用二次函数研究斜抛运动
二次函数方程的应用题解析
二次函数方程的应用题解析二次函数方程是高中数学中重要的一部分，它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
本文将从实际问题出发，通过解析具体的应用题，介绍二次函数方程的应用方法和解题思路。
1. 弹射物体的高度计算假设一球从地面上以速度v0垂直上抛，经过时间t后，求球的高度h。
根据物理知识，球的高度h与时间t之间的关系可以用二次函数方程h=-gt^2+vt表示，其中g是自由落体加速度。
解题步骤：（1）确定二次函数的三要素，即开口方向、平移和伸缩等。
（2）将问题中已知的速度v0和时间t代入二次函数方程，解得球的高度h。
2. 投影问题假设有一个斜抛运动，以速度v0沿着夹角α斜抛出去，求物体的水平位移x和垂直位移y。
解题步骤：（1）将水平方向和垂直方向的速度分解，分别为v0cosα和v0sinα。
（2）根据时间t的不同，将x和y分别表达为关于t的函数。
（3）令y=0，求解方程得到物体落地的时间t0。
（4）将t0代入x的函数中，求解物体的水平位移x。
3. 关于顶点的最值问题对于二次函数方程f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标为x0=-b/2a。
（1）最值问题：若a>0，则f(x)在x0处取得最小值，最小值为f(x0)。
（2）最值问题：若a<0，则f(x)在x0处取得最大值，最大值为f(x0)。
通过上述例题，我们不难发现，二次函数方程在解决实际问题中起到了重要的作用。
掌握二次函数方程的应用方法和解题思路，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
总结：二次函数方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
本文从弹射物体的高度计算、投影问题以及关于顶点的最值问题等方面，解析了二次函数方程的应用方法和解题思路。
通过深入理解和练习实际问题的解析，我们可以更好地掌握二次函数方程的应用技巧，提高数学解题能力。
物体的斜抛运动
物体的斜抛运动物体的斜抛运动是指物体在初速度具有水平分量和垂直分量的情况下，受到重力的作用下进行的运动。
斜抛运动是一种常见的物体运动形式，例如抛出的投影物、打出的棒球等都属于斜抛运动。
本文将从斜抛运动的运动规律、公式推导以及实际应用等方面进行探讨。
一、斜抛运动的运动规律在没有考虑阻力的情况下，物体的斜抛运动具有以下几个基本的运动规律：1. 物体的水平速度始终保持不变，不受重力的影响。
这是因为物体水平方向没有外力的作用，根据惯性定律，物体在水平方向上将保持匀速直线运动。
2. 物体的垂直速度受到重力的影响，在运动过程中逐渐增大。
重力将使物体在垂直方向上具有加速度，使垂直速度逐渐增大。
3. 物体的水平位移与水平速度成正比。
根据匀速直线运动的规律，物体在水平方向上运动的距离等于水平速度乘以时间。
4. 物体的垂直位移与时间成二次函数关系。
根据自由落体运动的规律，物体在垂直方向上的位移与时间成二次函数关系。
二、斜抛运动的相关公式推导在斜抛运动中，我们可以通过一些基本的物理公式来描述运动过程。
以下是一些常用的斜抛运动公式推导：1. 水平速度分量公式：$$v_x = v \cdot cos(\theta)$$其中，$$v_x$$为物体的水平速度分量，$$v$$为物体的初始速度，$$\theta$$为物体的抛射角度。
2. 垂直速度分量公式：$$v_y = v \cdot sin(\theta)$$其中，$$v_y$$为物体的垂直速度分量。
3. 时间公式：$$t = \frac{2v_y}{g}$$其中，$$t$$为物体在垂直方向上的运动时间，$$g$$为重力加速度。
4. 最大高度公式：$$h_{max} = \frac{v_y^2}{2g}$$其中，$$h_{max}$$为物体的最大高度。
5. 飞行距离公式：$$d = \frac{v^2 \cdot sin(2\theta)}{g}$$其中，$$d$$为物体的水平飞行距离。
二次函数应用题2
二次函数应用题21、某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点．．．的飞行水平距离x （单位：m ）以、飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m ，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．2、随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为kg a ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为()()10000020100800020<50t a t t ⎧≤≤⎪=⎨+≤⎪⎩，y 与t 的函数关系如图所示．(1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值；(2)求y 与t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本）3、跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠．（1）c 的值为__________；（2）①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；（3）若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．4、作为江苏省菜篮子工程生产基地，我市李堡镇光明村今冬白菜丰收却面临滞销的情况，在海安市政府和融媒体中心的关心和帮助下，各地的订单如雪片般“飞”向光明村，千亩白菜的滞销状况得到较大改善．