2019中考复习：平行四边形基础习题(包括矩形、菱形、正方形)语文

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2019中考复习：《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总

最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中，边(周长)的计算例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD 的取值范围是_________．解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9变式：1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC 的周长大1，求AB，BC的长．解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE ＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD ＋DA＋EF＝25CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．解析：本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4综上，AB＝7或4变式：1.平行四边形ABCD的周长为32，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，x＝4，AB＝3x＝12．如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，x＝2，AB＝3x＝6．综上，AB＝6或12.二、平行四边形面积类问题例1：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD 的周长是30，求其面积．解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．如图，设AB＝x，BC＝15－x，2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点，连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．例3：解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是“将军饮马”问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．如图，连接OP变式：1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：本题同样也能用上题思路，PE＋PF＝BO＝5，也能证明四边形EPFO是矩形，PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，则BE＝PE，PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M’，则PM＋PN＝P M’＋PN≥M’N(当M’，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M’N＝5变式：1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M’，则当M’N⊥BC时，M’N最短，过点M’作M’Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD ＝24，BC＝5，M’Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【知识要点】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

中考总复习平行四边形矩形菱形正方形专项练习(含解析)

第110讲四边形微课平行四边形的性质题一：如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是() A．若AO=OC，则四边形ABCD是平行四边形B．若AC=BD，则四边形ABCD是平行四边形C．若AO=BO，CO=DO，则四边形ABCD是平行四边形D．若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形A DOB题二：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种题三：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD垂直于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为_____．教育选轻轻·家长更放心页1教育选轻轻·家长更放心页 2题四：如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BC =6，BC 边上的高为4，其中EF 、MN 、GH 交于点O ，则阴影部分的面积为_____．题五：如图，平行四边形ABCD 中，O 是对角线交点，AB =13cm ，BC =5cm ，那么△AOB 周长比△BOC 的周长多_____cm ．题六：如图，在平行四边形ABCD 中，EF 经过对角线的交点O ，交AB 于点E ，交CD 于点F ．若AB =5，AD =4，OF =1.8，那么四边形BCFE 的周长为_____．教育选轻轻·家长更放心页 3题七：如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 上的一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠C BA ，过点P 作PQ ∥AD ，交AB 于点Q ．下列结论不一定成立的是( )A ．AP ⊥BPB ．AD =PDC ．△PBC 是等边三角形D ．点Q 是AB 的中点题八：如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．(1)若AF ，BE 分别是∠DAB 、∠CBA 的平分线，求证：DE =FC ；(2)已知AD =3，AB =5，求EF 的长．教育选轻轻·家长更放心页 4第111讲四边形微课平行四边形的判定题一：如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形还需要条件( )A．AB =DC B ．∠1=∠2C ．AB =AD D ．∠D =∠B题二：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD 、AC 相交于点O ，E 、F 是BO 上的两点，请你添一个条件_______使四边形AECF 是平行四边形，并说出你的理由．题三：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AE =CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．教育选轻轻·家长更放心页 5题四：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE =CF ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．题五：如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，试说明四边形AECF 是平行四边形．题六：如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ，求证：四边形ABDF 是平行四边形．第112讲四边形微课矩形题一：矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补题二：矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．内角和为360°D．对边平行且相等题三：下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形题四：下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个教育选轻轻·家长更放心页6教育选轻轻·家长更放心页 7题五：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ：∠BAE =1：2，试求∠CAE 的度数．题六：如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE =15°，试求∠COE 的度数．教育选轻轻·家长更放心页 8题七：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，F 是AC 中点，AN 是△ABC 的外角∠MAC 的角平分线，延长DF 交AN 于点E．(1)判断四边形ABDE 的形状，并说明理由；(2)问：线段CE 与线段AD 有什么关系？请说明你的理由．题八：已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．第113讲四边形微课菱形题一：如图，AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是_____．题二：如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为()A．12m B．20mC．22m D．24m题三：能判定一个四边形是菱形的条件是()A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角题四：下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是()A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角教育选轻轻·家长更放心页9题五：红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，判断重叠四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．题六：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．教育选轻轻·家长更放心页10题七：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．求证：四边形AFCD是菱形．题八：Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．(1)求证：CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．教育选轻轻·家长更放心页11教育选轻轻·家长更放心页 12第114讲四边形微课正方形题一：下列判断中正确的是( )A ．四边相等的四边形是正方形B ．四角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形题二：正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形题三：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于G ，连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG =AD ；③∠CHG =∠DAG ；④HG =12AD ．其中正确的有( )A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④题四：如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ．下列四个结论：①CE =CB ；②AE 2；③OF =12CG ．其中正确的结论只有( )A ．①②B ．②③教育选轻轻·家长更放心页 13C ．①③D ．①②③题五：如图，已知点E 为正方形ABCD的边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ．求证：BF =CE ．题六：如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点(点G 与B 、C 不重合)，AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．求证：AE =FC +EF ．第110讲四边形微课平行四边形的性质题一：D．详解：∵AO=OC，BO=OD，∴四边形的对角线互相平分所以D能判定四边形ABCD是平行四边形．故选D．题二：B．详解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；故选：B．题三：12cm2．详解：∵AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴△AOE的面积=△COF的面积，教育选轻轻·家长更放心页14∴阴影部分的面积=12平行四边形ABCD的面积，∵对角线AC、BD的长度分别为6cm和8cm，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD的面积=12×6×8=24cm2，∴阴影部分面积的和=12×24=12cm2．题四：12．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD，∴∠OAN=∠OCM，在△AON和△COM中，∠OAN=∠OCM，∠AON=∠COM，OA=OC，∴△AO N≌△COM(AAS)，同理：△AOE≌△COF，△BOE≌△DOF，△BOG≌△DOH，∴OG=OH，OM=ON，在△GOM和△HON中，OG=OH，∠GPM=∠HON，OM=ON，∴△GOM≌△HON(SAS)，∴S阴影=12S平行四边形ABCD=12×6×4=12．题五：8．详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD△AOB的周长为OA+OB+AB；教育选轻轻·家长更放心页15△BOC的周长为OB+OC+BC∴两周长之差为OA+OB+AB-(OB+OC+BC)=AB-BC=13-5=8cm．题六：12.6．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=4，OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴CF=AE，OE=OF=1.8，∴EF=OE+OF=3.6，∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=EF+BC+BE+AE=EF+BC+AB=3.6+4+5=12.6．题七：C．详解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠APB=90°，即AP⊥BP；故A正确；B．∵AB∥CD，∴∠DPA=∠PAQ，∵∠DAP=∠PAQ，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=PD，故B正确；C．同理：PC=BC，但不能证得△PBC是等边三角形．故C错误；D．∵PQ∥AD，∴∠APQ=∠DAP，教育选轻轻·家长更放心页16∵∠DAP=∠PAQ，∴∠PAQ=∠APQ，∴AQ=PQ，同理：PQ=BQ，∴AQ=BQ，即Q是AB的中点，故D正确．故选C．题八：见详解．详解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC，∴DF-EF=CE-EF，∴DE=CF；(2)由(1)得：AD=DF，∵AD=3，∴DF=3，同理：CE=3，∵AB=DC=5，∴EF=DF+EC-DC=2BC-DC=3+3-5=1．第111讲四边形微课平行四边形的判定题一：D．详解：A．符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故本选项错误；B．根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故本选项错误；C．根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故本选项错误；D．∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∵∠B=∠D，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．故选D．题二：OE=OF．教育选轻轻·家长更放心页17详解：OE=OF(答案多样，以此为例)．理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形．故答案为：OE=OF．题三：见详解．详解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又∵ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°-∠FED，∠CFB=180°-∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．题四：见详解．详解：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∠ADE=∠CBF，∠EAD=∠FCB=90°，AE=CF，∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．题五：见详解．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵点E、F分别是OB、OD的中点，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．教育选轻轻·家长更放心页18题六：见详解．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠BFD，∵点E是AD的中点，∴AE=DE．在△ABE与△DFE中，∠ABE=∠EFD，AE=DE，∠AEB=∠DEF，∴△ABE≌△DFE(ASA)，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形．第112讲四边形微课矩形题一：B．详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B．题二：B．详解：A、矩形、平行四边形的对角线都互相平分，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形、平行四边形的内角和都是360°，故本选项错误；D、矩形、平行四边形的对边都平行且相等，故本选项错误．教育选轻轻·家长更放心页19故选B．题三：B．详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．题四：C．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C．题五：30°．详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，∴∠DBA=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60°-30°=30°．题六：75°．详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED=45°，∴EC=DC，又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，∴△OCD是等边三角形，教育选轻轻·家长更放心页20∴∠DCO=60°，∠OCB=90° ∠DCO=30°，∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．题七：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．教育选轻轻·家长更放心页21教育选轻轻·家长更放心页 22题八：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠4=∠C ，AD =CB ，AB =CD ，∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴AE =12AB ，CF =12CD ．∴AE =CF ，在△AED 与△CBF 中，AD =CB ，∠4=∠C ，AE =CF ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，(2)当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵AG ∥BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形，∵四边形BEDF 是菱形，∴DE =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE =DE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB =90°，∴四边形AGBD 是矩形．第113讲四边形微课菱形题一：24．教育选轻轻·家长更放心页 23详解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF =12BC =3， ∴BC =6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24．题二：B ．详解：连接AC ，已知∠A =120°，ABCD 为菱形，则∠B =60°，从而得出△ABC 为正三角形，以△ABC 的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC 边长的13，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为13×6×10=20m ，故选B ．题三：C ．详解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A 、B 、D 都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C 正确．故选C ．题四：D ．详解：A ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C ．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D ．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D ．题五：菱形．详解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同，∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S□ABCD=BC •AE=CD •AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．题六：菱形．详解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEF =∠AFE，∴∠AEF =∠AFE，∴AF=AE，∵AE=EC，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．题七：见详解．详解：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，教育选轻轻·家长更放心页24∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF，∴四边形AFCD是菱形．题八：见详解．详解：(1)证明：∵直线m∥AB，∴∠ECD=∠ADC，又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．证明：D是AB中点，由(1)知DE∥AC，∴F为BC中点，即BF=CF，∵直线m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE，∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分，故四边形BECD是菱形．第114讲四边形微课正方形题一：D．详解：A错误，四边相等的四边形是菱形；B错误，四角相等的四边形是矩形；C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选D．教育选轻轻·家长更放心页25教育选轻轻·家长更放心页 26题二：C ．详解：如图，连接AC 、BD ，交于O ，∵正方形ABCD ，∴AC =BD ，AC ⊥BD ，∵E 是AD 的中点，H 是CD 的中点，F 是AB 的中点，G 是BC 的中点，∴EH ∥AC ，FG ∥AC ，EF ∥BD ，GH ∥BD ，EF =12BD ，EH =12AC ， ∴EF =EH ，EF ⊥EH ，四边形EFGH 是平行四边形，∴平行四边形EFGH 是正方形．故选C ．题三：D ．详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，∴△BCE ≌△CDF ，∴∠ECB =∠CDF ，∵∠BCE +∠ECD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ，故①正确；在Rt △CGD 中，H 是CD 边的中点，∴HG =12CD =12AD ，故④正确；连接AH ，同理可得：AH ⊥DF ，∵HG =HD =12CD ，∴DK =GK ， ∴AH 垂直平分DG ，∴AG =AD ，故②正确；∴∠DAG =2∠DAH ，同理：△ADH ≌△DCF ，教育选轻轻·家长更放心页 27∴∠DAH =∠CDF ，∵GH =DH ，∴∠HDG =∠HGD ，∴∠GHC =∠HDG +∠HGD =2∠CDF ，∴∠CHG =∠DAG ，故③正确；故正确的结论有①②③④．故选D ．题四：D ．详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABO =∠ACO =∠CBO = 45°，AB =BC ，OA =OB =OC ，BD ⊥AC ，∵BE 平分∠ABO ，∴∠OBE =12∠ABO =22.5°， ∴∠CBE =∠CBO +∠EBO =67.5°，在△BCE 中，∠CEB =180°-∠BCO -∠CBE =180°- 45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB =∠CBE ，∴CE =CB ；故①正确；∵OA =OB ，AE =BG ，∴OE =OG ，∵∠AOB =90°，∴△OEG 是等腰直角三角形，∴EG 2，∵∠ECG =∠BCG ，EC =BC ，CG =CG ，∴△ECG ≌△BCG ，∴BG =EG ，∴AE =EG 2；故②正确；∵∠AOB =90°，EF =BF ，∵BE =CG ，∴OF=12BE=12CG．故③正确；故正确的结论有①②③．故选D．题五：见详解．详解：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°．又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB．在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，∴Rt△DAF≌Rt△ABE．∴AF=BE．∵AB=BC，∴BF=CE．题六：见详解．详解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．教育选轻轻·家长更放心页28。

