导数及其应用单元复习与巩固

导数在研究函数中的应用

知识要点梳理

知识点一：导数的相关概念

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量.若极

限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.

即：（或）

注意：增量△x可以是正数，也可以是负数.

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定

的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，

注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况.

3．导数的几何意义：

过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为.

知识点二：导数的运算

1．常见基本函数的导数公式

（1）（C为常数），

（2）（n为有理数），

（3），

（4），

（5），

（6），

（7），

（8），

2．函数四则运算求导法则

设，均可导

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：（）

3．复合函数的求导法则

一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，

乘以中间变量对自变量的导数，即或

知识点三：导数的应用

1、确定函数的单调区间

设函数y=f(x)在某个区间内可导，则

当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；

当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；

当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.

注意：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！

2、函数的极值

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，

(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)

y极大值=f(x0)；

(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作

y极小值=f(x0).

注意：极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

3、函数的最值

函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小

值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值.

注意：最值与极值的区别与联系：

①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数

的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；

②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；

③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内

部，也可能在区间的端点.

④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.知识要点梳理

知识点三：导数的应用

1：函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若，则在这个区间上为增函数；

②若，则在这个区间上为减函数；

③若恒有，则在这一区间上为常函数.

反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．

注意：

1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数

在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的

情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；

在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；

在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在

区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！

例如：而f(x)在R上递增.

3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.

4．注意导函数图象与原函数图象间关系.

（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：

1. 确定函数的定义域；

2. 求导数；

3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区

间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.

或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。

4. 写出的单调区间.

注意：

1．求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。

2．求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。

2：函数的极值

（一）函数的极值的定义

一般地，设函数在点及其附近有定义，

（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；

（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，

记作.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

注意：由函数的极值定义可知：

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.

（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程的根；