市政府拟采用水陆联运的方式，派出车队到田间将白菜装车后运往码头再装船销往各地，负责人统计了解装载情况，发现运送到码头的白菜量y （单位：吨）随时间x （单位：小时）的变化情况如图2所示，当010x ≤≤时，y 是x 的二次函数，图象经过(0,100)A ，顶点(10,600)B ；当1012x <≤时，累计数量保持不变．（1）求y 与x 之间的函数解析式；（2）在码头安装了2台传送设备，可将码头上的白菜直接传送到船上，大大提高了工作效率．每台传送设备每小时可传送20吨白菜到船上．码头上等待传送上船的白菜最多时有多少吨？全部白菜都传送完成需要多少时间？5、为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面10m 的点A 和15m 的点B 处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点C 处，水流从C 点射出恰好到达点A 处，且水流的最大高度为16m ，水流的最高点到高楼的水平距离为4m ，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度()m y 与出水点到高楼的水平距离()m x 之间满足二次函数关系．（1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______；（2）待A 处火熄灭后，消防员前进2m 到点D （水流从D 点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B 处，并说明理由；（3）若消防员从点C 前进m t 到点T （水流从T 点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A 处，求请直接写出t 的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）6、将小球（看作一点）以速度1v 竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y （m ）与时间t （s ）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度1v 与（m/s ）时间t （s ）的积，另一部分与时间t （s ）的平方成正比．若上升的初始速度10m /s v =，且当1s t =时，小球达到最大高度．（1）求小球上升的高度y 与时间t 的函数关系式（不必写范围），并直接写出小球上升的最大高度；（2）如图，平面直角坐标系中，y 轴表示小球相对于抛出点的高度，x 轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度2v （m/s ），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y （m ）与时间t （s ）的函数解析式与（1）中的解析式相同．①若25m /s v =，当3s 2t =时，小球的坐标为 ，小球上升的最高点坐标为 ；小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式为 ②在小球的正前方6m 的墙上有一高154m 的靶心（看作点P ），若小球恰好能击中靶心，请直接写出小球的水平速度2v ．7、如图1，BC为地面，AB、AC为一个小山坡，它的高度OA为10米，坡比为1：2，在坡顶有一个自动浇灌装置（其高度忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水柱在与OA的水平距离为6米处达到最高，且距地面的最高距离为13米，（1）求抛物线的解析式；（2）求水柱浇灌的最远点G离地面的高度；（3）如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖整个山坡？8、原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y （m ）与水平距离x （m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a <）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．（1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x （m ）与竖直高度y （m ）的几组对应数据如下：求出y 与x 近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．（2）第二次训练时，y 与x 近似满足函数关系20.080.64 1.6y x x =-++，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？。
二次函数与抛球问题洋葱数学
二次函数与抛球问题洋葱数学摘要：1.二次函数与抛球问题的基本概念2.抛球问题中的关键转化方法3.解题步骤与实例分析4.提高抛球问题解题技巧的方法正文：二次函数与抛球问题一直是数学中的热门话题，它们之间有着紧密的联系。
抛球问题主要涉及到物理、数学和几何等多个方面的知识，其中二次函数起到了关键性的作用。
为了更好地理解和解决抛球问题，我们需要掌握二次函数的基本概念和抛球问题中的关键转化方法。
首先，我们来了解一下二次函数与抛球问题的基本概念。
二次函数是数学中的一种函数形式，它的图像通常为抛物线。
而在抛球问题中，抛物线代表了物体在空中运动的轨迹。
抛球问题可以分为竖直抛球和水平抛球两种情况，它们的解题方法有所不同。
接下来，我们来看看抛球问题中的关键转化方法。
在解决抛球问题时，我们需要将实际问题转化为数学问题，进而运用二次函数的知识进行分析。
具体来说，我们需要将抛球问题中的长度和高度信息转化为坐标问题，这一步是解决抛球问题的关键。
通过建立适当的坐标系，我们可以将复杂的问题简化，更容易找到解决问题的思路。
下面，我们来详细解析解题步骤与实例分析。
以一名男生推铅球为例，根据图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为y = 1/12 * x^2 - 5/3 * x + 10。
我们需要求解铅球推出的水平距离oa的长度。
解题步骤如下：1.将初始高度y0代入关系式，得到y = 1/12 * x^2 - 5/3 * x + 10 - 1/12 * x^2 / 3 * 5/3；2.整理方程，得到x - 8x - 200 = 0；3.求解方程，得到x = 10 或x = -2（舍去）。
最后，我们来谈谈如何提高抛球问题解题技巧。
要想解决抛球问题，除了掌握二次函数的基本知识外，还需要多加练习，熟练掌握各种解题方法。
此外，分析问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，这就需要我们在解题过程中不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
二次函数的解析式推导与应用实践
二次函数的解析式推导与应用实践一、引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将从解析式的推导出发，介绍二次函数的基本形式以及常见的应用实践。
二、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数且a ≠ 0。
在这个形式中，a代表二次函数的开口方向和形状，b 代表平移的位置，c代表二次函数与y轴的交点。
三、二次函数的解析式推导1. 完全平方公式二次函数常常使用完全平方公式来求解。
对于一般式y = ax^2 + bx + c，我们可以将其写成：y = a(x^2 + (b/a)x) + c= a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c= a(x + b/2a)^2 + c - b^2/4a通过完全平方公式，我们将二次函数转化为顶点形式，即y = a(x -h)^2 + k。
其中，顶点坐标为(h, k)，满足h = -b/2a，k = c - b^2/4a。
2. 根的性质二次函数的解析式推导中，根的性质也是重要的一部分。
通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0的根，我们可以推导出二次函数的解析式。
对于一般的二次方程，我们可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)如果该二次方程有两个不相等的实数根，那么二次函数与x轴有两个交点，且开口朝上或朝下；如果二次方程有两个相等的实数根，那么二次函数与x轴有一个交点，开口朝上或朝下；如果二次方程没有实数根，那么二次函数与x轴没有交点。
四、二次函数的应用实践1. 抛体运动二次函数在抛体运动中有着重要的应用。
通过分析自由落体的运动轨迹和抛体的斜抛运动，可以得到二次函数的解析式，并进一步求解抛体的高度、落地时间等问题。
2. 经济学中的需求函数在经济学中，需求函数常常使用二次函数来描述。
二次函数模型在物理中的应用
二次函数模型在物理中的应用在物理的运动学中，匀加速直线运动，自由落体，竖直上抛运动，斜抛运动等中都可以建立一元二次函数的模型解决问题。
在其他的物理问题中也可以转化为二次函数问题。
知识准备：二次函数匀加速直线运动自由落体运动例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？简解：(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。
又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。
∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。
(2)当x=-2.5时，y=2.25。
∴球出手时，他距地面高度是 2.25-1.8-0.25=0.20(米)。
评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。
解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。
①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。
例2、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米， )解：(1) 设二次函数的解析式为，顶点坐标为 (6，5)A(0，2)在抛物线上(2) 当时，， (不合题意，舍去)（米）答：该同学把铅球抛出13.75米.例3：一辆汽车正以的加速度起动前进。
斜抛运动规律的实践研究
斜抛运动规律的实践研究
斜抛运动是近距离空间运动中最简单但又最重要的一类运动形式。
它是一种弹道运动，物体回抛出去，在受重力作用下经过一定路径到达目的地。
它在日常生活中有着广泛的应用，通常用于玩具、飞行器或运动等。
斜抛运动的规律可用数学表达式来描述，当重力作用于物体时，物体的速度变化满足加速度为地心引力的反方向的动能守恒方程。
其中，随着时间的推移，物体的速度变化，距离变化均满足二次函数的关系。
我们利用实验方法，对斜抛运动规律进行了实践研究。
首先，准备了一个长2米，深0.5米的坑，在毕业一个由底部固定不动的小球，上面放置一个等重的小球，两个小球之间拉上一条绳；之后，将上面的小球一次晃动两次，从而使得小球发生反复抛物线运动，使得下面小球跳跃，并以观察者由小球的落点和发射的距离判断斜抛运动的情况。
经过实践研究，我们发现斜抛运动的速度在时间的推移中，是按照二次函数的关系而变化的；在距离的变化上也是按照相同的规律进行变化的。
我们发现，随着时间的推移，物体的加速度越大，它的运动也越快，而斜抛之后落点与发射点越远，说明斜抛运动是有规律可循的。
通过实践研究，我们深刻地认识到，斜抛运动在生活、科学领域中都有重要的应用，是我们探索宇宙的重要工具之一。