2019年中考数学试题汇编—— 矩形、菱形与正方形2019

一、选择题1. （2019江苏省无锡市，7，3）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C．【知识点】矩形的性质；菱形的性质2. (2019山东泰安,12题,4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是A.2B.4C.2D.第12题图【答案】D【思路分析】首先分析点P的运动轨迹,得到点P在△DEC的中位线上运动,点B到线段MN距离最短,即垂线段最短,过点B作MN的垂线,垂足为M,根据勾股定理可求出BM的长度.【解题过程】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP【知识点】三角形中位线,正方形的性质,勾股定理3. （2019四川省眉山市，11，3分）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC 交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1B．74C．2D．125【答案】B【思路分析】连接CE，利用EO垂直平分AC，可得AE=CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE的长即可.【解题过程】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=7 4，故选B.【知识点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理4.（2019四川攀枝花，6，3分）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；菱形的判定；轴对称图形；中心对称图形5.（2019四川攀枝花，10，3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。

2019年中考数学矩形菱形与正方形真题汇编(含解析)

A ． 52 B． 48 C． 40 D． 20 【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长．【解答】解：∵菱形 ABCD 中， BD=24 ， AC=10 ，
2
∴OB=12 ， OA=5 ，在 Rt△ABO 中， AB=
=13 ，
∴菱形 ABCD 的周长 =4AB=52 ，故选： A ．
∵
，
∴△ APH ≌△ FGH （ASA ），
∴AP=GF=1 ， GH=PH= PG，
∴PD=AD ﹣ AP=1 ， ∵CG=2 、 CD=1 ， ∴DG=1 ，
则 GH= PG= ×
=，
4
故选： C．
A．1 B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥ AB ． EI⊥ AD ， FH ⊥ AB ， FJ⊥ AD ，垂足分别为 G， I，H ， J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，
A．1 B．
C．
D．
【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证 △APH ≌△ FGH 得 AP=GF=1 ， GH=PH= PG，再利用勾股定理求得 PG= ，
从而得出答案．【解答】解：如图，延长
GH 交 AD 于点 P，
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ∴∠ ADC= ∠ ADG= ∠ CGF=9°0 ， AD=BC=2 、 GF=CE=1 ， ∴AD ∥ GF， ∴∠ GFH= ∠PAH ，又∵ H 是 AF 的中点， ∴AH=FH ，在△APH 和 △FGH 中，

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点及习题

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点及习题一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4=⨯个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．① 有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形② 有一组邻边相等的矩形； ③ 对角线互相垂直的矩形． ④ 有一个角是直角的菱形 ⑤ 对角线相等的菱形；4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③ 说明四边形ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．特殊四边形练习题1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等2．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定7．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．8．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．9. 如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．（1）证明：AF∥HG（图（1））；（2）证明：△AEF∽△EGH（图（1））；（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．求此时∠BAC的大小．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．11．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．。

