最新对数函数优秀教案
对数及对数函数教案8篇

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间,教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力,才能更好地帮助学生提高学习效果,下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇,感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流,培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习,树立相互联系、相互转化的观点,渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究,培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质,并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有机联系,激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点:1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具:多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观,强调以学生为中心,学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用,又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期,思维活跃,具有一定的独立性,喜欢新鲜事物,敢于大胆发表自己的见解,不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上,根据建构主义学习观,及学生的认知特点,我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体,教师为主导,问题为主线,思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”,强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
高一数学教案:对数函数2篇

高一数学教案:对数函数高一数学教案:对数函数精选2篇(一)教学目标:1. 了解对数函数的定义和性质。
2. 掌握对数函数的图像和性质。
3. 能够解决与对数函数相关的问题。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学重点:1. 对数函数的定义和性质。
2. 对数函数的图像和性质。
教学难点:1. 对数函数的图像和性质。
2. 解决与对数函数相关的问题。
教学方法:1. 归纳法:通过观察和总结,引出对数函数的定义和性质。
2. 演绎法:通过例题分析,引导学生掌握对数函数的图像和性质。
3. 实例法:通过练习实例,训练学生解决与对数函数相关的问题的能力。
教学过程:Step 1:引入对数函数引导学生回顾指数函数的定义和性质,简要介绍对数函数与指数函数的关系。
Step 2:对数的定义通过观察指数运算的性质,引出对数运算的定义和性质。
例如:a^x = b 等价于 x = log_a bStep 3:对数函数的定义和性质介绍对数函数的定义和性质,包括:- 对数函数的定义:y = log_a x,其中 a > 0 且 a ≠ 1。
- 对数函数的性质:对数函数的定义域为 x > 0,值域为实数集,函数图像在直线 y = x 上,且经过点 (1, 0)。
Step 4:对数函数的图像通过例题和计算,了解对数函数的图像特点,包括:- 当 0 < a < 1 时,对数函数是递减函数,图像从正向下方弯曲。
- 当 a > 1 时,对数函数是递增函数,图像从负向上方弯曲。
- 当 a = 1 时,对数函数是常函数 y = 0。
Step 5:对数函数的性质通过例题和计算,掌握对数函数的性质,包括:- 对数函数与指数函数互为反函数,即 log_a(a^x) = x 和 a^(log_a x) = x。
- 对数函数的性质 log_a(x * y) = log_a x + log_a y,log_a(x / y) = log_a x - log_a y,log_a(x^n) = n * log_a x。
高中数学对数函数讲课教案

高中数学对数函数讲课教案
教学内容:对数函数的定义、性质和计算
教学目标:学生能够理解对数函数的概念,掌握对数函数的性质和计算方法
教学重点和难点:对数函数的定义、性质和计算方法
教学步骤:
一、导入(5分钟)
1. 引出对数函数的概念,让学生思考对数函数与指数函数之间的关系;
2. 提出对数函数的定义,引入对数的概念;
二、讲解对数函数的性质(15分钟)
1. 对数函数的定义:y=loga(x);
2. 对数函数的性质:对数函数的定义域、值域、图像、性质等;
3. 讲解对数函数的性质,解释对数函数的特点;
三、解题演练(20分钟)
1. 练习对数函数的基本计算,如对数函数的值计算、对数函数性质的应用等;
2. 指导学生做相应的练习题,巩固对数函数的计算方法;
四、综合应用(10分钟)
1. 结合实际问题,引导学生将对数函数应用到实际生活中,如幂函数、对数函数的应用等;
2. 指导学生做相应的应用题,提高对数函数的实际运用能力;
五、小结与评价(5分钟)
1. 总结本节课的重点知识点,强调对数函数的重要性;
2. 对学生的学习情况进行评价和反馈,并指导下节课的学习内容;
教学反思:在本节课的教学中,应注重对数函数的定义和性质的讲解,帮助学生建立对对
数函数的认识,同时通过练习和应用,提高学生对对数函数的理解和运用能力。
同时,教
师应根据学生的实际学习情况,适时调整教学方法和内容,提高教学效果。
高一数学对数函数教案5篇

高一数学对数函数教案5篇(实用版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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对数函数教学设计(精选10篇)

