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内蒙古2020届高考数学模拟试题

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内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)

内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)

又 2x12 ax1 2 0 ， 2 x22 ax2 2 0
∴ ax1 2x12 2 ， ax2 2 x22 2
∴ f ( x2 ) f (x1) ( x22 ax2 2ln x2) ( x12 ax1 2ln x1)
[ x22 (2 x22 2) 2ln x2 ] [ x12 (2 x12 2) 2ln x1]
（ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（ 2）若点 P 的极坐标为 2, ， PM PN 5 2 ，求 a 的值 .
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数 f x 2x 1 2x 3.
（ 1）解不等式 f x 6 ;
（ 2）记 f x 的最小值是 m , 正实数 a,b 满足 2ab+a 2b m , 求 a 2b 的最小值 .
0.001
10.828
19．（本试题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为四边形， AC BD , BC CD , PB PD , 平面 PAC 平面
PBD , AC 2 3, PCA 30 , PC 4.
(1) 求证： PA 平面 ABCD ； (2) 若四边形 ABCD 中， BAD 120 , AB BC , M 为 PC 上
R ，使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间（ 0， 4）内任取一实数 t ，则 log 2(t 1） 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中， AB
5 ， AC
7，
ABC
2 ，则该三角形的面积是
________.

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞17．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm310．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．412．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项之和为S n，且满足S n=1﹣a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接由全集U，集合M求出∁U M，则N∩（∁U M）的答案可求．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴∁U M={﹣2，2}．则N∩（∁U M）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．故选：A．2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．【解答】解：∵z===﹣﹣i，故|z|=，故选：C．3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程．【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．【解答】解：=，=．∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．当x=5时，=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．故选C．6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，△=4﹣4m＜0，解得m＞1；所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；m＞2是不等式成立的充分不必要条件；0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m＞0是不等式成立的必要不充分条件．故选：C．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B8．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，∴a n=﹣+1﹣n=﹣n，故选：B．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3．故选：A．10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，即f（x）=cos（x+φ），①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，y=g（x）的周期为2π，故D错误，②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，∵|φ|＜，∴此时φ不存在．综上故选：B．11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，由PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（y﹣a）2+y2﹣c2，令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2==（）2，可得e=，故选：D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由，可得：＜π，=﹣．利用cosα=，展开即可得出．【解答】解：∵，∴＜π，∴=﹣=﹣．∴cosα==+=+=．故答案为：﹣．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：18015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，∴球的半径为=，∴球心到截面的距离为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f （x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，f′（x）=，∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，当＜x＜1，f′（x）＞0；当1＜x＜e，f′（x）＜0，故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，f（）=a﹣2﹣，f（e）=a+2﹣e2，则f（e）＜f（），f（x）在[，e]上有两个零点的条件，，解得1＜a＜2+，故实数a 的取值范围（1，2+]．故答案为：（1，2+]．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足S n =1﹣a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1，进而计算可得结论； （2）通过（1）可知b n =（n +1），进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵S n =1﹣a n ，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，∴a n =a n ﹣1﹣a n ，即a n =a n ﹣1，又∵S 1=1﹣a 1，即a 1=，∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n =；（2）由（1）可知b n =（n +1）a n =（n +1）， ∴T n =2•+3•+4•+…+（n +1）， T n =2•+3•+…+n •+（n +1）， 两式相减得： T n =2•+++…+﹣（n +1） =+﹣（n +1）=﹣， ∴T n =3﹣．18．如图，在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，△A 1BC 是 正三角形，B 1C 1∥BC ，B 1C 1=BC ．（Ⅰ）求证：面A 1AC ⊥面ABC ；（Ⅱ）求该几何体的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC ⊥面ABC．（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，∴，∴，∴A1A⊥AC，又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，∴面A1AC⊥面ABC．（Ⅱ）解：依题意得：而，，故：．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有=2，又a2﹣b2=16，解得a=4，b=4，则椭圆方程为+=1；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===，S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8，当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′（x）=1﹣2x﹣e x，可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，f（x）=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣a x lna，又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增函数极大值减函数所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna的导数为y′=﹣=，可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD 内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=112°．（2）证明：∵∠DAE=35°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△ABP，∴=，∠DBA=∠BDA，∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，∴=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程：x+y﹣4=0．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．∴cos==，∵，∴∠AOB=，可得∠AOB=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【考点】基本不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．2020年8月27日。

2020届内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)(有答案)

2020届内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)(有答案)

内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D 点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数列，故a65=a3+ =a5=31．（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM 与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．。

