高中数学等比数列的性质总结
高中数学等比数列知识点总结
高中数学等比数列知识点总结一、定义与概念等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)。
同时,等比数列的第一项a₁不能为0,且数列中的每一项均不为0。
特别地,当公比q=1时,等比数列变为常数列,即每一项的值都相同。
二、等比中项在等比数列中,如果三个数a、G、b依次组成等比数列,那么G 叫做a与b的等比中项,且G²=a*b(G≠0)。
三、性质等比数列具有一些重要的性质。
例如,在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am·an=ap·aq=a2k。
此外,等比数列的连续项之间具有特定的乘积关系,如aₙ₊₂aₙ₋₂=aₙ²(n≥2)。
四、公式等比数列的公式包括通项公式和前n项和公式。
通项公式为an=a1q^(n-1),其中a1是首项,q是公比,n是项数。
前n项和公式分为两种情况:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
在使用前n项和公式时,需要注意对q=1和q≠1进行分类讨论,以避免因忽略特殊情况而导致的错误。
五、应用与实例等比数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如,在国际象棋起源的传说中,宰相通过等比数列的方式向国王请求奖励,展示了等比数列在解决实际问题中的应用。
此外,等比数列还在物体跳跃高度的计算、光的反射与折射、经济学中的GDP增长和人口增长、生物学中的繁殖规律等领域发挥着重要作用。
综上所述,高中数学等比数列知识点包括定义与概念、等比中项、性质、公式以及应用与实例等方面。
通过深入学习和理解这些知识点,可以更好地掌握等比数列的本质和规律,并能够将其应用于实际问题的解决中。
等比数列的性质-高中数学知识点讲解
等比数列的性质1.等比数列的性质【等比数列】(又名几何数列),是一种特殊数列.如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这2个数列就叫做等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.注:时,为常数列.q (q 0)q=1 an等比数列和等差数列一样,也有一些通项公式:①第项的通项公式,=,这里a 为首项,q 为公比,n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点.②求和公式,S =n,表示的是前面项的n1―푞和.③若m n=q p ,且都为正整数,那么有a •a =a •a .m n p q例:成等比数列,则=.2,x,y,z,18 y解:由成等比数列,设其公比为,2,x,y,z,18 q4则,解得,18=2q q2=32∴.y=2q =23=6故答案为:.6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式,这也是一个常用的方法,即知道某两项的值然后求出公比,n继而可以以已知项为首项,求出其余的项.关键是对公式的掌握,方法就是待定系数法.【等比数列的性质】(1)通项公式的推广:=,(,).a a q ﹣n m N*•n mn m*(2)若{a n}为等比数列,且,则k l=m n,(k,l,m,n N ) a •a=a •ak l m n(3)若{ }{ }(项数相同)是等比数列,则 a a a b ,仍是等比数列.a ,b {(} 0),,{•}n n n n n푎1>0푎1<0푎1>0푎1<0 (4)单调性:{푞>1或{0<푞<1是递增数列;{0<푞<1或{{a } {a } q=1 {a }푞>1是递减数列;是 n n n 常数列;是摆动数列.q<0 {a }n1/ 1。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列,又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中,等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a,公比为r,那么等比数列的通项公式可以表示为:an = a * r^(n-1)其中,an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质,下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念,它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时,等比数列呈现增长趋势,此时数列的绝对值逐项增大;当|r|<1时,等比数列呈现衰减趋势,此时数列的绝对值逐项减小;当|r|=1时,等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项:a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时,通过改变公比,我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算:Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用,可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落,每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度,我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度,公比为1/2,利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中,利息的计算经常涉及到等比数列。
例如,一笔钱每年按照固定的利率计算利息,那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中,等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用,还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0)。
例如:数列 2,4,8,16,32……就是一个等比数列,公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\),其中\(a_n\)表示数列的第 n 项,\(a_1\)表示数列的首项,q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\),公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\),\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\),\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比,可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项,可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\),\(b\)同号,则等比中项有两个,且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数,可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)一、基础知识1、定义:数列{}n a 从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠,则称{}n a 为等比数列,这个常数q 称为数列的公比注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为1q =的等比数列,而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式:11n n a a q−=⋅,也可以为:n mn m a a q−=⋅3、等比中项:若,,a b c 成等比数列,则b 称为,a c 的等比中项 (1)若b 为,a c 的等比中项,则有2a bb ac b c=⇒= (2)若{}n a 为等比数列,则n N *∀∈,1n a +均为2,n n a a +的等比中项 (3)若{}n a 为等比数列,则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式:设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时,则{}n a 为常数列,所以1n S na = 当1q ≠时,则()111n n a q S q−=−可变形为:()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−,设11a k q =−,可得:n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列(1)在等比数列{}n a 中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 (2)已知等比数列{}{},n n a b ,则有 ① 数列{}n ka (k 为常数)为等比数列 ② 数列{}na λ(λ为常数)为等比数列,特别的,当1λ=−时,即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关: 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++,则有:()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的:若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−,则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定:(假设{}n a 不是常数列) (1)定义法(递推公式):()1n na q n N a *+=∈ (2)通项公式:nn a k q =⋅(指数类函数) (3)前n 项和公式:nn S kq k =−注:若()n n S kq m m k =−≠,则{}n a 是从第二项开始成等比关系 (4)等比中项:对于n N *∀∈,均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−,因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公比为1q 的等比数列,所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1:已知等比数列{}n a 的公比为正数,且223951,2a a a a ==,则10a =________思路:因为2396a a a =,代入条件可得:22652a a =,因为0q >,所以65a =,q =所以810216a a q == 答案:16例2:已知{}n a 为等比数列,且374,16a a =−=−,则5a =( ) A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一:由37,a a 可求出公比:4734a q a ==,可得22q =,所以253428a a q ==−⋅=− 思路二:可联想到等比中项性质,可得253764a a a ==,则58a =±,由等比数列特征可得奇数项的符号相同,所以58a =− 答案:D小炼有话说:思路二的解法尽管简单,但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
人教版高中数学必修五课件:第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1,an公=2比n-为1,4所的以等a比ann数122 列,22nn=故1 242a,n2=4n-1.