对数函数教学设计对数函数教学设计(精选10篇)作为一名教学工作者,时常需要用到教学设计,教学设计是一个系统设计并实现学习目标的过程,它遵循学习效果最优的原则吗,是课件开发质量高低的关键所在。
我们该怎么去写教学设计呢?以下是小编为大家收集的对数函数教学设计,仅供参考,欢迎大家阅读。
对数函数教学设计篇1教学目标:使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法,掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法,培养学生的数学应用意识;认识事物之间的内在联系及相互转化,用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点:复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学难点:复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学过程:[例1]设loga23 <1,则实数a的取值范围是A.0<a<23B. 23 <a<1C.0<a<23 或a>1D.a>23解:由loga23 <1=logaa得(1)当0<a<1时,由y=logax是减函数,得:0<a<23(2)当a>1时,由y=logax是增函数,得:a>23 ,∴a>1综合(1)(2)得:0<a<23 或a>1 答案:C[例2]三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.7解:由于60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0 答案:D[例3]设0<x<1,a>0且a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小解法一:作差法|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=| lg(1-x)lga |-| lg(1+x)lga | =1|lga| (|lg(1-x)|-|lg(1+x)|)∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x∴上式=-1|lga| [(lg(1-x)+lg(1+x)]=-1|lga| lg(1-x2)由0<x<1,得lg(1-x2)<0,∴-1|lga| lg(1-x2)>0,∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法二:作商法lg(1+x)lg(1-x) =|log(1-x)(1+x)|∵0<x<1 ∴0<1-x<1+x∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)11+x由0<x<1 ∴1+x>1,0<1-x2<1∴0<(1-x)(1+x)<1 ∴11+x >1-x>0∴0<log(1-x) 11+x <log(1-x)(1-x)=1∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法三:平方后比较大小∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga (1-x)-loga(1+x)]=loga(1-x2)loga1-x1+x =1|lg2a| lg(1-x2)lg1-x1+x∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<1-x1+x <1∴lg(1-x2)<0,lg1-x1+x <0∴loga2(1-x)>loga2(1+x)即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法四:分类讨论去掉绝对值当a>1时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0当0<a<1时,由0<x<1,则有loga(1-x)>0,loga(1+x)<0∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0∴当a>0且a≠1时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|[例4]已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.当a2-1≠0时,其充要条件是:a2-1>0△=(a+1)2-4(a2-1)<0 解得a<-1或a>53 又a=-1,f(x)=0满足题意,a=1不合题意.所以a的取值范围是:(-∞,-1]∪(53 ,+∞)[例5]已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,比较f(x)与g(x)的大小解:易知f(x)、g(x)的定义域均是:(0,1)∪(1,+∞)f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx(34 x).①当x>1时,若34 x>1,则x>43 ,这时f(x)>g(x).若34 x<1,则1<x<43 ,这时f(x)<g(x)②当0<x<1时,0<34 x<1,logx34 x>0,这时f(x)>g(x)故由(1)、(2)可知:当x∈(0,1)∪(43 ,+∞)时,f(x)>g(x)当x∈(1,43 )时,f(x)<g(x)[例6]解方程:2 (9x-1-5)= [4(3x-1-2)]解:原方程可化为(9x-1-5)= [4(3x-1-2)]∴9x-1-5=4(3x-1-2) 即9x-1-43x-1+3=0∴(3x-1-1)(3x-1-3)=0 ∴3x-1=1或3x-1=3∴x=1或x=2 经检验x=1是增根∴x=2是原方程的根.[例7]解方程log2(2-x-1) (2-x+1-2)=-2解:原方程可化为:log2(2-x-1)(-1)log2[2(2-x-1)]=-2即:log2(2-x-1)[log2(2-x-1)+1]=2令t=log2(2-x-1),则t2+t-2=0解之得t=-2或t=1∴log2(2-x-1)=-2或log2(2-x-1)=1解之得:x=-log254 或x=-log23对数函数教学设计篇2一、说教材1、地位和作用本章学习是在学生完成函数的第一阶段学习(初中)的基础上,进行第二阶段的函数学习。
高中数学教案《对数函数》

教学计划:《对数函数》一、教学目标1.知识与技能:o学生能够理解对数函数的概念,掌握对数函数的一般形式及其性质。
o学生能够识别并绘制对数函数的图像,理解图像与函数性质之间的关系。
o学生能够运用对数函数解决简单的实际问题,如计算复利、对数增长等。
2.过程与方法:o通过与指数函数的对比,引导学生理解对数函数的概念和必要性。
o通过观察、分析对数函数图像,培养学生的数形结合能力和逻辑推理能力。
o通过小组合作探究,培养学生的协作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观:o激发学生对数学学习的兴趣,培养探索数学奥秘的好奇心。
o培养学生的耐心和细心,提高解决复杂问题的毅力。
o引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值,增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点●重点:对数函数的概念、一般形式、性质及其图像特征。
●难点:理解对数函数图像与函数性质之间的关系,以及运用对数函数解决实际问题。
三、教学过程1. 复习旧知,引入新课(5分钟)●复习指数函数:简要回顾指数函数的概念、性质和图像特征,为学习对数函数做好铺垫。
●生活实例引入:通过介绍天文学中的星等计算、地震震级等实例,引导学生思考这些实例中隐藏的数学规律,从而引出对数函数的概念。
●明确学习目标:阐述本节课将要学习的内容——对数函数,并明确学习目标。
2. 对数函数概念与性质讲解(15分钟)●定义讲解:详细讲解对数函数的概念,强调其与指数函数的互逆关系,并给出对数函数的一般形式(如y=log a x,其中a>0且a≠1,x>0)。
●性质探讨:引导学生根据对数函数的定义,探讨其定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。
●对比分析:将对数函数与指数函数进行对比分析,帮助学生更好地理解两者的联系与区别。
3. 对数函数图像分析(10分钟)●图像绘制:利用多媒体设备展示不同底数下对数函数的图像,引导学生观察图像特征。
●特征归纳:引导学生根据图像特征归纳出对数函数的图像特征,如底数大于1时图像上升缓慢,底数在0和1之间时图像下降迅速等。
对数教学设计【优秀5篇】

对数教学设计【优秀5篇】(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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对数函数及其性质教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案

