人教版高一数学幂函数

R
[0，＋∞)
R
[0，＋ ∞)
(－∞， 0)∪
(0，＋∞)
奇偶 性
奇
偶
奇
非奇非 偶
奇
(－∞，0)
(－∞，0)
单调 性
增
减， (0，＋∞)
增
增
减， (0，＋∞)
增
减
定点
(0,0) (1,1)
(1,1)
• 思考感悟
• 幂函数的图象能过第四象限吗？
• 提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有 y>0，故幂函数图象不过第四象限．
• 当m＝1时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题 意．
• 当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，满足题目要 求．所以m＝2.
典例导悟 类型一 幂函数的概念
1
[例 1] 已知 y＝(m2＋2m－2) xm2－1 ＋2n－3 是
幂函数，求 m，n 的值．
m2＋2m－2＝1
[解] 由题意得m2－1≠0
，
2n－3＝0
(3)y＝ 1 ，由 x>0 知定义域为(0，＋∞)；值域为 4 x
(0，＋∞)．
• 类型四 比较大小
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单性； (3)当不能直接进行比较时，可在两个数
中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
变式体验 4 已知 x23>x35，求 x 的取值范围．
图4
解：函数 y＝x23 及函数 y＝x35 的定义域为 R，其中，
函数 y＝x23 的图象分布在一、二象限，且关于 y 轴对称，
y＝x35 的图象分布在一、三象限，且关于原点对称，如
图
4
所示，由图象可知，若x23
3
>x5
，则
x∈(－∞，0)∪
y xa
• 自我检测
• 1．下列所给出的函数中，是幂函数的是
()
• A．y＝－x3
B．y＝x－3
• C．y＝2x3
D．y＝x3－1
• 答案：B
• 2．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数， 且函数f(x)为偶函数，求m的值．
• 解：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数， • ∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0. • ∴m＝1或m＝2.
1
3．幂函数y＝x，y＝x2，y＝x2
，y＝1，
x
y＝x3 的 图像 &性质：
y2.在x,同y 一 x平2 ,面y直 x角3 , Y
坐1
y x2,
y x1
y
标系内作出幂函数
的图象.
O
xx
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12
y＝x－1
定义域 R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
值域
• [点评] 此题将幂函数的问题转化为指数函 数来研究，很巧妙，而且使题迎刃而解．
类型三 幂函数的定义域与值域
[例 3] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝
x ； 2 － 3
(2)y＝
3
x－4.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：本例两个函数
均为幂函数，且幂指数分别为－23，－34.
解答本题可将分数指数幂化为根式，并使根式有意
解得mn＝＝32－3 ，
所以 m＝－3，n＝32.
[点评] 表达式 y＝xα(x∈R)的要求比较 严格，系数为 1，底数是 x，α∈R 为常数，如 y＝x12＝x－2，y＝1＝x0 为幂函数，而如 y＝2x2， y＝(x－1)3 等都不是幂函数．
变式体验1 已知函数f(x)＝(m2－m－1) x m2 2m2
变式体验 3 求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝
x45；(2)y＝
x ； 1 － 5
(3)y＝x－14.
解：(1)y＝5 x4，由 x4≥0，知 x∈R，y≥0，即定 义域为 R；值域为[0，＋∞)．
(2)y＝ 1 ，由分母不为 0 知，定义域为{x|x≠0}； 5 x
由分子不为 0 知，y≠0，值域为{y|y≠0}．
2．下列函数中，定义域为 R 的是( ) A．y＝x－2 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x－1
答案：C
3．已知幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，则 f(4) ＝________.
解析：设 f(x)＝xα，则 2＝2α＝212， ∴α＝12，f(x)＝x12，∴f(4)＝412＝2.
义．
[解]
(1)解析式化为
y＝
x ＝ 2 － 3
1
，其定义域为
3 Biblioteka Baidu2
{x|x∈R 且 x≠0}；值域为(0，＋∞)．
(2)解析式化为
y＝
x ＝ 3 － 4
1
，其定义域为(0，＋∞)；
4 x3
值域为(0，＋∞)．
• [点评] 当幂函数的指数为分数形式时，须 将其转化为熟悉的根式，利用根式的有关 要求求出自变量的取值范围．
1.通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图象，了 解它们的变化情况．
2．结合函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x
1的图象，
2
体验研究具体函数的过程和方法，了解它们的变化情况
和图象特征，会总结幂函数的简单性质.
新知视界 1．幂函数的概念 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，
(1，＋∞)．
思悟升华 1．熟练的理解记忆以下五种幂函数的图象及性 质：①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x－1，⑤y＝ x， 并注意由图象说性质． 2．求幂函数的定义域时，首先改写成分式或根式 形式，再由分式、根式有意义求定义域． 3．从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性多角 度了解一般幂函数的特征．
其中 α 为常数，x 为自变量．
2．关于幂函数 y＝x，y＝x12，y＝x2，y＝1x，y＝ x3 的图象的研究．
用描点法画出图象．
思考：这些函数有什么共同的特征？
y x, y x2, y x3,
(1) 都是函数；
1
y x 2 , y x1
(2) 指数为常数；
(3) 均是以自变量为底的幂.
答案：2
• 4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值 为________．
解析：∵y＝x－1 在(－∞，0)上单调递减，
∴y＝x－1 在[－4，－2]上递减，
∴y＝x－1 在[－4，－2]上的最小值是－12.
答案：－1 2
• [解析] 由幂函数的图象知，m，n均小于0， 取特殊值，令x＝2，由图象可知，2m>2n， 而y＝2x为增函数，所以0>m>n.故选择A.
是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
解：∵f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－2是幂函数． 则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x－2；当m＝－1时，f(x)＝x. 又∵当x∈(0，＋∞)时，函数是减函数， ∴f(x)＝x－2，m＝2为所求．