直线与平面平行的性质定理

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线面位置关系的八大定理

图形语言：
符号表示：
注：线面垂直面面垂直
典例：如图，在四面体中，
求证：平面平面
八、平面与平面垂直的性质定理：
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面
图形语言：
符号语典例：如图，，，求证：
典例：已知四棱锥底面，底面为正方形，且，分别为的中点，
求证：（1）平面（2）（3）平面
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
图形语言：
符号语言：
作用：线面垂直线线平行
七、平面与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：
符号语言：
作用：线面平行线线平行
典例：如图，，求证：
三、平面与平面平行的判定定理
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
图形语言：
符号语言：
作用：线线平行面面平行
典例：如图，在三棱柱中，点分别是与的中点，
求证：平面平面
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
图形语言:
符号语言:
作用:面面平行线线平行
典例：如图，，直线与分别交于点和点，
求证：
五、直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面
图形语言：
符号语言：
作用：线线垂直线面垂直
线面位置关系的八大定理

线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光

定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

线面平行的性质定理

AB1C，求线段EF的长度
应用巩固
例3、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A´C´.
（1）要经过面A´C´内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC有什么关系?
F
E
课堂小结：
1.直线与平面平行的性质定理
判定定理：找（作）面内一条直线与已知
2.线线平行直线平行
性质定理：找（作）一个过已知直线的平面，确定其与已知平面的交线
应用巩固
例1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证:另一条也平行于这个平面.
如图，已知直线a,b,平面 α ,且a//b, a//α, a,b都在平面α外，求证：b//α.
ab
应用巩固
例变式2、：如如图图，，用用平一行个于平四面面去体截A四B面C体D 的一组对棱ABACBD，，C得D 的到平的面截截面此M四NP面Q体是．平求行证四：边截面 M形N．P求Q证是:平AB行//M四N边形．
若如“果共一面条”直必线平和行一，个换平句面话平说行，，如经果过过该直直线线a的平面
的某个平面与平面相交，则直线a就和这条交
线平和行这.个平面相交，那么这条直线和交线平行.
线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
β a
b α
作用：判定直线与直线平行的重要依据. 关键：寻找平面与平面的交线.
*
1. 定义: 直线与平面无公共点.
2. 判定定理: 线线平行线面平行
若平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此平面
平行.
a
b
a /
b
a
//

平行的判定与性质

EF //平面 BB 1D 1D.第12讲平行的判定与性质1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为：a 二二:打a 〃b= a 〃 . 3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交a// :- 线平行.即: a 1 1 =a//b .:-n: =b【例1】已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点, 求证：AF //平面PEC证明：设PC 的中点为G ,连接EG 、FG.1•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD.2•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点， • GF // AE , GF=AE , 四边形AEGF 为平行四边形• • EG // AF , 又••• AF 二平面 PEC , EG 二平面 PEC , • AF //平面 PEC.【例2】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点•求证: 证明：连接AC 交BD 于0,连接0E ,贝U OE // DC , OE = 1 DC.2•/ DC // D 1C 1, DC=D 1C 1 , F 为 D 1C 1 的中点，• OE // D 1F , 0E=D 1F , 四边形D 1FE0为平行四边形•EF // D 1O.又••• EF 二平面 BB 1D 1D , DQ 二平面 BB 1D 1D , •EF //平面 BB 1D 1D.【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG .证明：如右图，连结DM ，交GF 于0点，连结0E ,在「BCD 中，G 、F 分别是 BD 、CD 中点， • GF//BC , ••• G 为BD 中点， • 0为MD 中点，在 AMD 中，I E 、0 为 AD 、MD 中点， • EO//AM , 又••• AM 平面EFG , E0 平面EFG , • AM // 平面 EFG .【例4】如图，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、 PC 的中点•( 1)求证：MN//平面FAD ;(2)若MN =BC =4 , PA =4..3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 解：(1)取PD 的中点H ,连接AH ，由N 是PC 的中点，1• NH // DC .由 M 是 AB 的中点， • NH//AM ,-2 -即AMNH 为平行四边形.• MN //AH . 由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD ,• MN //平面 PAD .1 1(2) 连接 AC 并取其中点为 0,连接 0M 、0N ,「. 0M// - BC , 0N // - PA , -2 - 2 所以Z0NM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，且 M0丄N0. 由 MN =BC =4 , PA =4 .3,得 0M=2, 0N=2.3.所以.ONM =30°，即异面直线 PA 与MN 成30°的角■【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面厶ACD 、△ BCD 的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是C哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F 重合为一点,CiBD . ^=zV 2 =i7且该点为CD 的中点E ，由EM =_EN =1得MN // AB ,MA NB 2因此，MN //平面 ABC 且 MN //平面 ABD.【例6】经过正方体 ABCD-A^C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AAQ I D 于E i E ，求证：E i E // B I B证明：••• AA i// BB i, AA^平面 BEE iB i,BB i平面 BEE iB i,••• AA 〃平面 BEE i B i . 又二平面 ADD iA i，平面 ADD* 门平面 BEE iB^ = EE i,AA, // BB i ] •- AA i //EE i .则二 BB i //EE i .i AA // EE ii i【例7】如图，AB 〃「，AC//BD , C 。

