输油管道布置的优化设计模型

输油管道布置的优化设计模型摘要管道运输是输送石油的一个重要途径，设计合理的管线铺设方案，不仅可以节省铺设的费用，还可以减少后期运输的成本，提高经济效益。

本文针对题目中给出的不同情况，运用平面解析几何的轴对称原理、多元函数极值理论和计算机搜索算法等方法，设计了不同情况输油管线的详细方案。

问题一中，根据有无共用管线，以及各段管线的单位费用相同或不同，将模型分为四种情况进行讨论，并用matlab软件进行符号运算。

针对问题二，首先对三家工程咨询公司的估价结果按资质权重进行计算，得到较准确的附加费用估计值。

接着就郊区部分是否铺设共用管线，分别建立数学模型并求得相应的最小费用。

然后用搜索算法在可行域内搜索最优解，验证设计方案的正确性。

比较所得结果，有共用管线的设计方案费用最低，为283.2789万元。

具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.37km；A、B 两厂管线的会合点距城郊分界线9.55km，距铁路沿线1.85km；车站距城郊分界线9.55km。

问题三与问题二类似，但各段管线的单位费用不相同。

在前面结论的基础上，按郊区部分有无共用管线，分别建立模型并进行计算，再用搜索算法搜索最优点对方案进行验证。

经比较，无共用管线方案费用最低，为252.5608万元。

具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.3km；车站距城郊分界线8.3km。

本文综合考虑了输油管线布置的各种情况，从费用最少的角度出发，为设计院提供了较为详细的设计方案。

通过对比各种设计方案所需的费用，得出费用最少的方案，并用搜索算法进行了检验，确保了设计方案所需费用的准确性。

关键词：轴对称多元函数极值搜索算法优化设计一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出不同的设计方案。

在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

对问题二进行具体设计时，所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。

有一部分管线铺设在城区，还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。

为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司进行了估算。

三家工程咨询公司的资质分别为甲级、乙级、乙级，附加费用的估价分别为每千米21万元、24万元、20万元。

在上述实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。

这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。

根据上述实际问题的情况，给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、问题的分析问题一中，两个炼油厂均在铁路的一侧，要求针对两个炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的各种情况提出设计方案，还要考虑各段管线单位长度费用相同或不同的情况。

因此，可将设计方案分为四类：不含共用管线、管线单位长度费用相同，不含共用管线、管线单位长度费用不同，含共用管线、管线单位长度费用相同，含共用管线、管线单位长度不同等四类。

针对问题二，在给定数据的情况下铺设管线时，由于所有管线均为每千米7.2万元，故需分为不含共用管线和含有共用管线两种设计方案，进而比较求得最优。

在城区的管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，设计院聘请了三家不同资质的咨询公司，得到3个估价。

需要对这3个数据进行合理处理，得到较准确的附加费用的估计值。

为了进一步节省费用，铺设路线时运输A厂的成品油每千米5.6万元，B厂的成品油每千米6.0万元，共用管线费用每千米7.2万元，拆迁等附加费用不变。

结合问题一的分析，该问题属于管线单位长度费用不同的情况，应该分为不含共用管线和含有共用管线两种方案进行讨论，以求最优。

通过上述分析，容易看出，有以下两个问题需要解决：(1)当不清楚是否含有共用管线，管线单位长度费用是否相等时，分四种情况进行讨论；(2)根据问题二和问题三的具体数据，按是否含有共用管线分别建模并求解，比较两者的结果，得到最优的设计方案。

三、模型的假设1、假设铺设管线地段的地质情况是一样的；2、假设输油管道的铺设范围内，铁路可以近似看成是直线，并且可以忽略铁路及两边安全区域的宽度；3、假设施工对有足够高的水平能按照计划进行施工，能够精确的利用管线；4、假设在施工的这段时间里所有需要的管线的价格不会发生改变。

四、符号说明A p ——输送A 厂成品油的管道的单位长度费用；B p ——输送B 厂成品油的管道的单位长度费用；p ——共用管道的单位长度费用；3p ——城区铺设管道时，单位长度的附加费用；五、模型建立、求解及检验5.1 问题1的模型由题目条件知，两个炼油厂在铁路的同侧。

针对两个炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的各种情况，考虑是否采用共用管线以及各段管线单位长度费用相同或不同的情况，分为以下四种情况进行讨论。

(1)不采用共用管线，两炼油厂和车站之间成“V ”形分布。

设A 厂到车站1M 的管道单位长度费用为A p 万元/千米，B 厂到车站1M 的管道单位长度费用为B p 万元/千米。

①当A B p p =时，即两段管线的价格相同。

原问题要求铺设管道所需的最小费用，可以转化为求管道的最小长度，也就是两家炼油厂到车站距离之和的最小值，可用初等数学“轴对称求最短距离”的方法进行求解，如图1所示。

x图1 轴对称求最短距离示意图因为铁路相对较直，不妨令铁路沿线方向为x 轴，过点A 作x 方向的垂线为y 轴，建立直角坐标系。

如何在铁路线上建造一个车站1M ，使得炼油厂A 、B 到车站1M 的距离之和最小的问题，可以转化为一个纯几何问题，即在x 轴上找一点1M ，使得该点到A 、B 距离之和最小。