对数函数及其性质教案一、教学目标1. 了解对数函数的定义及其性质;2. 掌握对数函数的常用计算方法;3. 能够应用对数函数解决实际问题。
二、教学重点1. 获取对数函数的定义;2. 掌握对数函数的性质;3. 能够应用对数函数解决实际问题。
三、教学准备教师:讲台、黑板、粉笔学生:课本、笔记本四、教学过程步骤一:对数函数的引入1. 引导学生回顾指数函数的概念和性质;2. 提问:你们对对数函数有什么了解吗?3. 引导学生思考对数函数和指数函数之间的关系。
步骤二:对数函数的定义1. 引导学生观察对数函数的定义,并与指数函数进行对比;2. 输入函数y=loga(x),解释其中a、x、y的含义;3. 让学生通过例题理解对数函数的定义。
步骤三:对数函数的性质1. 引导学生观察对数函数的图像,并总结对数函数的性质;2. 引导学生推导出对数函数的两个重要性质:底数为1时的结果和底数为0时的结果。
步骤四:对数函数的计算1. 让学生独立完成一些简单的对数函数计算;2. 引导学生注意对数函数计算的基本规则,例如:对数函数的乘法法则、对数函数的除法法则等;3. 提供一些练习题,让学生进行巩固。
步骤五:对数函数的应用1. 引导学生认识到对数函数在实际问题中的应用;2. 通过一些实际问题,让学生应用对数函数解决问题。
五、课堂小结1. 回顾课堂内容,确保学生对对数函数的定义和性质有一定的认识;2. 强调对数函数的计算方法和应用。
六、作业布置1. 求解对数函数的一些练习题;2. 思考并列举出自己身边能够应用对数函数解决问题的例子。
七、教学反思通过这节课的教学活动,学生对对数函数的定义和性质有了一定的认识,并能够应用对数函数解决实际问题。
但是,对于一些特殊情况的处理还需要进行更加细致的讲解和巩固练习。
下一节课应该重点讲解对数函数的图像和性质,以及在实际问题中的应用。
对数函数市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小学

对数函数教案小学一、教学目标:1. 了解对数函数的定义和性质;2. 掌握对数函数的基本计算方法;3. 熟悉对数函数在实际问题中的应用;4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点:1. 对数函数的定义和性质;2. 对数函数的基本计算方法。
三、教学难点:1. 对数函数在实际问题中的应用。
四、教学准备:教师:课件、教学挂图、实物模型等;学生:教材、文具等。
五、教学过程:步骤一:导入新知教师提出问题:“在数学中,我们经常会遇到很大很小的数字,如何方便地表示这些数字?”引导学生思考,并引入对数函数的概念。
步骤二:引入对数函数的定义1. 介绍对数函数的定义:对数函数是指以某个固定的底数为底,求这个底数乘积的对数。
2. 带入实例进行解释。
如对数函数log2(8)等于几,引导学生求解log2(8)=3。
步骤三:对数函数的性质1. 教师介绍对数函数的性质:对数函数的定义域都是正实数集合,值域都是实数集合。
2. 通过多个实例,帮助学生理解对数函数的性质。
如对数函数log2(1)=0、log2(2)=1、log2(4)=2等。
步骤四:对数函数的基本计算方法1. 教师介绍对数函数的基本计算方法。
如对数函数乘法法则logb(xy)=logb(x)+logb(y)、对数函数除法法则logb(x/y) = logb(x) -logb(y)等。
2. 通过示例,引导学生掌握对数函数的基本计算方法。
如log2(8*2)=log2(8)+log2(2)=3+1=4。
步骤五:对数函数在实际问题中的应用1. 介绍对数函数在实际问题中的应用。
如在计算机科学中,对数函数广泛用于数据的压缩和存储,以及在物理学中用于描述声音和光线的强度等。
2. 引导学生运用对数函数解决实际问题。
如给定一座电影院的座位数为1000个,每场电影的上座率为10%,学生可以运用对数函数计算出每场电影的上座人数。
步骤六:梳理知识点教师总结本课的重点内容,并向学生强调对数函数的重要性和实际应用意义。
4.2 对数函数的图象和性质 课时一等奖创新教学设计

4.2 对数函数的图象和性质课时一等奖创新教学设计4.4.2 对数函数的图象和性质(一)教学内容对数函数的图象和性质(二)教学目标1 掌握对数函数的图像和性质;能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;2 能够用对数函数的性质去解决问题。
(三)教学重点及难点1.教学重点对数函数的图像、性质及其应用2.教学难点对数函数图像和性质与底数a的关系。
(四)教学过程设计问题1 :我们已经学习对数函数的概念,类比指数函数的学习过程,我们可以怎样研究对数函数?师生活动:(1)学生思考后回答。
先作函数图象,然后根据图象研究函数性质(包括定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象的其他变化特征等方面)。
追问1:如何得到对数函数的图象?由特殊到一般的研究方法。
追问2:选取哪些特殊的对数函数来研究?追问3:通过什么方法得到这个对数函数的图象?学生小组内进行讨论,上台展示。
x … 1 2 4 ……2[ -1 0 1[来源:] 2 …设计意图:培养学生的能力,达到对函数概念以及指数函数的巩固的目的,并为本节课的研究理清思路。
问题2:我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和的图像,它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象?师生活动:(1)学生分组讨论思考后回答。
利用换底公式,可以得到,因为点(x,y)与(x,-y)关于x轴对称,所以图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点Q(x,-y)都在的图象,反之亦然。
由此可知,底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
根据这种对称性就能利用的图象画出的图象(2)追问1:函数以及的图象关于轴对称,可以解释吗?利用换底公式可以解释。
在函数的图象上任取一点(x1,y1),则,所以点(x1,-y1)在函数的图象上。
又点(x1,y1)和点(x1,-y1)关于轴对称,所以这两个函数图象关于轴对称。
高一数学教案对数函数说课5篇最新