答案:an2=4n-1
2.由a4·a7=-512,得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0,_q_>_1_或a1<0,_0_<_q_<_1_时,{an}为递增数列. (2)当____,0<q<1或a1<0,____时,{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时,{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中,a6=6,a9=9,则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m,n,p,l∈N*),那么aman=apal吗? 提示:相等,aman=2m-1×2n-1=2m+n-2, apal=2p-1×2l-1=2p+l-2,因为m+n=p+l, 所以m+n-2=p+l-2,所以aman=apal.
探究2:对任意的等比数列{an},若有m+n=p+l(m,n,p,l∈N*), 那么aman=apal吗? 提示:相等,设等比数列{an}的公比为q,则am=a1qm-1, an=a1qn-1,ap=a1qp-1,al=a1ql-1,aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2, apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2, 因为m+n=p+l,所以aman=apal.
高中数学等比数列知识点总结
高中数学等比数列知识点总结
等比数列的知识点在高中数学,很多同学学不好,我们来看下面等比数列的知识点总结。
等比数列的定义是指从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这样的数列叫做等比数列。
在等比数列中,相邻两项的比值相等,称为等比数列的基本性质。
我们常见的等比数列有等差数列、等比数列等。
要注意等比数列都是等差数列与等比数列的推广,它是在等差数列的基础上,经过几何级数的运算得到的。
(1)求和公式:等比数列的求和公式为:
2。
例:等比数列通项公式为:在等比数列中,若其通项公式中出现两个或者两个以上的“比”字,则此“比”字不能省略,否则将会得出错误的结果。
第一种方法可以证明:
3。
一般地,首先需要给出数列,然后根据题目要求,选择相应的方法进行求解即可。
①如果已知等比数列的前n项和为a,则可以用判别式法进行求解,即利用等比数列的基本性质;②如果已知等比数列的前n项和为b,则可以用通项公式进行求解,即利用等比数列的基本性质。
第三种方法可以直接证明:
4。
例1已知:等比数列{a+(a+2)+…+a+n-
1}=a1+(a1+2)+…+(a1+n-1)n=a。
则有:①由等比数列的通项公式得: a=(a1+n)/(n-1)=a1=2a+1=a1。
②令a=2a+1=a1,则可求得
n=a-1,且a=n。
于是, n=a1-1,由①可得n-1=2a-1=2a+1,即n=2a-2,由此可求得通项公式。
高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用与等差数列一样,等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质,运用其性质可以使解题更为简便.一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T ',次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T ',最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T ',则n S ',2n S ',3n S '成等比数列,n T ',2n T ',3n T '亦成等比数列.例1 已知一个等比数列的前n 项和为12,前2n 项和为48,求其前3n 项和.解:由题设,可知12n S '=,2481236n S '=-=, 22233610812n n n S S S ''∴==='. 故该数列前3n 项的和为10848156+=.例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10301070S S ==,,求40S . 解:Q {}n a 成等比数列,10201030204030S S S S S S S ∴---,,,也成等比数列,即22010103020()()S S S S S -=-,解得2030S =或2020S =-(不合题意,舍去).2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-. 二、一般地,如果t k p m n r ,,,…,,,,…皆为自然数,且t k p m n r +++=+++……(两边的自然数个数相等),那么当{}n a 为等比数列时,有t kp m n r a a a a a a =···…···…. 例3 在等比数列{}n a 中,若99123992a a a a =···…·,求50a . 解:19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··, 999912399502a a a a a ∴==···…·,502a ∴=.三、公比为q 的等比数列,从中取出等距离的项组成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为mq (m 为等距离的项数之差). 例4 在等比数列{}n a 中,若12341a a a a =···,131415168a a a a =···,求41424344a a a a ···. 解:由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为q .设112341T a a a a ==···,4131415168T a a a a ==···, 34182T T q q ∴==⇒=.10101141424344121024T a a a a T q ∴====····.。
高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用
新知讲解
拓展
两个等比数列合成数列的性质
若 数 列 { } , { } 均 为 等 比 数 列 , c 为 不 等 于 0 的 常 数 , 则 数 列
, , ∙ , { } 也为等比数列.