因此，我们应当努力深入研究，了解斜抛运动的规律，为我们日常生活、对宇宙科学的探究作出更大的贡献。
二次函数的应用举例
二次函数的应用举例在数学中，二次函数是一类常见的函数形式，其表达式一般为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为零。
二次函数在实际应用中具有广泛的应用，本文将介绍二次函数的几个常见应用举例。
1. 物体的抛射运动物体的抛射运动是二次函数的典型应用之一。
当一个物体被斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数表示。
例如，当某个物体以一定的初速度水平抛出时，其高度与飞行时间之间的关系可以用二次函数模型来描述。
具体而言，该模型为y = -16t^2 + vt + h，其中t为时间（单位为秒），v为初速度（单位为米/秒），h为抛出高度（单位为米）。
2. 曲线的绘制二次函数可以绘制出各种曲线形状，从而在绘画、设计等领域中被广泛应用。
例如，在建筑设计中，二次函数常被用于绘制圆顶建筑、拱桥等曲线形状。
在绘画中，二次函数可以绘制出各种曲线，如抛物线、椭圆等，用于美化作品或表达特定的艺术效果。
3. 利润的最大化在经济学中，二次函数常被用于研究企业的利润最大化问题。
根据经济学原理，企业在销售产品时，需考虑生产成本和销售价格之间的关系，以实现最大利润。
假设某企业的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为生产数量，a、b、c为常数。
则该企业的利润函数为P(x) =R(x) - C(x)，其中R(x)为销售收入函数。
通过求解利润函数的极大值，可以确定最佳的生产数量，从而实现利润的最大化。
4. 投射物体的落地点计算二次函数还可以用于计算投射物体的落地点。
例如，当一个物体从一定高度自由落体时，它的落地点（水平方向的距离）可以用二次函数模型来计算。
具体而言，该模型为d = v0t + 1/2at^2，其中d为落地点距离（单位为米），v0为初速度（水平方向，单位为米/秒），t为时间（单位为秒），a为重力加速度（单位为米/秒^2）。
总结起来，二次函数在物理学、数学、经济学等领域具有广泛的应用。
通过物体的抛射运动、曲线的绘制、利润的最大化以及落地点的计算等实例，我们可以看到二次函数在实际问题中的重要性。
解析二次函数在物理力学中的应用
解析二次函数在物理力学中的应用一、引言二次函数是数学中一个重要的概念，它在物理力学中有着广泛的应用。
通过对二次函数进行解析，可以帮助我们深入了解和描述许多自然现象和物理量之间的关系。
本文将以几个具体例子为基础，介绍二次函数在物理力学中的应用。
二、自由落体运动自由落体运动是研究重力作用下质点自由下落情况的经典案例。
而这种运动可以被建模为一个使用二次函数来表示坐标随时间变化关系的问题。
考虑抛体竖直上抛或者上竖直投射两类问题，在不考虑空气阻力等外因素影响时，重力加速度恒定，取向下为正方向，则可得到以下形式：y = v0t - 1/2gt^2其中y是高度（垂直方向位移），v0是初速度（初始化时朝垂直方向）,g是重力加速度（单位时间内速度增长率）。
此处就涉及到了一个二次函数表达式来描述抛体高度随时间变化而产生改变。
这个模型可以帮助我们计算出距离地面的高度、速度和时间之间的关系。
同时，通过计算二次函数的顶点，可以得到抛体达到最大高度所需的时间。
三、弹簧振子弹簧振子是另一个常见物理实验，在该实验中，一个质量与悬挂在其下的弹簧相连，并且在没有外力作用时会产生周期性运动。
弹簧振子可以被建模为简谐运动，在平衡位置附近发生往复运动。
而这种运动也可以使用二次函数来表示。
对于简谐振动而言，位移随时间变化满足以下形式：x = A * cos(ωt + φ)其中A是最大位移（即波幅），ω是角频率（决定了循环的快慢）,φ是初相位(constant phase)，t代表时间。
注意此处使用了余弦函数来描述物体随时间变化所处位置。
通过解析这个二次函数模型,我们不仅能够预测并计算出物体在任何给定时刻的位置和相关参数值(如速度和加速度等)，还能够优化实验设计以及评估系统稳定性等因素。
四、喷涌流量当我们需要描述一种粘稠流体从开口或者管道中射出时，可以使用喷涌流量的概念。
在物理力学中，我们经常遇到需要计算流体从孔洞中喷射的速度和高度等相关参数的问题。
二次函数在平抛运动问题中的妙用
二次函数在平抛运动问题中的妙用平抛运动是一种普遍存在的物体运动的现象，在自然界中尤为常见，可以准确地用二次函数来描述。
物体抛出后，不仅因地球引力的作用以及空气的阻力而运动，它的运动轨迹和运动规律可以用数学方法解释。
二次函数在平抛运动问题中是一种多方位的研究。
它是由受力作用产生的运动，通过推导出轨迹方程，可以将其定性解释为x-y-t运动问题。
由此可见，二次函数在平抛运动问题中有着很大的优势。
首先，二次函数可以表示物体在x-y-t间的相互关系，因此可以表示物体的抛掷轨迹。
当物体受力运动时，其运动轨迹也可以用二次函数来描述，这种物体的运动轨迹可以分为两部分：一部分是物体上升时的轨迹，另一部分是物体下降时的轨迹。
并且，运动轨迹的变化也可以用二次函数来说明，通过对比，可以分析出物体在上升和下降运动中的运动情况。
其次，二次函数可以用来研究物体在上升和下降轨迹中的位置、速度、时间和加速度的变化。
当物体受力抛掷时，便可以利用二次函数描述物体的上升路径和下降路径，并分析物体运动的时间、位置、速度和加速度等变化，从而研究物体的运动规律，对物体的抛掷更加清楚。
最后，二次函数还可以用来研究物体受力抛掷后的运动情况。
当物体受力抛掷时，其速度会受到地心引力、空气阻力、摩擦力等多种因素的作用，而这些作用会影响物体受力抛掷后的运动情况。
由于二次函数能够表达物体在x-y-t间的相互关系，可以分析出物体受力抛掷后的运动轨迹，从而探究物体受力抛掷后的运动情况。
综上所述，二次函数在平抛运动问题中各方面的优势和妙用，让我们发现了令人惊奇的物理现象，进而理解物体的抛掷行为及其运动律。
因此，二次函数在平抛运动中是一个多方位的研究，而它的优势和妙用也使它成为理解物体运动规律的一种重要工具。
斜抛运动的轨迹方程
斜抛运动的轨迹方程
斜抛运动是学科物理中非常重要的内容，它也是飞行器设计和空间研究中常用的抛物运动。
斜抛运动指的是一个物体在受到重力加速度的作用时，发射角度不同，沿着一定角度数值
给定的轨道落下或上升，其中最重要的是保持发射、斜抛角度及其初速度不变的情况下，
该物体能够沿着抛物线运动的运动轨迹。
斜抛运动的轨迹方程一般由时间的二次函数给出，它的形式可表示为：
y=at^2+bt+c;
这里，a是重力加速度，b是物体初速度的横向分量，c是物体发射时的高度。
此外，x的
变化与时间的变化有关，即：
x=vt+x0;
这里，v表示物体的纵向初速度，x0表示物体发射时的横坐标。
斜抛运动能够帮助我们定量分析飞行器设计和空间探索中物体的飞行轨迹，并能够帮助我
们掌握其轨迹特性。
斜抛运动的轨迹方程为我们提供了便利，不仅可以快速分析出物体的
抛物线运动轨迹，而且还可以很容易的计算出物体落下或上升的位置及其速度等。
从以上可以看出，斜抛运动是物理领域中非常重要的内容，它的轨迹方程为我们提供了分
析飞行器设计和空间探索中物体的轨迹特性提供了非常重要的依据，对于研究物理领域也
有相当重要的意义。
二次函数的日常应用实例
二次函数的日常应用实例二次函数作为高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍二次函数在现实生活中的几个常见应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 物体运动的轨迹分析二次函数可以描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当一个投掷物体从地面上抛出时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
假设一个物体从地面上以初始速度v向上抛出，重力加速度为g。
物体的高度h 可以用二次函数h(t) = -0.5gt^2 + vt + h_0来表示，其中t表示时间，h_0表示初始高度。
通过解析二次函数，可以分析物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等参数。
2. 抛物线形状的建筑设计在建筑设计中，抛物线形状经常被应用于拱门、扶手、悬臂等结构中。
这些结构的形状可以用二次函数来描述。
通过对二次函数进行合适的平移、缩放和旋转，可以根据设计要求来创建出各种形态的抛物线结构。
抛物线结构不仅具有美观的外观，还具有稳定性和均衡负荷的优势。
3. 经济学中的消费模型在经济学中，二次函数常常被用来建立消费模型，帮助研究者了解人们的消费行为。
例如，假设一个人的收入为x，他的消费支出为y。
那么，他的消费行为可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来模拟。
通过研究二次函数的系数a、b、c，可以分析消费者的倾向、边际消费率以及其对价格变化的敏感度等信息，为企业和政府制定经济政策提供指导。
4. 高精度测量中的误差修正在科学实验和测量中，我们经常需要对测量误差进行修正。
二次函数被广泛应用于误差修正的算法中。
假设我们进行一次测量，得到的结果为y，而真实值为x。
我们可以构建一个二次函数y = ax^2 + bx + c 来表示测量值与真实值之间的关系。
通过测量多组数据并利用最小二乘法求解系数a、b、c，我们可以对测量结果进行校正，提高测量精度。
5. 经典力学中的力学模型二次函数在经典力学中也有重要的应用。
例如，胡克定律描述了弹簧的弹性变形与施加力之间的关系。
1.3 研究斜抛运动
么是射程，却在不自觉地应用，比如青蛙跳
跃时，常常取45°角，以便跳得更远。 θ =60° θ =45°
θ =30°
18
五、理想弹道曲线与实际弹道曲线
理想弹道 曲线 实际弹道 曲线
19
【例题1】做斜抛运动的物体( B ) A．水平分速度不变 B．加速度不变 C．在相同的高度处有相同的速度 D．经过最高点时，瞬时速度为零
飞行时间t＝ 2v2 =2.4 s g 水平距离s＝v1·t＝38.4 m.
2 v2 (2)最大高度h＝ ＝7.2 m. 2g
26
1.斜抛运动是曲线运动，可以把斜抛运动分解成水平方 向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
2.斜抛运动的射高、射程跟初速度和抛射角有关。
27
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良 药，音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一 切。祝天天快乐！
线上，也不垂直时，物体一定做斜抛运动
23
3．斜抛运动与平抛运动相比较，相同的是( A ) A．都是匀变速曲线运动 B．平抛是匀变速曲线运动，而斜抛是非匀变速曲线运动 C．都是加速度逐渐增大的曲线运动
D．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛是速度一直
减小的曲线运动
24
4.一足球运动员开出角球，球的初速度是20 m/s，初
28
速度方向跟水平面的夹角是37°.如果球在飞行过程
中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，g取 10 m/s2，求： (1)落点与开出点之间的距离； (2)球在运动过程中离地面的最大距离．
25
解析：(1)将球的初速度进行分解，其水平分量v1＝vcosθ ＝16 m/s，竖直分量为v2＝vsinθ＝12 m/s
X=voxt
求射程
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。
斜抛运动
斜抛运动分斜上抛和斜下抛（由初速度方向确定）两种，下面以斜上抛运动为例讨论．（1）特点：加速度，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角斜向上，为竖直上抛或竖直下抛，为平抛运动．（2）常见的处理方法：①将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，这样有由此可得如下特点：a．斜向上运动的时间与斜向下运动的时间相等：b．从轨道最高点将斜抛运动分为前后两段具有对称性，如同一高度上的两点，速度大小相等，速度方向与水平线的夹角大小相等．②将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解．③将沿斜面和垂直斜面方向作为x、y轴，分别分解初速和加速度后用运动学公式解题．五、根据运动的独立性原理来解斜抛运动根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解方法．如图所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能超过B点．问小球以怎样的角度抛出，才能使最小？先用最一般的坐标取法：以A点作为原点，水平方向（AC方向）作为x轴，竖直方向作为y轴．小球的运动方程为可解得①这是一个有关和的函数关系，需要求为多少时有极小值．将①式改写成即②这是一个有关的一元二次方程，其判别式为②式的解为当太小时，,②式无解，说明在此情况下小球不可能越过BC墙，当时，②式有解，此时的便是小球能越过墙顶的最小的。
（因为如果再大，便会有两个值都能经过墙顶）．取作为未知数，可以解得舍去不合理解，此时这种解法的数学要求较高。
换一种坐标取法：以AB方向作为x轴（如图）。
这样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了，和g都要正交分解到x、y方向上去。
小球的运动方程为当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得③③式代入①式：当最大，即时，有极小值。
比较两种解法的，可知两种解法的结果是相同的。
用二次函数研究斜抛运动
用二次函数研究斜抛运动斜抛的轨迹是标准的抛物线，因此用二次函数来研究斜抛运动的规律自然是十分合适的。
但是因为二次函数是纯数学的知识，所以在物理上却很少用二次函数来研究斜抛运动。
下面就用二次函数来研究斜抛运动，试着打破学科间的隔阂。
一、知识准备1、 自由落体的位移thg 221=2、 自由落体的下落时间gh t2=3、 斜抛初速度的水平速度θc o s 0v v=水平4、 斜抛初速度的竖直速度θs i n 0v v=竖直5、 上抛运动的位移tv y g t 221-=二、斜抛运动的二次函数的表达式我们知道斜抛运动的竖直方向上是上抛运动，在水平方向上是匀速直线运动。
其中竖直位移是：gt t v y 21-=竖直竖直水平位移是：t v x θcos 0=水平 把t x v θcos 0=代入t v g t y 2021sin -=θ得：xv v xv v g x g x y 222200cos )cos (2tan 021cos sin θθθθθ-=-⨯=即： x g y xv θθtan 2222cos +-=∵v、g 、θ为常量，令v g 22cos 2θa =，b =θtan则bx ay x+-=2从数学角度来看，恰好是开口向下的经过原点的抛物线。
另：θtan 恰好是初速度直线的斜率，也就是抛物线原点的切线方程的斜率。
三、斜抛运动的规律 1、 斜抛运动的射高对于斜抛运动的表达式：x g y xv θθtan 2222cos +-=，求出其极值即是斜抛运动的射高公式：由二次函数的知识可知：当abx 2-=时，y 有极值。
其中0222cos <-=v g a θ，∴y 有最大值即：当vv v ggg x 2222222sin tan )2(2tan cos cos θθθθθ==-⨯-==y maxvv gv v ggg222222222sin tan 22sin )22sin (cos θθθθθ=⨯+-即：v Yg2022sin θ=另外：对于含有参数t 的二次函数：t v g t y 2021sin -=θ求极值，也可求出射高公式：当gg v v tθθsin )21(2sin 0=-⨯-=时，=y maxv gv v v g g g 22202021sin sin sin )sin (θθθθ=-⨯ 即：v Yg2022sin θ=2、 斜抛运动的射程由1得：当v gx 2022sin θ=时，=y maxvg 2022sin θ=。
二次函数在平抛运动问题中的妙用
二次函数在平抛运动问题中的妙用在研究物体运动的问题时，一次函数是运用最多的函数之一，但是在一些特殊情况下，二次函数也有其重要的应用。
本文将主要介绍二次函数在平抛运动问题中的妙用，并且将详细讨论二次函数对平抛运动问题的影响、理论和实践方面的应用以及可能存在的问题。
首先，让我们了解一下什么是平抛运动问题以及与之相关的基本物理概念。
所谓的平抛运动，是指一个物体从特定的位置开始受重力、空气阻力、摩擦力等外力的作用，从而在水平面上运动的过程。
在定义这一过程时，首先要明确它的初始速度、初始高度和受力环境，然后根据与运动相关的力学公式建立相应的方程，用来描述物体的运动轨迹。
在平抛运动问题中，二次函数有很多应用，最典型的就是解决物体的落点问题。
如果有物体以一定的速度发射，经过抛物线的轨迹后，其落点的位置可以用二次函数来求解，这也是平抛运动问题最常用的方法。
另外，二次函数还可以用来描述物体在抛物线运动轨迹中某一时刻的速度、加速度等参数。
以抛物线为例，切线代表的是物体在抛物线上某一点的切线，可以用二次函数来求解，并且其斜率也可以用二次函数中的导数来求解，比如物体某一时刻的速度可以用二次函数的一阶导数求解，物体某一时刻的加速度可以用二次函数的二阶导数求解。
此外，二次函数也可以用来研究平抛运动中的抛物线面积问题。
据物理学家研究得出，物体运动的抛物线面积受各种外力的影响而不断变化，这也就意味着抛物线面积的变化也可以用二次函数来表示，从而分析抛物线面积的变化原因，以及物体运动状态如何改变才能使抛物线面积变化。