高一数学教案对数函数说课5篇最新对数函数”是在学习对数概念的基础上学习对数函数的概念和性质,通过学习对数函数的.定义,图像及性质,可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,今天小编在这里整理了一些高一数学教案对数函数说课5篇最新,我们一起来看看吧!高一数学教案对数函数说课1对数函数教案1、掌握对数函数的定义和图象,理解并记忆对数函数的性质。
2、培养分析推理能力3、培4、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图像和性质。
5、难点:底数a对数函数的影响。
首先复习对数的定义师:上次讲细胞分裂问题时得到细胞个数y是分裂次数x的.函数。
今天我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多次分裂,大约可以得到1万个,10万个等等,那么,分裂次数可以用怎样的关系式来表示呢?生:表达式是x=log ,表示分裂次数x是细胞个数y的函数师:如果用x表示自变量,y表示函数,此式又可化为y=logax ,那么它与指数函数有何关系?函数y=log ax的定义域是什么?生:它们互为反函数,由于y= 的值域是{y|y>0}所以y=logax的定义域是{x|x>0} 师:对,由此我们就可以得到新的函数的定义。
(引入课题《对数函数的概念及性质》)一般地,函数y=log ax叫做对数函数,(a>0且a≠1)其中是自变量,定义域是{x|x>0} 高一数学教案对数函数说课2学习对数函数的教案设计教学目标1. 在指数函数及反函数概念的基础上,使学生掌握对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图像,掌握对数函数的性质,并初步应用性质解决简单问题.2. 通过对数函数的学习,树立相互联系,相互转化的观点,渗透数形结合,分类讨论的思想.3. 通过对数函数有关性质的研究,培养学生观察,分析,归纳的思维能力,调动学生学习的积极性.教学重点,难点重点是理解对数函数的定义,掌握图像和性质.难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系,利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质.教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一. 引入新课今天我们一起再来研究一种常见函数.前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的,今天我们将从反函数的角度介绍新的函数.反函数的实质是研究两个函数的关系,所以自然我们应从大家熟悉的函数出发,再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数.提问:什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?由学生说出是指数函数,它是存在反函数的.并由一个学生口答求反函数的过程:由得 .又的值域为,所求反函数为 .那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数.二.对数函数的图像与性质 (板书)1. 作图方法提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系,利用图像变换法画图.同时教师也应指出用列表描点法也是可以的,让学生从中选出一种,最终确定用图像变换法画图.由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型,故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和,并分别以和为例画图.具体操作时,要求学生做到:(1) 指数函数和的图像要尽量准确(关键点的`位置,图像的变化趋势等).(2) 画出直线 .(3) 的图像在翻折时先将特殊点对称点找到,变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴,而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折,在左侧的先翻,然后再翻在右侧的部分.学生在笔记本完成具体操作,教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍,画出和的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图:2. 草图.教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内,如图:然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)3. 性质(1) 定义域:(2) 值域:由以上两条可说明图像位于轴的右侧.(3) 截距:令得,即在轴上的截距为1,与轴无交点即以轴为渐近线.(4) 奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数,即它不关于原点对称,也不关于轴对称.(5) 单调性:与有关.当时,在上是增函数.即图像是上升的当时,在上是减函数,即图像是下降的.之后可以追问学生有没有最大值和最小值,当得到否定答案时,可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况:当时,有 ;当时,有 .学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法:当底数与真数在1的同侧时函数值为正,当底数与真数在1的两侧时,函数值为负,并把它当作第(6)条性质板书记下来.最后教师在总结时,强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性) 对图像和性质有了一定的了解后,一起来看看它们的应用.三.巩固练习练习:若,求的取值范围.四.小结五.作业略高一数学教案对数函数说课3对数运算性质的应用教案设计一、内容及其解析(一)内容:对数运算性质的应用。
学习对数函数的教案设计

学习对数函数的教案设计一、教学目标1. 让学生了解对数函数的定义和性质。
2. 培养学生运用对数函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索对数函数的图象和性质。
二、教学内容1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图象特点3. 对数函数的应用三、教学重点与难点1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数图象的特点3. 对数函数在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究对数函数的性质。
2. 利用数形结合法,让学生直观地感受对数函数的图象特点。
3. 运用实例分析法,培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 引入:通过回顾指数函数的知识,引导学生思考指数与对数的联系,激发学生学习对数函数的兴趣。
2. 新课:讲解对数函数的定义与性质,引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索对数函数的图象和性质。
3. 练习:让学生独立完成一些有关对数函数的练习题,巩固所学知识。
4. 应用:举例讲解对数函数在实际问题中的应用,培养学生运用知识解决实际问题的能力。
5. 总结:对本节课的主要内容进行总结,强调对数函数的定义、性质和应用。
6. 作业:布置一些有关对数函数的练习题,让学生课后巩固所学知识。
教学评价:通过课堂讲解、练习和作业,评价学生对对数函数的定义、性质和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法,培养学生的数学思维能力。
六、教学策略与技巧1. 利用数学软件或图形计算器,展示对数函数的图象,增强学生直观感受。
2. 通过具体例子,引导学生发现对数函数与指数函数之间的关系。
3. 设计具有挑战性的问题,激发学生思考,提高学生解决问题的能力。
七、教学资源1. 教学PPT:包含对数函数的定义、性质、图象及应用等内容。
2. 练习题库:涵盖不同难度的对数函数题目,用于课堂练习和课后作业。
3. 数学软件:如Mathematica、MATLAB等,用于展示对数函数的图象。
高一数学对数函数教案3篇(高一数学对数函数课件)

