内蒙古2020届高考数学模拟试题

高考数学模拟试题

第I 卷（选择题 共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{+2)(1)0}B x x x =-<（，则A B =( )

A.{}1,0-

B.{}0,1

C. {}1,0,1-

D.{}0,1,2

2.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2

i =a b +( ) A.34i - B.54i - C.3+4i D.5+4i 3.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( ) A.22a b < B.

11a b < C.22l g l g o a o b < D.11

()()22

a b > 4.已知随机变量ξ服从正态分布2

(0,)N σ

-22=P ξ≤≤（）（ ）

5.执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2数a 的可能取值的集合是( )

A.{}1,2,3,4,5,6

B.{}1,2,3,4,5

C.{2,3,

6.如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）

A.1

B.2

C.π

2

D.π

7.某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥 所有棱的长度的集合，则（ ） A .2A ，且4A B.2A ，且4

A C.2A ，且25A D.2

A ，且17

A

8.已知{}n a 为等比数列，若452,5a a ==，则

128lg lg lg a a a +++=( )

A.6

B.5 C ．4 D.3

9.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

A.13

(2,2),44k k k Z -

+∈ B.13

(,),44k k k Z -+∈

C.13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈

D.13

(,),44

k k k Z ππ-+∈

10.已知R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，(2)0f = ，则(1)0f x ->的解集为 ( )

A.(2,2)-

B.(1,3)-

C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞

D.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ 11.设F 为抛物线2

:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则

AB =( )

A.

30

3

B.73

C.6

D.12 12.已知函数3

2

()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是( )

A.(),2-∞-

B.(),1-∞-

C.()2,+∞

D.()1,+∞

正(主)视图

俯视图

侧(左)视图

4

1

4

1 1 1

第II 卷（非选择题 共64分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。） 13.已知向量,a b 满足||4b =，a 在b 方向上的投影是

1

2

，则a b ⋅ ． 14.10

2a x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭展开式中的常数项为180，则a = ．

15.若实数,x y 满足约束条件220,

240,2,

x y x y y --≤⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

则x y 的取值范围是_______.

16. 已知F 是双曲线2

2

:18

y C x -=的右焦点，

P 是C 左支上一点，()

0,66A ，则APF ∆周长的最小值为 ．

三、解答题（本大题共5个题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分 ） 已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且

3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A +．

（1）求角A 的大小；

（2）若△ABC 的面积53S =，5b =，求a 的值．

18.（本题满分10分 ） 如图，在三棱锥ABC P -中，

PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =.

（1）求证：⊥AH 平面PBC ； （2）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；

19.（本题满分10分 ）前不久，安徽省社科院发布了2015年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”。随后，安徽师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

A

B

C

P

H

M

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

20.（本题满分10分 ）已知直线1:+=x y l ，2

3

:2

2=

+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M (0，1

3

-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一

个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡上填涂题号对应标记。

22.（本题满分8分 ） 选修4—4：极坐标及参数方程选讲

在直角坐标系x y O 中，直线l

的参数方程为132x t y ⎧

=+⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为ρθ=． （1）写出圆C 的直角坐标方程；

（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 23.（本题满分8分 ）选修4—5：不等式选讲

已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （1）求a 的值；

（2）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .