弦切角定理的证明

弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°===∠aco+∠aoc,所以∠acd=∠aoc，而∠cba=∠aoc，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理证明-概念解析以及定义

弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。

根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。

这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。

无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。

本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。

在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。

同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。

结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。

通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。

同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。

在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。

希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。

本文分为引言、正文和结论三部分。

引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。

然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。

正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。

首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。

然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。

第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。

通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。

结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。

我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。

切割角定理

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ （弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）编辑本段推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∵ （弦切角定理）∴∠AOB=60°又∵AO=BO∴为等边三角形∴A O=AB=BO=2BC∴BC=1/2a例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。

弦切角定理及其推论

定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）应用举例：第一个算出地球周长的人──埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。

这个人就是古希腊的埃拉托色尼。

埃拉托色尼博学多才，他不但通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光能够一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。

但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。

他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。

从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。

按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。

他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。

这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。

埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。

书中描绘了地球的形状、大小和海陆分布。

埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。

(完整版)弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

弦切角定理怎么证明

弦切角定理怎么证明弦切角定理是几何学中一个基本的定理，它描述了一个弦与其所对的角的关系。

根据弦切角定理，一个弦所对的角等于其对应弧所对的角等于该弦所夹的两个弧的角和的一半。

为了证明弦切角定理，我们可以利用以下步骤：步骤1: 假设在一个圆上有一个弦AB，它所对的角为∠ACB。

我们需要证明∠ACB = 1/2(∠AOB + ∠APB)。

步骤2: 通过圆心O作弦AB的垂线，交弦AB于点P，并延长OP使其与圆相交于点C。

步骤3: 由于AO = OB（弦AB的中垂线），所以∠AOP = ∠BOP = α。

同时，由于∠OCP是弧APB所对的角，根据圆心角定理，我们知道∠OCP = 1/2∠APB = β。

步骤4: 观察三角形ACP和BCP。

根据直角三角形的定义，我们知道∠ACP = 90° - α，∠BCP = 90° - α。

步骤5: 由于三角形ACP和BCP的两个角分别等于∠ACB的两个角，根据三角形角和定理，我们可以得到∠ACB = ∠ACP + ∠BCP = (90° - α) + (90° - α) = 180° - 2α。

步骤6: 同时，我们可以通过两个角β和∠OCP的和来计算∠AOB。

根据直角三角形定义，我们知道∠OCP = 90° - β。

因此，∠AOB = ∠AOP + ∠BOP + ∠OCP = α + α + (90° - β) = 180° - 2β。

步骤7: 根据步骤5和步骤6的结果，我们可以得到∠ACB = 1/2 (∠AOB + ∠APB)。

这就证明了弦切角定理。

弦切角定理在几何学中具有广泛的应用，特别是在证明和解决与圆相关的问题时非常有用。

它不仅可以帮助我们计算弦所对的角，还可以用于证明弦所夹的两个弧的角和等于360°。

弦切角定理的证明方法

弦切角定理的证明方法证明弦切角定理时，需要使用到以下几何模型：1.一个圆，圆心为O，半径为r；2.在圆上选择两个点A和B，连接OA和OB；3.以A和B分别为圆心，r为半径，画两个与圆相交的圆弧。