高一数学对数函数教案3篇(高一数学对数函数课件)下面是整理的高一数学对数函数教案3篇(高一数学对数函数课件),欢迎参阅。
高一数学对数函数教案1教学目标:(一)教学知识点:1.对数函数的概念;2.对数函数的图象和性质.(二)能力训练要求:1.理解对数函数的概念;2.掌握对数函数的图象和性质.(三)德育渗透目标:1.用联系的观点分析问题;2.认识事物之间的互相转化.教学重点:对数函数的'图象和性质教学难点:对数函数与指数函数的关系教学方法:联想、类比、发现、探索教学辅助:多媒体教学过程:一、引入对数函数的概念由学生的预习,可以直接回答“对数函数的概念”由指数、对数的定义及指数函数的概念,我们进行类比,可否猜想有:问题:1.指数函数是否存在反函数?2.求指数函数的反函数.3.结论所以函数与指数函数互为反函数.这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数.二、讲授新课1.对数函数的定义:定义域:(0,+∞);值域:(-∞,+∞)2.对数函数的图象和性质:因为对数函数与指数函数互为反函数.所以与图象关于直线对称.因此,我们只要画出和图象关于直线对称的曲线,就可以得到的图象.研究指数函数时,我们分别研究了底数和两种情形.那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象.还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象.请同学们作出与的草图,并观察它们具有一些什么特征?对数函数的图象与性质:(1)定义域:(2)值域:(3)过定点,即当时,(4)上的增函数(4)上的减函数3.练习:(1)比较下列各组数中两个值的大小:(2)解关于x的不等式:思考:(1)比较大小:(2)解关于x的不等式:三、小结这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数.并且研究了对数函数的图象和性质.四、课后作业课本P85,习题2.8,1、3高一数学对数函数教案2本文题目:高一数学教案:对数函数及其性质2.2.2 对数函数及其性质(二)内容与解析(一) 内容:对数函数及其性质(二)。
对数函数的图像与性质教案

对数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解对数函数的定义和性质2. 能够绘制和分析对数函数的图像3. 掌握对数函数在实际问题中的应用二、教学重点1. 对数函数的定义和性质2. 对数函数图像的特点三、教学难点1. 对数函数的图像绘制2. 对数函数性质的理解和应用四、教学准备1. 教学PPT2. 数学软件或图形计算器3. 练习题和答案五、教学过程1. 引入:通过复习指数函数的图像和性质,引导学生思考对数函数的定义和性质。
2. 新课:讲解对数函数的定义和性质,通过示例和动画演示对数函数图像的特点。
3. 练习:让学生利用数学软件或图形计算器绘制对数函数的图像,并观察其特点。
4. 应用:通过实际问题引导学生应用对数函数的性质解决问题。
5. 总结:对本节课的内容进行总结,强调对数函数的定义、性质和图像的特点。
6. 布置作业:让学生课后练习绘制和分析对数函数的图像,巩固所学知识。
附:练习题1. 绘制对数函数y = log2(x) 的图像。
2. 分析对数函数y = log3(x) 的图像与y = log2(x) 的图像的异同。
3. 设对数函数的底数为4,求函数在x = 2 和x = 4 时的值。
4. 应用对数函数的性质,解决实际问题:一家企业今年的销售额是去年的2倍,问去年的销售额是多少?5. 判断下列函数是否为对数函数,并说明理由:a) y = log2(x) + 1b) y = 2^xc) y = log(x)六、教学拓展1. 引入对数函数的换底公式2. 探讨对数函数与指数函数的关系3. 介绍对数函数在自然界的应用,如声波、地震等七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容,对数函数的定义、性质和图像特点2. 强调对数函数在实际问题中的应用价值八、作业布置1. 完成练习题2. 预习下一节课内容:对数函数的应用九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握情况2. 教学过程中存在的问题和改进措施3. 对下周教学内容的准备和安排十、教学评价1. 学生作业完成情况2. 课堂表现和参与度3. 知识点的掌握和应用能力附:练习题答案1. 对数函数y = log2(x) 的图像如下:2. 对数函数y = log3(x) 的图像与y = log2(x) 的图像的异同如下:相同点:都是单调递增的曲线,过原点(0,0)不同点:对数函数y = log3(x) 的图像在x 轴上的截距更大,斜率更小3. 对数函数的底数为4 时,函数在x = 2 和x = 4 时的值分别为:y = log4(2) = 0.5y = log4(4) = 14. 设去年的销售额为x,今年的销售额为2x,根据题意可得:2x = 4x = 2去年的销售额为25. 判断下列函数是否为对数函数,并说明理由:a) y = log2(x) + 1:不是对数函数,因为对数函数的定义中不包括常数项b) y = 2^x:不是对数函数,而是指数函数c) y = log(x):是对数函数,但未指明底数,需要明确底数才能确定是否为对数函数重点和难点解析一、教学重点补充和说明:对数函数的定义要强调底数、真数和系数的概念,通过具体例子让学生理解对数函数的表达意义。
对数教学设计优秀10篇

