自相关函数是偶函数 ,
2,在n=0时,自相关函数就是离散信号的能量 , 就是离散信号的 时 自相关函数就是离散信号的能量
R x ( 0) =
j = ∞
∑ x ( j) = E
2
∞
x return 12
5.4 信号的互相关函数
(一)互相关函数 描述两信号之间的相互关系, 描述两信号之间的相互关系, 为能量信号, 设 x(t), y(t) 为能量信号,则 x(t), y(t) ,时 , , 即两信号波形的相似程度, 即两信号波形的相似程度 的互相关函数为 间轴上的位置差别
matlab脉冲重复频率估计
matlab脉冲重复频率估计在处理脉冲重复频率估计问题时，MATLAB是一个强大而常用的工具。
脉冲重复频率估计是指确定一个脉冲信号的重复频率或周期性的能力。
在许多应用领域，如雷达、通信系统、声音处理和生物医学工程等，准确地估计脉冲信号的重复频率是非常重要的。
为了在MATLAB中进行脉冲重复频率估计，可以使用一些特定的函数和工具箱。
其中一种常见的方法是通过自相关函数来估计脉冲信号的周期性。
自相关函数表示信号与它自己延迟版本之间的相似性。
通过计算自相关函数的峰值位置，可以确定信号的重复频率。
另一种常用的方法是使用傅里叶变换来分析信号的频谱。
假设信号在时间上是周期性的，可以将其表示为一系列正弦波的叠加。
通过将信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱，从而确定信号的重复频率。
在MATLAB中，可以使用`xcorr`函数来计算自相关函数。
该函数接受两个参数，分别是待计算的信号和延迟版本的信号。
通过找到自相关函数的峰值位置，可以估计脉冲信号的重复频率。
另外，使用`fft`函数可以进行傅里叶变换，得到信号的频谱。
通过观察频谱的峰值位置和幅度，也可以估计脉冲信号的重复频率。
除了这些基本的方法外，MATLAB还提供了一些专门用于信号处理和频谱分析的工具箱，如信号处理工具箱和频谱分析工具箱。
这些工具箱提供了更高级的函数和算法，可以更准确地估计脉冲信号的重复频率。
总之，MATLAB是一个非常适合进行脉冲重复频率估计的工具。
通过使用自相关函数和傅里叶变换等方法，可以在MATLAB中准确地估计脉冲信号的重复频率。
此外，还可以使用专门的工具箱来实现更高级的信号处理和频谱分析算法。
如果您需要进行脉冲重复频率估计，MATLAB将是一个非常有用的工具。
matlab随机过程的非线性变换实验报告
随机过程的线性变换姓名：徐延林学号：200904013026专业：电子工程指导教师：谢晓霞2012年4月17日一、实验目的了解随机过程线性变换的基本概念和方法，学会运用MATLAB 软件模拟各种随机过程的线性变换，对其结果进行仿真分析，并通过实验了解不同随机过程经过窄带系统的输出。
二、实验原理（1）均匀分布白噪声序列利用MATLAB 函数rand 产生；laplace 分布的白噪声表达式()()(0)2c x m c f x e m --==白噪声 据此我们可以产生拉普拉斯白噪声序列。
（2）自相关函数的估计||11ˆ()()()||N m xn R m x n m x n N m --==+-∑MATLAB 自带的函数为xcorr 。
（3）功率谱的估计先估计自相关函数ˆ()xR m ，再利用维纳－辛钦定理，功率谱为自相关函数的傅立叶变换：1(1)()()N jm x x m N G R m e ωω+-=--=∑MATLAB 自带的函数为periodogram 、pyulear 或pburg 。
（4）均值的估计111ˆ()N x n mx n N -==∑MATLAB 自带的函数为mean 。
（5）方差的估计12211ˆˆ[()]N xx n x n m N σ-==-∑MATLAB 自带的函数为var 。
（6） ARMA 模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，其理论自相关函数和功率谱分别为2222()(0)1()(1)mX X j a R m m a G ae ωσσω-⎧=≥⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩对于ARMA 模型01201()(1)(2)()()(1)()N M a X n a X n a X n a X n N b W n bW n b W n M +-+-+⋯+-=+-+⋯+- 其理论的功率谱密度为220()Mjkwk k x N jkwkk b eG w a eσ-=-==∑∑（7）白噪声过有限系统或宽带信号过窄带系统输出信号成正态分布。
自相关函数的估计
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算
方法二：按照卷积和计算
R R ˆˆxx[[n n]] N 1 N 1N kx [0 1nx ][*kx ][x [kn ]n]
(3) 利用DFT
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法一：根据定义
x[k]
R ˆx[n]N 1N k 0 1
x[k]x[kn] 1{1,0,2,0,1}
{1, 0, 1} 3
x[kn] n0 n1
{1, 0, 1}
{1, 0, 1}
Rˆx[0]2/3 Rˆx[1]0
n2
{1, 0, 1}
R ˆx[}
Rˆx[1]0