直线、平面平行的判定与性质

[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．

必修2平行垂直的判定和性质

平行1．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．垂直1．直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．②如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面．(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示为：．3．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示：．作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示为：．(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。

直线、平面平行的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化.即从“线线平行”到“线面平行”.再到“面面平行”；而在应用性质定理时.其顺序恰好相反.但也要注意.转化的方向总是由题目的具体条件而定.不可过于“模式化”．1．(2016·大连模拟)对于直线m .n 和平面α.若n ⊂α.则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D2．a 、b 、c 为三条不重合的直线.α、β、γ为三个不重合的平面.现给出四个命题：其中正确的命题是( )A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．3．若平面α∥平面β.直线a∥平面α.点B∈β.则在平面β内过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且经过B点时.a∥平面α.但这时在平面β内过B点的所有直线中.不存在与a平行的直线.而在其他情况下.都可以存在与a平行的直线.故选A.4．过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线.其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：各中点连线如图.只有平面EFGH与平面ABB1A1平行.在四边形EFGH中有6条符合题意．答案：65．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中.E是DD1的中点.则BD1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图.连接AC.BD交于O点.连接OE.因为OE∥BD1.而OE⊂平面ACE.BD1⊄平面ACE.所以BD1∥平面ACE.答案：平行考点一线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P132] 平行关系是空间几何中的一种重要关系.包括线线平行、线面平行、面面平行.其中线面平行在高考试题中出现的频率很高.一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．(2015·高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中.设BC的中点为M.GH的中点为N.(1)请将字母F.G.H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.[解] (1)点F .G .H 的位置如图所示．(2)证明：如图.连接BD .设O 为BD 的中点.连接OH .OM .MN . 因为M .N 分别是BC .GH 的中点.所以OM ∥CD .且OM ＝12CD .HN ∥CD .且HN ＝12CD .所以OM ∥HN .OM ＝HN .所以四边形MNHO 是平行四边形.从而MN ∥OH . 又MN ⊄平面BDH .OH ⊂平面BDH . 所以MN ∥平面BDH .(1)证明线面平行时.先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行.若找不到这样的直线.可以考虑通过面面平行来推导线面平行．(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置.有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1.如图.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点.E .F 分别是PA .BD上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD .求证：EF ∥平面PBC .证明：法一：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM . 因为AD ∥BC .所以BF FD ＝MFFA.又由已知PE EA ＝BFFD .所以PE EA ＝MF FA.由平面几何知识可得EF ∥PM . 又EF ⊄平面PBC .PM ⊂平面PBC . 所以EF ∥平面PBC . 法二：作FN ∥BC 交AB 于N .因为NF ⊄平面PBC .BC ⊂平面PBC . 所以NF ∥平面PBC . 因为AD ∥BC . 所以NF ∥AD .则BF FD ＝BN NA . 又PE EA ＝BF FD . 所以PE EA ＝BN NA.连接EN .则EN ∥PB .又EN ⊄平面PBC .PB ⊂平面PBC . 所以EN ∥平面PBC . 又EN ∩NF ＝N .所以平面EFN ∥平面PBC . 而EF ⊂平面ENF . 所以EF ∥平面PBC .考点二面面平行的判定与性质[学生用书P132]如图.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.E .F .G .H 分别是AB .AC .A 1B 1.A 1C 1的中点.求证：(1)B .C .H .G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)因为GH 是△A 1B 1C 1的中位线.所以GH ∥B 1C 1. 又因为B 1C 1∥BC .所以GH ∥BC . 所以B .C .H .G 四点共面．(2)因为E .F 分别为AB .AC 的中点.所以EF ∥BC . 因为EF ⊄平面BCHG .BC ⊂平面BCHG . 