合作探究
例4 用10 000 元购买某个理财产品一年.
(2)若 等比数列,公比为 =
,证明数列{ }为等差数列.
证明:
(2)由 = , = ,得 = ×
−
= −
两边取以3为底的对数,得 = − = −
所以
+ − = − + − − = −
推.
设BA=a1 ,AA1=a2 , A1A2=a3 ,…, A5A6=a7 ,则
a7=________.
解:
等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以
= = =
则 = =
,
故数列 是首项 = ,公比为
故 =
=×(
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获得多少利息(精确到1元)?
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的
利息不少于按月结算的利息(精确到− )?
分析:
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息,所以若原始本
金为a元,每期的利率为r,则从第一期开始,各期的本利和.
即
, + , + , ⋯ , + −
高中数学讲义等比数列的性质
等比数列的性质【知识要点】1. 等比数列的性质(1){}n a 成等比数列,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ⋅=⋅(其中*∈N q p n m ,,,). (2)若*∈N n m ,,则n m n m q a a -⋅=;(3)若{}n a ,{}n b 成等比数列,则{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅n n n n n b a b a ka ,,也成等比数列.(4)若公比为q ,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以q 1为公比的等比数列;(5)有n 3项的等比数列,前n 项和、中间n 项和、后n 项和也构成等比数列.(6)在等比数列中,当10,1a q >>或10,01<<<q a 时,等比数列是递增的;当10,01<<>q a 或1,01><q a 时,等比数列是递减的.(7)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两项之积,特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即12131n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅==2中. (8)若k p n m k p n m a a a a a a a a k p n m N k p n m ,,,,,,,,,其中则且⋅=⋅+=+∈*是数列中的项,特别地,当p n m 2=+时,有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列,在使用该性质时,不仅应注意等式两边下标和相等,也应要求等式两边作积的项数应是一样多的.(9)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列.一个等比数列的奇数项,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的二次幂,一个等比数列的偶数项,也组成一个等比数列,新公比是原公比的二次幂.(10)等比数列{}n a n 前项和(均不为零)构成等比数列,即 ,,,232n n n n n S S S S S --构成等比数列且公比为n q .(11)前n 项和公式,一定要分11≠=q q 与两种情况.【典例分析】例1.设{}n a 是公比为q 的等比数列,n S 使它的前n 项和,若{}n S 是等差数列,则q = .例2.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,其公比为1≠q ,且(),,,3,2,10n i b i =>若111111,b a b a ==,则( )(A )66b a = (B )66b a > (C )66b a < (D )6666b a b a <>或例3.在等比数列{}n a 中,若,30,341551=-=+a a a a 若则3a 等于 ( ) A.8 B.-8 C.8± D.16例4.在等比数列{}n a 中,设前n 项的和为n S ,则()n n n n n S S S y S S x 32222,+=+=的大小关系是( )A.y x >B. y x =C. y x < D .不确定例5.数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且对任意自然数n 总有()1n n S p a =-().1,0≠≠p p p 为常数,且(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) 数列{}n b 中,()p b a b a q q n b n 求,且有是常数,,22211<=+=的取值范围.例6.n a a a ,,,21 为各项都大于零的等比数列,公比为1≠q ,则 ( ) A.5481a a a a +>+ B.5481a a a a +<+C.5481a a a a +=+D. 的大小不确定与5481a a a a ++ 例7.在等比数列{}n a 中,已知5127=a a ,则=111098a a a a .例8.在等比数列{}n a 中,已知3000,4,31>==n s q a 则使的最小自然数=n . 例9.设{}n a 为等比数列,(),21121n n n a a a n na T +++-+=- 已知4,121==T T . (1)求数列{}n a 的首项和公比; (2)求数列{}n T 的通项公式.例10.已知数列{}n a ,[()]nn n a 12---=求10S ,若求99S 呢?【经典练习】1.若数列n a 是等比数列,下列命题正确的个数为 ( )n n a a 22,是等比数列;ln n a 成等差数列;n na a ,1成等比数列; ()0,≠±k k a ca n n 成等比数列A.5B.4C.3D.22.若{}n a 是等比数列,且252,0645342=⋅+⋅+->a a a a a a a n ,那么53a a +的值等于 ( ) A.1 B.5 C.10 D.153.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,其公比为1≠q ,且()111111,,3,2,10b a b a n i b i ===>若 ,则( ) A. 66b a = B. 66b a > C. 66b a < D. 66b a >或66b a <4.已知某数列前n 项和为3n ,且前n 个偶数项的和为()342+n n ,则前n 个奇数项的和为( )A .()132+-n nB .()342-n nC .23n - D.321n5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若5631323109,log log a a a log a a ⋅=+++=则( )A.12B.10C.8D.5log 23+6.