由平面解析几何轴对称的相关知识可知，作B 点关于x 轴的对称点B '，连接AB '，交x 轴于点1M ，则1M 为所求。

②当A B p p ≠时，即两段管道的价格不相同。

这时不能将原问题简单的看成求距离最短。

令各点坐标为()10,A y 、()22,B x y 、()1,0M x ，则可建立如下的模型。

()11A B Cost x p AM p BM =⨯+⨯即：()Cost x p p =要使费用最少，即求函数()Cost x 的最小值。

matlab 符号运算的结果较复杂，在此省略。

当进行具体数据的运算时，可以令x 取适当的步长，在可行区间搜索函数的最小值点。

图2 两段管道价格不相等时示意图(2)采用共用管线，两炼油厂和车站之间成“Y ”字形分布。

运用多元函数极值理论，确定点N 。

图3 有共用管线时管道分布示意图同理，建立如图3所示的直角坐标系，N 为两家炼油厂的管道的会合处。

2NM 为会合点到车站的距离。

由于垂直距离最短，显然2NM 应垂直于x 轴。

则记各点的坐标分别为()10,A y ，()22,B x y ，(),N x y ，()2,0M x 。

①当共用管道与非共用管道单位长度的费用相同时，即A B p p p ==时，费用最少即线段AN 、BN 、2NM 距离之和最小。

建立费用与上述坐标之间的关系，得：()(),,Cost x y p f x y p =⨯=⨯化简，()()),,Cost x y pf x y p y == 其中(),f x y 表示三条直线段AN 、BN 、2NM 长度之和。

要求线段距离之和的最小值，即求二元函数(),f x y 的最小值。

运用matlab 的符号运算功能进行计算， 求f 关于,x y 的一阶偏导数，并令其为0，解得函数的驻点。

f x∂∂=1/2/((x1-x)^2+(y1-y)^2)^(1/2)*(-2*x1+2*x)+1/2/((x2-x)^2+(y2-y)^2)^(1/2)*(-2*x2+2*x) f y∂∂=1/2/((x1-x)^2+(y1-y)^2)^(1/2)*(-2*y1+2*y)+1/2/((x2-x)^2+(y2-y)^2)^(1/2)*(-2*y2+2*y)+1 令00f x f y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，解得：1/2*21/6*3^(1/2)*(3*23*1)1/2*11/2*21/6*3^(1/2)*2y x x y y y y x =+-++-⎧⎨=⎩（增根已舍去）整理，得21212222222x x y y y y y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩进一步求二阶偏导数，得到黑赛矩阵（由于符号运算的结果较为复杂，故未写进正文）。

该矩阵的各阶顺序主子式均为正值，即该黑赛矩阵正定，上述驻点为二元函数(),f x y 的局部极小点。

又因为函数(),f xy 为定义在凸集()()2120,0m a x ,x x y y y ≤≤≤≤上的凸函数，该区域中的极小值即为最小值。

求得min f =1/2*y1+1/2*y2+1/2*3^(1/2)*x2，即12min 2222y y f x =++。

由此可知，最小费用122min min 222y y p x Cost p f ⎛⎫++ ⨯⎝= =⎪⎪⎭，其中p 为单位长度管道铺设费用。

②当共用管道与非共用管道单位长度的费用不同时，设A 厂到会合点N 的管道单位长度费用为A p 万元/千米，B 厂到会合点N 的管道单位长度费用为B p 万元/千米，共用管道单位长度的价格p 。

同样建立如图2所示的坐标系，容易建立总费用与A 、B 坐标之间的关系。

即：(),A B Cost x y yp =++同理，用上述方法求解该函数的最小值。

用matlab 进行符号运算，求得函数(),Cost x y 取得最小值的点N 坐标(),N x y 。

可表示为：()()11222122,,,,x f y x y y f y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由于符号运算的结果太长，故文中未给出。

可以看出，这里求管道会合点坐标的结论具有普遍性，后面类似的问题可以直接运用该结论。

结合上面的分析，我们提出以下设计方案。

(1) 不含共用管道，即两炼油厂与车站之间的管道分布成“V ”字型。

①当A B p p =，即A 炼油厂到车站1M 的管道单价A p 与B 厂到车站1M 的管道单价B p 相等时，运用轴对称求最短距离的原理，即由A 、B 两点坐标确定铁路上车站1M 的位置；②当A B p p≠时，建立模型：()Cost x p p =费用即函数()Cost x 的最小值；(2) 含有共用管道，两炼油厂与车站之间的管道分布成“Y ”字型。

①当共用管道与非共用管道单价相同时，即A B p p p ==时，费用最少即线段AN 、BN 、2NM 距离之和最小。

建立费用与点的坐标之间的关系，得：()),Cost x y p y =运用求多元函数极值的办法，得到最少费用的会合点N 的坐标为：212122,222622x y y N y y x ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭②当各段管道的单位长度费用不相等时，建立如下模型：(),A B Cost x y yp =++5.2 对三家公司估价数据的处理根据题意，设计院要设计一条更为复杂的路线。