2020年内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

2020年内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

2020年内蒙古高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z的共轭复数为z−，i为虚数单位，若z=1−i，则(3+2z−)i=()A. −2−5iB. −2+5iC. 2+5iD. 2−5i2.已知集合M={x|x2−2x−3<0}，N={x|x2−mx<0}，若M∩N={x|0<x<1}，则m的值为()A. 1B. −1C. ±1D. 23.已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4=24，S9=99，则a7=()A. 13B. 14C. 15D. 164.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A. 1−sin2θB. 12−12sin2θC. 1−sinθD. 12−sin2θ5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)的图象大致是()A. B.C. D.6.从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 45种B. 120 种C. 30种D. 63种7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积()A. √3πB. 2√3πC. 4√3πD. 12π8. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，A 在x 轴上方，且满足|AF 1|=3|F 1B|，cos∠AF 2B =35，则A 点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. y 轴上D. 都有可能9. 已知函数f(x)={e (x+1)2,x ≤0x +4x−3,x >0，函数y =f(x)−a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4的最大值为( ) A. 1+e B. 4+e C. 1−e D. 1+2e10. O 为△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A. 16B. 14C. 12D. 2311. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是( ) A. (√3,+∞) B. (2,+∞) C. (√3,2) D. (1,2)12. 定义在R 上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x >0时，xf′(x)+2f(x)<0.则( )A.f(e)4>f(2)e 2B. 9f(3)>f(1)C.f(e)9<f(−3)e 2D.f(e)9>f(−3)e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥−2，则z =2x +y 的最小值为______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 2+a 4=8，a 6+a 8=4，则a 10+a 12+a 14+a 16=______．15. “砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012−2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图(例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%).从2012−2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为______．16.在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a⃗=(2cosx,2sinx)，b⃗ =(sin(x−π6),cos(x−π6))，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求函数f(x)的零点；(2)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=2，△ABC的外接圆半径为√3，求△ABC周长的最大值．18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，EDBF是矩形，DE=a，平面EDBF⊥平面ABCD．(1)若a=1，求证：AE⊥CF；(2)若二面角A−EF−B的余弦值为45，求a的值．19.设动圆P(圆心为P)经过定点(0,2)，被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)直线l：y=√2x+m(m∈R)与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB=−2√2，求m的值．20.质量指标值m m<185185≤m<205M≥205等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N(216,139)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21.已知函数f(x)=x−2+ae x(e为自然对数的底数)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>6．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +ty =1−t (t 为参数)；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ (1)若a =1，求C 与l 交点的直角坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为2√2，求a ．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x −a|．(1)当a =−2时，求不等式0<f(x)≤3的解集；(2)若a ≤0，∃x ∈(0,+∞)使f(x)≤a 2−3成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由z =1−i ，得(3+2z −)i =(3+2+2i)i =(5+2i)i =−2+5i ． 故选：B ．把z =1−i 代入(3+2z −)i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵M ={x|−1<x <3}，N ={x|x 2−mx <0}，M ∩N ={x|0<x <1}， ∴N ={x|0<x <m}， ∴m =1． 故选：A ．可以求出M ={x|−1<x <3}，从而可以根据M ∩N ={x|0<x <1}即可得出N ={x|0<x <m}，从而得出m =1．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】C【解析】解：因为S 4=24，S 9=99， {4a 1+6d =249a 1+36d =99，解可得，a 1=3，d =2 则a 7=a 1+6d =15． 故选：C ．由已知结合等差数列的求和公式可求d ，a 1，然后结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 4.【答案】A【解析】解：由题意可知，小正方形的边长为2(cosθ−sinθ)，面积S 1=4(cosθ−sinθ)2=4(1−sin2θ)，大正方形的面积S =2×2=4，故镖落在小正方形内的概率P =(1−sin2θ)． 故选：A ．分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可． 本题考查概率的计算，考查三角函数知识的运用，属于基础题． 5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力． 利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可． 【解答】解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x ≤π且x ≠0)是偶函数排除A ．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x +cosx，令1x+cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故排除D．f(π)=lnπ>1，故排除C．故选B．6.【答案】A【解析】解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数=∁62⋅∁31=45．故选：A．6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．本题考查了分层抽样、组合数的意义、乘法原理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=√(√2)2+12=√3，S=4⋅π⋅(√3)2=12π．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】C【解析】解：设|BF1|=k，则|AF1|=3k由椭圆的定义可得：|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，|AB|=4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，即16k2=(2a−3k)2+(2a−k)2−2(2a−3k)(2a−k)⋅35，整理可得a=3k，所以|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A 在y 轴上， 故选：C ．设|BF 2|=k ，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a 与k 的关系，进而可得|AF 2|=3k =|AF 1|，可得A 在y 轴上． 考查椭圆的性质，属于中档题． 9.【答案】A【解析】解：若函数y =f(x)−a 有四个不同的零点，则有a ∈(1,e]，当x >0时，f(x)=x +4x −3≥2√x ⋅4x −3=1，可得f(x)在x >2递增，在0<x <2处递减，由f(x)=e (x+1)2，x ≤0，x <−1时，f(x)递减；−1<x <0时，f(x)递增，可得x =−1处取得极小值1，作出f(x)的图象，以及直线y =a ，可得e (x 1+1)2=e (x 2+1)2=x 3+4x 3−3=x 4+4x 4−3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1+x 2=−2，x 3，x 4是方程x +4x −3=a 的两根，即x 2−(3+a)x +4=0的两个根，∴x 3+x 4=3+a ， 则x 1+x 2+x 3+x 4=−2+3+a =a +1≤e +1， 故最大值为e +1， 故选：A ．作出函数f(x)的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解． 本题考查函数与方程的综合运用，考查函数的单调性及最值的求解，考查数形结合思想，转化思想及逻辑推理能力，属于中档题． 10.【答案】D【解析】解：由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，O ，D 三点共线，∴可设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λt OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λt =2(1−t)λ=1，解得t =23． 故选：D ．根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而根据B ，O ，D 三点共线，可设BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λt OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样根据平面向量基本定理即可得出{λt =2(1−t)λ=1，解出t 即可．本题考查了共线向量基本定理，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：设直线方程为y =b a (x −c)，与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)联立，可得交点坐标为P(c 2,−bc2a ) ∵F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3C 2,bc 2a )，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )，由题意可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，即b 2c 24a 2−3c24<0，化简可得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2， 故可得c 2<4a 2，c <2a ，可得e =ca <2，∵e >1，∴1<e <2故选：D ．确定M ，F 1，F 2的坐标，进而由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合a 、b 、c 的关系可得关于ac 的不等式，利用离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题． 12.【答案】D【解析】解：令g(x)=x 2f(x)， 当x >0时，xf′(x)+2f(x)<0，则g′(x)=2xf(x)+x 2f′(x)=x[2f(x)+f′(x)]<0即g(x)在(0,+∞)上单调递减， 因为f(−x)=f(x)，所以g(−x)=(−x)2f(−x)=x 2f(x)=g(x)即g(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知，g(x)在(−∞,0)上单调递增，g(e)>g(3)， 所以f(e)9>f(3)e 2=f(−3)e 2，故选：D ．构造函数g(x)=x 2f(x)，结合已知条件及导数与单调性关系可判断g(x)的单调性及奇偶性，从而可求解．本题主要考查了利用奇偶性及单调性比较大小，解题的关键是函数性质的灵活应用． 13.【答案】−6【解析】解：由x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥−2作出可行域如图，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过B(−2,−2)时 直线在y 轴上的截距最小，z 最小z =−2×2−2=−6．故答案为：−6．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】3【解析】解：设等比数列的公比为q，则{a1q(1+q2)=8a1q5(1+q2)=4，解可得q4=12，所以a10+a12+a14+a16=(a2+a4)q8+(a6+a8)q8=8×14+4×14=3．故答案为：3．由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及性质在求解数列的项中的应用，属于基础试题．15.【答案】910【解析】解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P(B)=910，故答案为：910．设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．本题考查概率的求法，考查折线图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】√22a【解析】解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O 的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG//PN，且OG=12PN=√24a．在Rt△OGE中，OE=a2，则EF=2EG=2√OE2−OG2=√22a．故答案为：√22a．由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．本题考查多面体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cosxsin(x−π6)+2sinxcos(x−π6)=2sin(2x−π6)，由f(x)=0得2x−π6=kπ，k∈Z，得x=kπ2+π12，即函数的零点为x=kπ2+π12，k∈Z．(2)∵f(A)=2，∴f(A)=2sin(2A−π6)=2，得sin(2A−π6)=1，即2A −π6=2kπ+π2，即A =kπ+π3， 在三角形中，当k =0时，A =π3，满足条件，∵△ABC 的外接圆半径为√3，∴a sinA =2√3，即a =2√3×√32=3， 由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ≥=(b +c)2−34(b +c)2=14(b +c)2， 即(b +c)2≤4×9=36，即b +c ≤6当且仅当b =c 时取等号，则a +b +c ≤9，即三角形周长的最大值为9．【解析】(1)根据向量数量积的定义求出f(x)，结合零点的定义进行求解即可．(2)根据条件先求出A 和a 的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量数量积的定义以及余弦定理，利用基本不等式求最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．18.【答案】解：(1)连接AC ，在三角形ABD 中AB =2，AD =1， ∠BAD =60°，由余弦定理得BD =√3，AD 2+BD 2=AB 2，故AD ⊥BD ，EDBF 是矩形，DE =1，平面EDBF ⊥平面ABCD ，故BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，则AF =√4+1=√5，AE 2+EF 2=AF 2，故AE ⊥EF ，由AC =√22+1−2⋅2⋅1⋅cos120°=√7，EC =√5，AE =√2，得AE 2+EC 2=AC 2，故AE ⊥EC ，EC ∩EF =E ，所以AE ⊥平面EFC ，FC ⊂平面EFC ，所以AE ⊥FC ；(2)以D 为原点，DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，E(0,0，a)，F(0,√3,a)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,a),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)， 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +az =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0，得m ⃗⃗⃗ =(a,0,1)， 平面DEFB 的法向量为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，由cos <m ⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√a 2+1=45， 得a =43．【解析】(1)根据勾股定理判断AD ⊥BD ，AE ⊥EF ，AE ⊥EC ，得到AE ⊥平面EFC ，最后得出结论；(2)以D 为原点，DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB 的法向量，利用夹角公式列方程，求出a ．考查线面垂直的判定定理，利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．19.【答案】解：(1)设动圆P 的圆心为(x,y)，半径为r ，被x 轴截得的弦长为|AB|，依题意得：{√x 2+(y −2)2=r |y|2+(|AB|2)2=r 2， 化简整理得：x 2=4y ，∴曲线E 的方程为：x 2=4y ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点坐标C(x 3,y 3)，M(0,y 0)，联立方程{y =√2x +m x 2=4y，整理得：x 2−4√2x −4m =0， ∴△=16×2+4×4m =32+16m >0，∴m >−2，∴x 1+x 2=4√2，x 1x 2=−4m ，y 1+y 2=√2(x 1+x 2)+2m =8+2m ，∴x 3=2√2，y 3=4+m ，∴线段AB 的中点C 的坐标为(2√2,4+m)， 又|AB|=√1+(√2)2⋅|x 1−x 2|=√3×√32+16m =4√3×√2+m ，∴|AC|=2√3×√2+m ，又AB 的垂直平分线方程为：y −(4+m)=−√22(x −2√2)，∴y 0=6+m ， ∴|MC|=√(2√2)2+[(4+m)−(6+m)]2=2√3，∵CM 垂直平分AB ，∴∠AMB =2∠AMC ，又tan∠AMB =2tan∠AMC1−tan 2∠AMC =−2√2，解得tan∠AMC =√2或−√22(舍去)， ∴在Rt △AMC 中，tan∠AMC =|AC||MC|=√3√2+m 2√3=√2，∴m =0，满足m >−2，∴m 的值为0．【解析】(1)设动圆P 的圆心为(x,y)，半径为r ，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E 的方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点坐标C(x 3,y 3)，M(0,y 0)，联立直线l 与抛物线方程，利用韦达定理求出C 的坐标为(2√2,4+m)，利用弦长公式求出|AB|=4√3×√2+m ，所以|AC|=2√3×√2+m ，又y 0=6+m ，所以|MC|=√(2√2)2+[(4+m)−(6+m)]2=2√3，再利用二倍角的正切公式求出tan∠AMC =√2，所以tan∠AMC =|AC||MC|=√3√2+m2√3=√2，即可解出m 的值．本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.【答案】解：(1)根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025=0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；(2)由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P=C32C41C11+C31C42C11C84=37；(3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(216,139)，即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．【解析】(1)根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；(2)由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；(3)求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(216,139)，得质量指标的均值约为216，作差得答案．本题考查频率分布直方图，考查古典概型概率的求法，考查学生读取图表的能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1+ae x，当a≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，当a<0时，令f′(x)=0可得x=ln(−1a)，故函数的单调递增区间为(−∞,ln(−1a ))，单调递减区间(ln(−1a),+∞)，(2)证明：由f(x)=0可得a=2−xe x，设g(x)=2−xe x ，则g′(x)=x−3e x，当x<3时，g′(x)<0，函数单调递减，当x>3时，g′(x)>0，函数单调递增，当x=3时，g(x)取得最小值g(3)=−1e3，当x>时，g(x)<0，当x<2时，g(x)>0，不妨设x1<x2，则x1∈(2,3)，x2∈(3,+∞)，所以6−x1>3，且g(x)在(3,+∞)上单调递增，要证x1+x2>6，只要证x2>6−x1>3，故只要证g(x2)>g(6−x1)，因为g(x1)=g(x2)=a,只要证g(x1))>g(6−x1)，即2−x1e1>x1−4e1，即证e2x1−6(x1−4)+x−2<0，令ℎ(x)=e2x−6(x−4)+x−2，2<x<3，则ℎ′(x)=e2x−6(2x−7)+1，令m(x)=ℎ′(x)，则m′(x)=4e2x−6(x−3)<0，所以m(x)在(2,3)上单调及，ℎ′(x)>ℎ′(3)=0，故ℎ(x)在(2,3)上单调递增，ℎ(x)<ℎ(3)=0，即e2x−6(x−4)+x−2<0，从而：x1+x2>6．【解析】(1)对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；(2)由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，证明不等式，考查了学生分析问题，解决问题的能力．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ，∴曲线C 的普通方程为 x 24+y 2=1，∵直线l 的参数方程为 {x =a +t y =1−t (t 为参数)，∴当a =1时，直线l 的普通方程为x +y −2=0．由 {x 24+y 2=1x +y −2=0解得{x =2y =0或{x =65y =45从而C 与l 的交点的直角坐标是(2,0),(65,45)．(2)直线l 的普通方程是x +y −1−a =0，故C 上的点(2cos θ，sin θ)到l 的距离为d =√2=√5sin(θ+ϕ)−1−a|√2其中tanϕ=2， 当a ≥−1时，d 的最大值为√5+1+a√2． 由题设得√5+1+a2=2√2，所以a =3−√5当a <−1时，d 的最大值为．√5−1−a√2 由题设得，√5−1−a√2=2√2所以a =√5−5． 综上，a =3−√5,或a =√5−5．【解析】(1)求出曲线C 的普通方程和当a =1时，直线l 的普通方程，列方程组能求出C 与l 的交点的直角坐标．(2)直线l 的普通方程是x +y −1−a =0，C 上的点(2cos θ，sin θ)到l 的距离为d =√2=√5sin(θ+ϕ)−1−a|√2其中tanϕ=2，由此利用C 上的点到l 的距离的最大值为2√2，能求出a ．本题考查直线与曲线交点坐标的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：(1)当a =−2时，因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)=3， |所以f(x)≤3的解集为R ；由f(x)>0，得|x −1|>|x +2|，解得x <−12，故不等式0<f(x)≤3的解集为(−∞,−12)；(2)当a ≤0，x ∈(0,+∞)时，f(x)=|x −1|−x +a ={a −1,x ≥1−2x +1+a,0<x <1， 则f(x)min =f(1)=a −1，故a 2−3≥a −1，解得：a ≥2或a ≤−1，又a ≤0，所以a ≤−1．所以a 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)当a =−2时，利用绝对值不等式得f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，即f(x)≤3的解集为R ；再由f(x)>0，得|x −1|>|x +2|，解之，即可得到不等式0<f(x)≤3的解集；(2)当a ≤0，x ∈(0,+∞)时，可求得f(x)=|x −1|−x +a 的最小值为f(1)=a −1，解不等式a 2−3≥a −1即可得到答案．本题考查不等式恒成立问题、考查分类讨论思想与等价转化思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)