已知正项等比数列{}n a 的项数为偶数,它的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍,第二项与第四项之积是第三项与第四项之和的9倍,求使数列{}n a lg 的前n 项和最大的n 的值.7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知() ,3,2,12,111=+==+n S nn a a n n ,证明: (Ⅰ)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列(Ⅱ)n n a S 41=+8.在等比数列{}n a 中,()*+∈<==+N n a a a a a a n n 14361,32,33且. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n n a a a T lg lg lg 21+++= ,求n T 的最大值及此时n 的值.9.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项,11=a 且满足() ,4,3221=+=--n a a a n n n . (Ⅰ)求c 的值;(Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n S .10.已知{}n a 是公比为q 的等比数列,且231,,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求q 的值;(Ⅱ)设{}n b 是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为n s .当2≥n 时,比较n S 与n b 的大小,并说明理由.11.已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.。
高中数学选择性必修二 4 3 1 2等比数列的性质及应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.2等比数列的性质及应用要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m ·q n-m(m ,n ∈N *)(2)若p +q =s +t (p 、q 、s 、t ∈N *),则a p ·a q =s t a a 【重点总结】(1)在已知等比数列{a n }中任一项a m 及公比q 的前提下,可以利用a n =a m q n-m求等比数列中任意项a n ;(2)已知等比数列{a n }中的a m 和a n 两项,就可以使用a n a m =q n -m 求公比,其中m 可大于n ,也可小于n.要点二 等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时,等比数列{a n }为递增数列; (2)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时,等比数列{a n }为递减数列; (3)当q=1时,等比数列{a n }为常数列(这个常数列中各项均不等于0); (4)当1<1时,等比数列{a n }为摆动数列. 【重点总结】由等比数列的通项公式可知,公比影响数列各项的符号:一般地,q>0时,等比数列各项的符号相同;q<0时,等比数列各项的符号正负交替.要点三 等比数列的其它性质 若{a n }是公比为q 的等比数列,则(1)若m ,p ,n (m ,n ,p ∈N *)成等差数列,则a m ,a p ,a n 成等比数列;(2)数列{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n }都是等比数列,且公比分别是q ,1q ,q 2. (3)若{b n }是公比为p 的等比数列,则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也都是等比数列,公比分别为pq 和qp .(4)在数列{a n }中,每隔k (k ∈N *)项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为q k +1. (5)在数列{a n }中,连续相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列. 【重点总结】若数列{a n }是各项都为正数的等比数列,则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列; 若数列{b n }是等差数列,公差为d ,则数列{cb n }是以c d (c>0且c ≠1)为公比的等比数列. 【基础自测】1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.( ) (2)当q >1时,{a n }为递增数列.( )(3)当q =1时,{a n }为常数列.( )(4)若{a n },{b n }都是等比数列,则{a n +b n }是等比数列.( ) 【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×2.等比数列{a n }的公比q =-14,a 1=2,则数列{a n }是( )A .递增数列B .递减数列C .常数列D .摆动数列 【答案】D【解析】∵q <0,a 1>0,∴所有奇数项为正、偶数项为负,故成摆动数列,选D. 3.(多选题)若数列{a n }为等比数列,则下列式子一定成立的是( ) A .a 2+a 5=a 1+a 6 B .a 1a 9=a 25 C .a 1a 9=a 3a 7 D .a 1a 2a 7=a 4a 6 【答案】BC【解析】根据等比数列的性质知BC 正确.4.在等比数列{a n }中,已知a 7a 12=5,则a 8a 9a 10a 11的值为________. 【答案】25【解析】∵a 7a 12=a 8a 11=a 9a 10=5,∴a 8a 9a 10a 11=25.题型一 等比数列性质的应用 【例1】已知{a n }为等比数列.(1)等比数列{a n }满足a 2a 4=12,求a 1a 23a 5; (2)若a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,求a 3+a 5;(3)若a n >0,a 5a 6=9,求log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10的值.【解析】(1)等比数列{a n }中,因为a 2a 4=12,所以a 23=a 1a 5=a 2a 4=12,所以a 1a 23a 5=14. (2)由等比中项,化简条件得a 23+2a 3a 5+a 25=25,即(a 3+a 5)2=25,∵a n >0,∴a 3+a 5=5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6=a 1a 10=a 2a 9=a 3a 8=a 4a 7=9, ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3(a 1a 2…a 10) =log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] =log 395=10. 