自相关函数的估计

R ˆx[2]1/3
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法二：利用卷积和计算
R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
1{1,0,2,0,1} 3
结论：
自相关函数具有偶对称性， 且 Rx[0]Rx[n]
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法三：利用DFT计算
1.对x[k]补零形成L点序列： x L [k ]L ( 2 N 1 )
2.计算DFT： X L [m ] D{ x F L [k] T }
(1) 根据定义： R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
(2) 利用卷积和： R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
(3) 利用DFT
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
解： 方法一：根据定义
(N 1 ) n 0
n
N1n
x[k+n], n 0
R ˆx[n]N 1kN 1 nx[k]x[kn]
n
N1n
1N1n x[l]x[ln]
Nl0
R ˆx [n ] N 1N k 1 0 nx [k ]x [k n ] n N 1
2、自相关函数估计的计算
方法二：按照卷积和计算自相关函数的估计
3.计算自相关函数的估计： R ˆx[n]N 1ID {X F L[m T ]2}
三 、小结
1、自相关函数估计的质量
自估相计关值函的数偏的差估：b 计ia { ：R R x ˆ[ xn [] n } ] E N 1 { R N kx [ 0 1 n ] x } [ k]R xx [[ kn ] n ]N n N 1R x x[ n []n]*x[n]
x[k]
R ˆx[n]N 1N k 0 1
x[k]x[kn] 1{1,0,2,0,1}
{1, 0, 1} 3
x[kn] n0 n1
{1, 0, 1}
{1, 0, 1}
Rˆx[0]2/3 Rˆx[1]0
n2
{1, 0, 1}
R ˆx[2]1/3
n1
{0, 1, 0,1}
Rˆx[1]0
n2
{0,0,1,0,1}
X L [m ] D{ x F L [k] T }
3.计算自相关函数的估计：
R ˆx[n]N 1ID {X F L[m T ]2}
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
分析：
已知平稳各态遍历随机序列单一样本的N个观测值，其自 相关函数估计的计算方法有：
N，偏差、方差趋于零，是一致估计。
N 固定时，n N，偏差、方差较大。
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算自相关函数的估计
x[k]
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
0 nN 1
0
N1
x[k+n], n 0
R ˆx[n]N 1N k 10 nx[k]x[kn]
已知x[k]的N个观测值x[0]，x[1]，，x[N1]， 则自相关函数的估计为：
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
1x[n]*x[nBiblioteka Baidu (N 1 ) n N 1 N
1、自相关函数估计的质量
自相关函数估计的好坏，需要对自相关函数估
计值的偏差和方差来判断。
n
b ia { R x [ n ] } E { R x [ n ] } R x [ n ] N R x [ n ]
估计值的方差：v a r { R x [ n ] } N 1 2 r { R 2 [ r ] R [ r n ] R [ r n ] }
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算
方法二：按照卷积和计算
R R ˆˆxx[[n n]] N 1 N 1N kx [0 1nx ][*kx ][x [kn ]n]
方法三：利用DFT计算
第六章 功率谱估计
6.4 自相关函数的估计
•
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
1、自相关函数估计的质量 2、自相关函数估计的计算
自相关函数的定义及其估计
X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本， 则X[k]的自相关函数可由样本x[k]的时间平均来实现：
R x[n ]N l i 2 m N 1 1 k N N x [k]x [k n ]
自相关函数的估计由定义：
R ˆx[n]N 1N k 0 1x[k]x[kn]
可以得到： R ˆx[n]N 1x[n]*x[n]
——卷积和
2、自相关函数估计的计算
方法三：利用DFT计算自相关函数的估计 1. 对长度为N的x[k]补零形成L点序列：
x L [k ]L ( 2 N 1 )
2.计算DFT：
v a r { R x [ n ] } N 1 2 r { R 2 [ r ] R [ r n ] R [ r n ] }
随 机 信 号 高 斯 分 布 时 1 ( N | n | 1 )( N |n | |l | ) ( R 2 [ n ] R [ n l ] R [ n l ] ) N 2 l ( N | n | 1 )