最后，在实际应用中，平抛运动问题中的二次函数还可以用来解决运动轨迹规划的问题，比如发射物体的运动轨迹，以及快速取得某一位置的最佳发射角度、发射速度等，这些都可以用二次函数来解决。
综上所述，二次函数在平抛运动问题中发挥了重要作用，可以用来求解物体落点问题，描述物体在抛物线运动轨迹中某一时刻的速度、加速度，研究平抛运动中的抛物线面积问题，以及解决运动轨迹规划的问题。
二次函数在平抛运动问题中的妙用
二次函数在平抛运动问题中的妙用平抛运动是力学中经典的问题，它是定义在某个给定的受力和初始条件下，形式上以椭圆形轨迹作为运动轨迹的运动类型。
二次函数作为平抛运动受力时间与位置关系的数学表示，是力学中的重要实例。
平抛运动中的二次函数的妙用主要体现在以下几点：第一，二次函数可以用来推理平抛运动中的物理定律。
根据牛顿运动定律，力学系统中守恒的物质的运动，其运动轨迹是由外力在实际时间和位置间的关系表示的。
而外力的关系可以用二次函数来表示。
因此，任何一种力学系统中守恒物质的运动，其轨迹都可以用一个二次函数来表达。
第二，二次函数可以用来表示平抛运动的轨迹。
根据牛顿运动定律，当物体受外力的作用时，物体的运动轨迹可以用二次函数来表示。
因此，平抛运动的轨迹可以用二次函数来表示，这样就可以快速求出物体在各时刻的位置，从而有效求出物体运动的轨迹。
第三，应用二次函数，可以有效求出平抛运动中物体的位置和速度。
物体在平抛运动中，其位置和速度是随时间变化的，并且位置和速度之间存在一定的关系，这些关系可以通过二次函数来表达。
根据这种关系，可以用二次函数方程求出平抛运动中物体的位置和速度变化关系，从而计算出物体在各时刻的位置和速度，有效解决平抛运动问题。
最后，二次函数还可以用于有限时间内求解平抛运动问题。
由于二次函数能够有效表达力学问题中的时间与位置之间的关系，因此可以用二次函数求解有限时间内平抛运动问题，比如求物体在某一瞬间的位置或是求物体在某一段时间内的位置变化等。
综上所述，二次函数是力学中重要的概念，在平抛运动问题中二次函数的妙用尤为显著，可以有效推理物体运动轨迹和快速求出物体的位置和速度，以及计算有限时间内的运动情况等，因此对于力学研究尤其是平抛运动问题的研究有着重要的意义。
斜抛运动轨迹方程式推导
斜抛运动轨迹方程式推导引言斜抛运动是物体在抛出时具有初速度和初角度的情况下进行的运动。
在斜抛运动中，物体在水平方向上具有匀速直线运动，在竖直方向上具有自由落体运动。
本文将通过推导斜抛运动的轨迹方程式，深入探讨斜抛运动的特点和相关公式。
斜抛运动的基本概念斜抛运动是一个二维运动，物体同时具有水平方向和竖直方向上的运动。
在斜抛运动中，物体的速度可以分解为水平速度和竖直速度两个分量。
水平速度恒定不变，竖直速度则受到重力的影响。
斜抛运动的轨迹可以看作是一个抛物线。
物体的抛出点和落地点在水平方向上的位置相同，但在竖直方向上的位置不同。
斜抛运动的轨迹方程式我们假设物体的初速度为v0，抛出角度为θ，重力加速度为g。
在水平方向上，物体的速度恒定为v0cos(θ)。
在竖直方向上，物体受到重力的加速度g的作用，速度会逐渐增大。
在斜抛运动中，物体的位置可以用水平方向和竖直方向上的位移表示。
设物体在水平方向上的位移为x，在竖直方向上的位移为y。
根据基本的运动学公式，可以得到物体在水平方向上的位移和竖直方向上的位移分别为：x=v0cos(θ)ty=v0sin(θ)t−12gt2其中，t为运动的时间。
我们可以将上述两个方程联立，解得t。
首先，将x代入y的方程中，得到：y=tan(θ)x−g2v02cos2(θ)x2这是一个关于x的二次函数，表示物体在斜抛运动中的轨迹。
斜抛运动的轨迹特点1.抛出角度的不同会导致物体的轨迹不同。
当抛出角度为45度时，物体的水平位移和竖直位移相等，轨迹呈对称的抛物线。
当抛出角度小于45度时，物体的水平位移大于竖直位移，轨迹较扁平。
当抛出角度大于45度时，物体的水平位移小于竖直位移，轨迹较狭长。
2.初速度的不同也会影响物体的轨迹。
初速度越大，物体的轨迹越远；初速度越小，物体的轨迹越近。
3.重力加速度的影响使得物体的轨迹向下凹陷，轨迹的最高点位于抛出点和落地点的中间。
斜抛运动的应用斜抛运动在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
用二次函数研究斜抛运动
用二次函数研究斜抛运动斜抛的轨迹是标准的抛物线，因此用二次函数来研究斜抛运动的规律自然是十分合适的。
但是因为二次函数是纯数学的知识，所以在物理上却很少用二次函数来研究斜抛运动。
下面就用二次函数来研究斜抛运动，试着打破学科间的隔阂。
一、知识准备1、 自由落体的位移thg 221=2、 自由落体的下落时间gh t2=3、 斜抛初速度的水平速度θc o s 0v v =水平4、 斜抛初速度的竖直速度θs i n 0v v=竖直5、 上抛运动的位移tv y g t 221-=二、斜抛运动的二次函数的表达式我们知道斜抛运动的竖直方向上是上抛运动，在水平方向上是匀速直线运动。
其中竖直位移是：gt t v y 21-=竖直竖直水平位移是：t v x θcos 0=水平 把t x v θcos 0=代入t v g t y 2021sin -=θ得：xv v xv v g x g x y 222200cos )cos (2tan 021cos sin θθθθθ-=-⨯=即： x g y xv θθtan 2222cos +-=∵v、g 、θ为常量，令v g 22cos 2θa =，b =θtan则bx ay x+-=2从数学角度来看，恰好是开口向下的经过原点的抛物线。
另：θtan 恰好是初速度直线的斜率，也就是抛物线原点的切线方程的斜率。
三、斜抛运动的规律 1、 斜抛运动的射高对于斜抛运动的表达式：x g y xv θθtan 2222cos +-=，求出其极值即是斜抛运动的射高公式：由二次函数的知识可知：当abx 2-=时，y 有极值。
