北京大学2018年博雅计划数学真题

北京大学2018年博雅计划数学试卷

选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!

(!!k n k n C k n

-=为组合数，则2018

20182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）

A. 201822018⋅

B. 2018！

C. 2018

4036C D. 前三个答案都不对

【答案】D 解析：

111

1

1

1

(21)222n

n n n

n n

n

k k k k k k k

n

n

n

n n

n n k k k k k k k k C

kC C nC

C n C

C ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 20182018

2018

1

2201812018

2018

2018

2018

2018

2017

20180

1

35...4037(21)22018k k k

k k k C

C C

C

k C C

C -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选

D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）

A. 3

B. 4

C. 23

D. 前三个答案都不对 【答案】B

解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫

++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取

最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）

A. 55

B. 50

C. 51

D. 前三个答案都不对 【答案】C

解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数

的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设12

12...k k n p p p ααα=，则n 的所

有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这

些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 12

441

2(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。 若n 只有一个质因数，设n p α=，则(1)2332

...5T p p p p n p ααα

αα+=⋅⋅⋅===⇒=，此时只有质

数23p =或满足400n ≤；

若n 有两个质因数，设(,)n p q p q α

β

αβ=≠≥，此时(1)(1)(1)(1)

3332

2

T p

q

n p q ααβββααβ++++===，解

得2,1αβ==，即2n p q =：p 取2时q 有24个取值，p 取3时q 有13个取值，p 取5时q 有5个取值，p 取7时q 有3个取值，p 取11时q 有2个取值，p 取13时q 有1个取值； 综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。

4. 已知复数i z 2sin 1+=θ，θcos 12i z +=，则

2

12

2

1-14iz z iz z -+的最小值为（ ）

A. 2

B. 22

C. 32

D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：21212sin cos 3||10sin 2z iz i z iz θθθ+=-+⇒+=-，

1212sin cos ||2sin 2z iz i z iz θθθ-=++⇒-=+，

2

12

12

14-2sin 2222sin 22sin 22sin 2z iz z iz θθθθ

+∴

=

==+≥-+++，取等条件为：

2sin 2sin 202sin 2θθθ

=+=+。

5. 设A 是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k ，用k a 表示所有可能的A 中k 个数

乘积的倒数之和，则201842...a a a +++的值为（ ）

A. 1

B.

22019 C. 2

2017

D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：12320181111232019

...(1)(1)(1)...(1)1...120181232018122018a a a a ++++=++++-=⋅⋅⋅-=，

123201720181111

...(1)(1)(1)...(1)111232018a a a a a -+-+-+=-----=-，

两式相加即得242018201812017

...22a a a -+++==

。

6. 已知实数a ,b ,c 成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N 的坐标为（2，3），过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，垂足为点M ，则M,N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）

A. 10

B. 26

C. 24

D. 前三个答案都不对

【答案】A

解析：由等差中项性质得2a c b +=，可见直线ax +by +c =0过定点(1,2)Q -，设垂足00(,)M x y ，

则22

000(1)8PM QM PM QM x y ⊥⇔⋅=⇒++=，即点M 在圆T ：22(1)8x y ++=上，

点N 到圆心T 的距离||32NT =max min ||||(||22)(||22)10MN MN NT NT ⋅=+-=。

7. 设2018212018,21,...,,...,,b b b a a a 是4036个实数，201821,...,,a a a 互异，满足对任意的i ）

（20181≤≤i 都有122018()()...()i i i a b a b a b +++=2018，则对任意的j ）（20181≤≤j

))...()((201821j j j b a b a b a +++的值为（ ）

A. 2018

B. -2018

C. 不能确定

D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：由12201812018,()()...()2018i i i i a b a b a b ∀≤≤+++=恒成立可得：

122018122018()()()...()2018()()...()f x x b x b x b x a x a x a =+++-=---，

上式两边令j x b =-即得122018()()...()2018j j j a b a b a b +++=-。