【方法归纳】有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组,先解出a 1和q ,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项“下标”的指导作用.【跟踪训练1】(1)已知数列{a n }为等比数列,a 3=3,a 11=27,求a 7. (2)已知{a n }为等比数列,a 2·a 8=36,a 3+a 7=15,求公比q .【解析】(1)法一:⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=3,a 1q 10=27相除得q 8=9.所以q 4=3,所以a 7=a 3·q 4=9.法二:因为a 27=a 3a 11=81,所以a 7=±9, 又a 7=a 3q 4=3q 4>0,所以a 7=9.(2)因为a 2·a 8=36=a 3·a 7,而a 3+a 7=15, 所以a 3=3,a 7=12或a 3=12,a 7=3. 所以q 4=a 7a 3=4或14,所以q =±2或q =±22.题型二 灵活设项求解等比数列【例2】已知4个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为-32,则此4个数为________________.【解析】设此4个数为a ,aq ,aq 2,aq 3.则a 4q 6=1,aq (1+q )=-32,① 所以a 2q 3=±1,当a 2q 3=1时,q >0,代入①式化简可得q 2-14q +1=0,此方程无解;当a 2q 3=-1时,q <0,代入①式化简可得q 2+174q +1=0,解得q =-4或q =-14.当q =-4时,a =-18;当q =-14时,a =8.所以这4个数为8,-2,12,-18或-18,12,-2,8.【变式探究】本例中的条件换为“前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积是-80”,则这4个数为__________________.【答案】1,-2,4,10或-45,-2,-5,-8【解析】由题意设此四个数为bq ,b ,bq ,a ,则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3=-8,2bq =a +b ,ab 2q =-80,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =10,b =-2,q =-2,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-8,b =-2,q =52.所以这四个数为1,-2,4,10或-45,-2,-5,-8.【方法归纳】巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列,常设成a -d ,a ,a +d .若三数成等比数列,常设成aq ,a ,aq 或a ,aq ,aq 2.(2)若四个数成等比数列,可设为a q ,a ,aq ,aq 2.若四个正数成等比数列,可设为a q 3,aq ,aq ,aq 3.题型三 等比数列与等差数列的综合应用【例3】在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中,已知a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 8=b 3. (1)求d ,q 的值;(2)是否存在常数a ,b ,使得对任意n ∈N *,都有a n =log a b n +b 成立?若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由a 2=b 2,a 8=b 3,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =b 1q ,a 1+7d =b 1q 2,即⎩⎪⎨⎪⎧1+d =q ,1+7d =q 2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d =5,q =6,或⎩⎪⎨⎪⎧d =0,q =1,(舍去).(2)由(1)知a n =1+(n -1)·5=5n -4, b n =b 1q n -1=6n -1.假设存在常数a ,b ,使得对任意n ∈N *,都有a n =log a b n +b 成立,则5n -4=log a 6n -1+b , 即5n -4=n log a 6+b -log a 6.比较系数,得⎩⎪⎨⎪⎧log a 6=5,b -log a 6=-4,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =615,b =1.故存在a =615,b =1,使得对任意n ∈N *,都有a n =log a b n +b 成立.【解题关键】 (1)联立方程组可求.(2)假设存在,由(1)得出方程,注意比较系数可求a ,b. 【方法归纳】求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a 1,d 或b 1,q 的作用,并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.【跟踪训练2】已知{a n }为等差数列,且a 1+a 3=8,a 2+a 4=12. (1)求{a n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n, 若a 1,a k ,S k +2成等比数列,求正整数k 的值。
高二等比数列知识点总结
高二等比数列知识点总结等比数列是指一个数列中,从第二个数字开始,每个数字都是前一个数字乘以一个固定的非零常数,这个常数称为公比。
高二等比数列是高中二年级数学学科中的重要内容,通过学习等比数列的性质和计算等技巧,可以帮助我们更好地理解数学中的规律性。
一、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义:若一个数列中,任意一项除以前一项所得的商都是一个常数q(q≠0),那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式:对于等比数列{an},其中a1表示首项,q表示公比,an表示第n项,通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 等比数列的性质:- 任意两项的比值相等,即an / a(n-1) = q。
- 等比数列不存在0或负数,因为公比q不等于0或负数。
- 等比数列的前n项和为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的常见问题及解法1. 求等比数列的第n项:利用等比数列的通项公式an = a1 *q^(n-1),可以直接计算出第n项的值。