接下来按照以下步骤进行证明：第一步：证明OA与OB垂直。

由于OA和OB是圆的半径，所以OA和OB相等，即OA≡OB。

根据等腰三角形的性质，OA和OB的中垂线也相等，即OM≡OM。

由此可得，△OMA≡△OMB。

根据等腰三角形的定义，可以得出∠MOA≡∠MOB。

而∠MOA和∠MOB是相交直线与两条相交弧所夹的角，因此根据垂直角的定义，可以得到OA与OB垂直。

第二步：证明角AOB的度数等于弦AB所对的圆心角的度数。

由于AOB是一个半圆角，根据半圆角的定义，它的度数等于180°。

另一方面，弦AB所对的圆心角的度数等于弧AMB的度数。

所以，要证明两者相等，我们只需要证明两个弧所对的角相等。

第三步：证明弦AB所对的圆心角的度数等于弦AB所对的切角的度数。

以A为圆心，r为半径，作弧周上的线段AC切圆于点C。

连接OC。

根据圆的切线定理，切线与半径垂直，所以OC与AC垂直。

又由于OA与OC是圆半径，所以∠OAC是一个直角。

因此，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°。

由于∠OAC是弦AB所对的圆心角，OC是切线AC所对的切角。

根据三角形中角的性质，弦切角等于其所对的圆心角的补角，即∠OCA等于∠OAB的补角，即180°-∠OAB。

所以，∠OAC+∠OAB=90°。

综上所述，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°，∠OAC+∠OAB=90°。

所以，∠OCA=∠OAB，即切角与圆心角相等。

第四步：综合前面的结论，得到结论弦切角定理的证明。

由第一步可得△OMA≡△OMB，由第二步可得∠AOB=180°。

由第三步可得∠OAC=∠OAB。

将这些结论整合起来，可以得到△OMA和螺旋△OAC与△OMB和螺旋△OBC全等，即∠MOA=∠COA，∠MOB=∠COB。

弦切角定理逆定理

弦切角定理逆定理弦切角定理弦切角定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个弦与其所对的圆上的切线之间的关系。

