中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案(1)

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______

；

()2如图②，若m 6=．

①求C ∠的正切值；

②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．

【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=②或43225

. 【解析】

【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论；

()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；

②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．

【详解】

()1如图1，连接OB ，OA ，

OB OC 5∴==，

AB m 5==，

OB OC AB ∴==，

AOB ∴是等边三角形，

AOB 60∠∴=，

1ACB AOB 302

∠∠∴==， 故答案为30；

()2①如图2，连接AO 并延长交O 于D ，连接BD ，

AD 为O 的直径，

AD 10∴=，ABD 90∠=，

在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4

∠∴==， C ADB ∠∠=，

C ∠∴的正切值为34

； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，

AC BC =，AO BO =，

CE ∴为AB 的垂直平分线，

AE BE 3∴==，

在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，

CE OE OC 9∴=+=，

ABC 11S AB CE 692722

∴=⨯=⨯⨯=； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，

连接OA 交BC 于F ，

AC AB =，OC OB =，

AO ∴是BC 的垂直平分线，

过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=，

ACF AOG ∠∠∴=，

在Rt AOG 中，AG 3sin AOG AC 5

∠==， 3sin ACF 5

∠∴=， 在Rt ACF 中，3sin ACF 5

∠=， 318AF AC 55

∴==， 24CF 5

∴=， ABC 111824432S AF BC 225525

∴=⨯=⨯⨯=； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25

=．

【点睛】

圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．

()1求证：BC 是O 的切线；

()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．

【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=

． 【解析】

【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；

()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设

O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽

BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12

∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．

【详解】

()1证明：连接OD ，如图，

AD 平分BAC ∠，

12∴∠=∠，

OA OD =，

23∴∠=∠，

13∴∠=∠，

//OD AC ∴，

AC BC ⊥，

OD BC ∴⊥，

BC ∴是O 的切线；

()2解：在Rt ACB 中，22345AB =+=， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，

//OD AC ，

BDO ∴∽BCA ，

OD ∴：AC BO =：BA ，

即r ：()35r =-：5，解得158

r =， 158OD ∴=，258

OB =， 在Rt ODB 中，2252

BD OB OD =-=， 32

CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，3

12tan 132

CD AC ∠===， AE 为直径，

90ADE ∴∠=，

90EDB ADC ∴∠+∠=，

190ADC ∠+∠=，

1EDB ∴∠=∠，

1tan 2

EDB ∴∠=． 【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

3．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC 、BC ．

（Ⅰ）求∠ACB 的大小；

（Ⅱ）若⊙O 半径为1，求四边形ACBP 的面积．