北京大学2018年博雅计划数学真题

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博雅计划试题

博雅计划试题博雅计划试题"博雅计划”是北京大学2015年推出的高考自主招生改革计划，很多人都会需要试题，这是小编找的试题，希望能对你有所帮助。

博雅计划试题选择题共20小题.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，则下面四个结论中正确的个数为（）（1）以a，b，c为边长的三角形一定存在（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在（3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三角形一定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（）A.46B.53C.62D.前三个答案都不对4.函数f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素，0，若x为无理数，则满足x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（）A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对6.已知k≠1，则等比数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（）A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对8.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1，x2满足x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（）A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数a，b，c，d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x，y，z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（）A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间（）A.[10，11）B. [11，12）C. [12，13）D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的面积等于（）A.83B.93C.123D.前三个答案都不对18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（）A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对19.方程组x+y2=z3，x2+y3=z4，x3+y4=z5，的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于（）A.0B.2C.4D.前三个答案都不对参考答案1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.又切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.2.B.可不妨设0c.结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.结论（2）错误：2，3，4是一个三角形的三边长，但22，32，42不会是某个三角形的三边长.结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1，|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，所以|a-b|+1≤|c-a|+1，|b-c|+1≤|c-a|+1，（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.3.解法1C.如图1所示，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，242=r2+OE2，把它们相加后，可求得OE=62.4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1.由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进而可得x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56所以满足题设的x的个数为11.5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得方程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为C412C48C443！=5775.10.A.如图3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.又因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得DE·DF=AD2=BD·DC，（5-2）（4+2）=2DC，DC=9，BC=BD+DC=2+9=11.图3图411.B.如图4所示，设BK与小圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线.由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.又因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.再由三角形角平分线性质，可得ALBL=AKBK，可求得BL=25.12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1，得2f（0）+f（-1）=1，2f（1）+f（0）=1，2f（-1）+f（0）=1，可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f （-2）=13.图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三角形.所以所求答案是3·9+93=30.14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可.而101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42），所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B.15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.由韦达定理，得x+y+z=3.16.解法1C.设f（x）=4x+1，得f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，。

14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除

北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。

【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。

北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。

如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。

【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。

北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。

(完整)北京大学2018年博雅人才培养计划试题

北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1．以下带点的汉字读音相同的一组是（）A．薄．田薄．地B．干劲．劲．旅C．不胜．枚举胜．利D．溃．烂溃．脓2．下列各组词语中加点的字读音相同的一组是（ )A．中．药大黄山中．大王B．埋．怨埋．藏C．伐木丁丁．．丁丁．．漏水夜何长D．曝．晒曝．光3．下列词语中用字正确的一组是（）A．自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B．含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C．书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D．英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4．以下有三个错别字的一组词是（）A．编篡床第之私沉湎渲泄B．灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C．趋之若骛追溯额手称庆发韧D．磬竹难书青睐痉挛一幅对联5．以下句子中,没有错别字的是( ）A．西亚国家以色列开源截流，技术用水，使水资源得以充分合理地利用，其经验值得各国借鉴。

B．他执着地追求自己的理想，不为世俗嘲笑所动，将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石，一步步地向梦想进发。

C．而斯巴达却完全相反，那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D．那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。

6．以下繁简对应不正确的一组是( ）A．简体：干细胞繁体：乾細胞B．简体：姜太公繁体：姜太公C．简体：瞭望繁体:瞭望D．简体：肤色繁体：膚色7．以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是（）A．喜欢．参观．权．力灌．溉鹳．鸟B．挑拣．练．习锤炼．楝．树阑．干C．遥远．花园．猿．猴轩辕．袁．氏D．了．解明了．瞭．望官僚．了．结8．以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是（）A．“衝"是形声字B．“衝”的意符是彳C．“衝”的本义为交通要道D．“衝"字简化后写作“冲”9．以下四个字按笔画多少排列的一组是（）A．谀象鼎溪B．象谀溪鼎C．谀鼎象溪D．溪鼎谀象10．以下各组汉字，按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是（）A．虎、夕、朝、大B．眉、中、取、遘C．鼎、亦、伐、莫D．车、问、甘、和二、阅读下文，回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书，（1）当闲书读.譬如说《论语》，林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默，这种读法就很对我的胃口。

高中数学真题：高中数学北京大学2018年自主数学部分试题

高中数学真题：高中数学北京大学2018年自主数学部
分试题
一、选择题(共5题)
1.抛物线x2=py与直线x+ay+1=0交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，1），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（）
A．B．C．D．
2.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或．若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有（）种不同的运动轨迹．（）
A．15 B．14 C．9 D．10
3.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
4.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于（）
A．B．C．D．
5.某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（）
A．80种B．90种C．120种D．150种
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北大博雅计划笔试真题

北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。

北京大学2018年博雅计划数学真题

二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1.设〃为正整数，C：=,“，为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C：黑D.前三个答案都不对【答案】D解析：2k + 1)C：= 2，kC： + £c：= 2±nC^ += 2n±C^ +，k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C；黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数，满足o+b+c=3,则。

+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析：a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。

i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。

3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析：设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意；下面证明当〃之2时，正整数〃的质因数的个数最多为2：假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P]，P”...，P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『，则〃的所有正因数的乘积中，p：(i = L2,…公至少在,p：p],有p?,,p：p,T,p；，p：p k,p：p2...p k这些因子中出现，即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾，所以假设不成立，即〃的质因数的个数最多为2。

2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学

数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。

(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题

北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。

北大博雅自主招生数学真题

辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。

排列组合中的围坐圆桌问题

数理化解题研究2021年第01期总第494期排列组合中的围坐圆桌问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：本文探究排列组合中围坐圆桌问题的求解思路.关键词:排列组合；围坐圆桌；解法辨析；思路探究中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)01 -0002 -02排列和组合一直是高中数学的一个重要内容,一直是高中数学教与学的一个难点，一直是高考的一个热点.在排列组合问题中，有一类围坐圆桌问题,许多学生感到很难求解、很难理解求解思路、很难看懂解答过程.究其原因，笔者认为关键是教者没有讲深、讲透、讲清楚、讲明白排列的定义，学者没有理解深、理解透排列的定义.下面试举几例，权作抛砖引玉之用，旨在希望能帮助读者突破学习难关.一、围坐圆桌不限制问题例1 10名同学围成一个圆圈唱歌，有多少种不同的围站方法？解析当10个人围成一圈时，每个人都以顺时针(或逆时针)方向转动一个位置得到的排列与原排列只能算一种排列；于是再依同方向连续转2,3,4,…，9个位置得到的排列与原排列也只能算一种排列，因此10个人围成一圈的一种排列在普通的排列(也称直线排列)中就是10种,所求的排列数是10个人排成直线排列的十分之一.10于是,所求排列数为：［#=9!