在几何学中，我们经常遇到需要计算弦与切线的夹角的问题，弦切角定理就为我们提供了一个有效的计算方法。

定理表述在一个圆上，给定弦AB，以及弦AB所对的圆上的切点C，连接AC和BC。

则弦AB 与切线AC、BC所夹的角相等。

定理证明我们可以通过以下步骤来证明弦切角定理：1.连接弦AB的中点O与切点C，得到线段CO。

2.由于弦AB是由两点A和B确定的，所以弦AB的中点O也是由两点A和B确定的。

3.由于切线与半径垂直，所以OC与切线AC、BC垂直。

4.由于OC是弦AB的中垂线，所以OC与弦AB垂直。

5.由于OC与切线AC、BC垂直，并且OC与弦AB垂直，所以切线AC、BC与弦AB平行。

6.平行线与弦的夹角相等，所以弦AB与切线AC、BC所夹的角相等。

弦切角定理逆定理弦切角定理逆定理是弦切角定理的逆向推导，它描述了一个弦与其所对的圆上的切线之间的关系。

在实际问题中，我们有时需要根据已知的弦和切线的夹角来计算弦的长度，弦切角定理逆定理就为我们提供了一个有效的计算方法。

定理表述在一个圆上，给定弦AB与切线AC、BC所夹的角，以及切点C。

则弦AB的长度等于弦AB所对的圆上的切线的长度的两倍乘以切线与弦所夹的角的正切值的倒数。

定理证明我们可以通过以下步骤来证明弦切角定理逆定理：1.连接弦AB的中点O与切点C，得到线段CO。

2.由于弦AB是由两点A和B确定的，所以弦AB的中点O也是由两点A和B确定的。

3.由于切线与半径垂直，所以OC与切线AC、BC垂直。

4.由于OC是弦AB的中垂线，所以OC与弦AB垂直。

5.由于OC与切线AC、BC垂直，并且OC与弦AB垂直，所以切线AC、BC与弦AB平行。

6.平行线与弦的夹角相等，所以弦AB与切线AC、BC所夹的角相等。

7.根据正切函数的定义，我们可以得到切线与弦所夹角的正切值。

模型26 圆幂定理(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．解：延长CO交⊙O于D，设⊙O的半径是R，∵弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，∴CP＝R＝OP，PD＝R+R，由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则2×3＝R×（R+R），解得：R＝2，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝2：3．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．【变式1-2】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，∴cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，∴BF＝＝4k．∵CA＝CB，∴AC＝5k，∴AF＝AC﹣CF＝2k．∵CF•AF＝DF•BF，∴DF＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴AE＝k．∴CE＝＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，∴四边形AFBG为矩形，∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，∴EG＝AE+AG＝k，∴BE＝＝k，∴＝，故答案为：．考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是110度．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．【变式2-2】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为4．解：∵PC切半圆与点C，∴PC2＝PA•PB，即PA＝9，则AB＝9﹣1＝8，则圆的半径是4．故答案为4．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，∵∠C＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD是切线，CEA是割线，∴CD2＝CE•CA，∵CD＝2CE＝4，∴AC＝8，∴AE＝6，∴GE＝3，∴OD＝CG＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是4．解：连接OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．变式训练【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为4．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．解：连接BD．AB是直径，则∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠BCM＝60°．∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝．故选：B．2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知PA＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝9：4．解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，∵PA＝12，PD＝8∴PB＝18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．：S△PBA＝PA2：PB2＝4：9．∴S△P AD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝2．解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴AD＝BD＝BC；又∵BC是切线，∴BC2＝CD•AC，∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．∴AC＝2．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为8．解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，∴O′B⊥BD，∴∠O′BD＝90°．设∠ABD＝α，则∠BCD＝∠ABD＝α，∴∠ABC＝2α．由折叠的性质得：∠ABC＝∠O′BC＝2α，∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3α＝90°，∴α＝30°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，AC＝AB•sin∠ABC＝8×＝4．∴△ABC的面积为AC•BC＝4×＝8．故答案为：8．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，解法一：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴GE＝，∴DE＝GE﹣GD＝．解法二：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∵AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝．故答案为：．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5，DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝56．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；过点B作BG∥AH，交DE于点G；∵AB＝AC，∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，∴∠HAD＝∠E，∴A、H、B、E四点共圆，∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；∵BG∥AH，且CF＝BF，∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；∴，设HD＝5λ，则DG＝4λ，∴CD＝CH+HD＝14λ，∴DH＝，∴•DE＝20，∴CD•DE＝56．故答案为56．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．解：连接AD，BD∵BE＝BC∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°∵BE是切线∴∠DBE＝∠C＝40°∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°∵OH⊥CD∴OD＝＝10，即圆的半径是10∴弧BD的度数是80度弧BD＝＝．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan∠DFO＝，tan∠A＝．解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，∴AO＝＝5．∵AB＝AC，点B与原点O重合，∴AB＝AC＝5．∴AE＝2AO＝10．∵AE为⊙O的直径，∴ED⊥AD．∵AB＝AC，AM⊥OC，∴OC＝2OM＝6．∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．∵CD•CA＝CH•CK，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．∴DE＝＝．∴tan∠DAE＝＝＝．∵DH⊥OC，FO⊥OC，∴DH∥OF．∴∠DFO＝∠NDF．∵ED⊥AD，∴∠NDF+∠CDN＝90°．∵DN⊥OC，∴∠CDN+∠NCD＝90°．∴∠NDF＝∠NCD．∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝．故答案为：；．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝BD，AC＝AC，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，∵△ACB≌△ACD，∴∠CAB＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CE，∵BC＝CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠D＝∠CED，∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∴∠CED＝∠ACD，∴△DEC∽△DCA，∴＝，∴＝，∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），∴AD＝AE+DE＝9，∴AB＝AC＝AD＝9，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AF是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，∴AF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，∴（6﹣r）2+32＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O 的切线交CD的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，OB，∵FA是⊙O的切线，∴OA⊥FA，∴∠FAO＝90°，∵直径CD⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠FBE＝∠FAE，∵OA＝OB，∴∠OBE＝∠OAE，∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，∴半径OB⊥FB，∴FB是⊙O的切线（2）解：∵tan∠ACD＝＝，∴令AD＝x，则CD＝2x，∵△ADC是直角三角形，∴AC＝＝＝x＝4，∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，∵AD2＝DE•CE，∴42＝8DE，∴DE＝2，∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，∴⊙O的半径长是5．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，∴EC＝＝3．∵AE•BE＝EG•EC，∴EG＝．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，∵PC是∠APE的平分线，∴∠CPE＝∠CPA，∴△PDE∽△PCA；（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，∵PE＝4，PB＝4，∴PA＝12，∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，则BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠F＝60°在Rt△ABF中，sin60°＝＝＝＝＝，∴BF＝．∴⊙O的面积为：π（）2＝π（面积单位）．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∠ACD ＝∠BCD ．∴△BEC ∽△DEA ．∴DE •EC ＝AE •BE ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵＝＝，设CF ＝3k ，则AF ＝5k ．∴BF ＝k ，AC ＝＝4k ．∵FC ＝FE ＝3k ，BE ＝FE ﹣BF ，∴3k ﹣k ＝2．∴k ＝．∴AC ＝．∴圆O 的半径＝AC ＝．∵AE ＝AF ﹣FE ＝5k ﹣3k ＝2k ＝，∴AE ×BE ＝×2＝．∴DE •EC ＝．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •PA ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH，∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG•CG，∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：解：连接BC，OA，OC，OB，OD．如图2，在△BCE中，∠AEC＝∠EBC+∠ECB∵∠EBC＝∠AOC，∠ECB＝∠BOD∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是127.5°．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O 于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝（的度数+的度数），∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），∴∠E＝（的度数﹣的度数）；（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（的度数+的度数＝（的度数+的度数），∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴tan∠AOH＝，∴∠AOH＝30°，∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴∠FGO＝（120°﹣60°）＝30°，∴∠FGO的度数不变，为30°．。

弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

中考专题――切线长定理及弦切角定理

中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。

AB 交PO 于点C ，则有如下结论：（1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。

弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

怎样证明弦切角

怎样证明弦切角第一篇：怎样证明弦切角怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。

过点a作tp的平行线交bc于d，则∠tcb=∠cda∵∠tcb=90-∠ocd∵∠boc=180-2∠ocd∴,∠boc=2∠tcb(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)2接oboc过o做oe⊥bc所以∠a=1/2又因为∠oct=90°∠oec=90°所以∠eoc=∠tcb所以∠tcb=∠a3温馨提示设切点为a切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc角cab等于90度减角dac因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac即可证明角aoc等于二倍的角cab参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半4线段ad与线段ef互相垂直平分。

证明:设ad交ef于点g.因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b，又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad，从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,而∠pac+∠dac=∠pad，∠b+∠bad=∠pda，所以∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角形，因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，从而ad垂直ef，则∠age=∠agf=90°，再由∠gaf=∠gae，得到△eag≌△fag，从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。

5(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠d ac∠efd=∠fdcef∥bc第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)=(1/2)(2∠aco+∠aoc)=∠aco+(1/2)∠aoc,所以∠acd=(1/2)∠aoc，而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn 切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理课件

弦切角定理的应用场景
总结词
弦切角定理在解决几何问题中有着广泛的应用，它可以用于证明一些重要的几何结论。
详细描述
弦切角定理的应用场景非常广泛，它可以用于解决一些与圆相关的几何问题。例如，在证明一些关于圆的性质和定理时，可以利用弦切角定理来推导和证明。此外，在解决一些与圆相关的实际问题时，如建筑设计、机械制造等领域，也可以利用弦切角定理来分
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CATALOGUE
弦切角定理的应用实例
三角形中的弦切角定理应用
总结词
三角形中的弦切角定理应用主要涉及三角形的高、中线和角平分线等性质。
详细描述
在三角形中，弦切角定理可以用于证明高、中线和角平分线的性质。例如，可以利用弦切角定理证明三角形的高线等于相应弦的一半，或者证明中线平分对应的弦。这些性质在解决三角形问题时非常有用。
物理学
在物理学中，弦切角定理可用于描述光和波的传播规律，以及物体运动轨迹的分析。
弦切角定理的未来研究方向与展望
深入探索
未来研究可以进一步深入探索弦切角定理的本质和证明，以完善和发展该定理的理论体系。
应用拓展
随着科学技术的发展，弦切角定理的应用领域将不断拓展，特别是在计算机图形学、机器人导航等领域。
详细描述
弦切角定理是圆的基本性质之一，它描述了弦、切线和圆心角之间的关系。在圆中，弦与切线之间的夹角（弦切角）等于该弦所夹弧所对的圆心角的一半。
弦切角定理的图形表示
总结词
通过图形可以直观地理解弦切角定理，它有助于我们更好地理解和记忆这个定理。
详细描述
在PPT课件中，可以使用图形来展示弦切角定理。首先，画出一个圆，然后在圆上任取一点作为圆心，通过圆心作弦与圆的切线。在图形中，标出弦切角和弦所夹弧所对的圆心角，通过比较它们的度数，可以直观地看出弦切角定理的正确性。

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