内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为600×0.5=300；
②根据题意得2×2列联表：
满意型
需改进型
合计
女性
15
5
20
男性
5
15
20
合计
20
20
40
由于 ，
查表得 ，
所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。
20.（1）设 ，则 内，
由余弦定理得 ，化简得 ，解得
故 ，得
所以椭圆 的标准方程为
②“∃x0∈R，使得x －x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）
三、解答题
17.（1）∵ ，∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，∴ .
由 ， 及 ，得 ，∴ .
又 ，∴
故其周长为 .
18.（1）证明：在左图中，∵四边形 是菱形， ， 是 的中点，
∴ ，
故在右图中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案
（二）
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z在复平面上的对应点为，为z的共轭复数，则A. 是纯虚数B. 是实数C. 是纯虚数D. 是纯虚数3.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.6.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是A. B. C. D.8.设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A. 510B. 255C. 512D. 2569.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是A. 是最小正周期为的偶函数B. 是最小正周期为的奇函数C. 在上单调递减D. 在上的最大值为10.已知椭圆C：，，是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设在R上是奇函数，且，当时，，则______．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．15.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是______尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积含上下两底最小那么它的底面半径是______尺．16.设数列的前n项和为，且满足，则使成立的n的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面底面ABCD，E为AD的中点．求证：平面平面PCE；点F在线段CD上，且，求三棱锥的体积．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．求角A；若，求的面积的最大值．19.3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻中度感染重度包括危重总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100求列联表中的数据，，，的值；能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：，．20.已知曲线C上的任意一点M到点的距离比到直线l：的距离少1，动点P在直线s：上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．求曲线C的方程；判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21.已知函数．当时，求函数的极值；当时，求函数在上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．若，求曲线C与l的交点坐标；过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，且的最大值，求a 的值．23.已知函数．解不等式；记函数的最大值为s，若b，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题意，，则，是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：，解得：．“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．，解出范围即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额，2015年食品的消费额为，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额，2015年食品的消费额为，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额，2015年休闲旅游的消费额为，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额，2015年生活用品的消费额为，不相等，D错；故选：C．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．本题考查图表，进行推理，属于基础题．5.答案：B解析：解：，，，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：A．利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：，，，，共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：，共1个，这对孪生素数的积不超过20的概率是．故选：C．利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，解得，．故选：B．利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．本题考查等比数列的前8项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：D解析：解：令；向右平移个单位，A答案：，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为，所以C错误．D答案：正确．故选：D．本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成的形式，跟据题中所给条件作出判断．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：C解析：解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，要使恒成立，则为锐角，即，即，所以，而所以，解得：或，故选：C．由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，而恒成立可得为锐角，即可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．本题考查椭圆的性质，椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，及数量积的符合可得角的大小，属于中档题．11.答案：A解析：解：，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，，解得；所以外接球的体积为故选：A．由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．考查三棱锥体积最大的情况及球的体积公式，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数的图象与函数关于原点对称，则原题等价于函数与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增．，，，所以实数a的取值范围是，故选：B．求出函数关于原点对称的函数，已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为与，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，将条件转化为两个函数有交点，构造函数，求导数研究函数的最值是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解比较好理解．13.答案：解析：解：，关于直线对称，又为奇函数，的最小正周期为4，．故答案为：．先求出函数的一条对称轴为，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．本题考查利用函数性质求函数值，主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性，属于基础题．14.答案：解析：解：由，且，所以，所以；所以，又，所以与的夹角为．故答案为：．由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．本题考查了利用平面向量的数量积求出夹角大小的问题，是基础题．15.答案：20解析：解：设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积为立方尺．一万斛粟的体积为立方尺．由题意有：，得尺；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由题意可得，则，圆柱形粮仓的表面积平方尺．当且仅当，即时上式取等号．故答案为：20；．设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．本题考查圆柱与棱柱体积的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．16.答案：3解析：解：由，当时，，得，当时，，得，，故是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以，化简得：，令，解不等式得，，故最大的，故答案为：3．先求出是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．本题考查了等比数列求通项公式，前n项和，还考查了不等式的解法，考查运算能力，中档题．17.答案：解：证明：为等边三角形，E为AD的中点，，平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，平面ABCD，，由题意知ABCE是正方形，，，平面PCE，平面PBC，平面平面PCE．解：过F作，垂足为G，三棱锥的体积：．解析：推导出，，，从而平面PCE，由此能证明平面平面PCE．过F作，垂足为G，三棱锥的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：由题意及正弦定理得，，，，化简得，，，，，，，由余弦定理得，，，当且仅当，，，的面积的最大值为．解析：由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；结合中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．本题考查解三角形，注意选择合理的公式，属于中档题．19.答案：解：由题意可得，，，，；，没有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；由于在“轻中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：E，，E，，E，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，b，共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．解析：直接由题意可得m，n，x，y的值；求出的值，结合临界值表得结论；利用分层抽样可得在“轻中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．本题考查独立性检验，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点，准线l：．曲线C的方程为；设，，，由，即，得．抛物线C在点A处的切线方程为，即．，，又点在切线PA上，，同理，综合得，，的坐标都满足．直线AB：，恒过抛物线的焦点．解析：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；设，，，利用导数求过点A与B的切线方程，可得点，的坐标都满足，由此可得直线AB：，恒过抛物线的焦点．本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，训练了利用“同一法”求直线方程，是中档题．21.答案：解：函数的定义域为，分，，，，函数在上为减函数；，函数在上为增函数；所以，无极大值分由可得，，由，可得，分当，即时，在成立，在此区间上为减函数，所以分当，即时，，；，；所以在为减函数，在为增函数，所以分当，即时，，，在上为增函数，分综上所述，分解析：可求得，进一步分析知函数在上为减函数，函数在上为增函数，可求函数的极值；由可得可得，，分，即，，即，当，即时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．当时，直线l的参数方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．所以，解得或，所以交点坐标为和曲线的直角坐标方程为，故曲线C上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得．当时，的最大值为，解得．故或．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：，当时，恒成立；当时，，即，则；当时，显然不成立．故不等式的解集为；证明：由知，，于是，由基本不等式可知当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，上述三式相加可得，当且仅当时取等号，，．解析：将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；易知，利用基本不等式可得，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)含答案解析

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)含答案解析

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数=a5=31．列，故a65=a3+（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．2020年7月22日第21页（共21页）。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<3}，B={x|x<1}，则A∩B=()A. {x|x<1}B. {x|x<3}C. {x|−3<x<1}D. {x|−3<x<3}2.若复数z满足iz=4−5i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z−为()A. 5−4iB. −5+4iC. 5+4iD. −5−4i3.“a2>b2”是“lna>lnb”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为()A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元5.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a6.若双曲线C：x22−y23m=λ的一条渐近线方程为2x+3y=0，则m=()A. 32B. 23C. 827D. 2787.2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是{3,5}，{5,7}，{11,13}，{17,19}，{29,31}，{41,43}.现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为()A. 13B. 15C. 16D. 258.等差数列{a n}中，a3=2,a6=5，则数列{2a n}的前5项和等于()A. 15B. 31C. 63D. 1279.已知函数f(x)的图象可由函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度得到，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期可为−2πB. 函数f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称D. 函数f(x)的一个零点为x=π610.已知F1、F2椭圆x216+4y215=1左右焦点，P是椭圆是一点，|PF1|=5，则∠F2PF1的大小为()A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. π311.已知三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若三棱锥P−ABC的体积为32，则该三棱锥的外接球的体积为()A. 8√3πB. 6√3πC. 4√3πD. 2√3π12.已知函数f(x)=mx−2m，g(x)={x 2+2(m+1)x+1−m,x⩽0lnx,x>0，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. [−2,−1]B. (−2,−1]C. [−1,0]D. [−1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3−x，则f(−2)=______ ．14.已知向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，则向量a⃗和c⃗的夹角为______ ．15.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈—尺，文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是_________立方尺.(取π=3，1丈=10尺)16.若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2S n，则a4+a5+a6=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形且∠ADC=90°，AB//CD，AC⊥BD垂足为G，PG是四棱锥P−ABCD的高，∠DAC=∠DPC=60°，PD=2，PC=1．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)求三棱锥P−ACD的体积．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=sinC，c=3．2−cosC(1)求b；a(2)若△ABC的面积为3，求cos C．19.研究某新药的疗效，利用简单随机抽样法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据．请问：(1)请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？(2)是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？(写出必要过程)(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．参考附表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，期中n −a +b +c +d20. 已知动点P 到点(12,0)的距离比它到直线x =−52的距离小2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记P 点的轨迹为E ，过点M(2,0)斜率为k 1的直线交曲线E 于A ，B 两点，已知点N(1,0)，延长AN ，BN 与曲线E 交于C ，D 两点，设CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值．21.已知函数f(x)=alnx−x2+x有两个极值点x1，x2(x1<x2).(1)若x2−x1=14，求实数a的值；(2)若−325<a<−19，求f(x1)−f(x2)x1−x2的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−3+tcosαy=√3+tsinα(t为参数，0≤α<π且α≠π2)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√3.已知直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=2√3．(1)求α的大小；(2)过A、B分别作l的垂线与x轴交于M,N两点，求|MN|．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：B解析：解：∵iz=4−5i，∴i2z=(4−5i)i，∴−z=4i+5，化为z=−5−4i．∴z的共轭复数z−=−5+4i．故选：B．利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：若lna>lnb，则a>b>0，可得a2>b2；反之，“a2>b2”a，b可能为负数，推不出lna>lnb．∴“a2>b2”是“lna>lnb”的必要不充分条件．故选：B．若lna>lnb，则a>b>0，可得a2>b2；反之，“a2>b2”a，b可能为负数，推不出lna>lnb.即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：设教师2018年家庭总收入为n，则n×15%−80000×10%=4750，解得n=85000，则该教师2018年的旅行费用为85000×35%=29750，故选：C．先对图表信息进行分析，再结合简单的合情推理可得解．本题考查了对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属于基础题．5.答案：C解析：解：a=215>1，0<b=log352<log33=1，，∴a>b>c．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，属于基础题．利用已知条件列出关系式，转化求解即可．解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±√3m2x(m>0)，2x+3y=0可化为y=−23x，则√3m2=23，解得m=827．故选C．7.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用.注意事件的无漏无缺，属于基础题．先找出符合题意得所有事件，再找符合题意的事件．利用古典概型的计算，计算得结论． 解：从6对李生素数中取出2对，有{3,5}和{5,7}，{3,5}和{11,13}，{3,5}和{17,19}，{3,5}和{29,31}，{3,5}和{41,43}，{5,7}和{11,13}，{5,7}和{17,19}，{5,7}和{29,31}，{5,7}和{41,43}，{11,13}和{17,19}，{11,13}和{29,31}，{11,13}和{41,43}，{17,19}和{29,31}，{17,19}和{41,43}，{29,31}和{41,43}， 所以6对孪生素数中取出2对共有种不同取法，其中4个素数的和大于100的有{41,43}和{29,31}，{41,43}和{17,19}，{41,43}和{11,13}，共3种不同取法，则其概率为315=15． 故选B ．8.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=2，a 6=5， ∴{a 1+2d =2a 1+5d =5，解得d =1，a 1=0． ∴a n =n −1． ∴2a n =2n−1．则数列{2a n }的前5项和S 5=1−251−2=31．9.答案：C解析：求出平移后的图象对应的函数解析式，再由正弦函数的图象与性质求解．解：函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π3个单位长度得到f(x)=3sin[2(x −π3)+π3]=3sin(2x −π3)的图象，f(−2π+x)=f(x)，故A正确；当−π12<x<5π12，−π2<2x−π3<π2，f(x)递增，B正确；当x=π12时，f(π12)=3sin(−π6)，显然图象不关于直线x=π12对称，C错误；f(π6)=0，D正确，故选C．10.答案：A解析：解：椭圆x216+4y215=1的a=4，b2=154，c2=16−154=494，则c=72，即有|F1F2|=2c=7，且|PF1|=5，|PF2|=3，在△PF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F2PF1=32+52−722×3×5=−12，则∠F2PF1=2π3．故选A．求出椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义，再由余弦定理，即可得到∠F2PF1的大小．本题考查椭圆的定义和运用，考查余弦定理及应用，考查运算能力，属于基础题．11.答案：C解析：本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由于三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC.而2AC=√3AB，可得BC=x，AC=√3x.利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．解：如图所示，∵三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵2AC=√3AB，∴∠ABC=60°，∴BC=x，AC=√3x.∴V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PO=13×12×√3x2×x=32，解得x=√3．∴该三棱锥的外接球的体积V=4π3x3=4√3π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查由函数零点的个数求参数的范围，属于中档题．分类讨论，将问题转化为二次方程根的分布问题，即可容易求得参数范围．解：因为f(x)=m(x−2)，且当x>0时，g(x)=lnx，①当m≤0，x>0时，f(x)与g(x)只有一个交点，要满足题意，只需当x≤0时，f(x)=g(x)有两个根，等价于x2+(m+2)x+1+m=(x+1)(x+m+1)=0有两个非正根即可．显然，该方程的两根为−1和−1−m，要满足题意，只需−1−m≤0且−1−m≠−1即可，即m≥−1且m≠0，又m≤0，故m∈[−1,0);②当m>0，x>0时，f(x)与g(x)有2个交点，要满足题意，只需当x≤0时，f(x)=g(x)有一个根，等价于x2+(m+2)x+1+m=(x+1)(x+m+1)=0有一个非正根即可．显然，该方程的两根为−1和−1−m，则只需−1−m=−1或−1−m>0即可，解得m=0或m<−1，又m>0，故m∈⌀;综上所述：m∈[−1,0)．故选D．13.答案：−6解析：解：由题意，f(2)=23−2=6，∵f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)=−6．故答案为−6．直接利用奇函数的定义，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．14.答案：π2解析：由数量积可得a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2=0.即可得出．本题考查了数量积运算，属于基础题．解：∵向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，∴a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2a⃗ ⋅b⃗×a⃗⋅b⃗ =a⃗2−a⃗2=0．∴a⃗⊥c⃗．∴向量a⃗和c⃗的夹角为π2．故答案为π2．15.答案：2112解析：本题考查求圆柱的体积，属于基础题目．根据圆柱的体积公式计算即可．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，底面周长为C，因C=2πR，，故R=C2π则所求体积为．故答案为2112．16.答案：234解析：解：根据题意，数列{a n}满足：a n+1=2S n，即S n+1−S n=2S n，则有S n+1=3S n，又由S1=a1=1，则数列{S n}为首项为1，公比为3的等比数列，则S n=1×3n−1=3n−1，则a4+a5+a6=S6−S3=35−32=234；故答案为：234．根据题意，将a n+1=2S n变形可得S n+1−S n=2S n，则有S n+1=3S n，据此分析可得数列{S n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得S n=1×3n−1=3n−1，又由a4+a5+a6=S6−S3，计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列{S n}的性质，属于基础题．17.答案：证明：(1)∵PG是四棱锥P−ABCD的高，∴AC⊥PG，∵AC⊥BD，PG，BD都在平面PGA内，且PG∩BD=G，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．解：(2)∵PD =2，PC =1，∠DPC =60°，∴由余弦定理得DC =√PD 2+PC 2−2×PD ×PC ×cos∠DPC =√3， 由题意得AD ⊥DC ，在Rt △ADC 中，∠DAC =60°， ∴AC =DCsin∠DAC =√3√32=2，∴AD =√AC 2−DC 2=√4−3=1， ∵S △ACD =12×AD ×DC =12×DG ×AC ，∴DG =AD×DC AC=1×√32=√32， ∵PG 为四棱锥P −ABCD 的高， ∴PG ⊥平面ABCD ，∵DG ⊂平面ABCD ，∴PG ⊥DG ，在Rt △PGD 中，PG +√PD 2−DG 2=√22−(√32)2=√132，∴三棱锥P −ACD 的体积V =13×S △ADC ×PG =13×12×AD ×DC ×PG =13×12×1×√3×√132=√3912．解析：(1)推导出AC ⊥PG ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面PBD ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBD ． (2)由余弦定理得DC =√3，推导出AD ⊥DC ，AC =2，AD =√AC 2−DC 2=1，DG =AD×DC AC=√32，PG ⊥平面ABCD ，由此能求出三棱锥P −ACD 的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(1)tanA =sinA cosA =sinC2−cosC ，即2sinA −sinAcosC =cosAsinC ，整理得：2sinA =sinAcosC +cosAsinC =sin(A +C)=sinB ， 利用正弦定理asinA =bsinB 化简得：2a =b ， 则ba =2；(2)∵2a =b ，△ABC 面积为3，c =3， ∴S △ABC =12absinC =a 2sinC =3①， cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+4a 2−94a 2，即54−94a 2=cosC②，联立①②解得：sinC=35，cosC=45．解析：(1)已知等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦，去分母整理后，利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；(2)利用三角形面积公式及余弦定理分别列出关系式，联立即可求出cos C的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.答案：解：(1)利用简单随机抽样法给50个男患者服用此药，有35位有效，因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比=3550=70%．给50个女患者服用此药，有46位有效，因此服用该药品女患者中有效者所占的百分比=92%．(2)根据所给的数据代入求观测值的公式得到K2=100(15×46−4×35)219×81×50×50≈7.86，由于7.86>6.635，所以有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关．(3)由(2)得结论知，服用此药的效果与患者的性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性比女性有效的比例有明显差异，因此在调查时，先确定此病的患者中男、女的比例，再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．解析：(1)根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数，再求比例；(2)计算K2，同临界值进行比较，得到有多大把握认为服用此药的效果与患者的性别有关；(3)计算服用该药的患者中有效者、无效者的比例，来判断分层抽样否更切合实际．本题考查独立性检验的应用及分层抽样．本题解题的关键是正确代入所给的数据，求出观测值，是一个基础题．20.答案：解：(1)∵动点P到点(12,0)的距离比它到直线x=−52的距离小2，∴动点P到点(12,0)的距离与它到直线x=−12的距离相等，∴动点P的轨迹是以点(12,0)为焦点的抛物线，∴动点P的轨迹方程为y2=2x；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，则直线AB的方程为y=k1(x−2)，代入抛物线方程中，得y 2−2yk 1−4=0，则y 1+y 2=2k 1，y 1y 2=−4，由直线AC 过点N(1,0)，可得直线AC 的方程为y =y1x 1−1(x −1)，与y 2=2x 联立，得y 2−2(x 1−1)y 1⋅y −2=0，则y 1·y 3=−2，同理可得y 2y 4=−2，∴y 3=−2y 1，y 4=−2y 2，∴k 2=y 4−y 3x 4−x 3=2y4+y 3=−y 1y2y 1+y2=2k 1， ∴k2k 1=2为定值．解析：本题考查了动点的轨迹方程，抛物线的概念及标准方程，直线与抛物线的位置关系，定值问题的证明，属于较难题．(1)由已知转化为动点P 到点(12,0)的距离与它到直线x =−12的距离相等，则动点P 的轨迹是以点(12,0)为焦点的抛物线，即可求出轨迹方程；(2)先直线AB 的方程为y =k 1(x −2)代入抛物线方程中，得y 1+y 2=2k 1，y 1y 2=−4，同理可得y 1y 3=y 2y 4=−2，整理变形即可证明k2k 1=2为定值．21.答案：解：(1)出题得f ′(x)=ax −2x +1=−2x 2+x+ax，故x 1，x 2是关于x 的方程−2x 2+x +a =0的两个根， 故x 1+x 2=12.又x 2−x 1=14， 所以x 1=18，x 2=38， 所以a =−2x 1x 2=−332．， 令x 2x 1=t ，则．由−2x 12+x 1+a =0与−325<a <−19， 可得{2x 12−x 1=a >−325,2x 12−x 1=a <−19,, 解得16<x 1<15或310<x 1<13． 又由x 1<x 2=12−x 1，得x 1<14， 所以16<x 1<15， 故t =x 2x 1=12−x 1x 1=12x 1−1∈(32,2)．，令，则ℎ′(t)=1t −2t(t 2+1)−2t(t 2−1)(t 2+1)2=(t 2−1)2t(t 2+1)2>0，故ℎ(t)>ℎ(1)=0， 所以g′(t)>0， 故g(t)为增函数， 所以g(32)<g(t)<g(2)， 即，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围为．解析：本题考查利用导数研究函数的极值并且利用导数研究参数范围，属于难题．(1)根据x 1，x 2是关于x 的方程−2x 2+x +a =0的两个根，故x 1+x 2=12.又x 2−x 1=14，所以x 1=18，x 2=38，所以a =−2x 1x 2=−332； (2)根据题意构造函数，然后通过求导求出最值，进而求出范围即可．22.答案：解：(1)由已知直线l 的参数方程为：{x =−3+tcosαy =√3+tsinα(t 为参数，0≤α<π且α≠π2)， 则：tanαx −y +3tanα+√3=0， ∵|OA|=|OB|=2√3，|AB|=2√3， ∴O 到直线l 的距离为3，则3=√3|√tan 2α+1，解之得tanα=√33．∵0<α<π且α≠π2， ∴α=π6；(2)直接利用关系式， 解得：|MN|=|AB|cos30=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果． (2)直接利用关系式求出结果．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a=1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。

2020年内蒙古高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2020年内蒙古高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2020年内蒙古高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.1．（5分）设复数z 满足23(z z i i +=+是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）若集合{1A =，2}，{1B =，2，3，4，5}，则满足A X B =U 的集合X 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．83．（5分）已知向量(1,2)a b +=r r ，(3,0)a b -=-r r ，则(a b =rr g ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-4．（5分）如图，若输入225m =，135n =，则输出的结果为( )A ．135B ．90C ．45D ．05．（5分）如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．842+B ．82+C ．442+D ．422+6．（5分）已知x ，y 满足20,220,2,x y x y x +-⎧⎪++⎨⎪⎩„……，则3x y +的最大值为( )A ．6-B ．4-C ．2-D ．27．（5分）某单位年会进行某项游戏活动，游戏规则是，有一个质地均匀的正方体玩具，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，让每位参加者抛掷正方体玩具2次，记下与桌面接触的面上的数字，则接触面上的两个数的乘积能被4整除的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．7128．（5分）函数2sin(2)6y x π=-，([0,])x π∈为增函数的区间是( )A ．[0，]3πB ．[12π，7]12πC ．[3π，5]6πD ．5[6π，]π 9．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线221912x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上一点，1PF 中点M 在y 轴上，则21||||PF PF 等于( )A ．52B ．2C ．12D ．2510．（5分）设函数2()(1)f x lg x =+，则使得(32)(4)f x f x ->-成立的x 的取值范围为()A ．1(,1)3B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．3(,1)(,)2-∞-+∞U11．（5分）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A ．14-B ．164-C ．164D ．1412．（5分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为( ) AB ．13CD ．23二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.13．（5分）已知函数(4),0()2,0lg ax x f x x x +>⎧=⎨+⎩…，且(0)f f +（3）3=，则实数a 的值是 ．14．（5分）若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 ． 15．（5分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2sin C A =，且1()(sin sin )sin 2b a B A a C -+=，则cos B = ．16．（5分）四面体A BCD -中，AB AC BD CD BC AD ======，则其外接球的表面积为 ．三、解答题：本题共5小题，共计70分.17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，24a =，84a ，10a ，92a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 为正项等比数列，设11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n S ． 18．（12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60BAD ∠=︒，SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，//SA 平面BEF ．（1）求实数λ的值；（2）求三棱锥F EBC -的体积．19．（12分）某工厂生产某型号产品，按产品的质量检测指标从70到100可将产品划分为三个等级：监测指标 [70，80)[80，90)[90，100)等级不合格乙等品甲等品该工厂为了提高产品质量，对全体工人进行技术培训，从培训前和培训后生产的产品中分别随机抽取100件产品得到的产品质量指标的频数如表： 监测指标 [70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)培训前 5 10 35 35 10 5 培训后2528401510在销售过程中，每件甲等品的利润为500元，每件乙等品的利润为200元，每件不合格品亏损100元，若以上抽样结果中落人，各组的频率作为相应的概率． （1）在答题卡上画出工人培训后生产的产品质量指标频率分布直方图； （2）分别求工人在培训前后生产的乙等品的概率；（3）工人进行技术培训后，若工厂计划全年生产一万件产品，请估算一下，工人培训后利润比培训之前利润要提高多少万元？20．（12分）已知动圆M 过点(1,0)且在y 轴上截得的弦长为2，点(2,2)P ． （1）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点（直线l 不过点)P ，直线PA 、PB 的斜率分别1k ，2k ，当122k k +=时，直线l 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由． 21．（12分）已知2()x f x e ax =-，函数2()()g x f x ax lnx =+-． （1）求函数()g x 图象在(1，g （1）)处的切线；（2）若()1f x x +…在0x …时恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=在直角坐标系xOy 中，过点(0,4)P -的直线与曲线C 交于M 、N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||PM PN g 的最值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-． （1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围．2020年内蒙古高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.1．（5分）设复数z 满足23(z z i i +=+是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设z a bi =+，(,)a b R ∈． 23(z z i i +=+Q 是虚数单位）， 2()3a bi a bi i ∴++-=+，可得33a =，1b -=， 解得1a =，1b =-．则复数1z i =-在复平面内所对应的点(1,1)-位于第四象限． 故选：D ．2．（5分）若集合{1A =，2}，{1B =，2，3，4，5}，则满足A X B =U 的集合X 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：A X B =Q U ，且{1A =，2}，{1B =，2，3，4，5}，X ∴一定含元素3，4，5，可能含元素1，2， X ∴的个数为224=个．故选：C ．3．（5分）已知向量(1,2)a b +=r r ，(3,0)a b -=-r r ，则(a b =rr g ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-【解答】解：因为(1,2)a b +=r r ①，(3,0)a b -=-rr ②， ∴①+②2(2a ⇒=-r ，2)(1,1)a ⇒=-r；①-②2(4b ⇒=r ，2)(2,1)b ⇒=r； ∴(1)2111a b =-⨯+⨯=-rr g；故选：B．4．（5分）如图，若输入225m=，135n=，则输出的结果为()A．135B．90C．45D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得225m=，135n=执行循环体，90r=，135m=，90n=r≠，执行循环体，45r=，90m=，45n=r≠，执行循环体，0r=，45m=，0n=r=，退出循环，输出m的值为45．故选：C．5．（5分）如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．842+B．82+C．442+D．422+【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，一条侧棱与底面垂直且侧棱的长度是2，底面是一个边长为2的正方形，这样四棱锥包括5个面，其中有一个正方形，4个侧面分别是两对全等的直角三角形，正方形的面积是224⨯=，与底面垂直的侧面的两个平面的面积是12224 2⨯⨯⨯=另外两个面也是两个全等的直角三角形，两条直角边长分别是2，22，面积是12222422⨯⨯⨯=∴四棱锥的表面积是4442842++=+故选：A．6．（5分）已知x，y满足20,220,2,x yx yx+-⎧⎪++⎨⎪⎩„……，则3x y+的最大值为()A．6-B．4-C．2-D．2【解答】解：作出x，y满足20,220,2,x yx yx+-⎧⎪++⎨⎪⎩„……，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得1133y x z=-+，平移直线13y x=-可知，当直线经过点(2,0)A时，直线的截距最小值，此时目标函数取最大值2302z=+⨯=，故选：D．7．（5分）某单位年会进行某项游戏活动，游戏规则是，有一个质地均匀的正方体玩具，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，让每位参加者抛掷正方体玩具2次，记下与桌面接触的面上的数字，则接触面上的两个数的乘积能被4整除的概率为() A．13B．512C．12D．712【解答】解：有一个质地均匀的正方体玩具，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，让每位参加者抛掷正方体玩具2次，记下与桌面接触的面上的数字，基本事件总数6636n =⨯=，接触面上的两个数的乘积能被4整除包含的基本事件有15个，分别为：(1,4)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，∴接触面上的两个数的乘积能被4整除的概率为：1553612P ==． 故选：B ．8．（5分）函数2sin(2)6y x π=-，([0,])x π∈为增函数的区间是( )A ．[0，]3πB ．[12π，7]12πC ．[3π，5]6πD ．5[6π，]π 【解答】解：2sin(2)2sin(2)66y x x ππ=-=--Q ，∴只要求2sin(2)6y x π=-的减区间，sin y x =Q 的减区间为[22k ππ+，32]2k ππ+， ∴令2[262x k πππ-∈+，32]2k ππ+， 解得[3x k ππ∈+，5]6k ππ+， 又[0x ∈，]π， [3x π∴∈，5]6π．故选：C ．9．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线221912x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上一点，1PF 中点M 在y 轴上，则21||||PF PF 等于( )A ．52B ．2C ．12D ．25【解答】解：由双曲线221912x y -=知，3a =，b =c ．122F F c ∴==1PF Q 中点M 在y 轴上， 212PF F F ∴⊥，12||||26PF PF a -==Q ，2221212||||||84PF PF F F -==． 1||10PF ∴=，2||4PF =， ∴21||42||105PF PF ==． 故选：D ．10．（5分）设函数2()(1)f x lg x =+，则使得(32)(4)f x f x ->-成立的x 的取值范围为()A ．1(,1)3B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．3(,1)(,)2-∞-+∞U【解答】解：根据题意，函数2()(1)f x lg x =+，其定义域为R ，有2()(1)()f x lg x f x -=+=，即函数()f x 为偶函数， 设21t x =+，则y lgt =，在区间[0，)+∞上，21t x =+为增函数且1t …，y lgt =在区间[1，)+∞上为增函数， 则2()(1)f x lg x =+在[0，)+∞上为增函数，(32)(4)(|32|)(|4|)|32||4|f x f x f x f x x x ->-⇒->-⇒->-，解可得：1x <-或32x >，即x 的取值范围为(-∞，31)(2-⋃，)+∞； 故选：D ．11．（5分）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A．14-B．164-C．164D．14【解答】解：如图，过N作//ND BC，交AB于D，并连接MD，则AN ADAC AB=，Q13 PM ANPB AC==，∴13 PM ADPB AB==，//MD AP∴，23MDPA=，13DNBC=，∴84,33MD DN==，且3MN=，MDN∴∠为异面直线PA与BC所成角或其补角，∴在MDN∆中，根据余弦定理得，64169199cos8464233MDN+-∠==-⨯⨯，∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为164．故选：C．12．（5分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为( )A ．3 B ．13C ．6 D ．23【解答】解：因为3tan 3tan tan 0A B C ++=可得3sin 3sin sin()cos cos cos()A B A B A B A B ++=+，即3(sin cos sin cos )sin()cos cos cos()A B B A A B A B A B ++=+， 而在三角形中，sin cos cos sin sin()0A B A B A B +=+≠，所以上式可得3cos()cos cos 0A B A B +-=而cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，所以可得2cos cos 3sin sin A B A B =，即2tan tan 3A B =g ， 由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，设0(C x ，0)y ，可得2200221x y a b+=，由双曲线的对称性设C 在第一象限，如图所示：在ACD ∆中，00tan y A x a=+，在ABD ∆中，0tan y B a x =-， 所以220222000222220000(1)tan tan x b y y y b a A B x a a x a x a x a-====+---g g ，所以可得2223b a =，所以离心率2223113c b e a a ==-=-=故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.13．（5分）已知函数(4),0()2,0lg ax x f x x x +>⎧=⎨+⎩…，且(0)f f +（3）3=，则实数a 的值是 2 ．【解答】解：根据分段函数解析式可得(0)2f =，f （3）(34)lg a =+， 所以(0)f f +（3）2(34)3lg a =++=，则(34)1lg a +=， 所以3410a +=，解得2a =， 故答案为2．14．（5分）若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为30x y --= ．【解答】解：圆22(1)25x y -+=的圆心(1,0)C ，点(2,1)P -为 弦AB 的中点，PC 的斜率为01112+=--， ∴直线AB 的斜率为1，点斜式写出直线AB 的方程11(2)y x +=⨯-，即30x y --=，故答案为：30x y --=．15．（5分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2sin C A =，且1()(sin sin )sin 2b a B A a C -+=，则cos B =34． 【解答】解：sin 2sin C A =Q ，2c a ∴=，1()(sin sin )sin 2b a B A a C -+=Q ，1()()2b a b a ac ∴-+=，即2212b a ac -=，∴222122b a a a a -=⨯=，222b a ∴=， 222222423cos 2224a c b a a a B ac a a +-+-∴===⨯，故答案为：34．16．（5分）四面体A BCD -中，AB AC BD CD BC AD ======，则其外接球的表面积为1625π． 【解答】解：如图所示，设四面体A BCD -的外接球的球心为O ，半径为r ． 作CG ⊥底面ABD ．CA CB CD ==Q ，∴点G 为ABC ∆的外心．2230(23)()62sin 23A -==． 1232226BG ∴==g ．22(32)(22)10CG =-=．设OG x =，则222(22)r x =+，10x r +=． 解得28110r =． ∴其外接球的表面积811624105S ππ=⨯=． 故答案为：1625π．三、解答题：本题共5小题，共计70分.17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，24a =，84a ，10a ，92a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 为正项等比数列，设11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，24a =，84a ，10a ，92a 成等差数列， 可得1089242a a a =+，即867222242a q a q a q =+，即为220q q --=，解得2q =或1q =-， 当1q =-时，224(1)n n n a a q -==⨯-； 当2q =时，222422n n n n a a q --==⨯=； （2）{}n a 为正项等比数列，可得2n n a =，2111111()222n n n n n n b a a +++===⨯， {}n b 为首项为18，公比为14的等比数列，则的前n 项和11(1)1184(1)16414n n n S -==--． 18．（12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60BAD ∠=︒，25,27SA SD SB ===，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，//SA 平面BEF ．（1）求实数λ的值；（2）求三棱锥F EBC -的体积．【解答】解：（1）连接AC ，设AC BE G =I ，则平面SAC ⋂平面EFB FG =， //SA Q 平面EFB ，//SA FG ∴， GEA GBC ∆∆Q ∽，∴12AG AE GC BC ==， ∴12SF AG FC GC ==，得13SF SC =，即13λ=；（2）25SA SD ==Q SE AD ∴⊥，4SE =． 又4AB AD ==Q ，60BAD ∠=︒，23BE ∴=．222SE BE SB ∴+=，则SE BE ⊥．SE ∴⊥平面ABCD ，∴211132344sin 6043333F BCE S EBC S ABCD V V V ---===⨯⨯⨯︒⨯=．19．（12分）某工厂生产某型号产品，按产品的质量检测指标从70到100可将产品划分为三个等级：监测指标[70，80)[80，90)[90，100)等级不合格乙等品甲等品该工厂为了提高产品质量，对全体工人进行技术培训，从培训前和培训后生产的产品中分别随机抽取100件产品得到的产品质量指标的频数如表：监测指标[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)培训前5103535105培训后2528401510在销售过程中，每件甲等品的利润为500元，每件乙等品的利润为200元，每件不合格品亏损100元，若以上抽样结果中落人，各组的频率作为相应的概率．（1）在答题卡上画出工人培训后生产的产品质量指标频率分布直方图；（2）分别求工人在培训前后生产的乙等品的概率；（3）工人进行技术培训后，若工厂计划全年生产一万件产品，请估算一下，工人培训后利润比培训之前利润要提高多少万元？【解答】解：（1）工人培训后生产的产品质量指标频率分布直方图为：（2）培训前乙等品的概率为70710010=， 培训后乙等品的概率为681710025=． （3）培训后利润为：10000(0.010.070.020.680.050.25)254⨯-⨯+⨯+⨯=（万元）， 培训前利润为：10000(0.010.150.020.70.050.15)200⨯-⨯+⨯+⨯=（万元）， ∴培训后比培训前提高了54万元．20．（12分）已知动圆M 过点(1,0)且在y 轴上截得的弦长为2，点(2,2)P ． （1）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点（直线l 不过点)P ，直线PA 、PB 的斜率分别1k ，2k ，当122k k +=时，直线l 是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由． 【解答】解：（1）设圆心(,)M x y ，则222(1)1x y x -+=+， 化简得：22y x =，∴曲线C 的方程为：22y x =；（2）设直线l 的方程为：x ty m =+，交抛物线C 于点21(2y A ，1)y ，22(2y B ，2)y ，联立方程22x ty my x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2220y ty m --=，应满足△2480t m =+>，122y y t +=，122y y m =-，122k k +=Q ，即1222122222222y y y y --+=--， 整理得：12120y y y y ++=， 220m t ∴-+=，m t ∴=，又△2248480t m t t =+=+>，解得：2t <-或0t >，∴直线l 方程为：x ty t =+，即(1)x y t =+，直线恒过定点(0,1)-．21．（12分）已知2()x f x e ax =-，函数2()()g x f x ax lnx =+-． （1）求函数()g x 图象在(1，g （1）)处的切线；（2）若()1f x x +…在0x …时恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）()x g x e lnx =-，g （1）e =，1()x g x e x'=-，g '（1）1e =-， 故()g x 在(1，g （1）)处切线方程(1)1y e x =-+，（2）令2()1x h x e ax x =---，则()12x h x e ax '=--，(0)(0)0h h ='=， 令()1x k x e x =--，则()1x k x e '=-，当0x >时，()0k x '>，函数单调递增，当0x <时，()0k x '<，函数单调递减， 故当0x =时，()k x 取得最小值(0)0k =，即1x e x +…， 故()2(12)h x x ax x ax '-=-…， 当12a „时，()0h x '…，函数()h x 单调递增，()(0)0h x h =…，即()1f x x +…，当12a >时，由0x ≠时，由1x e x >+可得1x e x ->-， ()12(1)(1)(2)x x x x x h x e a e e e e a --∴'<-+-=--，故当(0,2)x ln a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，()1f x x +…不成立，综上a 的范围(-∞，1]2．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=在直角坐标系xOy 中，过点(0,4)P -的直线与曲线C 交于M 、N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||PM PN g 的最值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=转换为直角坐标方程为221168x y +=．（2）过点(0,4)P -的直线的参数方程为cos 4sin x ty tαα=⎧⎨=-+⎩，把直线的参数方程代入椭圆的方程得到22(cos )2(4sin )16t t αα+-+=， 所以12216||||||1sin PM PN t t α==+g ，由于△0…，解得211sin 3α厖， 故当2sin 1α=时，取最小值8， 当21sin 3α=时，取最大值12．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-． （1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，()4f x x =+，21,1()|2||1|3,2121,2x x g x x x x x x +>⎧⎪=++-=-⎨⎪--<-⎩剟．()()f x g x >Q ，∴2141x x x +<+⎧⎨>⎩或3421x x <+⎧⎨-⎩剟或2242x x x --<+⎧⎨<-⎩， 13x ∴<<或11x -<„，13x ∴-<<， ∴不等式的解集为{|13}x x -<<．（2）由（1）知，()3min g x =．Q 不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-， ()34min g x ax ∴=<+对任意的(2,1)x ∈-恒成立，即1ax >对任意的(2,1)x ∈-恒成立，∴112a -剟， a ∴的取值范围为1[1,]2-．。