二362880种.评注其实,本题可以这样来理解,如果把本题中的排列叫“圆排列”，通常的排列叫“直线排列”，则圆排列没有首末之分;而直线排列首末是有显著区别的:当n 个人围成一圈时，每个人都以同一方向依次转动1,2,3,…，n-1个位置得到的排列与原排列算一种排列，而每转动一个位置，若在同一地点将圆排列“剪断”，然后拉成直线，则首末两端的人变了，所以每次的转动在直线排列中是不同的排法,于是一个圆排列在直线排列中变成n 种了, 因此圆排列数应是相应元素直线排列数的丄,即为A 二nn(n -1) !.此题的解析和评注，笔者认为说得很清楚了，但是, 仍然有许多学生看不懂、不理解.下面我们再来看一个例子.例2 若一张圆桌有3个座位,现安排3个学生去坐,每人坐一个座位，有几种不同的入座方法？解析我们先看排列的定义，一般地，从n 个不同元素中取出m ( m ^n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.下面我们先用列举法解答此题.用A , B , C 表示这3 个人，用圆圈表示3个座位,如图1中的图(1)至图(6),我们从顺时针方向来看(从逆时针方向来看也可以),图(1)、图(2)、图(3)入座的顺序都没有变，都是ABC ,所以由排列的定义知，图(1)、图(2)、图(3)是同一种排列，也就是同一种入座方法.同理，图(4)、图(5)、图(6)是同一一种入座方法.于是所求有2种不同的入座方法.由此列举法，我们可知，在A 3中重复了所求的3倍,3所求用数学符号可表示为33 .评注n (n M2)个人围着一张圆桌就坐，有n !种不同n的入座方法.收稿日期：2020 -10 -05作者简介：武增明(1965. 5 -)，男，云南省玉溪人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—2—2021年第01期总第494期数理化解题研究二、围坐圆桌相邻问题解决围坐圆桌相邻问题,有两个关键点,第一个关键点是要理解庐5鼻2）个人围着一张圆桌就坐，有山种不n同的入座方法;第二个关键点是要理解上述例2的解答思路和捆绑法在围坐圆桌相邻问题中的运用.例3 A , B , C , D 四人围着一张圆桌就坐，如果A , B二人相邻,有多少种不同的入座方法？解析用圆圈表示4个座位，如图2中的图（1）、图（2）、图（3）、图（4），我们从顺时针方向来看（从逆时针方向来看也可以）,不同的入座方法有ABCD 、ABDC 、BACD 、评注在这里利用了捆绑法，先把A ,B 二人捆绑在3一起，看成一个人与另外二人C ,D 安排入座，有｛种不同入座方法，然后再考虑A ,B 二人内部交换位置，有A ；种3情况,于是所求用数学符号表示为33・A 2.三、围坐圆桌不相邻问题解决围坐圆桌不相邻问题,有两个关键点,第一个关键点仍然是要理解,n （ n M2）个人围着一张圆桌就坐,有n !种不同的入座方法;第二个关键点是插空法在围坐圆 n桌不相邻问题中的运用.例4 （2018年北京大学博雅计划自主招生考试题）15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（）.A. 丁0B.彳C. I ； D .前三个答案都不对15解析15个人围坐在圆桌旁共有；种不同的围坐方法.从中任取4人,他们两两互不相邻,则可先把11个11人入坐好，再让其余4人插空,共有］；・A ：种不同的围坐方法. 所以所求概率是 11二兽，故选A .例5 一圆形餐桌依次有A ,B , C ,D ,E , F 共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）.A. 12B. 36C. 72 D . 144解析注意到这里的座位不同，应分两类入座.（1） 3个大人坐A ,C ,E 座位,有A 3种，然后3个小孩入座B ,D ,F ,有A 3种.由分步计算原理，有A 3 A 3种方法.（2） 3个大人坐B ,D ,F 座位,然后3个小孩入座A ,C ,E ，同样的有A 3 A 3种方法.综上，由分类分步原理,所求为A 3 A 3 A 2二72（种）,故选C .四、珠子穿成手镯问题解决不同颜色的珠子穿成手镯问题，有两个关键点,第一个关键点仍然是要理解,n （n M2）个人围着一张圆桌就坐，有n !种不同的入座方法；第二个关键点是要想到n“珠子圈”可以翻转.例6 6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈？解析这是6个人围坐圆桌问题,同时还要考虑“钻石圈”可以翻转.围坐圆桌问题就是在A 6的基础上，本来在这里ABCDEFG 和BCDEFGA 是不同的，但是围坐圆桌这里因为形成了一个圆圈，所以ABCDEFG 和BCDEFGA 是相同的,同样CDEFGAB 等和他们也是相同的.可见，一个相同的围坐圆桌排列，在原有的A 6中是被重复计算了 6次，于是6围坐圆桌的结果是J 二120.6又因为钻石圈是可以翻转的，也就是在这里ABCDEF 和FEDCBA 是一样的（想象一下手镯,先平放着,再翻转—下，还是原来的手镯.），于是在围坐圆桌排列的基础上A 6要除以2,得到2二60（种），这就是所求答案.参考文献：［1 ］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书（选修）数学2 -3（A 版）［M ］.北京：人民教育出版社,2014.［2］王亚丽.排列组合题的四类常见错误分析［J ］.高中数学教与学（扬州大学版）,2013（8）：6 -7.［责任编辑:李璟］15—3—。

