运筹学指派问题课件
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运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
运筹学课件1.8工作指派问题
c1n c2 n cnn
关于模型的讨论
指派问题是运输问题的特殊情况 当n=m时，平衡指派问题 当 n m 时，不平衡指派问题，此时， 可设置虚工作或虚工作人员，将其化为 平衡指派问题。 对指派矩阵C，任意行（列）减去它的最 小元素后，所构成的指派问题最优解与 原指派问题相同。
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
0 20 40 60 95
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
回到第一步：圈零得新最优解
4 0 2 0 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 ( xij ) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
最小的总工作时间：z=7+5+5+3=20。该问 题有多个最优解，请求出其它的最优解。
第八节 工作指派问题
工作指派问题及其数学模型 求解工作指派问题的匈牙利法 工作指派问题的应用举例
工作指派问题的数学模型
•例1-12
•指派问题数学模型 •指派矩阵 •对数学模型的讨论
匈牙利法
•匈牙利法的基本原理
•匈牙利法的计算步骤
•减数得零—求最优匹配
•圈零划线—查是否最大匹配
•找数调整—求新的最优匹配
ห้องสมุดไป่ตู้
指派问题一般模型
min z cij xij
j 1 i 1 n n
n xij 1, j 1,2, , n i n1 s.t. xij 1, i 1,2, , n j 1 xij 0,1
运筹学运输与指派问题 ppt课件
a1 a2
am
18
设xk（ =0或1）表示第k个中转站启用次数，xik表示从第i个仓库运到第k个中转站的 物资数量，ykj表示从第k个中转站运到第j个单位的物资数量，则
p
mp
pn
z f k x k
d ik x ik
e kj y kj
k 1
i1 k 1
k 1 j1
p
x ik a i
… … … …… …
Am cm1 cm2 … cmn am
Am+1 0
0 … 0 am+1
销量 b1 b2 … bn
mn
minz
cij xij
n
i1
xij ai
j1
i 1, 2,..., m
j1
s.t. m xij bj j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
mn
minz
cij xij
n
i1 j1
xij ai
i 1, 2,..., m
s.t.
j 1 m
xij
bj
j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
若用表上作业法求之,可设一个假想销地, 使其销
量为bn+1=∑ai-∑bj,ci,n+1=0.
已知该厂的生产能力与生产成本如下表。若生产出的产品当季不交货，则需
储存、维护等费用1500元。要求在完成合同的情况下，做出全年生产费用最
小的决策。
生产能力与生产成本
季度
1 2 3 4
生产的能力（台）
am
18
设xk（ =0或1）表示第k个中转站启用次数，xik表示从第i个仓库运到第k个中转站的 物资数量，ykj表示从第k个中转站运到第j个单位的物资数量，则
p
mp
pn
z f k x k
d ik x ik
e kj y kj
k 1
i1 k 1
k 1 j1
p
x ik a i
… … … …… …
Am cm1 cm2 … cmn am
Am+1 0
0 … 0 am+1
销量 b1 b2 … bn
mn
minz
cij xij
n
i1
xij ai
j1
i 1, 2,..., m
j1
s.t. m xij bj j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
mn
minz
cij xij
n
i1 j1
xij ai
i 1, 2,..., m
s.t.
j 1 m
xij
bj
j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
若用表上作业法求之,可设一个假想销地, 使其销
量为bn+1=∑ai-∑bj,ci,n+1=0.
已知该厂的生产能力与生产成本如下表。若生产出的产品当季不交货，则需
储存、维护等费用1500元。要求在完成合同的情况下，做出全年生产费用最
小的决策。
生产能力与生产成本
季度
1 2 3 4
生产的能力（台）
管理运筹学第四章整数规划与指派问题 ppt课件
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
3
100
利润
4
5
6
11
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
yj 10,,
xj 0 xj 0
j1,2,3
m ax z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3
32
分枝的方法
max z CX
AX b
s.t.