平行四边形、矩形、菱形,正方形练习题

平行四边形、矩形、菱形、正方形1．：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE．4．：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：〔1〕AE＝AB；〔2〕如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．5．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD．求证：四边形AECF是平行四边形．6．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．〔1〕求证：四边形DEBF是平行四边形；〔2〕假设AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，〔1〕求证：AE＝CE；〔2〕求证：四边形ABDF是平行四边形；〔3〕假设AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，那么四边形ABCF的面积为．8．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．9．：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：〔1〕AE＝CF；〔2〕AF∥CE．10．如下列图，▱ABCD中，E，F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点．〔1〕求证：四边形ENFM是平行四边形．〔2〕假设∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．11．在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接EF，BD．〔1〕求证：四边形EBFD是平行四边形；〔2〕假设∠C+∠ABE＝90°，求证：BD＝EF．12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．〔1〕求证：△ABE≌△CDF．〔2〕求证：四边形AECF是平行四边形．13．如图，在△NMB中，BM＝6，点A，C，D分别在边MB、BN、MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．14．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．〔1〕AE＝，EF＝〔2〕假设G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．〔3〕在〔2〕条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．〔1〕求证：四边形BFDE是矩形；〔2〕∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，假设AD＝3，求DC的长度．16．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．〔1〕求证：▱ABCD是矩形．〔2〕假设AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD〔1〕求证：四边形AEBD是矩形；〔2〕连接CE交AB于点F，假设BE＝2，AE＝2，求EF的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E 是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．〔1〕求证：四边形ACED为矩形．〔2〕连结OE，求OE的长．19．如图，▱ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A．〔1〕求证：四边形ACED是矩形；〔2〕连接BD，交AC于点F．假设AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．〔1〕求证：四边形BEDF是菱形；〔2〕假设∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD ＝，求DE的长．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．〔1〕求证：四边形BEDF是菱形；〔2〕假设∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．〔1〕求证：四边形ADCF是菱形；〔2〕假设AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设AB＝2，BD＝4，求OE的长．24．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．25．同学丰用一长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF〔如图〕．〔1〕证明：四边形AECF是菱形；〔2〕求菱形AECF的面积．26．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．〔1〕求证：四边形BFDE是菱形；〔2〕假设ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．27．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．28．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．〔1〕求证：四边形ABEF是菱形；〔2〕假设AB＝4，∠ABC＝60°，求OC的长．29．：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，假设∠CAD＝∠DBC．〔1〕求证：四边形ABCD是正方形．〔2〕E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．30．：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．〔1〕求证：四边形EFCD是正方形；〔2〕假设BE＝1，ED＝2，求BD的长．31．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，假设正方形ABCD的周长是40cm．〔1〕求证：四边形BFEG是矩形；〔2〕求四边形EFBG的周长；〔3〕当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形.33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．34．E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形.证明你的结论．35．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．36．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．37．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．〔1〕求证：四边形AECF是菱形；〔2〕连接OB，假设AB＝8，AF＝10，求OB的长．38．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．39．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．40．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．41．如图，菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．42．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，〔1〕求证：∠DHO＝∠DCO．〔2〕假设OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．43．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，AC＝8cm，BD＝6cm，〔1〕求菱形ABCD的面积．〔2〕求OE的长度．44．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，DE⊥AB，对角线AC、BD交于点H．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕如果菱形的对角线AC＝2，求菱形的面积．45．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕试判断四边形AECF的形状，并说明理由．46．如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形〔记作A〕后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形〔记作B〕．〔1〕假设A与B的面积均为Scm2，求S的值．〔2〕假设A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．47．：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形48．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ＝AP．49．如图，正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．50．如图，正方形ABCD中，AB＝AD，G为BC边上一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，连接DE．〔1〕求证：△ABE≌△DAF；〔2〕假设AF＝1，EF＝4，求四边形ABED的面积．。

2019届中考数学复习《矩形、菱形、正方形》专项训练题含答案

2019届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED 的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC ＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D12. 45°或105°13. ①③④14. 3015.2 216. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝12 AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知////AB CD EF，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=2．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A. B. C. D.3．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．下列所述图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．正三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆5．在的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )A.出发后1小时，两人行程均为；B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多；C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；D.甲比乙先到达终点.6．下列运算正确的是（）A. B. C. D.7．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1208．估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间9．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形10．下列说法正确的个数是（）①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据：1，1，3，1，1，2的众数为4 ⑤一组数据的方差一定是正数．A．0个B．1个C．2个D．4个11．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．④12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A ．43π-B ．83π-C ．83π-D ．843π- 二、填空题13．在实数范围内分解因式：24x -=______________________.14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．15．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．16．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 17．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数上，第二象限的点B 在反比例函数上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为________________ .18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y （立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.（1）补全统计图;（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨?21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．23．定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ．（1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形．（2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值24．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A．圈点批注法；B．摘记法；C．反思法：D．撰写读后感法；E．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：中学生阅读方法情况统计表（1）请你补全图表中的a，b，c数据：a＝，b＝，c＝；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有人；（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？请说明你的理由．（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：（1）a＝； b＝；（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是°；（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．()()22x x +- 14．85° 15．47° 16．3517． 18．14三、解答题19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y ＝3x+1；（3）3792x 剟. 【解析】【分析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻【详解】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米 ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时） ∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y ＝kx+b 经过点（8，25），（12，37）8251237k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：31k b =⎧⎨=⎩∴当8≤x≤12时，y ＝3x+1 （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米 ∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米）当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9 当x ＞14时，37﹣2（x ﹣14）≥28，解得：x≤372∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x 的取值范围是9≤x≤372【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t ；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【解析】【分析】（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t 的有5户，0.8-1.2t 的有20户，1.6-2.0t 的有30户，2.0-2.4t 的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t 的有35户，补全图形即可；（2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量；（3）利用样本估计总体可得结果.【详解】解：(1)100-5-20-30-10=35(户).∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.(2)由统计图得每小组中的组中值分别为0.40.82+=0.6,0.8 1.22+=1.0,1.2 1.62+=1.4,1.6 2.02+=1.8,2.0 2.42+=2.2, 所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =0.65 1.020 1.435 1.830 2.210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.48(t). 答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t;(3)由题意可得1.48×5000=7400(t).答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【点睛】本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想．21 【解析】【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43，且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8，∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =5. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．【详解】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m ﹣2）2≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）∵AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC ＝m+2，AB•AC＝2m ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴（AB+AC ）2﹣2AB•AC＝BC 2，即（m+2）2﹣2×2m＝32，解得：m ，∴m又∵AB•AC＝2m ，m 为正数，∴m【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．(1)见解析；（2）2PM ＝BM+CN ，理由见解析；（3）5. 【解析】【分析】（1）根据平行相似，证明△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：PQ AK BC AR =，由“半高”三角形的定义可结论；（2）证明四边形PMNQ 是矩形，得PQ ＝MN ，PM ＝KR ，代入AR ＝12BC ，可得结论；（3）先根据△ABC 的面积等于16，计算BC 和AR 的长，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），根据勾股定理表示MQ ，配方可得最小值．【详解】（1）证明：如图，过A 作AR ⊥BC 于R ，交PQ 于K ，∵△ABC 是BC 边上的“半高”三角形，∴AR ＝12BC ， ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴PQ AK BC AR=， ∴AK AR 1PQ BC 2==， ∴AK ＝12PQ ， ∴△APQ 为PQ 边上的“半高”三角形．（2）解：2PM ＝BM+CN ，理由是：∵PM ⊥BC ，QN ⊥BC ，∴∠PMN ＝∠MNQ ＝∠MPQ ＝90°，∴四边形PMNQ 是矩形，∴PQ ＝MN ，PM ＝KR ，∵AK ＝12PQ ，AR ＝12BC ， ∴AK+RK ＝12（BM+MN+CN ）， 12PQ+PM ＝12BM+12MN+12CN ， ∴2PM ＝BM+CN ；（3）解：∵△ABC 的面积等于16， ∴12BC AR ⋅＝16， ∵AR ＝12BC ， 1122BC BC ⋅⋅＝16， BC ＝8，AR ＝4，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），∵MQ ==∴当x ＝85时，MQ 有最小值是5．【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题．24．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）16. 【解析】【分析】(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a 、b 、c 的值；(2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得；(3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答【详解】解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80，a ＝80×40%＝32，b ＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8，c ＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%，故答案为：32，8，10%；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人，故答案为：96；（3）同意小明的观点；理由如下：全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人；（4）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21=126．【点睛】此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据25．（1）a ＝54；b ＝0.45；（2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【解析】【分析】（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2（3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答（4）利用总人数乘频率即可解答【详解】（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45，a＝54；b＝0.45；（2）0．2×360°=72°；（3）∵6432056280== 120600120600，，∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）0.3×600＝180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【点睛】此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D.篮球出手时离地面的高度是2m2．下列等式一定成立的是（）A．2a﹣a＝1 B．a2•a3＝a5C．（2ab2）3＝2a3b6D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）23．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（）A.20元B.42元C.44元D.46元4．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣45．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.56．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（）A. B. C. D.7．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝( )A．20°B．25°C．35°D．40°8．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k＝当k；正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③9．若x是不等于1的实数，我们把11x-称为x的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1) --＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A．﹣13B．﹣2 C．3 D．410．如图，已知直线y＝34x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26 B．24 C．22 D．2011．华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（）A．603×610B．6.03×810C．60.3×710D．0.603×91012．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③BE BDAC AB；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝15x+b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B n(n，y n) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________．15．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A 逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．16．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________．17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．18．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．三、解答题19．关于x 的一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （m ，4）和点B （4，1）．（1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．20．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，4），B （8，0），C （8，4）．（1）试说明四边形AOBC 是矩形．（2）在x 轴上取一点D ，将△DCB 绕点C 顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D 对应）．①若OD ＝3，求点D'的坐标．②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．21．抛物线L ：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（常数a≠0）与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），与y 轴交于点C ，且x 1•x 2＜0，AB ＝4，当直线l ：y ＝﹣3x+t+2（常数t ＞0）同时经过点A ，C 时，t ＝1．（1）点C 的坐标是；（2）求点A ，B 的坐标及L 的顶点坐标；（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L 的大致图象；（4）将L 向右平移t 个单位长度，平移后y 随x 的增大而增大部分的图象记为G ，若直线l 与G 有公共点，直接写出t 的取值范围．22．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了小时．23．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．（1）当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC，则点D到AB的距离等于．25．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m ，n]上的“闭函数”．如函数y ＝﹣x+4．当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y ＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．（2）若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y ＝kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1120、1320、32014．150°15．75°16．（0，-1）17．真18．－4＜x ＜2三、解答题19．（1）m ＝1，y ＝4x ；（2）y ＝﹣x+5；【解析】【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m 的值，从而求出反比例函数的解析式和m 的值；（2）求得A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y ＝kx+b 的解析式，就可求出a 、b 的值，从而求得一次函数的解析式．【详解】（1）∵点B （4，1）在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴1＝4k ， ∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x∵点A（m，4）在反比例函数y＝4x的图象上，∴4＝4m，∴m＝1．（2）点A（1，4）和点B（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴4 41 a ba b+=⎧⎨+=⎩解得15 ab=-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【解析】【分析】（1）根据矩形的判定证明即可；（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可．【详解】（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，∴OA＝BC，AC＝OB，∴四边形AOBC是平行四边形，∵∠AOB＝90°，∴▱AOBC是矩形；（2）∵▱AOBC是矩形，∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，即点B'在AC边上，∴D'B'⊥AC，①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，∴点D'的坐标为（4，9）；②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，∴点D'的坐标为（4，15），综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．21．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥1 2【解析】【分析】(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据描点法，可得函数图象；(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【详解】(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)，故答案为：(0，3)；(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)，由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4，得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1，∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)，即y＝﹣(x+1)2+4，∴L的顶点坐标为(﹣1，4)；(3)函数图象如图所示：；(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4，a＝﹣1＜0，当x≤t﹣1时，y随x的增大而增大．若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方，即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2，解得t≥12．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．22．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2．【解析】【分析】(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．【详解】(1)设该火车每次提速的百分率为x，依题意，得：180(1+x)2＝217.8，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)，答：该火车每次提速的百分率为10%；(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)，第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为396396180198-＝0.2(小时)，故答案为：0.2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】【分析】（1）若购买x双（10＜x＜60），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜60）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜60，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜60时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）作图见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝由BC2+AC2＝AB2得到关于x的方程，解之可得．【详解】（1）如图所示，BD即为所求；。

