2019年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---立体几何

2019年全国2卷省份高考模拟文科数学分类汇编---立体几何1.（2019青海省海东市文科模拟）一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是（）A．西与楼，梦与游，红与记B．西与红，楼与游，梦与记C．西与楼，梦与记，红与游D．西与红，楼与记，梦与游【解答】解：将红作为底面，则西与之相对，楼与游相对，记与梦相对，综上西与红，楼与游，梦与记相对，故选：B．【点评】考查了正方体的展开图，主要考查空间想象能力，属于基础题．2.（2019青海省海东市文科模拟）已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．36πB．52πC．56πD．224π【解答】解：设三条侧棱长分别为a，b，c，则，，，解得：a＝4，b＝2，c＝6．把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为．∴三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的外接球的表面积为．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查“分割补形法”是中档题．3.（2019青海省海东市文科模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝BC，且BC⊥AC．（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；（2）设棱AB，BC的中点分别为E，D，若四面体PBDE的体积为，求△PBE的面积．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．解：（2）设AC＝PA＝BC＝a，则BD＝DE＝，∴四面体PBDE的体积为：＝，＝＝．解得a＝2，∴△PBE的面积S△PBE【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三角形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.（2019重庆市文科模拟）已知两条不同的直线a，b和一个平面α，则使得“//a b”成立的一个必要条件是A．//⊂aα且bαbαB．//aα且//C．aα⊥D．a，b与α所成角相同⊥且bα【解答】解：若//⊂，故A错误，bα或bαa b，若//aα则//若//⊥且bα⊥不一定成立，故C错误，a b，aαbα或bαa b，当//aα时//⊂，故B错误，若//若//a b则a，b与α所成角相同，即D正确，故选：D．5.（2019重庆市文科模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．4+B．4+C．8+D．8+【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD 为边长是2的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA =．∴该几何体的表面积为：112222222822⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+D ．6.（2019重庆市文科模拟）如图，P 为正方形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点（1）求证：PF DE ⊥；（2）若3PA AB ==，求点C 到平面PDE 的距离【解答】证明：（1）在正方形ABCD 中，DE AE =，DA DC =，DF CE =，ADF DCE ∠=∠，ADF DCE ∴∆≅∆，CDE DAF ∴∠=∠，90DAF EDA ∴∠+∠=︒，AF DE ∴⊥，又PA ⊥面ABCD ，PA DE ∴⊥， PAAF A =，DE ∴⊥面PAF ，DE PF ∴⊥．解：（2）PA ⊥平面ABCD ，PA DE ∴⊥，又PAAF A =，DE ∴⊥面PAF ，DE PF ∴⊥．解：（2）PA ⊥面ABCD ，PA ∴为三棱锥P ECD -的高，设C h 为点C 到平面PDE 的距离，在PED ∆中，PD =，92PE =，DE =222cos 22PD PE DE EPD PD PE +-∠==， 127sin 24DEP S PD PE EPD ∆∴=⨯⨯⨯∠=，由等体积法得P ECD C PDE V V --=， ∴1133ECD PDE C S PA S h ∆∆=，解得1C h =． 7.（2019长春市文科模拟）已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．【解答】解：对于A，若α∩β＝l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．8.（2019长春市文科模拟）我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为①②④．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB＝2，PC＝2，PD＝2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC ＝，其表面积为4π×＝24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题． 9.（2019长春市文科模拟）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）． （Ⅰ）证明：AE ⊥PB ； （Ⅱ）当四棱锥P ﹣ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离．【解答】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB ∥CE ，AB ＝CE ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形， ∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝，∠DAB ＝∠ABC ＝，∴在等腰ADB 中，∠ADB ＝∠ABD＝，∴∠DBC ＝﹣＝，即BD ⊥BC ，∴BD ⊥AE ，翻折后可得：OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ， ∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB ．（II ）设点C 到平面PAB 的距离为d ，由题意得，OP ⊥平面ABCE 时，四棱锥P ﹣ABCE 体积最大， ∵OP ＝OB ＝，∴PB ＝，∵AP ＝AB ＝1，∴S △PAB ＝＝，S △ABC ＝＝，∴V P ﹣ABC ＝＝，又V P ﹣ABC ＝V C ﹣PAB ＝＝，∴d ＝．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．10.（2019吉林省文科模拟）若一个圆锥轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.B.C. 2πD. 4π【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，，则)2112⨯=，∴r 1l ==，πrl =，故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积πrl =的应用． 11.（2019吉林省文科模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为______．【答案】20π【分析】由几何体的直观图为三棱锥A BCD -，其中ABD ∆的外接圆的圆心为F ，BCD ∆的外接圆的圆心为E ，A BCD -的球心为O ，球的半径为R ，且OE ⊥平面BCD ，OF ⊥平面ABD ，在ABD ∆和BCD ∆中，分别求得2FA =和1OF =，根据球的性质，求得求得半径，即可求解外接球的表面积。

【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥A BCD -，如图所示，其中ABD ∆的外接圆的圆心为F ，BCD ∆的外接圆的圆心为E ，A BCD -的球心为O ，球的半径为R ，且OE ⊥平面BCD ，OF ⊥平面ABD .因为ABD ∆是顶角为120的等腰三角形， 所以ABD ∆的外接圆的直径为24sin BDr BAD==∠，即2r =，即2FA =，又由BCD ∆为边长为1EH =，即1OF =，的根据球的性质，可得R ==，所以外接球的表面积为2420ππ⨯=.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及三棱锥外接球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于中档试题。

12.（2019吉林省文科模拟）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1AA ⊥平面ABCD ．24AB AD ==，3DAB π∠=（1）证明：平面1D BC ⊥平面1D BD ； （2）若直线1D B 与底面ABCD 所成角为6π，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，1D D 的中点，求三棱锥C MNQ -的体积．【答案】(1)见证明；(2) 6C MNQ V -=【详解】（1）∵1D D ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴1D D BC ⊥.又4AB =，2AD =，3DAB π∠=，∴BD ==222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥.又∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵1D D BD D ⋂=，BD ⊂平面1D BD ，1D D ⊂平面1D BD ， ∴BC ⊥平面1D BD ，而BC ⊂平面1D BC ，∴平面1D BC ⊥平面1D BD ；（2）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D BD ∠即为直线1D B 与底面ABCD 所成的角，即16D BD π∠=，而BD =12DD =.又14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==，∴111214326C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.（2019内蒙古文科模拟）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E ，F ，且，则下列结论中错误的是 （ ）A. B. C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线所成的角为定值【答案】D试题分析：∵AC ⊥平面，又BE ⊂平面，∴AC ⊥BE ．故A 正确．∵EF 垂直于直线，，∴⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为，故VA-BEF 为定值．C 正确，当点E 在处，F 为的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1 显然两个角不相等，D 不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角14（2019内蒙古文科模拟）.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．【答案】4【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案：415.（2019内蒙古文科模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）取中点，连，，由，可得，可得是平行四边形，则，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中点，则，而平面平面，而，∴平面. （Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16.（2019甘肃张掖市文科模拟）如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0h5)，小圆柱的底面半径设为r (0r5)，由于和球的半径构成直角三角形，即+，所以小圆柱体积，(0h5)，求导，当0h时，体积单调递增，当h5时，体积单调减。