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G 綊EB .所以四边形A 1EBG 是平行四边形.所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ⊄平面BCHG .GB ⊂平面BCHG . 所以A 1E ∥平面BCHG .因为A 1E ∩EF ＝E .所以平面EFA 1∥平面BCHG .在本例条件下.线段BC 1上是否存在一点M 使得EM ∥平面A 1ACC 1?解：存在．当M 为BC 1的中点时成立．证明如下：连接EM (图略).在△ABC 1中. E .M 分别为AB .BC 1的中点.所以EM 綊12AC 1.又EM ⊄平面A 1ACC 1.AC 1⊂平面A 1ACC 1.所以EM ∥平面A 1ACC 1.判定面面平行的方法(1)利用定义.即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性.即两个平面同时平行于第三个平面.则这两个平面平行(客观题可用)．2.如图.已知ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体.点E 在AA 1上.点F 在CC 1上.G 在BB 1上.且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1.H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E .B .F .D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明：(1)因为AE ＝B 1G ＝1.所以BG ＝A 1E ＝2. 因为BG ∥A 1E .所以A 1G ∥BE . 又因为C 1F 綊B 1G .所以FG ∥C 1B 1∥D 1A 1.所以四边形A 1GFD 1是平行四边形．所以A 1G ∥D 1F .所以D 1F ∥EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)因为H 是B 1C 1的中点.所以B 1H ＝32.又B 1G ＝1.所以B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23.且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°. 所以△B 1HG ∽△CBF .所以∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . 所以HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE .且HG ∩A 1G ＝G .FB ∩BE ＝B .所以平面A 1GH ∥平面BED 1F .考点三平行关系的综合应用[学生用书P133](2016·洛阳月考)如图.ABCD 与ADEF 为平行四边形.M .N .G 分别是AB .AD .EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[证明] (1)如图.连接AE.则AE必过DF与GN的交点O.连接MO.则MO为△ABE的中位线.所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF.MO⊂平面DMF.所以BE∥平面DMF.(2)因为N.G分别为平行四边形ADEF的边AD.EF的中点.所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG.GN ⊂平面MNG.所以DE∥平面MNG.又M为AB中点.所以MN为△ABD的中位线.所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG.MN⊂平面MNG.所以BD∥平面MNG.又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线.所以平面BDE∥平面MNG.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时.一定要注意定理成立的条件.严格按照定理成立的条件规范书写步骤.3.如图.在正方体ABCDA1B1C1D1中.S是B1D1的中点.E、F、G分别是BC、DC、SC的中点.求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图.连接SB.因为E、G分别是BC、SC的中点.所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1.EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD .因为F 、G 分别是DC 、SC 的中点. 所以FG ∥SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1.FG ⊄平面BDD 1B 1. 所以FG ∥平面BDD 1B 1.又EG ⊂平面EFG . FG ⊂平面EFG .EG ∩FG ＝G . 所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1.方法思想——立体几何中的探索问题如图所示.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.D 是棱CC 1的中点.问在棱AB 上是否存在一点E .使DE ∥平面AB 1C 1？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．[解] 点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1.证明如下：法一：取AB 1的中点F .连接DE 、EF 、FC 1. 因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点.所以EF ∥BB 1且EF ＝12BB 1.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.DC 1∥BB 1且DC 1＝12BB 1.所以EF 綊DC 1.四边形EFC 1D 为平行四边形.所以ED ∥FC 1. 又ED ⊄平面AB 1C 1.FC 1⊂平面AB 1C 1. 所以ED ∥平面AB 1C 1.法二：取BB 1的中点H .连接EH .DH .DE . 所以E .H 分别是AB .BB 1的中点. 则EH ∥AB 1.又EH ⊄平面AB 1C 1. AB 1⊂平面AB 1C 1. 所以EH ∥平面AB 1C 1. 又HD ∥B 1C 1.