2017年北大博雅计划数学试题及答案

【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…， ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数，比如 2017 出现在原数字的笫 0 位，
2014 出现在第 4 位等。注意到 10 的方幕除以 9 的余数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
＝－9 ， s
即
SMoD=— 92x．
故 liDOA 的内切圆半径是？雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再通过共边定理获得另一个三角形的面积值。较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
故n的最大可能值不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和不小于 5 。幕次和为6的情形上已排除，故幕次和为 5 。由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数，故 a,b,c必有一个被 2 5 整除，一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此，取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密，即2的幕次不小于 n更容易达到。故我们考虑 5 的幕次。不大于 402 的 5 的正整数幕最大是 125, 故 a,b,c 各自所含 5 的幕次最高是 3 . 而

2019北京大学博雅计划综合评价强基计划数学

2019年北京大学博雅计划笔试数学试卷和解答1、金字塔可以视为正四棱锥，底面正方形的边长为200米，如果一个游客处在距离底面中心200米的圆周上，则该游客可以同时看见金字塔两个侧面的概率为（）A、13B、12C、32D、前三个答案都不对2、已知函数��=�sin �，�>0，�∈0若��与其反函数�−1�有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A、0，1B、1D、前三个答案都不对3、函数��=+1−x 21+x 2的值域为（）A、−2，1B、−2C、−2D、前三个答案都不对4、三棱锥P-ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PB ⊥底面ABC，PB=1，M，N 分别为AC，AB 的中点，则异面直线BM 和PN 所成角的正弦值为（）A、64B、54C、104D、前三个答案都不对5、已知函数��满足��+�=x ，则�2=（）B、A、12B、1C、−1D、前三个答案都不对6、平面直角坐标系xOy 中一点A �−22+y 2=1上一点关于直线y=kx 对称，则k 的值为（）A、1B、12C、33D、前三个答案都不对7、已知x，y，z 为正实数，且满足x +y +z =1，则��4�+19�+�4�+ 9�+1的最大值为（）A、1576B、11024C、11296D、前三个答案都不对8、已知a ，b ∈ℂ，且对任意满足的 =1的复数z，均有 4+� 2+�=1，则ab=（）A、iB、-iC、1D、前三个答案都不对9、从6个男生，4个女生中各选2人，进行羽毛球男女混合双打比赛，则不同的组合方式的种数为（）B、A、60B、90C、180D、前三个答案都不对10、在平面直角坐标系xOy 中，满足�2+4�2−44�2+�2−1≤0的点P x ，y 构成的平面图形的面积为（）A、�2B、�C、32�D、前三个答案都不对11、满足方程�3+2n 2+8n −5=a 3的非负整数解组�，�的对数为（）A、0对B、1对C、3对D、前三个答案都不对12、复数 1， 2和O 点在复平面内组成的三角形面积记为S，若 3=2 1+3 2，则复数 1， 2和 3点在复平面组成的图形面积为（）A、2SB、5SC、13SD、前三个答案都不对13、已知x，y，z >0，且x +y +z =1，则�2�+�2�+�2的最小值为（）A、�2+�2+�2B、3�2+�2+�2C、�+�+�2D、前三个答案都不对14、若0<x <1，则tan ��，tan 2��2，tan �2�2的大小关系为（）A、tan 2��2>tan ��>tan �2�2B、tan 2��2>tan �2�2>tan ��B、tan ��>tan 2��2>tan �2�2D、前三个答案都不对15、已知数列��满足�1=1，��+1=na n+1，在n 为足够大的值时，以下成立的是（）A、�−1≤a n ≤�+1B、n ≤a n ≤n +1C、C、2�≤a n ≤2�+1D、前三个答案都不对16、用�表示不超过实数x 的最大整数，则方程�3−�=3的实数解个数为（）A、0B、1C、2D、前三个答案都不对17、n 时任意正整数，13+23+33+⋯+�3的个位数不可能是（）A、4B、9C、2D、前三个答案都不对18、凸四边形ABCD 中AB =BC =CA ，∠ACD =10°，∠DAC =20°，则∠BDC 的大小为（）A、60°B、70°C、75°D、前三个答案都不对19、若a >b >0，且a 3−b 3a 2−b 2，则a+b 的取值范围是（）A、0，1B、0C、1D、前三个答案都不对20、1×1！+2×2！+⋯+672×672！被2019除的余数是（）A、1B、2017C、2018D、前三个答案都不对答案：1、答案：A解析：如图，作为金字塔俯视图，其中ABCD 为底面正方形，O 为底面中心。