2. 求等比数列的前n项和:通过等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1),可以求出前n项和的数值。
3. 求等比数列中的公比:通过已知的两项的比值,可以求出等比数列的公比,即q = an / a(n-1)。
4. 求等比数列的项数:当已知等比数列的首项、公比和某一项的值时,可以利用等比数列的通项公式中的n来求解。
5. 求满足条件的等比数列:在已知等比数列的首项或公比的情况下,求解满足特定条件的等比数列。
三、等比数列在数学中的应用1. 等比数列的应用:等比数列常被应用于经济学、金融学、生物学等领域中的复利、增长速度等问题的建模与计算。
2. 等比数列的应用题:在解决实际问题时,可以将其转化为等比数列问题,并利用等比数列的性质进行求解。
3. 等比数列与对数函数的关系:自然对数函数和等比数列之间存在一定的联系。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是高中数学中一个非常重要的概念,在数学的各个领域以及实际生活中都有着广泛的应用。
接下来,咱们就来详细地梳理一下等比数列的相关知识点。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0)。
例如,数列 2,4,8,16,32,就是一个等比数列,其公比 q = 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为:an = a1×q^(n 1) ,其中 a1 为首项,n 为项数。
通项公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
比如,在等比数列{an}中,已知首项 a1 = 3,公比 q = 2,要想求第 5 项 a5 ,则 a5 = 3×2^(5 1) = 3×2^4 = 48 。
三、等比中项若 a,b,c 成等比数列,则 b 为 a,c 的等比中项,且 b^2 = ac 。
例如,2,4,8 成等比数列,4 就是 2 和 8 的等比中项,因为 4^2= 2×8 。
四、等比数列的性质1、若 m、n、p、q∈N+,且 m + n = p + q ,则有 am×an =ap×aq 。
比如在等比数列{an}中,a3×a7 = a5×a5 。
2、若{an}是等比数列,公比为 q ,则{an^2}也是等比数列,公比为 q^2 。
3、若{an}是等比数列,公比为 q ,则{1 / an}也是等比数列,公比为 1 / q 。
4、等比数列的前 n 项和为 Sn ,当q ≠ 1 时,Sn = a1×(1 q^n) /(1 q) ;当 q = 1 时,Sn = na1 。
五、等比数列的求和公式1、当公比 q = 1 时,Sn = na1 。
这很好理解,因为每一项都相等,所以前n 项和就是首项乘以项数。
高中数学-等比数列的通项公式及性质
——通项公式及性质
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,
每一项与它前一项的比都等于同一个常数,
则这个数列叫等比数列.
an q an1
பைடு நூலகம்
这个常数叫等比数列的公比,用 q(q 0)
表示
1.数列{an}的通项公式为an 3 2n, 问这个数列是等比数列么?
2.通项公式的推导
a1 a1 a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3 an a1qn1
两个正数(或负数)的等比中项有两个, 它们互为相反数,一正一负数没有等比中 项
2.已知等比数列公比为q,第m项为am , 求第n项
3.已知等比数列{an}中,a5 20 a15 5, 求a20
4.在4和 1 之间插入3个数字,使这5 4
个数构成等比数列,求插入的三个数
an a1q n1
2.通项公式的推导
a2 q, a3 q,a4 q an1 q, an q
a1
a2
a3
an2
an1
共有n 1个式子,将两边分别相乘
an a1
qn1
an
a1qn1
an a1q n1
3.等比中项:如果三个数x,G,y组成等比数 列,则G叫做x和y的等比中项.
G y G2 xy G xy xG
等比数列知识点归纳总结高中
等比数列知识点归纳总结高中等比数列是高中数学中非常重要的一部分。
在学习等比数列时,我们需要掌握一些关键的知识点。
本文将对等比数列的基本概念、通项公式、前n项和以及求和等内容进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指数列中连续两个数之间的比是一个常数的数列。
该常数称为公比,通常用字母q表示。
在等比数列中,首项一般用字母a表示。
二、通项公式通项公式是指通过将等比数列的第n项与首项a和公比q联系起来,可以直接计算得到任意一项的数值。
等比数列的通项公式为:an = a * q^(n-1)其中,an表示等比数列的第n项,a表示首项,q表示公比,n表示项数。
三、前n项和前n项和是指等比数列中前n个数的和。
求等比数列前n项和的公式如下:Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中,Sn表示前n项和。
四、性质与应用1. 若公比q>1,则等比数列呈现出递增的趋势;若0<q<1,则等比数列呈现出递减的趋势。
2. 若公比q>1,则等比数列无上界;若0<q<1,则等比数列无下界。
3. 等比数列常常用于解决与倍数关系有关的问题,如利润增长、人口增长等。
总结:在学习等比数列时,我们需要掌握基本概念、通项公式、前n项和以及性质与应用。
等比数列在解决与倍数关系有关的问题时起到非常重要的作用。
通过理解等比数列的概念和公式,并熟练运用相关的求解步骤,我们可以更好地应对相关问题,提高解题效率。
以上就是对等比数列知识点的归纳总结,希望能对你的学习有所帮助。
在学习过程中,多进行相关的练习和实践,加深对等比数列的理解和掌握。
祝你在学习中取得好成绩!。
高中数学等比数列知识点总结最新7篇
高中数学等比数列知识点总结最新7篇(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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等比数列及其性质-人教版高中数学