同理可得HD ∥平面AB 1C 1. 又EH ∩HD ＝H .所以平面EHD ∥平面AB 1C 1. 因为ED ⊂平面EHD . 所以ED ∥平面AB 1C 1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究.对条件和结论不完备的开放性问题的探究.解决这类问题一般根据探索性问题的设问.假设其存在并探索出结论.然后在这个假设下进行推理论证.若得到合乎情理的结论就肯定假设.若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”.“只需使……成立”．如图所示.在四棱锥P ABCD 中.底面ABCD 是平行四边形.PA ⊥平面ABCD .若M 、N 分别为BC 、PA 的中点．在线段PD 上是否存在一点E .使NM ∥平面ACE ？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．解：当E 为PD 的中点时有NM ∥平面ACE . 证明如下：如图.取PD 的中点E .连接NE .EC .AE . 因为N .E 分别为PA .PD 的中点.所以NE 綊12AD .又在平行四边形ABCD 中.CM 綊12AD .所以NE 綊MC .即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM ∥EC .又EC ⊂平面ACE .NM ⊄平面ACE . 所以MN ∥平面ACE . 即在PD 上存在一点E . 使得NM ∥平面ACE .1．在空间内.下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A.平行直线的平行投影也可能互相平行.或为两个点.故A 错误；对于B.平行于同一直线的两个平面也可能相交.故B 错误；对于C.垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故C 错误；而D 为直线和平面垂直的性质定理.正确．2．设平面α∥平面β.A ∈α.B ∈β.C 是AB 的中点.当A .B 分别在α.β内运动时.所有的点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A .B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A .B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A .B 如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质.不论A .B 如何运动.动点C 均在与α.β都平行的平面上．3．(2016·惠州模拟)已知两条不同的直线l .m .两个不同的平面α.β.则下列条件能推出α∥β的是( )A ．l ⊂α.m ⊂α.且l ∥β.m ∥βB ．l ⊂α.m ⊂β.且l ∥mC ．l ⊥α.m ⊥β.且l ∥mD ．l ∥α.m ∥β.且l ∥m解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A.B.D.故选C.4．(2016·长沙模拟)用a .b .c 表示空间中三条不同的直线.γ表示平面.给出下列命题： ①若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c ； ②若a ∥b .a ∥c .则b ∥c ； ③若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．③ C ．①③ D ．② 解析：选D.若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面.所以①是假命题；在空间中.平行于同一直线的两条直线平行.所以②是真命题；若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面.所以③是假命题.故选D.5. 如图所示.在空间四边形ABCD 中.E .F 分别为边AB .AD 上的点.且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4.又H .G 分别为BC .CD 的中点.则( )A ．BD ∥平面EFGH .且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD .且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD .且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC .且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD .所以EF ∥平面BCD .又H .G 分别为BC .CD的中点.所以HG 綊12BD .所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．6．设l .m .n 表示不同的直线.α.β.γ表示不同的平面.给出下列命题： ①若m ∥l .且m ⊥α.则l ⊥α； ②若m ∥l .且m ∥α.则l ∥α；③若α∩β＝l .β∩γ＝m .γ∩α＝n .则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m .β∩γ＝l .γ∩α＝n .且n ∥β.则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由题易知①正确；②错误.l 也可以在α内；③错误.以墙角为例即可说明；④正确.可以以三棱柱为例说明.故选B.7. 如图.在空间四边形ABCD 中.M ∈AB .N ∈AD .若AM MB ＝AN ND.则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．解析：在平面ABD 中.AM MB ＝ANND.所以MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD .BD ⊂平面BCD . 所以MN ∥平面BCD . 答案：平行8．棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.M 是棱AA 1的中点.过C .M .D 1作正方体的截面.则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线.所以截面是梯形CD 1MN .易求其面积为92.答案：929．设α.β.γ是三个不同的平面.a .b 是两条不同的直线.