对数教学设计优秀10篇(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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《对数函数》公开课教案

《对数函数》公开课教案对数函数公开课教案一、教学目标- 了解对数函数的概念和基本性质- 掌握对数函数的图像和常用性质- 能够灵活运用对数函数解决实际问题二、教学重点和难点重点- 对数函数的定义和基本性质- 对数函数的图像和变换- 对数函数在实际问题中的应用难点- 对数函数的解析表达式的推导- 自然对数函数和常用对数函数的区别三、教学内容和步骤内容1. 对数函数的引入和概念解释2. 对数函数的定义和基本性质的讲解3. 对数函数的图像和常用性质的展示和分析4. 对数函数的变换和图像的绘制5. 对数函数在实际问题中的应用举例步骤1. 导入:通过引入一个实际问题,引起学生对对数函数的兴趣2. 概念解释:简明扼要地介绍对数函数的概念和基本性质3. 示范分析:通过几个简单的例子,演示对数函数的计算和性质的验证4. 图像展示:展示对数函数的图像,并解析图像的特点和常用性质5. 变换绘制:教授对数函数的平移、伸缩和翻转等变换方法,并指导学生绘制变换后的图像6. 实际应用:给出一些实际问题,引导学生运用对数函数解决问题,并进行讨论和总结四、教学评价与反馈1. 教师评价:通过学生的课堂表现、作业完成情况和课堂互动等多方面进行评价2. 学生评价:鼓励学生积极参与,提供机会让学生表达对教学内容的理解和意见3. 教学反馈:根据学生的研究情况和反馈,及时调整教学方法,提升教学效果五、教学资源和参考书目1. 教学资源:投影仪、计算器、白板、教材、参考课件等2. 参考书目:《高中数学课程标准实验教科书》、《高中数学学科教学大纲解读与教案解析》等六、教学延伸1. 给学生布置相关的题,巩固对对数函数的理解和应用能力2. 提供拓展性的研究资源,鼓励有兴趣的学生进一步探究对数函数的高级性质。
对数函数及其性质教案

对数函数及其性质教案一、教学目标:1. 理解对数函数的定义和性质。
2. 学会运用对数函数解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容:1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图像与性质3. 对数函数的应用4. 对数函数的进一步性质5. 对数函数解决实际问题三、教学重点与难点:1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图像与性质3. 对数函数解决实际问题四、教学方法:1. 讲授法:讲解对数函数的定义、性质和图像。
2. 案例分析法:分析对数函数在实际问题中的应用。
3. 问题驱动法:引导学生思考对数函数的性质和解决实际问题。
五、教学准备:1. 教学课件:制作课件,展示对数函数的图像和性质。
2. 教学案例:准备一些实际问题,让学生思考和解决。
3. 练习题:准备一些练习题,巩固学生对对数函数的理解。
【导入】引导学生回顾指数函数的性质和图像,激发学生对对数函数的兴趣。
【新课导入】1. 讲解对数函数的定义:以自然底数e为例,介绍对数函数的定义和表达式。
2. 讲解对数函数的性质:分析对数函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
3. 展示对数函数的图像:利用课件展示对数函数的图像,让学生感受对数函数的性质。
【案例分析】1. 分析实际问题:让学生思考对数函数在实际问题中的应用,如人口增长、放射性衰变等。
2. 解决实际问题:引导学生运用对数函数解决实际问题,培养学生的应用能力。
【练习巩固】1. 布置练习题:让学生独立完成练习题,巩固对数函数的基本性质。
2. 讲解练习题:挑选部分练习题进行讲解,解答学生的疑问。
【课堂小结】总结本节课的主要内容和收获,强调对数函数的性质和应用。
【课后作业】布置课后作业,让学生进一步巩固对数函数的知识。
六、教学拓展:1. 对数函数的导数:讲解对数函数的导数公式,让学生了解对数函数的斜率变化。
2. 对数函数的积分:介绍对数函数的不定积分和定积分,理解对数函数的累积意义。
2023对数函数教案5篇