X
0,
X为整数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0,
X为
整
数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0, X 为 整 数
33
定界的方法
当前得到的最好整数解的目标函数值 分枝后计算放松的线性规划的最优解
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
26
分枝定界法的两个要点：分枝和定界 ☺如何定界？ • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运筹学-指派问题
人 甲
9
4
3
7
人 乙 人 丙
4 5
6 4
5 7
6 5
人 丁
7
5
2
3
人 戊
10
6
7
4
虚拟一个工作E，每个人完成E 时间为0，用匈牙利方法求解
事A 事B 事C 事D 事E
最优解： 甲 乙 丙 丁 C A B D E
人 甲
人 乙 人 丙 人 丁 人 戊
9
4
370Fra bibliotek4 5
6 4
5 7
6 5
0 0
7 10
5 6
有
表 示 “ 确 定 ”
的列 表示下岗工人善长作的事情
事A 事B 5 0第2步（1） 2 第2列仅1个 零，划甲B 3 10 0
第五章：0 -1整数规划
表示“不考虑”
事D 事E 事C
第三步（5） 对没有 的行划线
人 甲
0
2
对有 的1 列划线 这样覆盖了 所有的零元 素
第三步：对没有 画圈 的第5行 加 ;对已加 的行中的零元素 所在第1列加
表示戊适合作这 列确定的事A 对加 的列中有 颜色 的元素所 在第3行加 表 示
人 丁
0第二步 （4）第3 列仅2个 零,划丁C 3
0
4
人 戊
0
6
6
5
A事所确定的人
丙只合适一件事情 A，确定 丙A
事情B 只合适一个 人甲，确定甲B
人 丁
9
人 戊
0
6没有覆盖
6没有覆盖
第4章 运输问题和指派问题ppt课件
x13
x 23
x 33
5
x14 x 24 x34 6
x
ij
0 (i
1, 2 , 3;
j
1,2,3,4 )
4.2 运输问题的数学模型和电子表格模型
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作
业法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”还是采用
“单纯形法”来求解。
例4.1的电子表格模型
4.2 运输问题的数学模型和电子表格模型
需要注意的是，运输问题有这样一个性 质（整数解性质），即只要它的供应量 和需求量都是整数，任何有可行解的运 输问题就必然有所有决策变量都是整数 的最优解。因此，没有必要加上所有变 量都是整数的约束条件。
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满，就很不经济了 。整数解性质避免了运输量（运输方案 ）为小数的麻烦。
i1
x
ij
0
(i 1, 2,
, m ; j 1, 2,
, n)
4.2 运输问题的数学模型和电子表格模型
（2）产大于销（供过于求）运输问题
的数学模型
（以满足小的销量为准）
m
n
ai bj
mn
m in z
cij xi j
i 1
j 1
i1 j 1
n
xij ai
Байду номын сангаас(i 1, 2,
,m)
m in
z 1 6 0 x A1 1 3 0 x A 2 2 2 0 x A3 1 7 0 x A4 1 4 0 xB1 1 3 0 xB 2 1 9 0 xB3 1 5 0 xB 4 190 xC1 200 xC 2 230 xC 3
运输问题与指派问题讲义(PPT 40页)
§3 Transportation Network 运输问题的网 络表示
销地
供应量
产地
B1
B2
B3
B3
ai
A1
6
7
5
3
25
A2
8
4
2
7
10
A2
5
9
10
16
15
需求量 bj
13
21
9
7
Transportation Network 运输问题的网络表示
sources
运价
Destinations 需求地
Warehouses
Destinations目的地
Output from a cannery
Supply from a source运出量
Allocation to a warehouse
Demand at a destination需求量
Shipping cost per truckload from a Cost per unit distributed from a
Eugene
125 truckloads
Salt Lake City
Albert Lea
100 truckloads
Rapid City
Total
300 truckloads
Albuquerque
Total
总产量=总的需求量=300车，产销平衡
分配量Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
运输模型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
运筹学 指派问题课件 PPT
产品1 产品2 产品3 产品4
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
返回总目录
例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
返回总目录
第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
5280
返回总目录
数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
返回总目录
例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
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第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
5280
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数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
运输问题和指派问题_图文
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作 业法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”还是采用 “单纯形法”来求解。