有下列三个条件：①a ∥γ.b ⊂β；②a ∥γ.b ∥β；③b ∥β.a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a .b ⊂γ.且________.则a ∥b ”为真命题.则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知.①正确；当b ∥β.a ⊂γ时.a 和b 在同一平面内.且没有公共点.所以平行.③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③10．已知平面α∥β.P ∉α且P ∉ β.过点P 的直线m 与α.β分别交于A .C .过点P 的直线n 与α.β分别交于B .D .且PA ＝6.AC ＝9.PD ＝8.则BD 的长为________．解析：如图1.因为AC ∩BD ＝P .图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β.α∩平面PCD ＝AB . β∩平面PCD ＝CD . 所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PBBD.即69＝8－BD BD .所以BD ＝245. 如图2.同理可证AB ∥CD .图2所以PA PC ＝PB PD .即63＝BD －88. 所以BD ＝24.综上所述.BD ＝245或24. 答案：245或24 11. 如图.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.E .H 分别为棱A 1B 1.D 1C 1上的点.且EH ∥A 1D 1.过EH 的平面与棱BB 1相交.交点分别为F .G .求证：FG ∥平面ADD 1A 1.证明：因为EH ∥A 1D 1.A 1D 1∥B 1C 1.EH ⊄平面BCC 1B 1.B 1C 1⊂平面BCC 1B 1.所以EH ∥平面BCC 1B 1.又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG .所以EH ∥FG .即FG ∥A 1D 1.又FG ⊄平面ADD 1A 1.A 1D 1⊂平面ADD 1A 1.所以FG ∥平面ADD 1A 1.1. (2016·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a .点P 是棱AD 上一点.且AP ＝a 3.过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ .Q 在直线CD 上.则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD .而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ .平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1.所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD .所以BD ∥PQ .设PQ ∩AB ＝M .因为AB ∥CD .所以△APM ∽△DPQ . 所以PQ PM ＝PD AP＝2.即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB .所以PM BD ＝AP AD ＝13.所以PM ＝13BD .又BD ＝2a .所以PQ ＝223a . 答案：223a 2. 如图.已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形.AB ∥CD .∠DAB ＝90°.PA ⊥底面ABCD .且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1.M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点.求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)在直角梯形ABCD 中.AD ＝DC ＝12AB ＝1. 所以AC ＝ 2.BC ＝ 2.所以BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD .BC ⊂平面ABCD .所以BC ⊥PA .所以BC ⊥平面PAC .所以BC ⊥PC .在Rt △PAB 中.M 为PB 的中点.则AM ＝12PB . 在Rt △PBC 中.M 为PB 的中点.则CM ＝12PB . 所以AM ＝CM .(2)连接DB 交AC 于点F .因为DC 綊12AB .所以DF ＝12FB . 取PM 的中点G .连接DG .FM .则DG ∥FM .又DG ⊄平面AMC .FM ⊂平面AMC .所以DG ∥平面AMC .连接GN .则GN ∥MC .所以GN ∥平面AMC .又GN ∩DG ＝G .所以平面DNG ∥平面AMC .因为DN ⊂平面DNG .所以DN ∥平面AMC . 3. (2016·阜阳月考)如图.在三棱锥A BOC 中.AO ⊥平面COB .∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2.BC ＝ 2.D .E 分别为AB .OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .若存在.试确定F 的位置.并证明此点满足要求；若不存在.请说明理由．解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB .所以AO ⊥CO .AO ⊥BO .即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2. 所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2.可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥ BO .又因为AO ∩BO ＝O .所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .此时F 为线段CB 的中点．证明如下.如图.连接DF .EF .因为D .E 分别为AB .OB 的中点.所以DE ∥OA .又DE ⊄平面AOC .所以DE ∥平面AOC .因为E .F 分别为OB .BC 的中点.所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC .所以EF ∥平面AOC .又EF ∩DE ＝E .EF ⊂平面DEF .DE ⊂平面DEF . 所以平面DEF ∥平面AOC .。