内蒙古2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷

内蒙古2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷

内蒙古2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·安庆模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足，则下列判断正确的是（）A . z的虚部为iB .C .D .2. （2分）设a1,a2,...,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+...+a50=9，且(a1+1)2+(a2+1)2+...+(a50+1)2=107，则a1,a2,...,a50中为0的个数为（）A . 10B . 11C . 12D . 133. （2分）已知菱形的边长为， ,则=（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·湖北月考) 已知p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中，错误的是（）A . 或为真,非为假B . 或为真,非为真C . 且为假,非为假D . 且为假, 或为真5. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 的展开式中常数项为（）A . 60B . ﹣60C . 80D . ﹣806. （2分） (2018高一下·长阳期末) 已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知等差数列中，为其前n项和，若，则当取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或88. （2分） (2016高三上·西安期中) 将函数y= cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A . mB . mC . 4.5mD . 9m10. （2分） (2016高二上·阳东期中) 已知等比数列{an}中，a2=2，a5= ，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（）A . （1﹣）B . （1﹣）C . 16（1﹣）D . 16（1﹣）11. （2分）把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是（）A . 27B . 28C . 29D . 3012. （2分） (2018高二下·鸡泽期末) 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二上·深圳期中) 已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝________14. （2分） (2019高二上·丽水期中) 双曲线 - =1的渐近线方程是________，实轴长为________．15. （1分）(2020·奉贤模拟) 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）16. （1分）(2017·舒城模拟) 已知a、b、c三个实数成等差数列，则直线bx+ay+c=0与抛物线的相交弦中点的轨迹方程是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分）(2020·茂名模拟) 已知数列满足， .（1）求，的值（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和为，求证：， .18. （10分）(2017·延边模拟) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间（单频数频率位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.0019. （10分）在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，求证：（1）AC∥截面PQMN；（2）AC⊥BD．20. （15分） (2016高二下·宜春期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使• 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知 .（1）当时，① 在处的切线方程；②当时，求证： .（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.22. （5分）(2017·山西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ）求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．23. （10分） (2020高一下·忻州月考) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

内蒙古2020年高考数学模拟试卷(理科)(II)卷

内蒙古2020年高考数学模拟试卷(理科)(II)卷

内蒙古2020年高考数学模拟试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·中山月考) 复数不可能在（）A . 在第一象限B . 在第二象限C . 在第三象限D . 在第四象限2. （2分） (2017高三下·淄博开学考) 设集合M= ； N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则N∩（CRM）=（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . [﹣1，1]D . （1，3）3. （2分）(2020·湖州模拟) 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·中原模拟) 已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为（）A . 3B .C .D . 25. （2分）过定点作直线l，使l与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条6. （2分） (2017高一上·陵川期末) 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=lnxB . f（x）=C . f（x）=exD . f（x）=x37. （2分）如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·怀仁期末) 已知椭圆的左右焦点为F1、F2 ，点P为其上动点，点Q（3，2），则|PF1|﹣|PQ|的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·泉州模拟) 函数的图象不可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高一上·深圳期末) 设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1 ，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·舒城模拟) 已知θ∈[0，2π），当θ取遍全体实数时，直线xcosθ+ysinθ=4+ sin（θ+ ）所围成的图形的面积是（）A . πB . 4πC . 9πD . 16π12. （2分） (2019高二下·四川月考) 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是（）A . 53B . 54C . 35D . 45二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·海州期中) ∀x∈R，x2﹣x+ ≥0的否定是________．14. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知平面向量，（≠ ）满足 =2，且与﹣的夹角为120° ，t∈R，则|（1﹣t） +t |的最小值是________．已知• =0，向量满足（﹣）（﹣）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，则• 的最大值为________．15. （1分）定积分________16. （1分） (2016高三上·吉林期中) 已知数列{an}与{bn}满足an=2bn+3（n∈N*），若{bn}的前n项和为Sn= （3n﹣1）且λan＞bn+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2018·西安模拟) 在中，角的对边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求的周长最大值．18. （10分） (2016高一上·无锡期末) 已知△ABC中．（1）设• = • ，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量 =（2sinC，﹣）， =（sin2C，2cos2 ﹣1），且∥ ，若sinA= ，求sin （﹣B）的值．19. （10分） (2019高二上·城关期中) 已知数列中，且满足 .(1) 求数列的通项公式；【答案】解：由题意得数列｛｝是等差数列，－2，；（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，求 .20. （15分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△AB D折起，使A移到A1点，且A1O⊥平面BCD．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1﹣BCD的体积．21. （10分） (2020高二下·应城期中) 已知点，在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线交于P，Q两点，F为椭圆的焦点，直线，与M分别交于点D（异于点），E（异于点），证明：直线DE的斜率为定值．22. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知函数（）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若时，，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

内蒙古2020届高考数学一模试卷 文(含解析)

内蒙古2020届高考数学一模试卷 文(含解析)

内蒙古2020年高考数学一模试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若复数满足，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由，得，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.设集合，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】直接进行集合的并集、交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.3.已知实数，则的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则 ( )A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据单位向量，的夹角为，可得．由向量，，且，可得，解得．进而得解．【详解】解：单位向量，的夹角为，∴．∵向量，，且，∴，∴，解得．则．故选：C．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.6.已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】【分析】设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．7.在中，角的对边分别为，若．则角的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．【详解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图(图二)中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是( )A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．考点：程序框图、茎叶图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．9.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：∵AC⊥平面，又BE⊂平面，∴AC⊥BE．故A正确．∵EF垂直于直线，，∴⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数，则( )A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】推导出，从而，由此能求出结果．【详解】解：∵函数，∴，．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查对数函数的运算，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知函数，在区间上任取三个实数均存在以为边长的三角形，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析：由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令得x=1．当时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h， ==e﹣1+h，从而可得，解得h＞e﹣3，故选：D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.设满足约束条件，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为______．【答案】【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图中的阴影区域所示，根据图形可知，目标函数在点处取得最大值，即，所以，则，当且仅当，即时等号成立.考点：1、线性规划；2、均值定理.【方法点晴】线性规划问题一般有截距型问题、斜率型问题、距离型问题、含参数问题、实际应用问题等几类常见的考法.这里重点考查截距型问题，即转化为，当时，直线在轴的截距越大则值越大，反之当时，直线在轴的截距越大则值越小，掌握这一结论便可以求出目标函数最优解.15.已知的终边过点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵的终边过点，若，．即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.16.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．【答案】4【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案：4三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.等比数列中，．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)记为的前项和．若，求．【答案】(Ⅰ)或 (Ⅱ)12【解析】【分析】(Ⅰ)根据等比数列的通项公式即可求出；(Ⅱ)根据等比数列的前项和公式，建立方程即可得到结论．【详解】解：(Ⅰ)设数列的公比为，∴，∴，∴或，(Ⅱ)由(Ⅰ)知或，∴或 (舍去)，解得．【点睛】本题主要考查等比数列的性质和通项公式以及前项和公式，考查学生的计算能力，注意要进行分类讨论．18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”.附表及公式：【答案】（1），；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”【解析】试题分析：（1）利用频率和为1，求的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值；（2）求出，与临界值比较，即可得出结论.试题解析：(1)，.(2)2×2列联表如下：因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”．点睛：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；在频率分布直方图中，注意纵轴的意义及所有条形的面积和为1，对于独立性检验解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；（2）根据列联表中的数据，计算的观测值；（3）通过观测值与临界值比较，得出事件有关的可能性大小.19.如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【详解】（Ⅰ）取中点，连，，由，可得，可得是平行四边形，则，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中点，则，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.20.已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点.(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 当时，求的面积；（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积；（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y＝k1x﹣2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．【详解】（Ⅰ）因为，所以所以离心率（Ⅱ）设若，则直线的方程为由，得解得设，则（Ⅲ）法一：设点，因为，，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以或法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由，得所以又解得或所以或所以或【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知函数．(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．【详解】解：(Ⅰ)当时，，当时，在上恒成立，函数在上单调递减；当时，由得：；由得：．∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，则得，由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴当时，，即又∵，∴实数的取值范围是：．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去曲线的参数方程中的参数后可得普通方程，运用转化公式并结合直线的极坐标方程可得直线的直角坐标方程．（2）由题意得到直线的参数方程，代入曲线的普通方程后，再根据直线参数方程中参数的几何意义求解．【详解】（1）消去方程（为参数）中的参数，可得曲线的普通方程为．由，得，将代入上式可得，所以直线的直角坐标方程为．（2）由题意可得直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），把参数方程代入方程，化简得，设，两点所对应的参数分别为，，则，所以.即点到，两点的距离之积为1．【点睛】对于直线参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交时，若两交点M1，M2对应的参数分别为，则弦长；②若定点M0是弦M1M2的中点, M1，M2对应的参数分别为，则；③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值 (由此可求|M2M|及中点坐标)．23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2020年5月内蒙古呼伦贝尔市普通高中2020届高三下学期第一次高考模拟统考数学(理)试题及答案

