初一几何——三角形的边角关系(一)

初一几何——三角形的边角关系（一）
【学习目标】
1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。

2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。

3． 学会并掌握双垂直图形。

【知识库】
1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边
2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
【规律探索】
（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2
C ．3∠A ＝2∠1＋∠2
D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2）
变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。

【题型精讲】
重难点一：三角形的面积。

例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ．
例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。

（要求画出草图再求证）
拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：
（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3）
，此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由
重难点二：三角形的三边关系
例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( )
A.1<a <5
B.2<a <6
C.3<a <7
D.4<a <6
例四：已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，确定b 的取值范围。

例五：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。

求证：AD +BD >1
2
(AB +AC )
练习：
1、已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边长，化简|a +b -c |-|a -b -c |
2、已知三角形的三边长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b ＜c ，b =7，则这样的三角形有多少个？
3、已知O 是△ABC 中任意一点，求证：1
2
(AB +
AC
+BC )＜OA +
OB+OC
B
A
C
P
O
B
A
C
拓展训练：1、不等边ΔABC 的两条高分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。

2、如图的△ABC 中，D 、E 为三角形内任意两点，连接BD ，AE ，证明：EA DE BD CA BC +++＞
3、如图、已知直线a 和直线外同侧两点M 、N 。

请在直线a 上找一点P ，使∣PM -PN ∣的值最大，并简要说明理由。

重难点三：三角形的角度计算（建立方程）
例六：已知：如图，∠DAC ＝∠B ，∠ADC ＝115°，则∠BAC ＝______．
例七：锐角三角形中，∠A=2∠B ，求∠B 的取值范围。

例八：已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，则∠A ＝___________
练习：如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，∠BDA =∠BAD ，∠CEA =∠CAE ，∠DAE =3
1
∠BAC ，
求∠BAC 的度数。

拓展训练： 1、（江苏省竞赛题）△ABC 中，高BD 和CE 所在的直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A =60°，求∠BOC 的度数。

★2、△ABC 三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足以下条件：3∠A ＞5∠B ，3∠C ≤2∠B . （1）试找出两组符合条件的∠A ，∠B ，∠C 的度数； （2）满足条件的三角形是什么三角形？说明理由。

重难点四：基本图形五（双垂直图形） 该图形中有哪些相等的角？
例九：如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ， DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C 相等的角的个数是（
） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
例十：如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ， CD 平分∠ACB ，∠HCD =20°，则∠B =_______.
练习：如图，三角形ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ， DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。

拓展延伸：小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论： 在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC ，M 为直线AC 上一点，ME ⊥BC ，E 为垂足，∠AME 的平分线交直线AB 于点F 。

F E
D
A C B
M
E
F
D
A
C
B
M
图① 图② 图③
（1）如图①，M 为边AC 上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________;
（2）如图②，M 为边AC 反向延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________;
（3）如图③，M 为边AC 延长线上一点，则BD 、MF 的位置关系是______________;请你完成（1）（2）（3）三个命题，并从中任选一个进行证明。

D H
B C
A B D A
E
C
C E
D
a M N
F
E D
A
C
B
M。