(完整版)北京大学2018年“博雅计划”物理试题

f北京大学2018年“博雅计划”试题1.一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子，假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ，则该光子的能量为MeV ( )A. 0.75 B. 1.5C. 2.7D. 2.92.在水下50米处，温度为，一体积为的气泡上升至水面，水的温度为C ︒436-101m ⨯时，气泡体积为( )C ︒17A. B. -636.310m ⨯-632.810m ⨯C. D. -639.810m ⨯-6312.610m ⨯3.如图杨氏双缝干涉模型，若光源S 下移一下段距离，那么光屏上的条纹将如何变化( )A.条纹距离变大，条纹整体下移B.条纹间距不变，条纹整体下移C.条纹间距变小，条纹整体上移D.条纹间距不变，条纹整体上移4.如图A 、B 为两个带正电的点电荷，另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围，那么以下说法正确的是( )A. 将点电荷B 与导体球壳接触，点电荷A 受力变小B. 将导体球壳接地，点电荷A 受力变小C. 在球壳内，移动点电荷B 至任意位置，点电荷A 受力不变D. 将点电荷B 移走，点电荷A 受力不变5.车辆在弯道上行驶，已知弯道半径为R ，倾角为，若车辆不受沿地面方向的力，规定θ行驶速度为V ，则；若路面结冰，且已知行驶速度，=θtan h km u /40=，，则车辆与冰面摩擦因数至少为 .m 200=R h V km 60=μ6.一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连，另一端连在墙上，则物块微扰后简谐周期=；若在物块下加两个质量为m 的轮，此时(1T 2T 1T )=<>//7.在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷，六边形的中心有—2q 的点电荷，则对任意顶点，则对任一正点电荷，其他点电荷对其产生的静电能为，整个系统静电能为 .8.一均匀带电的圆环，半径为R ，总带电量为+Q ，则其中心O 点的电场强度为；在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷，则该点电荷受力为.9.一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为的两部分，且0V 压强均为，已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期，假设过程为等温.P10.三个相同的理想凸透镜共轴放置，焦距为，两两间距为.已知对任意左侧进入的f f λ光线，出射方向均与入射方向平行.(1)画出可能的光路图；(2)试求可能取值.λ11.电子枪的加速电压为，电子被加速后从端沿射出，经匀强磁场偏转后V U 500=P PA 经过M 点.已知，.cm PM d 5==60=ϕ(1)若磁场垂直三点确定的平面，求其磁感应强度；M A P 、、(2)若磁场平行方向，求其磁感应强度.PM 12.质量为的小船在湖面上，一根轻绳连在船上通过岸上的定滑轮，自由端水平，岸上m 有恒力作用在绳子的自由端.开始时空中绳长为，与水平夹角，船速为.当夹角F 0l 0θ0v 为时，）（0θθθ>(1)求小船的速度以及加速度；v a (2)求此时的功率.F北京大学2018年“博雅计划”试题解析1.【答案】B【考点】光子的性质【解析】正、负电子在磁场中的动量为，则光子的动量，光子能量eBR p e =e y p p 2=.c p E y y =2.【答案】A 【考点】等温变化【解析】对气泡中的理想气体哟，其中222111T V P T V P =.631112261102771290P atm V m T K P atm T K -≈=⨯===，，，，3.【答案】D【考点】杨氏双缝干涉【解析】由条纹间距公式条纹间距只与双缝间距和双缝 - 光屏距有关，光源上下移动不改变条纹间距；考虑0级条纹，光源发出的两束光分别经过上下缝会聚在光屏上的等光程点，为了保证等光程，当光源下移，0级条纹必须上移才能保证这一点.4.