n2
{0,0,1,0,1}
R ˆx[2]1/3
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
R x[n ]N l i 2 m N 1 1 k N N x [k]x [k n ]
已知x[k]的N个观测值x[0]，x[1]，，x[N1]， 则自相关函数的估计为：
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
1x[n]*x[n] (N 1 ) n N 1 N
1、自相关函数估计的质量
n
N1n
1N1n x[l]x[ln]
Nl0
R ˆx [n ] N 1N k 1 0 nx [k ]x [k n ] n N 1
自相关函数与偏自相关函数
自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。
由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。
对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即()t E x μ=，1,2,t=随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。
平稳随机过程的方差也是一个常量2()t xVar x σ=，1,2,t=2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。
相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为：(,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==--自协方差序列：k γ，0,1,2,k=称为随机过程{t x }的自协方差函数。
当k = 0 时，20()t x Var x γσ==。
自相关系数定义：k ρ=因为对于一个平稳过程有：2()()t t k x Var x Var x σ-==所以220(,)t t k k kk x x Cov x x γγρσσγ-===，当 k = 0 时，有01ρ=。
以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =）称为自相关函数。
因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。
2、自回归过程的自相关函数 （1）平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程：11t t t x x u φ-=+，|φ1| < 1。
已知()0t E x =（why?）。
用t k x -同乘上式两侧t x t k x -11t t k t t k x x u x φ---=+上式两侧同取期望：k γ11k φγ-=其中()0t t k E u x -=（why?）（由于x t = u t + φ1 u t -1 + φ12u t -2 +… ，所以x t-k = u t-k + φ1u t-k-1 + φ12 u t-k-2 +…，而u t 是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关）。
自协方差函数及其估计
自协方差函数及其估计自协方差函数，也称自相关函数，是统计学中一种非常重要的工具，用于描述时间序列数据中自身成分之间的关系。
在时间序列分析中，自协方差函数是进行分析和建模的一个基础，它不仅可以帮助我们理解时间序列数据的这些成分之间的关系，还可以用于预测未来发展。
自协方差函数描述了时间序列中任意两个时间点之间的相关程度，也就是说，它测量了时间序列中一个时刻和另一个时刻的相关性。
自协方差函数通常用一个数值表示，这个数值反映了两个时间点之间相关性的强弱程度。
如果数值是正数，说明两个时间点相互之间存在正相关关系；如果数值是负数，说明两个时间点相互之间存在负相关关系；如果数值是0，说明两个时间点不存在相关关系。
自协方差函数的估计可以用最小二乘法，平稳时间序列估计，移动平均估计等多种方法进行。
其中，最常用的方法是平稳时间序列估计。
平稳时间序列是一种特殊的时间序列，它满足在任意时段内的统计性质是相同的，也就是说，无论是在哪个时段内进行观测，其统计性质都会保持不变。
这种平稳时间序列的均值和方差是固定的，随机变动的部分符合某种规律。
自协方差函数的估计结果可以用于预测未来时间点的值。
预测时间序列的方法有很多种，其中比较常见的是AR、MA、ARMA、ARIMA等方法。
这些方法的预测精度和时间性能都有很大关系，具体选用哪种方法需要依据实际情况灵活选择。
总之，自协方差函数是时间序列分析和处理中的一个重要步骤，它帮助我们了解了时间序列数据中不同成分之间的关系，也可以用于预测未来发展趋势。
在实际应用时，我们需要选择合适的方法对自协方差函数进行估计和预测，以达到更好的分析和预测效果。
自协方差与自相关函数的估计
∑
n →∞
2 lim Eγ n (k ) = 0
即
Eγˆ k =
1 n−k γ k + Eγ n ( k ) n t =1
∑
易见 在µ未知情况下 仍有 γˆ k 依均方收敛于 γ k
ˆ k 均方收敛于 ρ k 相应的有 ρ
三