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a④α，a β，α∩β=b.求证：a④b.证明：④应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.④应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？练习如图6，a④α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a④b,a④α,a,b都在平面α外.求证：b④α.练习如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH④FG.图8例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a④b,a⊂α，b⊂β，α∩β=c.求证：c④a④b.练习求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a④α,a④β,α∩β=b，求证：a④b.练习如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 上，求证：BD④面EFGH，AC④面EFGH.练习如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD 上，且CD=a，AB=b，CD④AB.图12（1）求证：EFGH是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.提高练习：求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.图13已知：a④α，A∈α，A∈b，且b④a.求证：b α.图14。

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理
一、什么是直线与平面的平行性
直线与平面的平行性是一种平行性形式。

它表明，在同一平面中，存在两条异构的直线，使得这两条直线不发生相交和重合，且两条直
线的法向量方向相同。

二、直线与平面的平行性定理
直线与平面的平行性定理是关于直线与平面的平行性的定理，要
求如下：在同一平面中，任何两条平行直线都将垂直于该平面，同时
它们的法向量也将在该平面中共线。

三、定理的证明
证明：假设这两条直线分别是l1和l2，他们的法向量分别是N1
和N2，平面P的法向量是N。

根据已证l1与l2的平行，有
$$\overrightarrow{N_1}=\lambda \overrightarrow{N_2}$$
其中$\lambda$为不为0的常数。

因此，
$$\overrightarrow{N_1}\cdot \overrightarrow{N}=\lambda \overrightarrow{N_2}\cdot \overrightarrow{N}=0$$ 可得l1、l2垂直于P，同时它们的法向量N1、N2共线。

四、定理的应用
直线与平面的平行性定理在几何中有很多应用，如：
1、关于三角形斜边、垂直边、斜角、切点等。

2、求解不定线性规划问题。

3、空间向量运算，平面立体几何。

4、各种物理运算，如电场、重力场、热传导等。

五、结论
如前所述，在意义上，直线与平面的平行性定理指出，任何两条平行直线都将垂直于同一平面，同时它们的法向量也将在该平面中共线，在几何世界中，它具有广泛的应用价值，值得我们深入的研究。

直线平行平面的判定定理

直线平行平面的判定定理直线和平面是空间解析几何中的基本概念，它们的位置关系有着重要的几何性质。

在空间中，当一条直线与一个平面满足特定条件时，我们可以根据直线和平面的性质来判断它们是否平行。

本文将介绍直线平行平面的判定定理，以及相关的推导和应用。

一、在空间中，判定一条直线与一个平面是否平行，可以根据以下定理进行判断：定理1：如果直线上的任意一点到平面的距离为定值k，那么这条直线与这个平面平行。

证明：设直线L上任意一点为P(x,y,z)，平面为α，平面上一点为Q(a,b,c)。

根据直线上任意一点到平面的距离公式，有：d(P, α) = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)其中，α的一般方程为ax + by + cz + d = 0。

