复化求积公式

b
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
b
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
又 − h∑ f ′′(ξ i ) = −hf ′′(ξ1 ) − hf ′′(ξ 2 ) − L − hf ′′(ξ n )
i =1
n
= −h[ f ′′(ξ1 ) −
+ [ f ′( x0 ) − f ′( x1 )] + [ f ′( x1 ) − f ′( x2 )] + L+ [ f ′( xn−1 ) − f ′( xn )] = −{hf ′′(ξ1 ) −[ f ′(x1 ) − f ′(x0 )]}−{hf ′′(ξ2 ) −[ f ′(x2 ) − f ′(x1 )]}−L−{hf ′′(ξn ) −[ f ′(xn ) − f ′(x1 )]}
即
1 Hn = ( Tn + H n )， 2 2T2n = Tn + H n ,
∫
b
a
n −1 1 1 = h f ( a ) + ∑ f ( x i ) + f ( b ) f ( x)dx 2 i =1 2
记
= Tn
⇒ Hn = 2T2n − Tn。
3.3 复化 复化Simpson公式 （推导类似前面公式） 推导类似前面公式） 公式 1、公式 、 上采用Simpson公式，则 公式， 在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] 上采用 公式 xi xi + xi −1 h ∫xi−1 f ( x)dx ≈ 6 [ f ( xi−1 ) + f ( xi ) + 4 f ( 2 )] n−1 n n n−1 ∆ b h h ⇒ ∫ f ( x)dx ≈ [[ff((a) + f (b) + 2∑ ff((xi i)) +4∑ f ( x 11) ] = Sn + 2∑ x ] 4 f ( x ) a) + a ii− − 6 6 ii=1 ii=1 =1 =1 2 2 1 2 2 ⇒ Sn = Tn + Hn n 3 3 3 4T − T 4T − T 1 得 Sn = (4T2n − Tn ) = 2n n = 2n n 由 2T2n = Tn + Hn， 3 3 4 −1 2、余项 、 复化Simpson公式的余项有表达式 当f ( x) ∈ C 4 [a, b] 时,复化 复化 公式的余项有表达式 定理8 定理 b − (b − a) 4 (4) ( 3 .5 ) f ( x)dx − Sn = h f (ξ ),a < ξ < b ， ∫
记
i =1
n
= O(h2 ) 利用皮亚诺型Taylor公式有 公式有 利用皮亚诺型 f ′( xi −1 ) = f ′(ξi ) + f ′′(ξi )(xi −1 − ξi ) + O((xii−11 − ξii)22)) (1) ) − −ξ 记 2 22 = O(h ) f ′( x ) = f ′(ξ ) + f ′′(ξ )(x − ξ ) + O((x − ξ )) )) (2) O((x − ξ
f ( x)dx
a=x0 x1 =
2
2
n−
x2
xn =b x
1 2
b−a n 1 ∆ ≈ ∑ f (a + (i − 2)h) =Hn n i=1
复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系
2n −1 b − a 1 1 b−a QT2n = f ( a ) + f ( b) + ∑ f ( a + i ) 2n 2 2 2n i =1
i
i =1
i −1
i =1
2
n −1 记 1 1 = h f ( a ) + ∑ f ( x i ) + f ( b ) = Tn 2 2 i =1 n−1 b − a 1 1 b−a f (a) + f (b) + ∑ f (a + i ) = n 2 2 n i =1
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ ∫
i =1
n
xi
xi −1
b−a n 1 ∆ f ( x)dx ≈ ∑ f (a + (i − 2)h) = Hn。 n i =1
4、复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系 、 复化中矩求积公式 x 1 x3
x
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ ∫
i =1
n
xi
xi −1
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb− Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) f ( x )dx − Tn 1 及渐近估计式 ∫a → ( f ′(a ) − f ′(b)), h → 0。 ( 3 . 3 ) 12 h2 2 证明： 证明： 因为 f ( x ) ∈ C [a , b ]时 ,由 P168 定理 2知 xi h − h3 ∫xi−1 f ( x)dx − 2 [ f ( xi−1 ) + f ( xi )] = 12 f ′′(ξi ), xi−1 < ξi < xi 又 f ( x ) ∈ C 2 [ a , b ]，因此 f ′ ′( x ) 存在最大值 M 与最小值 m ， 1 n 即 m ≤ f ′′( x ) ≤ M， 又 m ≤ ∑ f ′′(ξ i ) ≤ M， n i =1