根据样本自协方差函数与自相关函数对模型的初步分析
绘图法 设 {ε t } 为独立序列 且为白噪声序列 则由 ε 1 , ε 2 , L , ε n 计算出的自相关函数
若 {xt } 是均值不为零的平稳序列
γˆ k =
估计
1 n−k ( xt − x )( xt + k − x ) n t =1
∑
γ k = E ( x t − µ )( x t + k − µ )
在定理 3.1.1 条件下 可以证明
γˆ k =
且
1 n−k ( xt − µ )( xt + k − µ ) + γ n (k ) n t =1
3 平稳序列的自相关函数的遍历性 1 平稳序列遍历性概念 设平稳序列 {xt } 为遍历的 即对于 xt 的任意函数 f ( xt ) 其集平均 即概率均值有限
E | f ( xt ) |< +∞
则 f ( xt ) 的集平均 E | f ( xt ) | 与其时平均 < f ( xt ) > 相等 即
特别当 {ε t } 为正态序列时 µ 4 = 3σ 4 则上式为
cov(γˆ k , γˆ j ) =
2 渐近正态分布 定理 3.2.1 即
1 ∞ 1 (γ s − k γ s − j + γ s − k γ s + j ) + 0( ) n s = −∞ n
自相关函数和互相关函数计算和作图的整理
自相关函数和互相关函数计算和作图的整理欧阳学文1. 首先说说自相关和互相关的概念。
[转版友gghhjj]这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
[转版友hustyoung]自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？这个问题happy教授给出了完整答案：[转happy教授]dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
2. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中 ×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。
MATLAB中的信号估计与参数估计方法及其应用
MATLAB中的信号估计与参数估计方法及其应用信号估计与参数估计是数字信号处理（DSP）中的重要组成部分。
在MATLAB中，有许多强大的工具和函数可用于信号估计和参数估计的研究与应用。
本文将介绍MATLAB中一些常用的信号估计和参数估计方法，并讨论它们的实际应用。
一、信号估计方法1. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，能够将信号的频谱信息展示出来。
MATLAB提供了快速傅里叶变换（FFT）算法，可以高效地计算信号的傅里叶变换。
通过对信号的频谱进行分析，可以得到信号的频率成分、频谱特性等信息，进而实现信号去噪、频谱滤波等应用。
2. 自相关函数（Autocorrelation）自相关函数是描述信号与其自身在不同时间延迟下的相似度的函数。
MATLAB 中可以使用“xcorr”函数计算信号的自相关函数。
通过自相关函数的分析，可以估计信号的周期性、周期信息等，进而实现信号的周期性检测、自相关谱估计等应用。
3. 窗函数（Windowing）窗函数是一种用于平滑信号、抑制频谱泄漏等目的的函数。
MATLAB中提供了许多窗函数的函数句柄，如“hann”、“hamming”等。
通过对信号进行窗函数处理，可以减小由于信号截断引起的频谱泄漏等问题，提高估计的准确性和精度。
4. 平均功率谱密度函数（PSD）平均功率谱密度函数是研究信号能量在频域上的分布和特性的工具。
MATLAB 中可以使用“periodogram”函数和“pwelch”函数分别计算信号的周期图和平均功率谱密度。
通过对信号的功率谱密度进行分析，可以得到信号的主要频率成分、功率密度分布等信息，进而实现信号识别、频谱分析等应用。
二、参数估计方法1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过调整参数的值使得模型输出与实际观测值的平方差最小化。
在MATLAB中，可以使用“polyfit”函数和“fit”函数实现曲线拟合和数据拟合。
数字信号处理知识点整理
第一章 时域离散随机信号的分析1.1. 引言实际信号的四种形式：连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。
本书讨论的是离散随机序列()X n ，即幅度和时域都是离散的情况。
随机信号相比随机变量多了时间因素，时间固定即为随机变量。
随机序列就是随时间n 变化的随机变量序列。
1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1概率描述1. 概率分布函数（离散情况）随机变量n X ，概率分布函数： ()()n X n n n F x ,n P X x =≤ （1）2. 概率密度函数（连续情况）若n X 连续，概率密度函数： ()()n n X X n nF x,n p x ,n x ∂=∂ （2）注意，以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论，因此对于随机序列而言，其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。