2019济宁市中考复习第五章2矩形、菱形、正方形同步练习含答案

2019济宁市中考复习第五章2矩形、菱形、正方形同步练习含答案1．(2018·荆州中考)菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2018·湘潭中考)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形3．(2019·易错题)下列命题正确的是( )A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC5．(2018·淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A．20 B．24 C．40 D．486．(2018·高密一模)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )A．60° B．67.5°C．75°D．54°7．(2018·广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________________．8．(2018·株洲中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．9．(2019·改编题)对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.能判定▱ABCD是矩形的序号是__________．10．(2018·南京中考)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．11．(2018·宿迁中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是( )A.3B ．2C ．2 3D ．412．(2017·陕西中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3.若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为( )A.3102B.3105C.105D.355 13．(2018·泸州中考)如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.7614．(2018·连云港中考)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝6，则AB的长为______．15．(2018·白银中考)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．16．(2019·原创题)如图1，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CP 并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F.(1)求证：△APE∽△FPA；(2)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由；(3)如果将正方形变为菱形，如图2所示，其他条件不变，(2)中线段PC，PE，PF之间的关系还成立吗？如果成立，请直接写出结果；如果不成立，请说明理由．17．(2019·创新题)已知：对于任意实数a，b，总有a2＋b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2＋b2取得最小值为2ab.若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7．(－5，4) 8.529.②③⑤10．证明：(1)如图，延长AO 交CD 于点E. ∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO. 又∵∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO. 同理∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO)，即∠BOD ＝2∠BAD.又∵∠C ＝2∠BAD ，∴∠BOD ＝∠C.(2)如图，连接OC.∵OB ＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO. ∵∠BOD ＝∠BOC ＋∠DOC ， ∠BCD ＝∠BCO ＋∠DCO ，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD又∵∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ， ∴BO ＝BC.又∵OB ＝OD ，BC ＝CD ，∴OB ＝BC ＝CD ＝DO ， ∴四边形OBCD 是菱形．【拔高训练】 11．A 12.B 13.C 14．215．(1)证明：∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴BF ＝CF ，BG ＝GE ，FH ∥BE ，FH ＝12BE ，∴FH ＝BG ，∠CFH ＝∠CBG ， ∴△BGF ≌△FHC.(2)解：当四边形EGFH 是正方形时，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC.∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ＝EF ＝GH ＝12a ，∴矩形ABCD 的面积＝12a ·a ＝12a 2.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC. ∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠ADP ＝∠CDP ＝45°.又∵DP ＝DP ，∴△DPA ≌△DPC(S A S )， ∴∠EAP ＝∠DCP.∵DC ∥AB ，∴∠DCP ＝∠F ，∴∠EAP ＝∠F. 又∵∠EPA ＝∠FPA ，∴△APE ∽△FPA.(2)解：线段PC ，PE ，PF 之间满足PC 2＝PE ·PF.理由如下：∵△DPA≌△DPC，∴PA＝PC.∵△APE∽△FPA，∴AP∶PF＝PE∶PA，∴PA2＝PE·PF，∴PC2＝PE·PF.(3)解：成立．PC2＝PE·PF.【培优训练】17．解：设矩形的长为a，宽为b(a≥b＞0)，周长C＝2(a＋b)≥4ab＝4n，且当a＝b时，代数式2(a＋b)取得最小值为4n，此时a＝b＝n.故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为4n，此时矩形的长和宽均为n.要题随堂演练1．(2018·临沂中考)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．(2018·内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )A．31°B．28°C．62°D．56°3．(2018·莱芜中考)如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF，CF，CF与AB交于G.有以下结论：①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG·FC；④EG·AE＝BG·AB.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )A.34B.716C.2－12D.2－15．(2018·湖州中考)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是 .6．(2018·济南中考)如图，矩形EFGH 的四个顶点分别落在矩形ABCD 的各条边上，AB ＝EF ，FG ＝2，GC ＝3.有以下四个结论：①∠BGF ＝∠CHG ；②△BFG ≌△DHE ；③tan ∠BFG ＝12；④矩形EFGH 的面积是4 3.其中一定成立的是．(把所有正确结论的序号都填在横线上)7．(2018·湘潭中考)如图，在正方形ABCD 中，AF ＝BE ，AE 与DF 相交于点O(1)求证：△DAF ≌△ABE ；(2)求∠AOD 的度数．参考答案1．A 2.D 3.C 4.D5．2 6.①②④7．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ＝AB.在△DAF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAF ＝∠ABE ，AF ＝BE ，∴△DA F ≌△ABE(S A S )．(2)解：由(1)知，△DAF ≌△ABE ，∴∠ADF＝∠BAE.∵∠ADF＋∠DAO＝∠BAE＋∠DAO＝∠DAB＝90°，∴∠AOD＝180°－(∠ADF＋∠DAO)＝90°.。

八下平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形练习含答案含答案

一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．B．C．﹣D．2﹣8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD 上，则AP+PQ的最小值为（）A．2B．C．2D．310．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9二、填空题17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．19．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF 沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．21．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．三．解答题：1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD 沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA 的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．一．选择题1．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．4．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°， ∵a ∥b ， ∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5， ∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2016•宜宾）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB•BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10， ∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24， ∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×5×PE +×5×PF=（PE +PF ）=12，解得：PE +PF=4.8．故选：A ．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．（2016•资阳）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为（）A ．B ．C ．﹣D ．2﹣【分析】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ，则△GCP 为直角三角形，证明四边形OGCM 为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP 的值，再由梯形的中位线定理CM +DN=2GP ，即可得出答案．【解答】解：延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示：则CP=DP=CD=，△GCP 为直角三角形，∵四边形EFGH 是菱形，∠EHG=120°， ∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG ⊥FH ， ∴OG=GH•sin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM ，∠MOG=∠MCG ，∴PG==，∵OG ∥CM ，∴∠MOG +∠OMC=180°，∴∠MCG +∠OMC=180°，∴OM ∥CG ，∴四边形OGCM 为平行四边形，∵OM=CM ，∴四边形OGCM 为菱形，∴CM=OG=，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN +CM=2PG=，∴DN=﹣；故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．8．（2016•眉山）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等；③可证明∠CDE=∠DFE；④可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO≠BM，故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△AOE ：S△BCM=2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9．（2016•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD 的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故选D．【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．10．（2016•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．17．（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．18．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．19．（2016•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．（2016•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根=BC•FG即可解决问题．据2•S△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，=BC•FG，∴2•S△ABC∴2××（6）2=6•FG，∴FG=3．故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．21．（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．22．（2016•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．23．（2016•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 2a．【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案为：2a．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．1．（2016•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2016•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2016•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．。

