57均值不等式与不等式的实际应用

学案五十七：均值不等式与不等式的实际应用

命题：闫桂女 刘丽娟 审核：张建新 2010.1

【考纲要求】

1、 了解均值不等式的证明过程

2、 会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题

【课前自主预习】

一、自主梳理，构建网络

1、 重要不等式：如果a,b 都是实数，那么≥+22b a ________

2、 均值不等式：如果a>0,b>0，那么________2

≥+b a 3、 已知a,b 都是正数，则b

a a

b b a b a ab +++2,2,2,22的大小顺序是________________

灵活变式：2_____2

2b a ab +；2)(_____2

22b a b a ++ ；

2)2_____(b a ab +2_____)2(2

22b a b a ++；ab b a 4_____)(2+；

)0__(>≥+ab b

a a

b ；)(2_______22b a +≤ 4、利用两个定理求最值问题

（1）x>0,y>0,xy=P(定值) 那么当x=y 时，x+y 有最__值2p

（2）x>0,y>0,x+y=S(定值) 那么当x=y 时，xy 有最__值4

2

s 应用此结论要注意三个条件：一正，二定、三相等 技巧：配凑、裂项、转化、分离常数等

二、自我检测，查找问题

1．下列命题中正确的是（ ）

A 函数x x y 1+=的最小值为2

B 函数2

322++=x x y 的最小值为2 C 函数)0(432>-

-=x x x y 的最大值为342-

D 函数3

21222++++=x x x x y 的最小值为-1 2．若实数a,b 满足a+b=2,则b a 33+的最小值是__________

3．若正实数a,b 满足a+b=1，则2

2b a +的最小值是_______ 4．若M=)2(2

1>-+

a a a ,则M 的取值范围是________ 5、,a

b

c n M >>∈且11n a b b c a c +≥---，求n 的最大值. 【课堂思维展示】

一、典例剖析，总结规律

题型一： 例1．（1）已知正数x,y 满足3x+4y=12,求y x lg lg +的最大值及此时x,y 的值。

（2）已知正数x,y 满足x+2y=1,求y

x 11+的最小值。

（3）已知正数x,y 满足2x+8y-xy=0, 求x+y 的最小值

变式：（1）正数x,y 满足191=+y

x ，求x+y 的最小值

（2）若正数a,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围

题型二：例2、（1）已知45<

x ，求函数5

4124-+-=x x y 的最大值

（2）已知1->x ，求函数1

7102

+++=x x x y 的最小值

题型三：证明不等式

例3．已知a,b,c R ∈，求证ca bc ab c b a ++≥++222

变式：设a,b,c 为正数，a+b+c=1,求证：

9111≥++c b a

题型四：用不等式解决实际问题

例4、 西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进

行促销。在1年内，据测算年销售量S （万双）与广告费x （万元）之间的函数关系为S=3-)0(1>x x

，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元。（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）（1）试将羊皮手套的年利润L （万元）表示成为年广告费x （万元）的函数。（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年成本-年广告费）

二、当堂检测，诊断反馈

1．若a>b>1,P=b a lg lg ,Q=)lg (lg 21b a +,R=2

lg b a +,则（ ） A R

2、 设正数x,y 满足122

2

=+y x ，则21y x +的最大值是______ 3．设)11)(11)(11(---=c

b a M ，且a+b+c=1(其中a>0,b>0,c>0),则M 的取值范围是_____________ 4．点P （x,y ）在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上，那么y x 42+的最小值是

___________

5．函数()1,01)3(log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中,0>mn 则n

m 21+的最小值是__________ 6．设正数x,y 满足y x y x 222log log )3(log +=++，则x+y 范围是

三、能力提高1、 关于x 的方程0124=++⋅+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围。

2、 汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”。在某公路上，“刹车距离”s 米与汽车车速v 米/秒之间有经验公式：v v s 8

54032+=。为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米，现假设行驶在这条公路上的汽车的平均车身长为5米，每辆车均以相同的速度v 行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”。（1）试写出经过观测点A 的每两辆车之间的时间间隔t 与速度v 的函数关系式；（2）问v 为多少时，经过观测点A 的车流量（即单位时间通过的汽车数量）最大？