当讨论随机序列时，应当用二维及多维统计特性。
()()()()121212,,,121122,,,12,,,1212,1,,2,,,,,,,1,,2,,,,1,,2,,,NNNx XX N N N N x XX N x XX N NF x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤∂=∂∂∂1.2.2 数字特征1. 数学期望 ()()()()n xx n n m n E x n x n p x ,n dx ∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰ （3）2. 均方值与方差均方值： ()()22n n x n n E X x n p x ,n dx ∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰ （4）方差： ()()()2222xn x n x n E X m n E X m n σ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦（5）3. 相关函数和协方差函数自相关函数：()()n m**xxn m n m X,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx ∞∞-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ （6）自协方差函数：()()()()**cov ,,n m nmn m n XmX xx XXX X E X m Xm r n m m m ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦=- （7）由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。
基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法
基于 自相关 函数相位 的正 弦信 号频率估计新算法
黄 超 ， 料， 索继东 ， 于 亮。
（ １ ． 大连海事大学 信息科学 技术 学院 ， 辽宁 大连 １ １ ６ ０ ２ ６ ； ２ ． 大连理工大学 城市学院 电子与 自动化学 院，
引用格式 ： 黄超 ， 索继东 ， 于亮． 基于 自相关函数相位的正弦信号频率估 计新算法 ［ Ｊ ］ ． 电讯 技术 ， ２ ０ １ ４ ， ５ ４ （ １ ） ： ６ ３ — ６ ７ ． ［ Ｈ Ｕ Ａ Ｎ Ｇ Ｃ ｈ ａ ｏ ， Ｓ Ｕ Ｏ Ｊ ｉ — ｄ ｏ ｎ ｇ ， Ｙ ｕ Ｌ ｉ ａ ｎ ｇ ． Ａ Ｎ ｏ ｖ ｅ ｌ Ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｎ ｕ ｓ ｏ ｉ ｄ Ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ａ ｒ ｇ ｕ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｓ ａ ｍ ｐ ｌ ｅ Ａ ｕ ｔ ｏ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ［ Ｊ ］ ． Ｔ ｅ ｌ ｅ —
ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ａ ｄ ｄ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｗ ｈ ｉ ｔ ｅ Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ （ Ａ ＷＧ Ｎ）ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ．Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｌ ｙ ， ａ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｆ ｏ ｒ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
３ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｆ ｔ ｗ ａ ｒ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｄ ａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｙ， ｇ Ｄ ａ ｌ ｉ ａ ｎ １ １ ６ ６ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
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N，偏差、方差趋于零，是一致估计。
N 固定时，n N，偏差、方差较大。
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算自相关函数的估计
x[k]