【答案】C【考点】静电场的性质【解析】有静电屏蔽知识，导体球壳内的点电荷对外界不产生电场，具体而言，球壳内表面感应出的负电荷与点电荷的电场抵消，则点电荷受力取决于球壳外边面的剩余电B A 荷；而将导体球壳接地后，球壳电势为零，然而不确定初始的球壳与点电荷之间的电场A 电势关系，因此并不能判断点电荷的受力大小变化.A 5.【答案】20.077V Rg；【考点】圆周运动【解析】转弯时，小车在平行斜面方向受力平衡，即得θθsin cos 2mg RV m =n Ah i nt hRgV 2tan =θ速度偏小，摩擦力向外，则在斜面方向受力平衡⇒++=)sin cos (cos sin 22θθμθθRu m mg R u m mg RgV u Rg u V R u g R u g 222222tan tan +-=+-=θθμ6.【答案】2>【考点】简谐运动【解析】物块两端都有劲度系数为的弹簧，等效于一个劲度系数为的弹簧，则振k k 2动周期为；物块质量增大，周期变长，kMT 221π=12T T >7.【答案】221922Kq Kq a a ⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎭；【考点】静电场的能量【解析】一个正电荷由其他点电荷产生的静电能为2222212222Kq Kq Kq Kq E a a a a⎫=++-=⎪⎭A 计算系统电势能，注意点电荷间的电势能只能计算一次222229663622s Kq Kq Kq Kq E a a a a ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭A A A 8.【答案】()32220KQqxx R +；【考点】电场强度的计算【解析】根据电场强度的定义，考虑对称性，分析可得：带电圆环在环心处的场强为0.根据对称性分析可得，对于距离环心为x 的位置，该点的电场强度沿着轴线方向可以写出该点所在位置的电场强度E 为：，其中2k q xE r r ∆=∑rrb 由此可以写出E 为：223/2()kQx E x R =+所以电场力为：223/2()kQqx F qE x R ==+9.【答案】2T π=【考点】简谐运动【解析】当活塞偏离平衡位置(假设往左)距离时，左侧气体压强增大，右侧气体压x ∆强减小，由玻意耳定律，，()()x S V P x S V P V P R L ∆+=∆-=0000得，000000,P xS V V P P x S V V P R L ∆+=∆-=则活塞两侧气体压强差给活塞提供回复力，()x V P S S P x S V x S V S P x S V V x S V V S P P F L R ∆≈∆-∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=-=0020220000002)(2则振动周期为.020002222P S mV V P S mT π==10.【答案】见解析【考点】凸透镜成像【解析】考虑左侧任意进入的光线可分为若干束平行光，一束平行光经过透镜组后出射仍是原方向的平行光，且平行光经凸透镜汇聚成一点，说明整个系统光路存在中心对称性，对称中心是第二个透镜中心.dAl l为了保证对称性，系统成像过程应该为：平行光经过第一个透镜汇聚一点，经过第二个透镜成像到对称点，再经过第三个透镜变成平行光.因此，第一个透镜与汇聚点的距离为，第二次成像是的成像，像点与第三个透镜距离时.光路图如下，即f f f 22-f 3=λ11.【答案】见解析【考点】带电粒子在磁场中的运动【解析】(1)电子经过一段圆弧轨道经过点，几何关系易知，偏转半径为M ，cm d R 35sin /2==ϕ又，mvR mv eB==e mU R B 21=电子经过等距螺旋线经过点，沿方向速度为M PM ，meUm eU v 2cos 2'==ϕ则有，2'mn v d eBπ=A得.B n =12.【答案】见解析【考点】相对运动【解析】(1)()220000sin cos 12sin F a m v v F l l v m θθθ⎛⎫=-=-⇒= ⎪⎝⎭，(2)cos v P F θ==A 本文档由华夏园教育提供。