例4.1的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
工厂1 工厂2 工厂3 需求量
表4－7 产品生产的有关数据
产品1 41 40 37 20
单位成本（元）
产品2 27 29 30 30
产品3 28 － 27 30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3.3 各种运输问题变形的建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件x23＝0 ；并 且，总供应（ 75+75+45=195）>总需求 （20+30+30+40=120）。 其数学模型如下： 设xij为工厂i生产产 品j的数量
运输问题及指派问题 ppt课件
在生产、交换活动中，不可避免地要进行物资调运工作。 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食、矿砂、木材等各类物 资，分别运送到需要这些物资的地区。
3.1 运输问题概述
【例3.1】某物流公司从两个产地A1 (内蒙) 、A2 (山西)将煤 炭运往三个销地B1 (北京) 、B2 (山东) 、B3 (上海) ，各产地的产 量、各销地的销量、各产地运往各销地的每单位煤炭运费数据
x11 x12 x13 x21 x22 x23 111
111
A=
1
1
1
1
1
1
产地 约束
销地 约束
3.1 运输问题概述
x11 x12 x13 x21 x22 x23 111
111
产地 约束
A=
1
1
1
1
1
1
销地 约束
可以看出运输问题的系数矩阵有如下特征： （1）共有3+2行，分别表示各产地和销地；3×2列，分别表 示各决策变量的系数列；
指派问题
指派问题的求解
非标准指派问题
本章教学目标与要求
n 掌握产销平衡运输问题的数学模型及其特点； n 掌握运输问题的表上作业法，包括初始调运方案的确定、 检验数的计转化为产销平衡问题的处理办 法；掌握运输问题在实践中的典型应用；
n 掌握标准指派问题的求解方法，会将各种非标准指派问 题转化为标准指派问题。
3.1 运输问题概述
m z 6 x i 1 n 4 1 x 1 2 6 x 1 6 3 x 2 5 1 x 2 5 2 x 23
x11x12x13200
x21x22x23300
x11x21150
x12x22150
x13x23200
xij0(i1 A ,2 ;j1 ,2 ,3 )
3.1 运输问题概述
【例3.1】某物流公司从两个产地A1 (内蒙) 、A2 (山西)将煤 炭运往三个销地B1 (北京) 、B2 (山东) 、B3 (上海) ，各产地的产 量、各销地的销量、各产地运往各销地的每单位煤炭运费数据
x11 x12 x13 x21 x22 x23 111
111
A=
1
1
1
1
1
1
产地 约束
销地 约束
3.1 运输问题概述
x11 x12 x13 x21 x22 x23 111
111
产地 约束
A=
1
1
1
1
1
1
销地 约束
可以看出运输问题的系数矩阵有如下特征： （1）共有3+2行，分别表示各产地和销地；3×2列，分别表 示各决策变量的系数列；
指派问题
指派问题的求解
非标准指派问题
本章教学目标与要求
n 掌握产销平衡运输问题的数学模型及其特点； n 掌握运输问题的表上作业法，包括初始调运方案的确定、 检验数的计转化为产销平衡问题的处理办 法；掌握运输问题在实践中的典型应用；
n 掌握标准指派问题的求解方法，会将各种非标准指派问 题转化为标准指派问题。
3.1 运输问题概述
m z 6 x i 1 n 4 1 x 1 2 6 x 1 6 3 x 2 5 1 x 2 5 2 x 23
x11x12x13200
x21x22x23300
x11x21150
x12x22150
x13x23200
xij0(i1 A ,2 ;j1 ,2 ,3 )
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c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 i 1 n st . xij 1 (i , j 1, 2, ..., n) j 1 x 1or 0 ij
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
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指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
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匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
0 11 8 7 7 3 3 2 1 C ' 5 0 4 3 4 0
第二步 圈0 寻找不同行不同列的0元素，圈之。 所在行和列其它0元素划掉
0 0 0 0 0 3 0 11 8 第三步 打 无的行打，打行上0列打 ， 1 7 7 3 打列上行打，打行上0列打 ' 2 3 2 1 C 0 5 0 4 0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 2 3 4 0 C ' 0 2 3 2 1 第四步 确定方案划线 0 0 5 0 4 没有打行上画一条横线； 0 2 3 4 0 有打列上画一条竖线；
15 120 15 12 0 14 100 14 100 8 7 0 0 8 7
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B6
B6
4 4 7 7 6 6
8 8 9 9 9 9
7 7 17 17 12 12
0 15 12 0 15 12 0 14 10 14 10 0 8 7 0 8 7 0
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由于每家公司最多可以承建2家商店，把每家 公司化成2家同样的公司，系数矩阵为：
B1 B2 A1 B3 B4 B5 B6 6人5件事，增加 1件“虚 ” 事B6
A1’
A2 A2’ A3 A3’
4 4 7 7 6 6
8 8 9 9 9 9
7 7 17 17 12 12
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5个独立零元素，确定问题的最优解
0 0 X 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