其中0222cos <-=v g a θ，∴y 有最大值即：当vv v ggg x 2222222sin tan )2(2tan cos cos θθθθθ==-⨯-==ymaxv v gv v ggg 222222222sin tan 22sin )22sin (cos θθθθθ=⨯+-即：vYg222sinθ=另外：对于含有参数t 的二次函数：t v g t y 2021sin -=θ求极值，也可求出射高公式：当gg v v tθθsin )21(2sin 0=-⨯-=时，=y maxv gv v v g g g 20222021sin sin sin )sin (θθθθ=-⨯即：vYg222sinθ=2、 斜抛运动的射程由1得：当vgx 222sin θ=时，=ymax vg222sin θ=。
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用二次函数研究斜抛运动
斜抛的轨迹是标准的抛物线，因此用二次函数来研究斜抛运动的规律自然是十分合适的。
但是因为二次函数是纯数学的知识，所以在物理上却很少用二次函数来研究斜抛运动。
下面就用二次函数来研究斜抛运动，试着打破学科间的隔阂。
一、知识准备
1、 自由落体的位移
t
h
g 221=
2、 自由落体的下落时间
g
h t
2=
3、 斜抛初速度的水平速度
θc o s 0v v
=水平
4、 斜抛初速度的竖直速度
θs i n 0v v
=竖直
5、 上抛运动的位移
t
v y g t 2
21
-=
二、斜抛运动的二次函数的表达式
我们知道斜抛运动的竖直方向上是上抛运动，在水平方向上是匀速直线运动。
其中竖直位移是：
gt t v y 2
1
-
=竖直竖直
水平位移是：t v x θcos 0=水平 把t x v θcos 0=代入t v g t y 2
02
1sin -=θ得：
x
v v x
v v g x g x y 2
2
2
2
00cos )cos (
2tan 02
1
cos sin θθθθθ
-
=-⨯=
即： x g y x
v θθtan 22
2
2
cos +-
=
∵
v
、g 、θ为常量，令v g 2
2
cos 2θa =，b =θtan
则bx a
y x
+-=2
从数学角度来看，恰好是开口向下的经过原点的抛物线。
另：θtan 恰好是初速度直线的斜率，也就是抛物线原点的切线方程的斜率。
三、斜抛运动的规律 1、 斜抛运动的射高
对于斜抛运动的表达式：x g y x
v θθtan 22
2
2
cos +-=，求出其极值即是斜
抛运动的射高公式：
由二次函数的知识可知：当a
b
x 2-=时，y 有极值。
其中022
2
cos <-
=v g a θ，∴y 有最大值
即：当v
v v g
g
g x 2
2
2
2
2
22sin tan )
2(2tan cos cos θθθθθ
=
=-
⨯-
=
=y max
v
v g
v v g
g
g
2
2
2
2
2
2222sin tan 2
2sin )
22sin (cos θ
θθθθ=⨯
+-
即：
v Y
g
20
2
2sin θ=
另外：对于含有参数t 的二次函数：t v g t y 2
02
1sin -
=
θ求极值，也可求出射高公式：当
g
g v v t
θθ
sin )2
1(2sin 0
=-
⨯-
=时，
=y max
v g
v v v g g g 2
2
2
02021sin sin sin )sin (θθθθ=-⨯ 即：
v Y
g
20
2
2sin θ=
2、 斜抛运动的射程
由1得：当v g
x 20
22sin θ
=
时，=y max
v
g 20
2
2sin θ=。
由对称性可得射程公式：v
v X
g
g
2
2
02sin 22sin 2θθ=
⨯
=
3、 斜抛运动的飞行时间
对于二次函数t v g t y 2
02
1sin -=θ求极值可知：当y 有极值时，g
v t θsin 0
=
∴ 由对称性可知：斜抛运动的飞行时间为：
v t T g
sin 22θ=
=
4、 斜抛运动的射高与射程比
在二次函数抛物线的研究中，如图：我们知道：图像与x 轴的两交点分别是方
程02
=++c bx a
x
的两根。
极值为
ac b 42
-
射高与射程之比实质上是极值与图象在x 轴的截距之比。
在斜抛运动中，0=c ，极值为：a
b
42
-
，
=
x 2a
b a
b b
-
=--22
∴
b a
b a b X
Y 41
42
=--= 而斜抛运动的二次函数表达式为：
x g y x
v θθtan 22
2
2
cos +-
= 其中θtan =b
∴
θtan 4
1
=X
Y 四、斜抛运动中的任一时刻
t
的位移
由斜抛运动的二次函数表达式t v g t y 202
1sin -
=θ，代入相应的t 值就可以求出相应的竖直位移。
同理代入：t v x
θcos 0=水平
就能求相应的水平位移。
二者
合成即得合位移。
即：
)
2
1sin ()
cos (2
002
2
2
2
t g t v
t v y
x x -+=
+
=θθ水平合
五、斜抛运动中的任一时刻的速度
由斜抛运动的水平速度公式得：θcos 0v v
=水平
，gt v v -=θsin 0竖直，代入相
应的
t
值就能求出竖直速度。
二者合成即得合速度。
即：
)
sin ()cos (002
22
2
gt v v v v
v
-+=
+=
θθ竖直水平
六、斜抛运动中速度与位移偏转角的关系
1、 斜抛运动中位移偏转角ϕ
θ
θθθϕcos 21sin cos 21sin tan 0
0020v t v y gt t
g t -
=-
=
=
水平
2、 斜抛运动中速度偏转角α
θ
θαcos sin tan 0
0v v v
v gt -=
=
水平
竖直 3、 二者的关系：
gt gt gt gt gt gt v v v v v v v 2cos 21sin 21sin cos sin cos 2
1sin tan tan 0000000-+
=--
=--
=θθθθ
θθθαϕ。