2023对数函数教案5篇2023对数函数教案(篇1)教学目标:1.进一步理解对数函数的性质,能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问题.2.培养学生数形结合的思想,以及分析推理的能力.教学重点:对数函数性质的应用.教学难点:对数函数的`性质向对数型函数的演变延伸.教学过程:一、问题情境1.复习对数函数的性质.2.回答下列问题.(1)函数y=log2_的值域是 ;(2)函数y=log2_(_1)的值域是 ;(3)函数y=log2_(03.情境问题.函数y=log2(_2+2_+2)的定义域和值域分别如何求呢?二、学生活动探究完成情境问题.三、数学运用例1 求函数y=log2(_2+2_+2)的定义域和值域.四、练习:(1)已知函数y=log2_的值域是[-2,3],则_的范围是__.(2)函数,_(0,8]的值域是 .(3)函数y=log (_2-6_+17)的值域 .(4)函数的值域是__.例2 判断下列函数的奇偶性:(1)f (_)=lg (2)f (_)=ln( -_)例3 已知loga 0.751,试求实数a 取值范围.例4 已知函数y=loga(1-a_)(a0,a1).(1)求函数的定义域与值域;(2)求函数的单调区间.练习:1.下列函数(1) y=_-1;(2) y=log2(_-1);(3) y= ;(4)y=ln_,其中值域为R的有 (请写出所有正确结论的序号).2.函数y=lg( -1)的图象关于对称.3.已知函数 (a0,a1)的图象关于原点对称,那么实数m= .4.求函数,其中_ [ ,9]的值域.五、要点归纳与方法小结(1)借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域;(2)换元法;(3)能画出较复杂函数的图象,根据图象研究函数的性质(数形结合).六、作业课本P70~71-4,5,10,11.2023对数函数教案(篇2)一、内容与解析(一)内容:对数函数的概念与图象(二)解析:本节课要学的内容是什么是对数函数,对数函数的图象形状及画法,其核心是对数函数的图象画法,理解它关键就是要理解掌握对数函数的图象特点.学生已经掌握了指数函数的图象画法及特点,函数图象的一般画法,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是研究对数函数性质的依据,是本学科的核心内容.教学的重点是对数函数的图象特点与画法,解决重点的关键是利用函数图象的一般画法画出具体对数函数的图象,从而归纳出对数函数的图象特点,再根据图象特点确定对数函数的一般画法。
高一数学教案范文:对数函数教案6篇