知识图谱-等比数列的概念-等比数列的性质与判定-等比数列的前n项和等比数列的概念等比数列的通项公式等比中项等比数列的性质等比数列的判定等比数列的前n项和等比数列前n项和之比等比数列前n项和的变形第03讲_等比数列及其性质错题回顾等比数列的概念知识精讲一. 等比数列的概念一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即:二. 等比数列的通项公式由累积法推导等比数列的通项公式:,将这个式子的等号两边分别相乘得:,即.三. 等比数列的公比的公比为,由等比数列的通项公式易知:1. 对于任意正整数:,.2. 若是递增数列;是递减数列;是常数列.三点剖析一. 注意事项1. 等差数列公比时为摆动数列,符号正负相间,隔项符号一定相同;所以当给定数列某些项的值时,需要判断公比的符号,再确定数列的通项公式;2.等比数列的公比和各项都不为零.二. 方法点拨等比数列项数的设法1. 通项法:设数列的通项公式或.2. 对称法:当等比数列为的项数为奇数时,可设中间的一项为,再以公比为向两边分别设项:;当项数为偶数时,可设中间两项分别为,再以公比为向两边分别设项:三. 必备公式通项公式;公比题模精讲题模一等比数列的概念例1.1、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A、b=3,ac=9B、b=-3,ac=9C、b=3,ac=-9D、b=-3,ac=-9例1.2、已知数列是等比数列,且,,则的公比为()A、B、C、2D、例1.3、已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A、1+B、1-C、3+2D、3-2题模二等比数列的通项公式例2.1、已知等比数列{a n}为递增数列,且=a10,2(a n+a n+2)=5a n+1,则数列a n的通项公式a n=____.例2.2、数列的前项之和为则________.例2.3、下表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第行第列的数为(,,),则等于_____,().,,,…随堂练习随练1.1、公比为等比数列的各项都是正数,且,则().A、2B、4C、5D、7随练1.2、已知等比数列的前三项依次为,,,则______.随练1.3、在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是____.随练1.4、已知等差数列满足:,.若将,,都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为_______.等比数列的性质与判定知识精讲一. 等比中项如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.两个符号相同的非零实数,有两个等比中项,一正一负.二. 等比中项的推广在等比数列中,如果是等比数列的第项,是等比数列的第项,且,公比为,则有;若,则,也就是:;若,则;推广到三项,即,,,,,且;推广到一般形式,只要两边项数一样,且下标和相等,则各项之积相等.三. 等比数列的性质1. 在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,,,为等比数列,公比为.2. 若均为等比数列,且公比分别为,则数列,,,也为等比数列,且公比分别为.三点剖析一. 方法点拨1. 等比数列的判定方法(1)定义法:对于数列,若,则数列是等比数列;(2)等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列;2. 等比数列与对数的结合等比数列中,若,则,相应的,,是等差数列,公差为.题模精讲题模一等比中项例1.1、若等比数列满足则___________.例1.2、公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=()A、1B、2C、4D、8例1.3、已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则的值为____.题模二等比数列的性质例2.1、已知为等比数列,则()B、A、C、例2.2、已知等比数列中,则的值为()A、12B、10C、8D、e例2.3、已知{a n}为等比数列,下面结论中正确的是()A、a1+a3≥2a2B、+≥2C、若a1=a3,则a1=a2D、若a3>a1,则a4>a2题模三等比数列的判定例3.1、数列中,如果(),那么这个数列是()A、公差为的等差数列B、公差为的等差数列C、首项为的等比数列D、首项为的等比数列例3.2、如果数列是等比数列,那么()A、数列是等比数列B、数列是等比数列C、数列是等比数列D、数列是等比数列例3.3、下列一些关于数列的命题:①若既是等差数列,又是等比数列,则一定是常数数列;②若是等比数列,则数列一定也是等比数列;③若满足递推公式,则一定是等比数列;④若的前项和,则一定是等比数列.其中正确的有_____________.随堂练习随练2.1、已知为各项都是正数的等比数列,若,则()A、B、C、D、随练2.2、在等比数列中,则()A、B、C、或D、或随练2.3、已知等比数列满足,,且,则当时,()A、B、C、D、随练2.4、在数列中,,且.(1)求,的值;(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;随练2.5、已知数列是等差数列,;数列的前项和是,且.(1)求数列的通项公式;(2)求证:数列是等比数列.等比数列的前n项和知识精讲一. 等比数列的前项和公式.用错位相减法推导等比数列前项和公式:,等式两边同乘,并将等式左边每一项向后顺移一个位置得:,将这两式相减得:,从而得到等比数列的前项和公式;当时,.二. 等比数列前项和的性质等比数列的前项和可以构成一个等比数列,即,,成等比数列.公比为(为偶数时,)如下图所示:三. 等比数列的前项和公式与指数型函数1. 区别和联系(1)解析式都是指数型;定义域为(2)图像是指数型函数图像上一系列的定义域为点.2. 观察和得;相应的,当数列满足时为等比数列.3. 有指数型函数的性质可得:当时,递减有最大值,当时,递增有最小值;当时,递减有最大值,当时,递增有最小值.三点剖析一. 注意事项特别要注意等比数列前项和公式应分为与两类,当时,当时,,或.尤其,对于的等比数列,当时,,趋近于一个定值.二. 方法点拨对于题目中给出前几项和之间的关系,可以直接把所有都化为与的形式然后解方程,也可以进行等式恒等变形,利用,,成等比数列,直接解得,往往更为简单.题模精讲题模一等比数列的前n项和例1.1、设公比为的等比数列的前项和为,若则例1.2、等比数列{a n}的前n项和为S n,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1-2a n=0,则S5=____.例1.3、在等比数列中则()A、B、C、D、题模二等比数列前n项和之比例2.1、设等比数列的前项和为若则()B、A、C、例2.2、是等比数列,前项和为则____________.例2.3、设是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为则下列等式中恒成立的是()A、X+Z=2YB、Y(Y-X)=Z(Z-X)C、Y2=XZD、Y(Y-X)=X(Z-X)题模三等比数列前n项和的变形例3.1、在等比数列中,,,则公比__________;_________.例3.2、设等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为.若对,有,则的取值范围是()A、B、C、D、随堂练习随练3.1、若等比数列满足,,则公比___________,前项和___________.随练3.2、设,则等于().A、B、C、D、随练3.3、在等比数列{a n}中,a1=2,前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列,则S n等于()A、2n+1-2B、3nC、2nD、3n-1随练3.4、设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),关于数列{a n}有下列三个命题①若{a n}既是等差数列又是等比数列,则a n=a n+1(n∈N*);②若S n=an2+bn(a,b∈R),则{a n}是等差数列;③若S n=1-(-1)n,则{a n}是等比数列;这些命题中,真命题的序号是____.