用二次函数研究斜抛运动

用二次函数研究斜抛运动

斜抛的轨迹是标准的抛物线，因此用二次函数来研究斜抛运动的规律自然是十分合适的。但是因为二次函数是纯数学的知识，所以在物理上却很少用二次函数来研究斜抛运动。

下面就用二次函数来研究斜抛运动，试着打破学科间的隔阂。 一、知识准备

1、 自由落体的位移

t

h

g 221=

2、 自由落体的下落时间

g

h t

2=

3、 斜抛初速度的水平速度

θc o s 0v v

=水平

4、 斜抛初速度的竖直速度

θs i n 0v v

=竖直

5、 上抛运动的位移

t

v y g t 2

21

-=

二、斜抛运动的二次函数的表达式

我们知道斜抛运动的竖直方向上是上抛运动，在水平方向上是匀速直线运动。

其中竖直位移是：

gt t v y 2

1

-

=竖直竖直

水平位移是：t v x θcos 0=水平 把t x v θcos 0=代入t v g t y 2

02

1sin -=θ得：

x

v v x

v v g x g x y 2

2

2

2

00cos )cos (

2tan 02

1

cos sin θθθθθ

-

=-⨯=

即： x g y x

v θθtan 22

2

2

cos +-

=

∵

v

、g 、θ为常量，令v g 2

2

cos 2θa =，b =θtan

则bx a

y x

+-=2

从数学角度来看，恰好是开口向下的经过原点的抛物线。

另：θtan 恰好是初速度直线的斜率，也就是抛物线原点的切线方程的斜率。

三、斜抛运动的规律 1、 斜抛运动的射高

对于斜抛运动的表达式：x g y x

v θθtan 22

2

2

cos +-=，求出其极值即是斜

抛运动的射高公式：

由二次函数的知识可知：当a

b

x 2-=时，y 有极值。 其中022

2

cos <-

=v g a θ，∴y 有最大值

即：当v

v v g

g

g x 2

2

2

2

2

22sin tan )

2(2tan cos cos θθθθθ

=

=-

⨯-

=

=y max

v

v g

v v g

g

g

2

2

2

2

2

2222sin tan 2

2sin )

22sin (cos θ

θθθθ=⨯

+-

即：

v Y

g

20

2

2sin θ=

另外：对于含有参数t 的二次函数：t v g t y 2

02

1sin -

=

θ求极值，也可求出射高公式：当

g

g v v t

θθ

sin )2

1(2sin 0

=-

⨯-

=时，

=y max

v g

v v v g g g 2

2

2

02021sin sin sin )sin (θθθθ=-⨯ 即：

v Y

g

20

2

2sin θ=

2、 斜抛运动的射程

由1得：当v g

x 20

22sin θ

=

时，=y max

v

g 20

2

2sin θ=。

由对称性可得射程公式：v

v X

g

g

2

2

02sin 22sin 2θθ=

⨯

=

3、 斜抛运动的飞行时间

对于二次函数t v g t y 2

02

1sin -=θ求极值可知：当y 有极值时，g

v t θsin 0

=

∴ 由对称性可知：斜抛运动的飞行时间为：

v t T g

sin 22θ=

=

4、 斜抛运动的射高与射程比

在二次函数抛物线的研究中，如图：我们知道：图像与x 轴的两交点分别是方

程02

=++c bx a

x

的两根。极值为

ac b 42

-

射高与射程之比实质上是极值与图象在x 轴的截距之比。

在斜抛运动中，0=c ，极值为：a

b

42

-

，

=

x 2a

b a

b b

-

=--22

∴

b a

b a b X

Y 41

42

=--= 而斜抛运动的二次函数表达式为：

x g y x

v θθtan 22

2

2

cos +-

= 其中θtan =b

∴

θtan 4

1

=X

Y 四、斜抛运动中的任一时刻

t

的位移

由斜抛运动的二次函数表达式t v g t y 202

1sin -

=θ，代入相应的t 值就可以求出相应的竖直位移。同理代入：t v x

θcos 0=水平

就能求相应的水平位移。二者

合成即得合位移。

即：

)

2

1sin ()

cos (2

002

2

2

2

t g t v

t v y

x x -+=

+

=θθ水平合