2020年5月内蒙古呼伦贝尔市普通高中2020届高三下学期第一次高考模拟统考数学(理)试题及答案

绝密★启用前内蒙古呼伦贝尔市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟统一考试数学(理)试题2020年5月注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈,则A B =UA ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}， 2．复数=-+ii 221 A. i B.i +1 C.i -D. i -1 3.在△ABC 中μλ+===,2,, 则μλ+=A ． 31B ．31-C ．21- D ．21 4.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点．若|AF|＝3,则直线AB 的斜率为 A.2± B. 2- C. 2 2 D ．22±6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,公比1q >,352620,64,a a a a +==则5S =A.31B.36C. 42D.487.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是8.在天文学中,天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足,lg 252112E E m m =- 其中星等为k m 的星的亮度为)2,1(=k E k .已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度比值为A.1.1010B.1.10C.1.10lgD.1.1010-9．把函数)6sin(y π+=x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将图象向右平移3π个单位,那么所得图象的一个对称中心为 A ．（3π,0） B ．（4π,0） C ．（12π,0） D ．（0,0） 10.在棱长均相等的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 为BB 1的中点,F 在AC 1上,且DF ⊥AC 1,则下述结论：①AC 1⊥BC ；②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1; ④异面直线AC 1与CD 所成角为60°.其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．已知双曲线C ：,)0,0(12222>>=-b a by a x 以点),0(b P 为圆心a 为半径作圆,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点,若∠MPN ＝90°,则双曲线C 的离心率为 A. 27 B. 25 C. 2 D. 312.已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<--+=10,201,1)1(1)(x x x x f x f ,若方程()21f x ax a -=-有唯一解,则实数a 的取值范围是。

2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(理)试题(解析版)

2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(理)试题(解析版)

2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =+-<，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭则A B =I （ ）A ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|3}x x >-C ．1|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 【详解】由(3)(1)0x x +-<解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<，所以A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．2BC D 【答案】B【解析】利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.3．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D【解析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确.对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D【解析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =u u u r u u u r，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】D【解析】根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =u u u r u u u r，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8【答案】B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 10．函数1ln ||y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项. 【详解】当1x =时，111ln1y ==-，所以D 选项错误.当1x =-时，1101ln1y ==-<--，所以A 选项错误. 当12x =-时，11121111ln ln 2ln 2222y e ==>=----，所以C 选项错误. 所以正确的函数图象为B. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222c a ==+-. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12BC．2log D【答案】A【解析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212xh x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20xh x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题13．某种牛肉干每袋的质量()m kg 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为()22,N σ，(1.9 2.1)0.98P m=剟.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是_____袋. 【答案】1【解析】根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg 的袋数的估计值. 【详解】由于2μ=，所以()10.981.90.012P m -<==，所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg 的袋数大约是1000.011⨯=袋. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.14．已知函数()2()cos log 21()xf x x ax a R =-++∈为偶函数，则a =_____. 【答案】12【解析】根据偶函数的定义列方程，化简求得a 的值. 【详解】由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 即()()()22cos log 2cos l 1og 21x xx ax x ax ----+++-=，即()()22cos log 21cos log 21x xx a x x x a --+-=-++，即()()22l log 21012og 2xxax -+-+-=，即221log 2021xxax -+-=+，即()()2212log 20212xx xxax -+⋅-=+⋅，即()2212log 2021xxx ax +⋅-=+，即()2log 222120xax x ax a x -=-=-=，所以1120,2a a -==. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.15．已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC V 是正三角形，3PA AB ==，则该球的表面积为______. 【答案】21π【解析】求得等边三角形ABC 的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD -外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方12PA 处.设1O C r =，由正弦定理得32sin3r r π====所以得三棱锥P ABCD -外接球的半径R ====积为22144214R πππ=⨯=. 故答案为：21π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.三、双空题16．设函数2()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，向量01121n n n a A A A A A A -=+++u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L ，设(1,0)i =r ，且n θ是n a u u r 与i r的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____；n S =_____.【答案】38 222n n +-【解析】求得n a u u r的坐标，由此求得cos tan n n θθ⇒，进而利用错位相减求和法求得n S .【详解】依题意()22n n f n =，即2,2n n n A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且n A 在第一象限，n θ为锐角.所以0112210,2n n n n n a A A A A A A A A n n -=+++==⎛⎫ ⎪⎝⎭u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u r L .所以42cos 4n n n n a i a i n n θ⋅==⋅+u u r r u u r r ，所以2222sin 1cos 1cos 1tan 1cos cos cos n θθθθθθθ--====-42224142nn nn n n n n +=-==. 所以3333tan 28θ==.212222n n n S =+++L ①，2311122222n n nS +=+++L ②，两式相减得21111122222n n n n S +=+++-L 1111111222111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--， 所以222n n n S +=-. 故答案为：(1). 38 (2). 222n n +- 【点睛】本小题主要考查向量线性运算，考查同角三角函数的基本关系式，考查错位相减求和法，属于中档题.四、解答题17．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关. （2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】 （1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下ξ的期望2727913()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.18．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ca的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小. （2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得ca的取值范围. 【详解】（1）由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 即2sin cos sin()B B A C =+， 所以2sin cos sin B B B=， 即1cos 2B =，又0B Q π<< 所以3B π=.（2）由题设知，()1sin sin 120sin 22sin sin sin A A A c C a A A A︒+-===，即112tan 2c a A =⋅+，又ABC V 为锐角三角形，所以3090A ︒<<︒，即3tan 3>A 所以103tan A <<，即131122tan 2A <⋅+<， 所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.19．已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足12FM MD =.（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2318【解析】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC .（2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值.【详解】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以21DO AD OB BC ==， 在FBD V 中，因为21MD DOMF OB==，所以MO BF P ，且MO ⊂平面MAC ， 故BF ∥平面MAC.（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD AB AD ⊥， 因为BE AF P ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ， 所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F所以(0,2,2)DF =-u u u r，因为12FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以点M 的坐标为240,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以(2,1,0)AC =u u u r ，240,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，设(,,)m x y z =u r为平面MAC 的法向量，则200240033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-u r ，即(1,2,1)m =-u r为平面MAC 的一个法向量.142,,33CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，(2,1,0)CD =-u u ur同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n =r所以cos ,6336m n 〈〉==⨯u r r所以二面角A MC D --的正弦值为31818【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=u u u u r u u u r，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214y x +=（2）存在；常数0m =25【解析】（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =u u u r u u u r以及3AB =，求得曲线E 的方程. （2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=u u u u r u u u r以及d为定值，求得m 的值.当直线MN 的斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =，且定值25d =. 【详解】（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y 由题可得2AP PB =u u u r u u u r()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩又||3AB =Q ，即22009x y +=，∴消去00,x y 得：2214y x +=（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+ 设()11,M x y ，()22,N x y由=OM ON m ⋅u u u u r u u u r可得：1212x x y y m +=由点O 到MN的距离为定值可得d =d 为常数）即2221b d k =+ 2214y kx by x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩Q 得：()2224240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->即2240k b -+>12224kb x x k -∴+=+，212244b x x k -=+ 又()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++Q22121225444b k m x x y y k --∴+==+ ()()2225414b k m k ∴=+++ ()222245411m k b k k +∴=+++ ()2224541m k d k +∴=++d ∴为定值时，0m =，此时d =，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x n =由题可得254n m =+，0m ∴=时，5n =±，经检验，符合条件 综上可知，存在常数0m =，且定值d = 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题. 21．已知函数()sin ax f x e x =.（1）若()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx …成立，求实数b 的最小值. 【答案】（1）[)+∞（2）22e ππ【解析】（1）求得()'fx ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用分离常数法求得a 的取值范围.（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值. 【详解】（1）()sin cos (sin cos )ax ax axf x ae x e x e a x x '=+=+因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当0x =时，上式成立，a R ∈ 当0,6x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，有cos 1sin tan x a x x≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，而06x π<≤，0tan 3x <≤，1tan x ≥1tan x -≤，故a ≥综上，实数a 的取值范围是[)+∞（2）设()()sin xg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()(sin cos )x g x e x x b '=+-，令()(sin cos )xh x e x x b =+-，()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以2()1,g x b e b π⎡⎤'∈--⎢⎥⎣⎦. 当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π-≤即2b e π≥时，()(0)0g x g ≤=，符合当210b e b π-<<-即21b e π<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，(0)0g =成立，故只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有202e bππ-≤，得222e b e πππ≤<，符合综上得，22b e ππ≥，实数b 的最小值为22e ππ【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213x y +=； 把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.设d == 在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =32α=-，1sin 2α=-，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.23．已知函数()|21||1|f x x x =-++（1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥.【答案】（1）{|1x x -„或1}x …（2）证明见解析 【解析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x …恒成立，解得1x <-； 当112x -剟时，由()3f x …，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x …解得1x … 所以()3f x …的解集为{|1x x -„或1}x … （2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++= 222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”） 所以222b c a a b c a b c++≥++，即22232b c a a b c ++≥. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2020年高考模拟试卷内蒙古呼伦贝尔市高考(文科)数学一模测试试卷 解析版