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
0 nN 1
0
N1
x[k+n], n 0
R ˆx[n]N 1N k 10 nx[k]x[kn]
X L [m ] D{ x F L [k] T }
3.计算自相关函数的估计：
R ˆx[n]N 1ID {X F L[m T ]2}
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
分析：
已知平稳各态遍历随机序列单一样本的N个观测值，其自 相关函数估计的计算方法有：
3.计算自相关函数的估计： R ˆx[n]N 1ID {X F L[m T ]2}
三 、小结
1、自相关函数估计的质量
自估相计关值函的数偏的差估：b 计ia { ：R R x ˆ[ xn [] n } ] E N 1 { R N kx [ 0 1 n ] x } [ k]R xx [[ kn ] n ]N n N 1R x x[ n []n]*x[n]
已知x[k]的N个观测值x[0]，x[1]，，x[N1]， 则自相关函数的估计为：
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
1x[n]*x[n] (N 1 ) n N 1 N
1、自相关函数估计的质量
自相关函数估计的好坏，需要对自相关函数估
计值的偏差和方差来判断。
n
b ia { R x [ n ] } E { R x [ n ] } R x [ n ] N R x [ n ]
x[k]
R ˆx[n]N 1N k 0 1
x[k]x[kn] 1{1,0,2,0,1}
{1, 0, 1} 3
x[kn] n0 n1
{1, 0, 1}
{1, 0, 1}
Rˆx[0]2/3 Rˆx[1]0
n2
{1, 0, 1}
R ˆx[2]1/3
n1
{0, 1, 0,1}
Rˆx[1]0
n2
{0,0,1,0,1}
估计值的方差：v a r { R x [ n ] } N 1 2 r { R 2 [ r ] R [ r n ] R [ r n ] }
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算
方法二：按照卷积和计算
R R ˆˆxx[[n n]] N 1 N 1N kx [0 1nx ][*kx ][x [kn ]n]
方法三：利用DFT计算
v a r { R x [ n ] } N 1 2 r { R 2 [ r ] R [ r n ] R [ r n ] }
随 机 信 号 高 斯 分 布 时 1 ( N | n | 1 )( N |n | |l | ) ( R 2 [ n ] R [ n l ] R [ n l ] ) N 2 l ( N | n | 1 )
R ˆx[2]1/3
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法二：利用卷积和计算
R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
1{1,0,2,0,1} 3
结论：
自相关函数具有偶对称性， 且估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法三：利用DFT计算
1.对x[k]补零形成L点序列： x L [k ]L ( 2 N 1 )
2.计算DFT： X L [m ] D{ x F L [k] T }
(1) 根据定义： R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
(2) 利用卷积和： R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
(3) 利用DFT
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法一：根据定义
第六章 功率谱估计
6.4 自相关函数的估计
•
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
1、自相关函数估计的质量 2、自相关函数估计的计算
自相关函数的定义及其估计
X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本， 则X[k]的自相关函数可由样本x[k]的时间平均来实现：
R x[n ]N l i 2 m N 1 1 k N N x [k]x [k n ]
(N 1 ) n 0
n
N1n
x[k+n], n 0
R ˆx[n]N 1kN 1 nx[k]x[kn]
n
N1n
1N1n x[l]x[ln]
Nl0
R ˆx [n ] N 1N k 1 0 nx [k ]x [k n ] n N 1
2、自相关函数估计的计算
方法二：按照卷积和计算自相关函数的估计
自相关函数的估计由定义：
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
可以得到： R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
——卷积和
2、自相关函数估计的计算
方法三：利用DFT计算自相关函数的估计 1. 对长度为N的x[k]补零形成L点序列：
x L [k ]L ( 2 N 1 )
2.计算DFT：