4-6 矩形、菱形、正方形五年中考荟萃

§4.6矩形、菱形、正方形A组2019年全国中考题组一、选择题1．(2019·四川泸州，6，3分)菱形具有而平行四边形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直解析根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．A．不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；B．不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；C．不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．答案 D2．(2019·山东日照，6，3分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是() A．①②B．②③C．①③D．②④解析A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD 是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项正确；C ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当①AB ＝BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当③AC ＝BD 时，菱形ABCD 是正方形，故此选项错误；D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当②∠ABC ＝90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当④AC ⊥BD 时，矩形ABCD 是正方形，故此选项错误．答案 B3．(2019·山东青岛，7，3分)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF .若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为 ( ) A ．4 B ．4 6C ．47D ．28解析有三角形的中位线的性质可得AC ＝2EF ＝23，再由菱形的性质可得OA ＝3，BO ＝2，所以AB ＝（3）2＋22＝7，所以周长＝4AB ＝47.答案 C4．(2019·安徽，9，4分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( ) A ．2 5B ．3 5C ．5D ．6解析连结EF 交AC 于O ，由四边形EGFH 是菱形，得到EF ⊥AC ，OE ＝OF ，由于四边形ABCD 是矩形，得到∠B ＝∠D ＝90°，AB ∥CD ，通过△CFO ≌△AEO ，得到AO ＝CO ，求出AO ＝12AC ＝25，根据△AOE ∽△ABC ，即可得到结果．答案 C5．(2019·重庆B 卷，12，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC ＝60°，顶点C 的坐标为(m ，33)，反比例函数y ＝kx 的图象与菱形对角线AO 交D 点，连结BD ，当DB ⊥x 轴时，k 的值是( ) A ．6 3 B ．－6 3 C ．12 3D ．－12 3解析首先过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠BOC ＝60°，顶点C 的坐标为(m ，33)，可求得OC 的长，又由菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，可求得OB 的长，且∠AOB ＝30°，继而求得DB 的长，则可求得点D 的坐标，又由反比例函数y ＝kx 的图象与菱形对角线AO 交D 点，即可求得答案．答案 D 二、填空题6．(2019·湖北黄冈，12，3分)如图，在正方形ABCD中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E .若∠CBF ＝20°，则∠AED 等于________度．解析根据正方形的性质得出∠BAE ＝∠DAE ，再利用SAS 证明△ABE 与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．答案 657．(2019·山东滨州，14，4分)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为________．解析连结BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .在Rt △AOB 中，∵AB ＝15，sin ∠BAC ＝35， ∴sin ∠BAC ＝BO AB ＝35， ∴BO ＝9，∴AB 2＝OB 2＋AO 2， ∴AO ＝AB 2－OB 2＝152－92＝12，∴AC ＝2AO ＝24. 答案 248．(2019·四川宜宾，12，3)如图，在菱形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥AB 于点E ，若PE ＝3，则点P 到AD 的距离为________．解析由菱形的性质：“菱形的对角线平分每一组对角”得AC 平分∠DAB ，∵PE ⊥AB 于点E ，若PE ＝3，∴点P 到AD 的距离＝PE ＝3. 答案 39．(2019·山东日照，14，4分)边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为______．解析过点C 作CD 和CE 垂直正方形的两个边或其延长线，垂足分别为D ，E ，如图，则四边形DBEC 是矩形， ∴CE ＝DB ＝12，∴△ABC 的面积＝12×1×12＝14. 答案 14三、解答题10．★(2019·浙江嘉兴，19，8分)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．解(1)与∠AED相等的角有：∠BF A，∠GAD，∠CDE；(2)选∠AED＝∠BF A.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠B＝90°，DA＝AB.在Rt△DAE与Rt△ABF中，DA＝AB，AF＝DE，∴Rt△DAE≌Rt△ABF.∴∠AED＝∠BF A.11．(2019·浙江衢州，21，8分)如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE 上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(1)证明由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.由矩形ABCD知AD＝BC，∴EG＝CH.(2)解∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝ 2.∴DG＝2，DF＝2，∴AD＝2＋2，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EF A≌△CEB，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝2＋2＋2＝2＋2 2.B组2019～2011年全国中考题组一、选择题1．(2019·重庆B卷，8，4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AO＝OB，又∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.故选B.答案 B2．(2019·浙江宁波，6，4分)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 () A．10 B．8 C．6 D．5解析∵菱形的两条对角线长分别是6和8，对角线互相垂直平分，∴菱形的边长为32＋42＝5，故选D.答案 D3．(2019·浙江宁波，11，4分)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3.H 是AF 的中点，那么CH 的长是 ( )A ．2.5 B. 5 C.32 2D ．2解析法一取BE 的中点M ，连结HM ，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形，BC ＝1，CE ＝3，∴AB ⊥BE ，FE ⊥BE ，∴AB ∥FE ，∵H 是AF 的中点，∴HM＝12(AB ＋EF )＝12(1＋3)＝2，HM ∥FE ，∴HM ⊥BE .∵BM ＝12(BC ＋CE )＝2，∴CM ＝BM －BC ＝2－1＝1，在Rt △HMC 中，HC ＝HM 2＋CM 2＝22＋12＝5，故选B.法二连结AC ，CF ，则∠ACB ＝∠FCE ＝45°.∴∠ACF ＝90°.∵AC ＝2，CF ＝32， ∴AF ＝（2）2＋（32）2＝25，∵H 是AF 的中点， ∴HC ＝12AF ＝5，故选B. 答案 B4．(2019·山东青岛，7，3分)如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( ) A ．4 B ．3 2 C ．4.5D ．5解析设BF ＝x ，则C ′F ＝CF ＝9－x .∵C ′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.在Rt△BFC′中，BF2＋C′B2＝C′F2，∴32＋x2＝(9－x)2，解得x＝4.故选A.答案 A5．(2019·江苏连云港，8，3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4解析由∠BAE＝22.5°，∠ADB＝45°，易知△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，所以DE＝AD＝4，BE＝42－4，设EF＝x，则2x2＝(42－4)2，解得x＝4－22，故选C.答案 C二、填空题6．(2019·江苏宿迁，12，3分)如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是________度时，两条对角线长度相等．解析当∠α是90°时，平行四边形框架是矩形，由矩形的性质可知，对角线长度相等．答案907．(2019·浙江金华，15，3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是________．解析因为G是CD的中点，所以DG＝CG＝4.在△DGE 与△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠GCF ，DG ＝CG ，∠EGD ＝∠FGC ，所以△DGE ≌△CGF .所以CF ＝DE ，FG ＝EG .令BC ＝AD ＝x ，则CF ＝DE ＝x －4，所以BF ＝2x －4，在Rt △DGE 中，根据勾股定理可得EG ＝ED 2＋DG 2＝（x －4）2＋42.又因为HF 垂直平分BE ，所以EF ＝BF ，BF 2＝(2EG )2，所以(2x －4)2＝4[(x －4)2＋42]，解得x ＝7，故答案为7. 答案 78．(2019·浙江舟山，16，4分)如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程为________．解析依题意，得到右图．易发现小球是沿着E →F →G →H →M →N →E 的轨迹来运动的，故需分别求出线段EF ，FG ，GH ，HM ，MN ，NE 的长度，同时通过观察图形，易得到EF ＝HM ＝5，GH ＝EN ＝125，FG ＝MN ＝325，∴当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程为6 5. 答案 6 59．(2019·浙江丽水，15，4分)如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，其中点C 在AF 上，点E ，G分别在BC，CD 上，若∠BAD＝135°，∠EAG ＝75°，则ABAE ＝________．解析作EH ⊥AB 于H ，由对称性知，图形关于AF 对称， ∴∠BAE ＝∠DAG ＝12(∠BAD －∠EAG )＝30°，∠B ＝180°－∠BAD ＝45°.在Rt △BHE 中，∠B ＝∠BEH ＝45°，设BH ＝x ，则EH ＝BH ＝x ，在Rt △EHA 中，∠BAE ＝30°，则AE ＝2HE ＝2x ，AH ＝AE 2－EH 2＝（2x ）2－x 2＝3x .∴AB ＝BH ＋AH ＝x ＋3x ，故ABAE＝x ＋3x 2x ＝1＋32. 答案1＋32三、解答题10．(2019·浙江嘉兴，20，8分)已知：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF .(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝DO ，AD ∥BC . ∴∠EDB ＝∠FBO . ∵O 为BD 中点， ∴BO ＝DO .在△EOD 和△FOB 中，⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB .∴△DOE ≌△BOF (ASA)．(2)解当∠DOE＝90°时，四边形BFED为菱形．理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE.又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形．∵∠DOE＝90°，即EF⊥BD.∴四边形BFED为菱形．11．★(2019·山东济宁，20，6分)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(1)证明设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴Rt△ADF中，∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，在Rt△AGE中，∠F AD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解MP＝NQ理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于E，得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.。