北京大学博雅计划数学真题版

北京大学 2021 年博雅方案数学试卷选择题共 20 小题，在每题的四个项中，只有一项切合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分。

1. 设 n 为正整数，C n k n!为组合数，那么 C202103C202115C20212...4037C20212021等于〔〕k!(n k)!A. 2021 22021B. 2021！C.C40362021D.前三个答案都不对【答案】 Dn n n n n n n分析：(2k1)C n k2kC n k C n k 2 nC n k11C n k2n C n k11C n k，k 0k 0k 0k 1k 0k 1k 0202120212021C202103C 202115C20212...4037C20212021(2 k 1)C2021k 2 2021C2021k1C2021kk0k 1k0 40362202122021202122021，应选D。

2.设 a， b，c 为非负实数，知足 a b c，那么a ab abc 的最大值为〔〕++=3++A. 3B. 4C. 3 2D.前三个答案都不对【答案】 B分析： a ab abc a(1b(1 c)) a 1(1 b c)2 a 1 (4a)2，对其求导获得 a 2 时取44最大值为 4。

3.一个正整数 n 称为拥有3-因数积性质假定n的所有正因数的乘积等于 n3，那么不超出400的正整数中拥有3- 因数积性质的数的个数为〔〕A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C分析：设 n 的所有正因数的乘积为T，即T n3。

n 1 明显切合题意；下边证明当 n 2 时，正整数n的质因数的个数最多为 2：假定n的质因数的个数大于或等于3，即n的所有质因数为p1, p2 ,..., p k (k3) ，并设 n p11 p22 ... p k k，那么 n 的所有正因数的乘积中， p i i (i1,2,...k) 起码在 p i i , p i i p1 , p i i p2 ,..., p i i p i1, p i i p i1..., p i i p k , p i i p2 ... p k这些因子中出现，即i 出现的次数大于或等于，这样 T12k)44，这与题意T n3p i4( p1p2... p k n 矛盾，因此假定不建立，即n 的质因数的个数最多为2。

北京大学2018年博雅计划数学真题版

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D解析： 111111(21)222nnnnn nnkk k k k k knnnn nn n k k k k k k k k C kC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 2018201820180122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k C C C Ck C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2018年北大博雅计划试卷-语文试卷及参考答案解析附答题卡

绝密★ 启用前北京大学博雅计划模拟考试语文 (满分：100分) 注意事项：11.本试卷共4道题； 2.答卷前，考生请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的密封线内相应位置； 3.所有答案都应写在答题卡相应位置，答在试卷上的无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文根据语境填空(10题，共20分) 中国文化中极其夺目的一个部位可称之为“ 1 ”。