因为直线L上的任意一点P(x,y,z)到平面α的距离为定值k，所以有：|ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2) = k即：|ax + by + cz + d| = k√(a^2 + b^2 + c^2)根据绝对值的性质，得到：ax + by + cz + d = ± k√(a^2 + b^2 + c^2)由于k为定值，√(a^2 + b^2 + c^2)也为定值，因此左侧和右侧都是一个常数等式，表示一个平面β。

所以，直线L和平面β平行，即直线L与平面α平行。

经过推导和证明，我们得出了判定直线平行平面的定理，即直线与平面上的一点到平面的距离为定值，那么这条直线和这个平面是平行的。

二、直线平行平面的应用直线平行平面的判定定理在解决空间几何问题时具有重要的应用价值。

下面通过几个具体的例子来说明其应用。

例1：已知平面α的一般方程为2x - 3y + 4z - 5 = 0，直线L上的一点为P(1, 2, -1)，求直线L与平面α的位置关系。

解：由直线平行平面的判定定理可知，如果点P到平面α的距离为定值，那么直线L与平面α平行。

直线与平面平行性质定理

9
长方体ABCD－A1 B1C1D1中，点P BB （异于 B、B1）例 3： 1 PA BA1 M , PC BC1 N , 求证： (1)AC // 平面A1C1B （2）MN // 平面ABCD
D1 C1 A1
分析证法1
B1 P M D N C
A
B
10
例3：证法1 (1) 连结AC、AC ，在长方体中A1 A//C1C 1 1
又 a与b都在平面内且没有公共点
b

a // b
5
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a , a , b
注意：
a // b

a b
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行线线平行。

MN // 面ABCD
11
AC // MN
MN 平面ABCD AC 平面ABCD
证法1的思路是
(1) (2)
线//线
线//面
线//线
D1
线//面
线//面
C1
A1
B1 P M D N C
A
B
12
长方体ABCD－A1 B1C1D1中，点P BB （异于 B、B1）例 3： 1 PA BA1 M , PC BC1 N , 求证： (1)AC // 平面A1C1B （2）MN // 平面ABCD
推理形式: b a // a // b
简记：线线平行线面平行。

b
2
思考：如果一条直线与平面平行，那么由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内

线面平行的性质定理和判定定理

线面平行的性质定理和判定定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。

2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。

3、同旁内角优势互补两直线平行。

二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。

平行平面间的距离处处相等。

已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。

直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )(3)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( )A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解析：选D.因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ∥β⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αa ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α其中正确的命题是________．解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．答案：②(教材习题改编)在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案：平行线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)线面位置关系的判断；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．[典例引领]角度一线面位置关系的判断设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β【解析】A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.【答案】 D角度二线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为在平面BCC1B1中，BM綊FC1，所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且OE＝12DC，又D1G∥DC且D1G＝12DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.角度三线面平行性质的应用B1C1D1中，E为线段AD上的任意一如图，在四棱柱ABCD-A点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.【证明】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D，又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG，因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG，而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．[通关练习]1．(优质试题·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)在PC 上求一点G ，使FG ∥平面AEC ，并证明你的结论．解：(1)证明：连接BD 与AC 交于点O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)PC 的中点G 即为所求的点．证明如下：连接GE 、FG ，因为E 为PD 的中点，所以GE 綊12CD .又F 为AB 的中点，且四边形ABCD 为矩形，所以F A 綊12CD . 所以F A 綊GE .所以四边形AFGE 为平行四边形，所以FG ∥AE .又FG ⊄平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，所以FG∥平面AEC.面面平行的判定与性质[典例引领]B1C1中，E，F，G，如图所示，在三棱柱ABC-AH分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，。

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案平行考向一线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明法一连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解法一连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可．证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾．检查答题规范．【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明法一如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。