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下：如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

2019年中考真题矩形,菱形,正方形分类汇编(PDF版含解析)

与五边形 MCNGF 面积相等，∴（OF＋FM）2＝GF＋ 1 GF＝ 5 GF2，∴ 2 GF＋FM＝ 5 GF，∴
4
4
2
2
FM＝ 5 GF－ 2 GF，∴ FM ＝ 5 2 .故选 A．
2
2
GF
2
. (2019·台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH,AB＝EF＝2cm,BC＝FG＝8cm,把纸片 ABCD
【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作 DM CE ，垂足为 M，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 F 是 BD 的中点，AD//BC，
所以 DBC ADB ，
因为 BD 是 ABC 的平分线，
所以 ABD DBC ，
所以 ABD ADB ，
所以 AB AD ，
AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是
A．1
B． 7
4
C．2
D． 12
5
【答案】B 【解析】连接 CE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6， ∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在 Rt△DEC 中，DE2+DC2=CE2，即 DE2+36=（8-DE）2，解得： x= 7 ，故选 B.
积
EC CD
相等，故选 D.
．（2019·烟台）如图，面积为 24 的□ABCD 中，对角线 BD 平分 ABC ，过点 D 作 DE BD
交 BC 的延长线于点 E， DE 6 ，则 sin DCE 的值为（）．
A． 24 25
B． 4 5
C． 3 4
D． 12 25

2019年中考总复习—关于平行四边形的经典题型汇总(含答案)

1、如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．2、如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．4、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD 于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．5、已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF ∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．8、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．9、如图，在中，，，为边的中点，以为边作等边，连接，.（1）求证：；（2）若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值.参考答案1、证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE 和△COF 中∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．2、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．3、解：（1）如图，作EG⊥AB于点G，则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，∴平行四边形ABCD的面积为60；（2）延长AE交BC延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，∵E为CD的中点，∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD=HC、AE=HE，∴AD+FC=HC+FC，由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，∴∠FAE=∠CHE，又∵∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；（3）连接EF，∵AE=BE、AE=HE，∴AE=BE=HE，∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，∵∠DAE=∠CHE，∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，∴∠CBA=90°，∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，解得：FC=，∴AF=FC+CH=，∵AE=HE、AF=FH，∴AF是△AEF的外接圆直径，∴△AEF的外接圆的周长t=π．4、证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC=90°，E是BC的中点，∴AE=CE=BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=，∵，∴AH=，∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，∴CD=CE=5，∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，∴EF=AH=．5证明：（1）∵AB∥DC，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．6、（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm.7（1）∵点O是AC中点，∴OA=OC，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD=CE，∵CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴四边形AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，设OD=3x，OA=4x，则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：=24，解得：x=1，∴OD=3，∵O，D分别是AC，AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴BC=2OD=6．8（1）∵AB与AG关于AE对称，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF=EF=DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE=AF，则AE=AF=EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG=30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，∵AB=2，∴BE=1、DF=AF=AE=，则EH=AE=、AH=，∴S△ADF=×．9（1）证明：在中，，为边的中点，∴，.∵为等边三角形，∴，，∴，，∴∴（2）解：如图，作点关于直线点，连接交于点. 则点即为符合条件的点.由作图可知：，，.∴，∴为等边三角形，∴，∴，在中，，，∴，，∴, ∴的最小值为.。

中考复习：平行四边形基础习题(包括矩形、菱形、正方形)

平行四边形1. 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长2. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，ADC ∠的平分线与AB 相交于点E 。

求证：BE+BC=CD3. 如图：在平行四边形ABCD 中，BEAE E CD BE AE ABC BE BAD AE ⊥∠∠。

求证：上的一点相交于、，且平分，平分4. 如图：平行四边形的对角线AC 和BD 相交于点O ，AOB ∆的周长为15，AB=6，那么对角线AC 与BD 的和是多少？5. 如图：平行四边形的对角线AC 和BD 相交于点O ，EF 过点O 且与边AB 、CD 分别相交于点E 和点F 。

求证OE=OF 。

6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，AC DF AC BE ⊥⊥,，垂足分别为点E ，F 。

求证：OE=OF7. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，且与边AB 、CD 分别相交于点E,F ，AB=4，AD=3,OF=1.3。

求四边形BCFE 的周长。

8. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，其周长为16，且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小2.求边AB 和BC 的长。

9. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC=21cm ，AC BE ⊥，垂足为点E ，且BE=5cm,AD=7cm 。

求AD 与BC 之间的距离。

10. 平行四边形的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=8cm ，BC=6cm ，的周长。

求的周长是AOD cm AOB ∆∆18。

11. 如图，如果AOD AOB ∆∆与的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么平行四边形ABCD 的周长为多少？12. 在平行四边形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，BC=5,AC=6,BD=8.求AOB ∆的周长。

13. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AOD AOB ∆∆与的周长之和为11.4cm ，两条对角线长之和为7cm ，求这个平行四边形的周长。