2020年高考模拟试卷内蒙古呼伦贝尔市高考(文科)数学一模测试试卷 解析版

2020年高考数学第一次模拟测试试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1}D．{1}2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y＝x2+1B．y＝e x﹣e﹣x C．y＝lg|x|D．4．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．4005．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．17．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．8．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为（）A．26B．24C．16D．149．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是．14．过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，且与直线2x+3y＝0垂直的直线方程为．15．已知f（x）＝log a（x2+4）（a＞0且a≠1）有最小值，且最小值不小于1，则a的取值范围为．16．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．18．第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，（如表）解答下列问题：（1）求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率．组号分组频数频率第1组[50，60）150.15第2组[60，70）350.35第3组[70，80]b0.20第4组[80，90]20c第5组[90，100）100.1合计a 1.0019．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA ＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．20．已知函数f（x）＝xe x﹣2x．（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程（2）设函数g（x）＝f（x）﹣2lnx，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞a恒成立，求a 的取值范围．21．椭圆W：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，左、右顶点分别为A，B．过F1且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1．（1）求椭圆W的标准方程；（2）经过点P（1，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、B重合），直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A、D、M三点共线．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解：B＝{x|x（x﹣2）＜0}＝（0，2），∵A＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1}，故选：D．2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．解：＝＝＝i，故选：A．3．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y＝x2+1B．y＝e x﹣e﹣x C．y＝lg|x|D．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．解：y＝x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y＝e x﹣e﹣x是奇函数．y＝lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．故选：C．4．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n＝10得出结果．解：d＝，a1＝3，∴S10＝＝210，故选：B．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinθ的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2θ的值解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），∴r＝＝，∴sinθ＝，∴cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×＝﹣，故选：B．6．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|＝3，求出A的坐标，然后求出AF的斜率即可．解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x，y），则|AF|＝x+1＝3，故x＝2，此时y＝，即A（2，）．则直线AF的斜率k＝．故选：D．8．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为（）A．26B．24C．16D．14【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+3y过可行域内的点A时，从而得到z值即可．解：先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+3y，将最小值转化为y轴上的截距，当直线z＝2x+3y经过点A（4，2）时，z最小，最小值是：2×4+3×2＝14．故选：D．9．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，得解．解：由在△ABC中，＝，＝2，则P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，故选：A．10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得答案．解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N 两点，若∠MPN＝90°，列出方程，求解离心率即可．解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx﹣ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN＝90°，所以圆心P到bx﹣ay＝0的距离为：＝a，即2c2﹣2a2＝ac，e＝＞1，解得e＝．故选：A．12．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取CB＝1，则CA＝CC1＝2CB＝2．∴A（2，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），B1（0，2，1）．∴＝（﹣2，2，1），＝（0，2，﹣1）．∴＝＝＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱．如图所示：所以该几何体的体积为：V＝．故答案为：．14．过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，且与直线2x+3y＝0垂直的直线方程为3x﹣2y+7＝0．【分析】求出圆的圆心，以及直线的斜率，利用点斜式方程即可得到直线的方程．解：∵圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝5，∴圆心坐标为（﹣1，2），直线2x+3y＝0的斜率k＝，则与直线2x+3y＝0垂直的直线斜率k＝，∴所求的直线方程为y﹣2＝（x+1），即3x﹣2y+7＝0，故答案为：3x﹣2y+7＝015．已知f（x）＝log a（x2+4）（a＞0且a≠1）有最小值，且最小值不小于1，则a的取值范围为（1，4]．【分析】有对数的真数有最小值可得底a大于1，再有最小值不小于1，可得a的取值范围．解：因为x2+4≥4，有最小值，所以a＞1且log a4≥1＝log a a，所以1＜a≤4，故答案为：（1，4]．16．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝2或4．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用正弦定理可求sin C，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B，进而利用余弦定理即可计算求值得解．解：∵cos A＝，A∈（0，π），∴sin A＝，∵a＝2，c＝2，∴利用正弦定理可得：sin C＝＝＝，可得：cos C＝±＝±，∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＝﹣（）＝0，或，∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝4+12﹣2×2×2×cos B＝16，或4．∴b＝2或4．故答案为：2或4．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】本题第（1）题将题干中的递推公式进行转化可发现数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和S n．解：（1）依题意，由，可得a n+1＝a n．故数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝•（）n﹣1＝（）n＝，n∈N*．（2）由（1）知，＝2n+2n．∴S n＝（+2×1）+（+2×2）+…+（）＝（21+2×1）+（22+2×2）+…+（2n+2n）＝（21+22+…+2n）+2×（1+2+…+n）＝+2•＝2n+1+n2+n﹣2．18．第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，（如表）解答下列问题：（1）求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率．组号分组频数频率第1组[50，60）150.15第2组[60，70）350.35第3组[70，80]b0.20第4组[80，90]20c第5组[90，100）100.1合计a 1.00【分析】（1）利用频率分布表能求出a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率．（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人，则第3组抽取2人，第4组抽取2人，第5组抽取1人，由此能求出从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率．解：（Ⅰ）c＝1﹣（0.15+0.35+0.20+0.10）＝0.20，a＝＝100．b＝100×0.20＝20，由频率分布表可得成绩不低予70（分）的概率为：p＝0.20+0.20+0.10＝0.50．（Ⅱ）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人，则第3组抽取2人，记为A、B，第4组抽取2人，记为C、D，第5组抽取1人，记为E，总的事件的有10人，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，则从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人有6人，分别为AC，AD，BC，BD，CE，DE，则从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率P＝＝．19．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA ＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．【分析】（1）取AC中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；（2）由V B﹣CMN＝V N﹣CMB，即可求得三棱锥B﹣CMN的体积．【解答】（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．因为SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SDB．又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．由于SN＝NB，所以NE＝SD＝所以S△CMB＝CM•BM＝所以V B﹣CMN＝V N﹣CMB＝S△CMB•NE＝＝20．已知函数f（x）＝xe x﹣2x．（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程（2）设函数g（x）＝f（x）﹣2lnx，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞a恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后分析g（x）的单调性，结合函数的性质及零点判定定理可求g （x）的范围，可求．解：（1）f′（x）＝（x+1）e x﹣2，由导数的几何意义可得，f（x）在（1，f（1））处切线斜率k＝2e﹣2，且f（1）＝e﹣2，故f（x）在（1，f（1））处切线方程为y﹣e+2＝（2e﹣2）（x﹣1）即y＝2（e﹣1）x ﹣e；（2）因为g（x）＝xe x﹣2x﹣2lnx，则g′（x）＝（x+1）e x﹣2﹣，易得g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）＞0，，故存在m使得g′（m）＝（m+1）e m﹣2﹣＝0，即me m＝2，所以lnm+m＝ln2，当x∈（0，m）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（m，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，故当x＝m时，g（x）取得最小值g（m）＝me m﹣2m﹣2lnm＝2﹣2ln2，故a＜2﹣2ln2．综上可得，a的范围{a|a＜2﹣2ln2}．21．椭圆W：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，左、右顶点分别为A，B．过F1且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1．（1）求椭圆W的标准方程；（2）经过点P（1，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、B重合），直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A、D、M三点共线．【分析】（1）由条件得＝，＝1，求出a2，b2即可；（2）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，用向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，消去y，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．将k AM，k AD表示为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M三点共线．解：（1）根据条件e＝＝，所以c2＝a2，b2＝a2，且＝1，解得a2＝4，b2＝1，故椭圆W的标准方程为：；（2）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x＝1，代入椭圆W的方程，得C（1，），D（1，﹣），易得CB的方程为y＝﹣（x﹣2），则M（4，﹣），＝（6，﹣），＝（3，﹣）所以＝2，即A，D，M三点共线；当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），C（x1，y1），D （x2，y2），联立方程，消去y，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，由题意，得△＞0恒成立，故x1+x2＝，x1x2＝，直线CB的方程为y＝（x﹣2），令x＝4，得M（4，），又因为A（﹣2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为k AD＝，k AM＝，所以k AD﹣k AM＝﹣＝上式中的分子3y2（x1﹣2）﹣y1（x2+2）＝3k（x2﹣1）（x1﹣2）﹣k（x1﹣1）（x2+2）＝2kx1x2﹣5k（x1+x2）+8k＝2k×﹣5k×+8k＝0，所以k AD﹣k AM＝0．所以A，D，M三点共线．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简得：ρ＝2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|＝＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．。

2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年内蒙古第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A.36B.423C.433D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)

内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)

内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

内蒙古2020版高考数学模拟试卷(理科)(I)卷

内蒙古2020版高考数学模拟试卷(理科)(I)卷

内蒙古2020版高考数学模拟试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·昆明期末) 复数z= 的模是（）A . 2B .C . 1D .2. （2分）(2017·桂林模拟) 已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩（∁RB）的真子集个数为（）A . 1B . 3C . 4D . 73. （2分）已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A .B .C .D . 24. （2分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若则（）C . 8D . 155. （2分）(2018·河北模拟) 设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A . T>4D . T<37. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 28. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 过双曲线：的右顶点作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（）A . （﹣）B . （）C . （）D . （）10. （2分）某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A . 8π﹣16B . 8π+16C . 16π﹣8D . 8π+811. （2分） (2016高三上·清城期中) 已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·长春期末) 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 命题“∃x＜0，x2﹣2x＞0”的否定形式是________14. （1分） (2015高三下·湖北期中) 平面向量，，满足| |=1，• =1，• =2，| ﹣ |=2，则• 的最小值为________．15. （1分）(2016·安徽模拟) 计算：（﹣x）dx=________．16. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高一下·合肥期中) 在中，内角的对边分别为 .（1）若已知，判断的形状；（2）若已知边上的高为，求的最大值.18. （5分）（1）已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645；（2）已知=(sinx,1),=(sinx,cosx),f(x)=，求f（x）的最大值．19. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4 ，a3=b13 ．（1）求数列{an}的{bn}通项公式；（2）记cn=an•bn ，求数列{cn}的前n项和Sn ．20. （5分） (2016高二上·温州期中) 如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点．（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；（Ⅱ）求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值．21. （10分） (2018高二下·定远期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．（1）若的周长为16，求直线的方程；（2）若，求椭圆的方程．22. （10分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

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高考数学模拟试题第I 卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{+2)(1)0}B x x x =-<（，则A B =( )A.{}1,0-B.{}0,1C. {}1,0,1-D.{}0,1,22.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +( ) A.34i - B.54i - C.3+4i D.5+4i 3.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( ) A.22a b < B.11a b < C.22l g l g o a o b < D.11()()22a b > 4.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ-22=P ξ≤≤（）（ ）5.执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2数a 的可能取值的集合是( )A.{}1,2,3,4,5,6B.{}1,2,3,4,5C.{2,3,6.如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）A.1B.2C.π2D.π7.某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥 所有棱的长度的集合，则（ ） A .2A ，且4A B.2A ，且4A C.2A ，且25A D.2A ，且17A8.已知{}n a 为等比数列，若452,5a a ==，则128lg lg lg a a a +++=( )A.6B.5 C ．4 D.39.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A.13(2,2),44k k k Z -+∈ B.13(,),44k k k Z -+∈C.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈D.13(,),44k k k Z ππ-+∈10.已知R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，(2)0f = ，则(1)0f x ->的解集为 ( )A.(2,2)-B.(1,3)-C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞D.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ 11.设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =( )A.303B.73C.6D.12 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是( )A.(),2-∞-B.(),1-∞-C.()2,+∞D.()1,+∞正(主)视图俯视图侧(左)视图4141 1 1第II 卷（非选择题 共64分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

） 13.已知向量,a b 满足||4b =，a 在b 方向上的投影是12，则a b ⋅ ． 14.102a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为180，则a = ．15.若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是_______.16. 已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，则APF ∆周长的最小值为 ．三、解答题（本大题共5个题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分 ） 已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A +．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积53S =，5b =，求a 的值．18.（本题满分10分 ） 如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =.（1）求证：⊥AH 平面PBC ； （2）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；19.（本题满分10分 ）前不久，安徽省社科院发布了2015年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”。

随后，安徽师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。

现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；ABCPHM（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。

求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20.（本题满分10分 ）已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡上填涂题号对应标记。

22.（本题满分8分 ） 选修4—4：极坐标及参数方程选讲在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=． （1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 23.（本题满分8分 ）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .高三模拟考试数学试题答案一、选择题：（每小题3分，共36分）二、填空题：（每小题4分，共16分）13.2 14.2±15.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.32三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+ 得23cos()22cos B C A ++=，即22cos 3cos 20A A +-= 得1cos 2A =或cos 2A =-（舍） 因为0A π<<，所以3A π=（2）由1sin 24S bc A bc ===20bc = 因为5b =，所以4c =22222cos 12516254212a b c bc A a a =+-∴=+-⨯⨯⨯=∴= 18.（本小题满分10分）（1）证明：因为PA ⊥ 底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以PA ⊥ BC ， 又因为AC BC ⊥ ，PA AC A ⋂= ，所以 BC ⊥平面PAC ， 又因为AH ⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥AH . 因为PA AC = ，H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥，又因为PC BC C ⋂= ，所以 AH ⊥平面PBC . （2）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD //因为 ⊥BC 平面PAC ， 所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M .设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB=，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1=z，得(2,1,1)=-n .设PM 与平面AHB 成角为θ， 因为 )23,21,0(-=PM，所以 1320(1)1()22sin cos ,562PM PM PM θ⨯+-⨯+⨯-⋅=<>==⋅⋅n n n， 即 215sin 15θ=. 19.（本小题满分10分）解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则；ABCPHMNzx yD（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．；； ；．则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3P所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3． 则ξ～B （3，），．所以Eξ=．20. （本小题满分10分）(1)则由题设可求的1=b ，又22e =2=a 所以椭圆C 的方程是2212x y +=．(2)解法一：假设存在点T （u, v ）． 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件． 解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y += 若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩． 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）． 事实上点T （0，1）就是所求的点． 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件．22.（本小题满分8分）解：（1）由ρθ=得2sin ρθ=从而有22x y +=，所以22(3x y +=（2）设1(3,)22P t +，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的直角坐标为（3,0） 24. （本小题满分8分）（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.（2）由（I ）知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=,即2223p q r ++≥.。

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