随之而来，许多文化遗迹也就是贬官行迹。

贬官失了宠，摔了跤，孤零零的，悲剧意识也就爬上了心头；贬到了外头，这里走走，那里看看，只好与山水亲热。

这一来，文章有了，诗词也有了，而且往往写得不坏。

过了一个时候，或过了一个朝代，事过境迁，连朝廷也觉得此人不错，恢复名誉。

于是，人品和文品双全，传之史册，诵之后人。

他们亲热过的山水亭阁，也便成了遗迹。

地因人传，人因地传，两相帮衬，俱著声名。

例子太多了。

这次去洞庭湖，一见岳阳楼，心头便想；又是它了。

1046年，范仲淹倡导变革被贬，恰逢另一位贬在岳阳的朋友股子京重修岳阳楼罢，要他写一篇楼记，他便借楼写湖，凭湖抒怀，写出了那篇著名的《岳阳楼记》。

直到今天，大多数游客都是先从这篇文章中知道有这么一个楼的。

文章中“ 2 。

”这句话，已成为一般中国人都能随口吐出的熟语。

不知哪年哪月，此景此楼，已被这篇文章重新构建。

文章开头曾称颂此楼“北通巫峡，南极潇湘”,于是，人们在楼的南北两方各立一个门坊，上刻这两句话。

进得楼内，巨幅木刻中堂，即是这篇文章，书法厚重畅丽，洒以绿粉，古色古香。

其他后人题咏，心思全围着这篇文章。

这也算是个有趣的奇事：先是景观被写入文章，再是文章化作了景观。

借之现代用语，或许可说，是 3 的互相生成罢。

在这里，中国文学的力量倒显得特别强大。

学校班级姓名密封线内不要答题准考证号范仲淹确实是文章好手，他用与洞庭湖波涛差不多的节奏，把写景的文势张扬得滚滚滔滔。

2016北京大学博雅计划笔试数学试题及答案 (1)

2016年北京大学博雅计划数学试题选择题(单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分) 1.直线2y x =-+与曲线x ay e+=-相切，则a 的值为.A 3- .B 2- .C 1- .D 前三个答案都不对【答案】A【解析】由'1x ay e+=-=-得x a =-，2.（（）以22a b 、、（a b b ++（.A 故3..A .B 5 .C .D 前三个答案都不对【答案】C【解析】设圆半径为R ，OE x =，则由圆幂定理得()()2418AE EB DE EF R x R x ⋅=⋅⇒+-=⋅由勾股定理得22222224OE OD DE R x +=⇒+=AB解得x =，故选C 4.函数1,,()0,q x p q pp f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数与互素;若为无理数. 则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为 .A 5..A 6..A (a 7.10cos 111111ππ的值为.A 116- .B 132- .C 164- .D 前三个答案都不对【答案】D【解析】21210125cos cos cos (cos cos cos )111111111111πππππ=-2124816(cos cos cos cos cos )1111111111πππππ=-5251248162cos cos cos cos cos 1111111111()12sin 11ππππππ=11024=-，故选D 8.设a b c 、、为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根为12,z z 满足212z z 为实数，【答案】A 【解析】因为BAD ACD ∠=∠，所以AD BC ⊥又因为BAF CAE ∠=∠，所以90FAE BAC ∠=∠=故由射影定理知：2AD FD DE BD CD =⋅=⋅ 解得9CD =，故11BC =，故选A11.两个圆内切于K ,大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5,10,AK BK AL ==则BL 的长为.24A .25B .26C .D 前三个答案都不对∠故故于A A 故A 【答案】B【解析】先证明a b c d +++为素数由ab cd =得cdb a =，因此()()cd a c a d a b c d a c d a a+++++=+++=因a b c d +++是整数，故()()a c a d a++为整数.若它是一个素数，不妨设为p则()()a c a d ap ++=，可见p 整除()()a c a d ++，从而素数p 整除a c +或a d +.不妨设|()p a c +，则a d a +≤，这与,,,a b c d 为正整数矛盾，故p 不为素数.所有选项中，301743=⨯不是素数，故选B15.三个不同的实数,,z x y 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于.1A - .0B .1C .D 前三个答案都不对【答案】D17.在圆内接四边形ABCD 中，6,=30BD ABD CBD =∠=∠，则四边形ABCD 的面积等于A B C .D 前三个答案都不对【答案】B【解析】由托勒密定理可得AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅又=30ABD CBD ∠=∠，故AD CD = 所以()6AB BC CD AC +⋅=在等腰三角形DAC 中，因为120ADC ∠=，故ACCD= 所以AB BC +=3093=所得余数为.A 1!2!3!+++!k A 故选C20.方程333333x x x xx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭的所有实根的平方和等于 .0A .2B .4C .D 前三个答案都不对【答案】C【解析】设3()3x xf x +=，则原方程可转化为(())f f x x =又()f x 在R 上单调递增，故(())=f f x x 的根即方程()f x x =的根解得0,x =4 故选C更多自主招生资料持续更新，欢迎扫码添加QQ 群。