随练3.5、设等比数列的前项和为若求数列的公比.随练3.6、已知是公比为2的等比数列,若,则______;______.自我总结课后作业作业1、在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=()A、33B、72C、84D、189作业2、已知数列1,a,9是正项等比数列,数列1,b1,b2,9是等差数列,则的值为____.作业3、已知等比数列{a n}的公比为正数,且a3•a9=2a52,a2=1,则a1=()A、B、C、D、2作业4、在3和一个未知数间添上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,此未知数是_________.作业5、一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.作业6、已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A、5B、7C、6D、4作业7、在各项均为正数的等比数列中,若,则___________.作业8、已知数列的前项和为,且满足,则=_________;数列的前项和为_____________.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是____.作业10、命题1:若数列的前项和,则数列是等比数列;命题2:若数列的前项和,则数列是等差数列;命题3:若数列的前项和,则数列既是等差数列,又是等比数列;上述三个命题中,真命题有()A、0个B、1个C、2个D、3个作业11、(Ⅰ)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;(Ⅱ)设是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.作业12、各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,则的值为_________,的值为__________.作业13、数列中,设数列的前项和为则_________.设首项为正数的等比数列,它的前项和为80,前项和为6560,且前项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比.。
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等比数列性质
(一)、等比数列的公式
1. 等比数列的定义:
()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2. 通项公式: ()1110n n a a q a q -=⋅≠, 首项:1a ;公比:q
n m n m a a q -=,
3. 等比中项
(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2
A ab =
或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4. 等比数列的前n 项和n S 公式:
(1) 当1q =时, 1n S na =
(2) 当1q ≠时,()
11111n n n a q a a q S q
q --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q
=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数) 5. 等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,都有11(0)n n n n n
a a qa q q a a ++==≠或为常数,⇔{}n a 为等比数列 (2) 等比中项:211n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)⇔{}n a 为等比数列
(3) 通项公式:()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列
(4) 前n 项和公式:()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义:若()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意
(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为
基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;11n n a a q -= 如奇数个数成等差,可设为…,22,,,,a a a aq aq q q
…(公比为q ,中间项用a 表示);
(二). 等比数列的性质
(1) 若(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈,则n m p q a a a a ⋅=⋅.
若2m n p +=, 则2n m p a a a ⋅= 注:12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
(2) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.
(3) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列
(4) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ,2n n S S -,32,n n S S -⋅⋅⋅,成等比数列
(5) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列
注意:以下的性质了解一下就行了。
(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列
(7) 当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q
-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数,底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q
--==-=-⋅=-----, 系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q
(8) ①当1q >时, ②当1q <0<时,
110{}0{}{n n a a a a ><,则为递增数列
,则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><,则为递减数列
,则为递增数列
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q<0时,该数列为摆动数列.。