最优指派方案：A1-B3;A2-B2;A3-B1;A4-B4,A5-B5
minZ=7+9+6+6+6=34
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0 1 1 5 M4 0 0
5 3 2 0
2 M 3 0
0 1 0 4 M2 0 0
√
5 2 0 0
2 M 1 0
√ √
0 -1 1 0 0 4 -1 3 M2 0 0
5 2 4 1 2 M 1 0 1 0 0
0 0 0 3 M2 1 0
4 1 0 0
1 M 1 0
A----乙 B----甲 C----丙
得到覆盖所有零元素的最小 直线数目。
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未被直线覆盖的元素中未出现零 0 3 0 11 8 元素，将第二行和第三行所有元 0 1 7 7 3 素减去最小元素1 0 2 3 2 1 第一列元素出现负值，对其所有 元素+1；加圈 0 0 5 0 4 1 3 0 11 8 0 2 3 4 0 0 0 6 6 2 0 3 0 11 8 1 0 6 6 2 0 1 2 1 0 C ''' '' 1 1 2 1 0 C 1 0 5 0 4 1 2 3 4 0 0 0 5 0 4 0 2 3 4 0
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练习：对于上述例题1，如果不让技术力量弱的A4,A5做，让 技术力量强的A1,A2,A3承建。根据实际情况，可以允许每家 公司承建一家或两家商店，求使总费用最小的指派方案。 反映投标费用的系数矩阵为: B1 A1 A2 A3 B2 B3 B4 B5
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7
三、非标准形式的指派问题
• 非标准指派型问题的标准化 MAX 、i≠j、Cij<0、Cij 缺省
1、目标利润MAX： MAX→MIN ? 找出最大元素，分别用它去减每一个非缺省元素。 新矩阵对应的目标即为MIN，而且也使Cij≥0。 2、C 的缺省：缺省意味着不胜任，因此在缺省处填上充 分大的正数，使成本很大。例如：某事不需要某人做。 3、 i≠j：添上一行（一列）零元素。例如：人和事不等， 增加虚拟的人或事，其所对应的系数为零。
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• • • • •
小结 1、指派问题的数学模型。 2、指派问题的计算步骤。 选做作业: 5.8(1), 5.9
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第五节 指派问题
一、指派问题的标准形式及其数学模型 标准形式（以人和事）：有n个人作n件事情，已知第i人 做第j件事情的费用Cij; 要求：确定人和事之间一一对应的指派问题。
标准指派问题的数学模型 1, 指派第i人做第j事 xij （i , j 1, 2, ..n ） 0, 不指派第 i 人做第 j 事 min Z
（1）
0 1 5 2 1 5 3 M M4 2 3
（2）
0 1 1 5 M4 0 0
5 3 2 0
2 M 3 0
（3)
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• 练习：使用匈牙利解法进行求解
0 1 5 2 1 5 3 4 2 3 0 1 5 2 1 5 3 M M4 2 3 0 1 1 5 M4 0 0 5 3 2 0 2 M 3 0
B1
B2
B3
B4
B5
A1
A2 A3 A4 A5
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
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解：标准指派问题。设 0 1变量 1, Ai 承建B j xij (i, j 1,2,...5) 0, Ai不承建B j min Z 4 x11 8 x12 7 x13 ...... 6 x55 n xij 1 1 i n st . xij 1 (i, j 1...5) j 1 xij 1or0
B6 1 0 0 0 7 5 0 0 0 7 5 1 0 2 3 0 1 9 10 56 23 3 0 1 9 10 56 23 0 2 2 1 5 0 0 1 2 1 5 0 0 1
A1-B1;A1’-B3;实际承建2家商店 A2-B2;A2’-B6 ;实际承建1家商店 A3-B4;A3’-B5 ;实际承建2家商店
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例2 ：求下表所示指派问题（利润）的最大值
A B C
甲 3 2
乙 2 -2 -1
丙 -2 0 1
丁 1 0
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标准化
（1） 本例中最大元素为3，除缺省外，其余元素均 被3去减; （2） 在缺省处填上充分大的正数M; ( 3) 行比列少一，因此填上一行0元素
0 1 5 2 1 5 3 4 2 3
0 0 3 0 10 10 5 5
7 7 6 6 0 0
0 5 0 5 0 3 3 0 0 0 0 0 √
√ √
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B6 0 0 0 0 7 5 0 0 0 7 5 0 -1 0 2 3 0 1 9 10 56 23 2 0 9 5 2 -1 0 3 1 10 6 3 2 1 5 0 0 0 2 1 5 0 0 0
（2）再从所得矩阵的每列中减去该列最小元素。
步骤2：在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。以最少数目的 水平线和垂直线划去所有的零元素。如果所用的直线等于行或 列数，则结束指派。否则继续。 步骤3：找到没有被划去的最小的元素，所有没有被划中的元素 减去这一最小值。在被直线覆盖的元素中出现负元素，为消除 负元素，则要加上这一最小值。再返回到第二步。最后根据零 元素的位置，确定最优分配方案。
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4 求解： 7 C 6 6 6
8
7
9 17 9 12 7 14 9 12
15 12 14 10 8 7 6 10 10 6
第一步 造0 各行各列减其最小元素
0 0 0 0 0
11 8 0 3 0 1 2 10 7 3 3 6 2 1 0 2 1 8 0 4 0 0 3 6 4 0 0 2 4 3