复化数值求积公式（复合数值求积公式） §3 复化数值求积公式（复合数值求积公式）
3.1 复化数值求积法 介绍最基本的求积公式 问题：如何提高求积公式的精度？ 问题：如何提高求积公式的精度？ 解决方法： 解决方法： （1）增加求积节点 ） 公式。 增大时， 如：N－C公式。缺点：当n增大时，数值不稳定； － 公式 缺点： 增大时 数值不稳定； Gauss型求积公式。 缺点：节点是无理数，计算不方便。 型求积公式。 型求积公式 缺点：节点是无理数，计算不方便。 （2）复化求积公式 f(x)的赋值不太复杂时 ） 的赋值不太复杂时 复化求积公式的原则（基本思想）： 复化求积公式的原则（基本思想）： b−a x , i = 0,1,L, n， 进行等距细分： 把求积区间 [a, b] 进行等距细分：i = a + i n x [ xi −1 , xi ] 上用相同的“基本”求积公式计算出 f ( x)dx 上用相同的“基本” 求积公 在每个小区间 基本” “基本” ∫x x L 的近似值S 的近似值 i ， 即 ∫x f ( x)dx ≈ Si , i = 1,2,式, n，
i
i
i −1
从而 ∫ f ( x )dx ≈ ∑ S i , 即用和式
b a
n
i −1
∫
b
i =1
∑ S 作为
i =1 i
n
a
f ( x )dx的近似值。 的近似值。
梯形公式；中矩形公式； 梯形公式；中矩形公式； 矩形公式； 左（右）矩形公式； 或simpson公式 公式
注：不能同时取两个或两个以上的公式。 不能同时取两个或两个以上的公式。
b
2、余项 、 2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
的介值定理知， 再由闭区间上连续函数 的介值定理知， ∃ ξ ∈ ( a , b )，使 n n 1 n b−a f ′′(ξ ) = ∑ f ′′′′(ξ ii)) ⇒ (ξ f ′′(ξ i ) = nf ′′(ξ ) h= ⇒ nh = b − a ∑ n i =1 =1 n i =1
3.2 复化梯形公式 1、 公式 、 b−a h= , 上采用梯形公式， 在[ x i −1 , x i ]上采用梯形公式，记 n xi h ， ∫xi −1 f ( x)dx ≈ 2 [ f ( xi −1 ) + f ( xi )] i = 1,2,L, n n n b x h 所以 ∫a f ( x)dx = ∑ ∫x f ( x)dx ≈ ∑ [ f ( xi −1 ) + f ( xi )]
f ′( x1 ) − f ′( x0 ) f ′( xn ) − f ′( x1 ) f ′( x2 ) − f ′( x1 ) ] − h[ f ′′(ξ 2 ) − ] − L− h[ f ′′(ξ n ) − ] h h h
+ f ′( x0 ) − f ′( xn )
− h∑ f ′′(ξ i ) = −hf ′′(ξ1 ) − hf ′′(ξ 2 ) − L− hf ′′(ξ n )
i i i i i ii ii
(2) − (1)，得 f ′( xi ) − f ′( xi −1 ) = hf ′′(ξi ) + O(h2 )，i = 1， L，n 2， hf ′′(ξi ) − [ f ′( xi ) − f ′( xi −1 )] = −O(h2 )，i = 1， L，n 2， 即
hf (x − ′x00 )] (ξn) − ( x − ′ xn−1)]} − f ( x − ′ x)]} = −{hf′′′(ξ1) −[ f ′′(x11))− ff′((x)]}−{hf ′′′(ξ22))−[[f ′′(x22))− ff′((x11 )]−L−{hf ′′′(ξn) −[[ff′′(xnn))− ff′((xn−1)] (x + ff′′( x00) − f ′( xn ) = f ′(a) − f ′(b)
n−1 n 1 b− a 1 b−a 1 1 −a 1 b− 1 f (b) + n−1 f (a + i bb − a] + n f [a + ((ii− 1))b − aa ) f (a) + ) ) ∑ (a + − ] = ⋅ [ f (a) + f (b) +∑ f (a + i ∑ 2 n 2 n 2 n 2 2 n 2 n ii =1 i =1 =1 n 2
b
− h3 nn ′′ − h3 − (b − a)h2 ∴∫ f ( x)dx−Tn = ∑ ∑ ff′ ((ξξii)) = 12 ⋅ nf ′′(ξ) = f ′′(ξ )，a < ξ < b。 a 12 i==1 i1 12
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h b − h3 n 下证（3.3）式 下证（ ） ∫a f ( x)dx − Tn = 12 ∑ f ′′(ξi ) i =1 要证(3.3)式，只要证 要证 式 n h n 1 − ∑ f ′′(ξ i ) → ( f ′(a) − f ′(b)),h → 0， 即证 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b)， 12 i =1 12 i=1