2019年云南中考《第21讲平行四边形、矩形、菱形》知识梳理

第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形1．(2019株洲中考)如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的为( C )A ．一定不是平行四边形B ．一定不是中心对称图形C ．可能是轴对称图形D ．当AC ＝BD 时它是矩形2．(2019曲靖中考)如图所示，已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件是( A )A ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDB ．AC ＝BC ＝CD ＝DAC ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ⊥BD D ．AB ＝BC ，CD ⊥DA3．(2019绵阳中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC ＝23，∠AEO ＝120°，则FC 的长度为( A )A ．1B ．2 C. 2 D. 34．(2019呼和浩特中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若AE ＝5，∠EAF ＝135°，则以下结论正确的是( C )A ．DE ＝1B ．tan ∠AFO ＝13C ．AF ＝102D ．四边形AFCE 的面积为945．(2019泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是( A )A.24 B.14 C.13 D.226．(2019哈尔滨中考)如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D 作ED⊥AM，垂足为E ，若ED ＝DC ＝1，AE ＝2EM ，则BM 的长为5．7．(2019南充中考)如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF∥BC，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG＝1，则S ▱AEPH ＝__4__．8．(2019西宁中考)如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为__285__．9．(2019曲靖中考)如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，若AB ＝60 m ，BC ＝84 m ，AE ＝100 m ，则这条小路的面积是__240__m 2.10．(2019曲靖中考)如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝3，BC ＝5，则OA 的取值范围为__1＜OA ＜4__．11．(2019红河中考)已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AC ＝10 cm ，则矩形的面积为3__cm 2__．12．(2019昆明中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ABE≌△CDF;(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO.证明：(1)∵BF＝DE,∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD,∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵AB＝CD,∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL);(2)连接AC，交BD于点O.∵Rt△ABE≌Rt△CDF,∴∠ABE＝∠CDF,∴AB∥CD.∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.13．(2019红河中考)直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝21 cm，点P从点A 以1 cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以2 cm/s的速度向点B运动．问：(1)当运动时间t为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？(2)当运动时间t为何值时，四边形ABQP是矩形？(可自己作图完成)解：(1)根据题意得：PA＝t，CQ＝2t，则PD＝AD－PA＝18－t.∵AD∥BC,∴PD∥CQ,∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即18－t＝2t,解得：t＝6,即当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形；(2)如图，过P作PM⊥BC于M，当点Q与M重合时，四边形ABQP是矩形，此时AP＝BM,即t＝21－2t,解得：t＝7，即当t＝7时，四边形ABQP是矩形．14．(2019昆明中考)已知：如图，菱形花坛ABCD的周长是80 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．(1)求对角线AC，BD 的长；(2)求花坛的面积．解：(1)∵菱形花坛ABCD的周长是80 m，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝DC＝AD＝20 m，∠ABD＝30°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝20 m,∴AO＝10 m,∴BO＝202－102＝103(m),则BD＝20 3 m，AC＝20 m；(2)S花坛＝12AC×BD＝12×20×20 3＝200 3 m2.15．(2019曲靖中考)如图，已知点E ，F 分别是▱ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC＝90°. (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠B＝30°，BC ＝10，求菱形AECF 面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AF ＝EC.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 是BC 边的中点， ∴CF ＝12BC ＝AF, 同理，CF ＝12AD ＝AF,∴AE ＝CE ＝AF ＝CF, ∴四边形AECF 是菱形； (2)连接EF 交AC 于点O,在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝10, ∴AC ＝12BC ＝5，AB ＝3AC ＝5 3.∵四边形AECF 是菱形，∴AC ⊥EF ，OA ＝OC, ∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AB ＝532，∴EF ＝53，∴菱形AECF 的面积＝12AC·EF＝12×5×53＝2532.16．(2019云南中考样卷)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF.(1)求证：AF ＝DC;(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵AF∥BC, ∴∠AFE ＝∠DBE. ∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线， ∴AE ＝DE ，BD ＝CD. 在△AFE 和△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠DBE，∠FEA ＝∠BED，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DBE(AAS), ∴AF ＝BD, ∴AF ＝DC ；(2)四边形ADCF 是菱形． ∵AF ∥BC ，AF ＝DC,∴四边形ADCF 是平行四边形， ∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线， ∴AD ＝12BC ＝DC,∴平行四边形ADCF 是菱形．17．(2019曲靖中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，过点A 作AF ∥BC 交DE 的延长线于F 点，连接AD ，CF.(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形？为什么？解：(1)∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴DE ∥AB. ∵AF ∥BC,∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴AF ＝BD ，则AF ＝DC. ∵AF ∥BC,∴四边形ADCF 是平行四边形；(2)当△ABC 是直角三角形时，四边形ADCF 是菱形．理由：∵点D 是边BC 的中点，△ABC 是直角三角形，∴AD ＝12BC ＝DC,∴平行四边形ADCF 是菱形．18．(2019昆明中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E,(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．解：(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC,∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN,∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC,∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.∵四边形ADCE为矩形；∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若4＜k ＜5，则k 的可能值是（）A B C ．D 2．如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF.若∠ACF=2∠ABD,∠BFC=132°,则cosA 的值为 ( )A ．12B ．2C ．2D ．33．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AB=6，则AD=（）B.124．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，点P 是BC 边上的动点，连接PA 、PD ．则PA+PD 的最小值为（）1B.2D.35．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（）A.B. C. D.6．如图，将矩形绕点顺时针旋转到知形的位置，旋转角为.若，则的大小是（）A.32°B.20°C.22°D.28°7．受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是( ) A ．2，1B ．1，1.5C ．1，2D ．1，18．下列计算正确的是（） A ．224a a a += B ．()2326a a =C ．()23533a aa -=-gD ．623422a a a ÷=9．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y 取最大值；③当m<4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（） A ．4B ．6C ．8D ．1011．如图，是作线段AB 的垂直平分线的尺规作图，其中没有用到依据是（）A ．同圆或等圆的半径相等B ．两点之间线段最短C ．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上D ．两点确定一条直线12．一元二次方程2660x x --=配方后化为（） A.()2315x -=B.()2315x +=C.()2315x +=D.()233x +=二、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AEAC=______．14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 的位置观测停放于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向900米处，船C 在点A 南偏东15°方向1200米处，则船B 与船C 之间的距离为______米．15．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 16．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间x （秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了_____ 米．17．若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______． 18．已知关于x 的方程212mx x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．三、解答题19．已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且满足∠ABD ＝∠ACE ，求证：AD•CE＝AE•BD．20．为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2万元，购买2台A 型设备比购买3台B 型设备少6万元．（1）求a ，b 的值；（2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？21．如图，直线123l l l ，AC 分别交213,,l l l 于点A ，B ，C ；DF 分别交213,,l l l 于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE=3，EF=6，AB=4．（1）求AC 的长；（2）若BE ：CF=1：3，求OB ：AB ．22．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点E ，且交BC 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若BF=12，⊙O 的半径为10，求CE 的长．23．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？24．为了增强学生的环保意识，某校团委组织了一次“环保知识”考试，考题共10题考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）“答对10题”所对应扇形的心角为_____；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生参加这次“环保知识”考试，请你估计该校答对不少于8题的学生人数．25．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1），B两点．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式，并求出B点坐标；（2）若P为直线x＝上一点，当△APB的面积为6时，请求出点P的坐标．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．1 514．215．816．145017．-718．m＞－1且m≠0；三、解答题19．详见解析.【解析】【分析】根据相似三角形的判定可证明△ABD∽△ACE，然后利用相似三角形的性质即可求证答案．【详解】证明：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AD AE BD CE=，即AD•CE＝AE•BD．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．20．（1）a=12,b=10; （2）最多能处理污水2000吨．【解析】【分析】(1)本题等量关系为A型设备的价格-B型设备的价格=2万元，3台B型设备的价格-2台A型设备的价格=6万元．即可列方程组解应用题．(2) 设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，再列出处理污水y吨与购买A型设备x台的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）根据题意，得2 326a bb a-=⎧⎨-=⎩，解得1210 ab=⎧⎨=⎩；（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨，∵12x+10（10﹣x）≤110，∴0≤x≤5且x为整数，∵y＝220x+180（10﹣x）＝40x+1800，∴y随x的增大而增大，当x＝5时，y＝40×5+1800＝2000（吨）所以最多能处理污水2000吨．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的关系是解决问题的关键．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．21．（1）AC=12；（2）1:2【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．【详解】（1）∵l1∥l2∥l3，∴DE ABDF AC=，即3436AC=+，解得：AC=12；（2）∵l1∥l2∥l3，∴13 BE OBCF OC==．∵AB=4，AC=12，∴BC=8，∴OB=2，∴2142 OBAB==．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．22．（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OE∥BC，所以OE⊥AC，则AC是⊙O的切线；（2）作弦心距OH，根据垂径定理求得BH，再根据勾股定理求OH的长，根据矩形的性质即可求得CE=OH=8．【详解】（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵OB=OE，∴∠ABE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∵∠ACB=90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OH⊥BC于H，∴BH=HF=6，在Rt△OBH中，，在矩形OHCE中，CE=OH=8．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的性质、勾股定理、垂径定理等知识，在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段．23．（1）港口A到海岛B的距离为（2）乙船先看见灯塔．【解析】【分析】（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC之间的关系列出方程求解．（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．【详解】（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD，AB由AC+CD＝AD得20+x解得：x＝+10故AB＝答：港口A到海岛B的距离为（2）甲船看见灯塔所用时间：515-≈4.1小时乙船看见灯塔所用时间：12051 4.0220-++≈小时所以乙船先看见灯塔．【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．24．（1）108°；（2）见解析；（3）1480人．【解析】【分析】（1）先得出总人数，进而利用圆心角的计算解答即可；（2）得出D的人数，画出图形即可；（3）根据用样本估计总体解答即可．【详解】解：（1）总人数＝（5+8+12+15）÷（1﹣20%）＝50，“答对10题”所对应扇形的心角为15360108 50︒︒⨯=；故答案为：108°（2））“答对9题”的人数＝50×20%＝10，补全条形统计图如图：（3）2000×121015148050++=，所以估计该校答对不少于8题的学生人数为1480人．【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．25．（1）一次函数的解析式为y＝x﹣1，反比例函数的解析式y＝，B的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）P点的坐标为（，）或（，﹣）．【解析】【分析】（1）将点A代入两解析式根据待定系数法即可求得一次函数与反比例函数的解析式，联立方程，解方程组即可求得B点的坐标．（2）求得直线x＝与直线y＝x﹣1的交点坐标，设P（,n）,根据题意得出|n+|×（2+1）＝6,解得n 的值,从而求得P的坐标．【详解】解：（1）因为点A（2,1）在两函数图象上,则1＝2+m,1＝,解得：m＝﹣1,k＝2,∴一次函数的解析式为y＝x﹣1,反比例函数的解析式y＝，联立:,解得:x＝2或x＝﹣1,又∵点A的坐标为（2，1）,故点B的坐标为（﹣1，﹣2）,（2）把x＝代入y＝x﹣1得，y＝﹣1＝﹣，∴直线x＝与直线y＝x﹣1交点C的坐标为（，﹣）,设P（，n）,∴PC＝|n+|，∴S△APB＝S△APC+S△BPC＝|n+|×（2+1）＝6,解得，n＝或n＝﹣，∴P点的坐标为（，）或（，﹣）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A．1 B．34C．12D．142．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A. B. C. D.3．2018年是打赢脱贫攻坚战三年行动起步之年.国家统计局2月15日发布的数据显示，2018年年末，全国农村贫困人口比上年末减少1386万人，其中1386万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.4．如图，为某校初三男子立定跳远成绩的统计图，从左到右各分数段的人数之比为1：2：5：6：4，第四组的频数是12，对于下面的四种说法①一共测试了36名男生的成绩．②立定跳远成绩的中位数分布在1.8～2.0组．③立定跳远成绩的平均数不超过2.2．④如果立定跳远成绩1.85米以下（不含1.85）为不合格，那么不合格人数为6人．正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大6．将多边形的边数由n 条增加到()n x +条后，内角和增加了540︒，则x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．8．不等式组222x x >⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ．9．平行四边形一定具有的性质是（）A ．四边都相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．是轴对称图形10．甲、乙两人从A 地出发到B 地旅游,甲骑自行车,乙骑摩托车。

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求证：BE+BC=CD3. 如图：在平行四边形ABCD 中，BEAE E CD BE AE ABC BE BAD AE ⊥∠∠。

