张角定理

张角定理
在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。

那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

分角定理
在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

斯坦纳—莱默斯定理
如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。

求证：AB=AC。

证法①：（斯坦纳原证) 如图1，假设AB>AC．
则∠BEC>∠BDC (1)
在△BCE与△CBD中，
斯坦纳原证
∵BD=CE，
BC公共，∠BCE>∠CBD，
∴BE>CD．
作平行四边形BDCF，连接EF．
∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．
∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．
∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)
(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故AB=AC．
证法②：(海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874）)
作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC
∵BD=EC，
∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.
示意图
设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，
∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CDF，
∵2α+2β<180°,
∴α+β<90°，
∴∠FBC=∠CDF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.
设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD
连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，
∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC.
证法③
设二角的一半分别为α、β
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0
∴α=β,∴AB=AC.
证法④
用张角定理：
2cosα/BE=1/BC+1/AB
2cosβ/CD=1/BC+1/AC
若α>β 可推出AB>AC矛盾！
若α<β 可推出AB <AC矛盾！
所以AB=AC
梅涅劳斯定理
证明一
过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则
证毕
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则
两式相乘得
西木松定理
证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.
易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆）
在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内∠PFE=∠PCE
②而∠ACP+∠PCE=180°
③∴∠DFP+∠PFE=180°④即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由
④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明一
证明二：
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于
BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和
P、M、C、
L分别四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MLP= ∠MCP.
故A、B、P、C四点共圆。

若A、P、B、C四点共圆，则
∠NBP= ∠MCP。

因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，
有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MCP
= ∠MLP.
故L、M、N三点共线。

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。

[1] 根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD
蝴蝶定理
方法一（霍纳证法）
证：
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，
容易证明△ESD∽△CSF，
霍纳证法∴ES/CS=ED/FC，
根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2，
∴ES/CS=EL/CT，
又∵∠E=∠C，
∴△ESL∽△CST，
∴∠SLN=∠STM，
∵S是AB的中点所以OS⊥AB，
∴∠OSN=∠OLN=90°，
取OM中点X，
在Rt△MTO和△OSM中，
TX=OX=MX=SX，
∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）。

同理，O，T，M，S四点共圆，
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，
∴∠SON=∠SOM，
∵OS⊥AB，
∴MS=NS。

证毕。

方法二
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。

类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。