高一数学教案范文:对数函数教案高一数学教案范文:对数函数教案精选6篇(一)教案主题:对数函数教学目标:1. 理解对数的定义和性质;2. 熟练掌握对数函数的图像和性质;3. 能够解决与对数函数相关的实际问题。
教学重点:1. 对数的定义和性质;2. 对数函数的图像和性质。
教学难点:对数函数的应用和解决实际问题。
教学过程:Step 1:导入通过一幅图片展示一张单调递增函数的图像,并引导学生思考这个函数的性质。
Step 2:激发兴趣提问:上述的函数图像中,这个函数的自变量是否能取任意实数?为什么?这个函数的值域是否有限制?存在哪些特殊的点,比如零点、极值点等?Step 3:引入概念引导学生思考自然对数的定义和性质,然后介绍对数的定义和常见的特殊情况。
Step 4:讲解对数函数的基本性质1. 对数函数的图像特点:单调递增、定义域、值域;2. 对数函数的零点和极值点;3. 对数函数的性质关系式:ln(xy) = ln(x) + ln(y),ln(x/y) = ln(x) - ln(y)。
Step 5:示例演练结合具体的实例,让学生通过计算和图像分析的方法,熟悉对数函数的表达式和性质。
Step 6:拓展应用通过一些实际问题的展示,引导学生运用对数函数解决实际问题,如指数增长问题、物质衰减问题等。
Step 7:总结提高总结对数函数的定义、性质和应用,并引导学生思考对数函数与指数函数的关系。
Step 8:作业布置要求学生完成与对数函数相关的习题,巩固所学内容。
评价与反馈:通过学生作业的批改和讲解,及时反馈学生对对数函数概念和应用的掌握程度。
教学资源:1. PPT;2. 教科书;3. 白板、彩色粉笔;4. 实际问题的案例材料。
教学延伸:对数函数在科学和工程领域中具有广泛的应用,可以通过提供更多实际问题的案例,培养学生运用对数函数分析和解决问题的能力。
高一数学教案范文:对数函数教案精选6篇(二)教学目标:1. 理解对数函数的概念及性质。
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《对数函数》优秀教案
一、教材分析
对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的,由此我制定了这样的教学目标。
1、通过指数与对数的联系,掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。
2、在教学过程中,通过数形结合、分类讨论等数学思想方法,发展学生的逻辑思维能力,提高他们的信息检查和整合能力。
教学重点:对数函数的概念、图象和性质.
教学难点:由对数函数与指数函数互为反函数的关系,利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。
二、指导思想和教学方法
利用多媒体辅助教学,通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质,同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。
三、教学过程
1、提出问题
我们来看下上节课的2.1.2的例8:截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少?
1999年底,我国人口约13亿;
经过1年(即2000年),人口数为13+13*1%=13*(1+1%)(亿)
经过2年(即2001年),人口数为13*(1+1%)+13*(1+1%)*1%=13*(1+1%)2(亿)
经过3年(即2002年),人口数为13*(1+1%)2+13*(1+1%)2*1%=13*(1+1%)3(亿)。
所以经过x 年,人口数为y=x %)11(*13+=x 01.1*13(亿)
当x=20时,1601.1*1320≈=y (亿)
所以经过20年后我国人口数最多为16亿。
咱们上节课的例题,我们能从关系式x y 01.1*13=中,算出任意一个年头x 的人口总数,那反之,如果问,哪一年的人口数可达到18亿,20亿,30亿,该如何解决? 上述问题实际上就是从x x x 01.113
30,01.11320,01.11318===,...中分别求出x ,即已知底数和幂的值,求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题,
通过我们学习的对数表示方法,咱们可以把上面的式子表示成:x y =01.1log ,其中y=人口数/13,y 是自变量,x 是y 的函数,但习惯上,用x 表示自变量,y 表示它的函数,
因此对上式进行改写:x y 01.1log =。
说明:这里,以学生熟悉的问题为背景,以旧有知识为基点,顺利切入学生的最近发展区,使学生亲历了对数函数模型的形成过程,初步理解对数函数的概念,感受研究对数函数的意义。
2、探究新知
根据上面的讨论,引出对数函数的定义。
(一般地,函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做对数函数,它的定义域是(0,)+∞)
在类比联想的基础上,进行以下探究:
探究1:函数log a y x =与函数
x y a =(0,1)a a >≠的定义域、值域之间有什么关系? 说明:定义域、值域是函数的两大要素,再加上对数函数和指数函数的关系,因此,有必要对此问题进行讨论。
这里,让学生探究并汇报问题的结果(log a y x =的定义域和值域分别是x y a =的值域和定义域。
)(显示)通过比较,进一步感受指数函数与对数函数的内在联系。
探究2:描点作图,画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象,给出它们之间的关系.
2(1) 2,log ;x y y x == 12
1(2) ,log .2x
y y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 说明:图像是研究、验证性质的工具之一,也是函数的表示方法之一。
这里,要求学生自主绘出2log y x =,12log y x =的图像(指数函数的图像给出)。
目的有三:一是培养
学生的动手能力,二是让学生进一步感受指数函数与对数函数的关系,三是为下面学生探索对数函数的性质奠定基础。
在学生观察、讨论或动手翻折的基础上得出图像之间的关系:关于直线y x =对称,并由特殊到一般,得出(显示):当0,1a a >≠时,函数x y a =与log a y x =的图像关于直线y x =对称。
根据探究1、2的讨论,适时给出反函数的概念(不展开讲述),指出指数函数和对数函数互为反函数。
(我们把x y a =称为log a y x =的反函数,log a y x =称为x y a =的反函数,即它们互为反函数。
)
一般地,函数()y f x =的反函数记作:1()y f x -=.
探究3:观察图形,类比联想指数函数的性质,你发现了对数函数的那些性质?
说明:这是本节课的重点。
教学中,我准备这样处理:
(1)留给学生足够的时间进行探索、交流、讨论。
探索性质可以借助学生自己绘制的图像,也可利用老师给出的图像。
(显示)
(2)引导学生在类比联想指数函数的图像特征和函数性质基础上,由特殊到一般,充分发表意见,并与周围的人交流思维的过程和结果。
通过观察、分析、类比、交流讨论,使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识得以明朗、一致。
(3)让学生把自己总结出的结果和图像“整合”成知识图表,使学生头脑中的知识进一步条理化、系统化。
表:对数函数的图像与性质
1
a>01
a
<<
图象
图象1、图象的位置:在y轴的右侧;
2、图象过定点:(1,0)
(1,0) x
y
(1,0)
x
y
特
征 3、图象向上无限延伸,向下无限接近y 轴. 3、图象向下无限延伸,向上无限接近y 轴.
4、随着x 增大,图象是上升的
4、随着x 增大,图象是下降的
5、1x >时,函数图象在x 轴的上方; 01x <<时,函数的图象在x 轴的下方;
5、1x >时,函数图象在x 轴的下方;
当01x <<时,函数的图象在x 轴的上
方;
函
数
性
质 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 单调性 单调递增 单调递减
奇偶性 非奇非偶 探究4:再仔细观察对数函数图象,你还有其他新的发现吗?
在学生深入观察、讨论、交流的基础上,总结自己的发现,这里主要指出两点发现:
(1)从特殊到一般,得出:函数log a y x =与函数1log a
y x =的图象关于x 轴对称;
(2)(2)底数a 的变化对对数函数图象的影响:当a>1时,a 越大,图像在第一象限内曲线越靠近x 轴;在第四象限内的曲线越靠近y 轴。
当0<a<1时,a 越小,图像在第四象限内曲线越靠近x 轴;在第一象限内的曲线越靠近y 轴。
对第二个发现,在学生充分发言后,教师通过课件演示,进一步印证学生的发现,并给学生更加直观的感受。
3、例题讲述
例1 求下列函数的定义域
(1)0.2log (4);y x =- (2)log 1(0,1).a y x a a =->≠
说明:通过例1要让学生明确,求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大于
零”,当真数为某一代数式时,可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该函数的定义域
例2 利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个数的大小
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a >0 , a ≠1 )
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
说明:例2例3考察学生利用对数函数性质解决问题的能力,讲解时,先让学生回顾利用指数函数比较大小时的处理方法,然后引导学生采用类似的方法解决本题。
即:如果两个对数值同底,应构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断;如果底不同,应构造两个对数函数,借助两个对数函数的单调性和中间值“1”或“0”进行判断。
本题解决后,让学生反思明白,要想利用性质解决问题,关键要做到“脑中有图”,以“形”促“数”;同时,形成这类问题的一般解题流程:“识别――判断――比较”。
其中,识别,指“模式识别”,这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想。
在教学中渗透这样的数学思想,是发展学生数学素质的一项重要的基本训练。
4、巩固练习
根据课堂具体情况,处理课后相关练习题。
5、课堂小结
主要请学生总结并说出本节课学到了什么?还有哪些需要加强的地方?
6、布置作业
(1)P69 2,3.
(2)课后思考题:(p70,ex9)如图,已知函数
log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的图像分别
是1234,,,C C C C ,试判断1,1,a ,b ,c ,d 的大小。
说明:设置这样的两道课后思考题,使得课堂教
学得以很好的延续与深入。