求证OE=OF 。

6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，AC DF AC BE ⊥⊥,，垂足分别为点E ，F 。

求证：OE=OF7. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，且与边AB 、CD 分别相交于点E,F ，AB=4，AD=3,OF=1.3。

求四边形BCFE 的周长。

8. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，其周长为16，且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小2.求边AB 和BC 的长。

9. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC=21cm ，AC BE ⊥，垂足为点E ，且BE=5cm,AD=7cm 。

求AD 与BC 之间的距离。

10. 平行四边形的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=8cm ，BC=6cm ，的周长。

求的周长是AOD cm AOB ∆∆18。

13. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AOD AOB ∆∆与的周长之和为11.4cm ，两条对角线长之和为7cm ，求这个平行四边形的周长。

14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于点F 。

求证：点E 是BF 的中点，点D 是AF 的中点。

【1-14考察平行四边形的性质】15. 在四边形ABCD 中，D B C A ∠=∠∠=∠,。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

【注：利用多边形内角和与“两组对边分别平行”】16.如图，G,H是平行四边形对角线AC上的两点，且AG=CH,E、F分别是边AB和CD的中点。

求证：四边形EHFG是平行四边形。

【注：证明AOE与COF全等-“对角线互相平分”】17.如图，平行四边形的对角线AC与BD相交于O点，直线EF过点O，且与AB、DC分别相交于点E和点F，直线GH过点O且与AD、BC分别相交于点G和点H。

求证：四边形GEHF是平行四边形。

【证明AOG与COH全等，AOE与COF全等-“对角线互相平分”】18.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H。

求证：四边形EHFG是平行四边形。

【注：先证明AECF与BFDE为平行四边形，再利用“两组对边分别平行”】19.如图：在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM、BD互相平分并交于点O。

求证：AM平行且等于DC。

【注：连接DM证明ABMD为平行四边形-一组对边平行且相等】【15-19考察平行四边形的判定】20.如图：E是平行四边形ABCD边BC上的一点，且AB=BE，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，︒F。

求这个平行四边形各内角的大小=∠6021.如图，以平行四边形的边AD、BC为边分别向外作等边三角形ADE和BCF。

求证：四边形DEBF是平行四边形。

【注：证明ABE与CDF全等-“两组对边分别相等”】22.如图：点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，分别连接点B、F和点D、E。

求证：四边形BFDE为平行四边形。

【证明BOE与DOF全等-“对角线互相平分”】第一章矩形、菱形、正方形1.如图：矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，ACBE⊥，垂足为点E。

试求BE的长。

3.如图：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm，试求AC、AB的长4.如图：点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15。

求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

（提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连接OP）【利用三角形面积求解】5.如图，在四边形ABCD中，BF=DE，AC与EF互相平分并交于点O，︒B，=∠90求证：四边形ABCD是矩形。

【注：连接AE、CF- AECF为平行四边形-AB=CD且AB平行于CD- ABCD为平行四边形-︒B】∠90=6.如图，在ABC∠∆的外角FACAD⊥，垂足为D，AG是ABC∆中，AB=AC，BC的平分线，DE∥AB，交AG于点E。

求证：四边形ADCE是矩形。

【注：充分利用AB=AC；利用三角形ABC的外角CAF和AG角平分线得到B∠1，=∠得到AE与BD平行，证明ABDE为平行四边形】7.如图：AD、AE分别是ABC∆的内角⊥∠和外角。

求证：四边形ADBE是矩形。

BAC⊥的平分线，∠，DAAEBCBAFBE【在图上标出已知条件，即可明显看出做题方法】8.如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使得CE=DC，连接AE，交BC于点F，D∠2，连接AC，BE。

求证：四边形ABEC是矩形。

=AFC∠【注：ABEC为平行四边形-AE与BC互相平分-D=∠2，且AFC∠∠的一个外角，ABCA F C为三角形A B F∠，所以FAB=D∠∠,则AF=BF，=ABF∠则“对角线相等”】9.如图：在平行四边形ABCD中，AF,BH,CH,DF分别是∠与,,的平分线，AF与BH相交于点E，CH与DF相交于C D A∠B C D∠A B CD A B∠点G。

求证：EG=FH。

【注：利用角平分线条件还有平行线性质得到CGD∠与均为90°，且AEB∠∠与也为90°-“三个角为90°的四边形”；也考察了对顶角知识】EFG∠GHE10.如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使得边AD与对角线BD重合，得到折痕DG，AB=2，BC=1。

求AG的长。

（精确到0.01）（提示：作BDGE⊥，记垂足为点E，设AG=x，列出x满足的等量关系。

）【1-10矩形】11.如图：已知菱形ABCD的边长为2cm，︒BAD，对角线AC,BD相交于∠120=点O。

试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长。

（结果保留根号）【注：利用等边三角形的性质与“菱形对角线互相垂直”的性质】12.如图：在菱形ABCD中，E是AB的中点，且ABDE⊥，AB=4。

求：①ABC∠的大小②菱形ABCD的面积（精确到0.1）13.如图：已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F。

求证：四边形AFCE是菱形。

【注：证明AFCE为平行四边形即可，又已知EF垂直平分AC，故只需证明OE=OF 即可（利用三角形全等）】14.如图：过平行四边形ABCD的对角线交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH，与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H。

求证：四边形EFGH是菱形。

【通过分别证明BOG与DOE全等，AOF与COH全等，得到OE=OG,OF=OH，证明EFGH为平行四边形】【根据已知得DG//EK,DE//GK,得DEGF为平行四边形--求证GBD与EDC全等（AAS）-- GD=ED--一组邻边相等的平行四边形】15.如图：菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD相交于点O，AC+BD=q。

求菱形ABCD的面积。

（提示：利用两数之和的平方公式22·2AC++BD+与勾股定理）=2)AC(BDBDAC16.如图：四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l 分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。

求证：四边形AFCE为菱形。

【求证：AOE 与COF 全等（ASA ）--OE=OF--“对角线垂直且平分”】【11-16菱形】17. 已知菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为1：2。

求较短的对角线的长。

18. 如图：在︒=∠∆90ACB ABC 中，，四边形ABDE 、AGFC 都是正方形。

求证：BG=EC【求证ACE 与AGB 全等--巧用公共角】19. 如图：在等边三角形ABC 中，点D 是AC 中点，点F 是BC 中点，以BD 为边作等边三角形BDE ，连结点A 、E 。

求证：四边形AEBF 为矩形。

【通过ABC 为等边三角形得︒=∠90AFB ，︒=∠+∠=∠90DBC EBD EBF ，通过证明ABE 与ABD 全等得︒=∠=∠90ADB AEB --“有三个角为90°的四边形为矩形”】20. 如图：在三角形ABC 中，CBA CAB C ∠∠︒=∠、，90的平分线相交于点D ，BC DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F 。

求证：①四边形CFDE 是矩形②四边形CFDE 是菱形【过点D 作DG 垂直于AB 交于点G 】21. 如图：在三角形ABC 中，边BC 上是否存在点P ，过点P 分别作AB 、AC 的平行线，交AB 和AC 于点D 、E ，使得四边形ADPE 为菱形？请说明理由。

【即A ∠的角平分线与BC 的交点】22. 如图：已知正方形ABCD 与CEFG ，连接DE ，以DE 为边作正方形EDHI 。

试用该图形证明勾股定理：222DE CE CD =+（提示：运用面积割补法）【过点I 作BE IJ ⊥于点J ，设HI 交BC 于M ，DE 交GF 于NAHD 与CED 全等--HBM 与DGN 全等同理：JIE 与CED 全等（AHD 与JIE 全等）--JIM 与FEN 全等（要善于应用公共角）】23. 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1），（-1，2），（3，-1），则第四个顶点的坐标为（）24. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AOB AOD ∠=∠2，AB=4cm ，则矩形ABCD 的面积是（）25. 如图，M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，P 为BC 上的一点，MB PF MC PE ⊥⊥,,垂足分别为E 、F ，当AB ，BC 满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？试加以说明【BC=2AB 】26. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的有（）①当AB=BC 时，它是菱形 ②当BD AC ⊥时，它是菱形③当︒=∠90ABC 时，它是矩形 ④当AC=BD 时，它是正方形A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组27. 下列命题中，真命题是（）A 对角线相等的四边形是矩形B 对角线互相垂直的四边形是菱形C 对角线互相平分的四边形是平行四边D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形28. 如图，正三角形和正方形的面积分别是10，6，两阴影部分的面积分别为a,b（a ＞b ），则a-b 等于（）29. 下列图形是相似多边形的是（）A 所有平行四边形B 所有矩形C 所有菱形D 所有正方形30. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ；②︒=∠90ABC ；③AC=BD ；④BD AC ⊥四个条件中，选出两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A ①②B ②③C ①③D ②④31. 如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上。