牛顿运动定律的微积分解析

第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
英国著名诗人亚历山大波普写道： 自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中， 上帝说：“让牛顿去吧。” 于是一切成为光明。
牛顿对自己的成功有着清醒的认识，他在一封信中写道： “如果说我
比别人看得更远一点的话，那是因为我站在巨人们的 肩膀上。”
牛顿长期担任英国皇家学会会长一职，直到去世。牛顿终身未婚，把毕生的 精力都贡献给了科学事业，他在临终遗言中有这样一段话：“我不知道
Fi t m a t 曲线运动 Fi n m a n
(i) 用几何关系或相对运动找出加速度之间、力之间的关系 (ii) 未知数应与方程数相等 4、解联立方程组，用符号化简后代入数据, 进行数值计算。 ( 原始数据注意单位, 尽量化为 SI 制 )
5、对结果进行讨论。 ( 分析结果是否合理,有何物理意义 )
mdv dt mg F kv
分离变量
mdv dt mg F kv 0 0
积分
v
t
mg F v k
k t m 1 e
mg F 收尾速度 讨论 : 当t 时 , v k
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
世人将如何看待我，但是在我看来，我不过只是在海 滨玩耍的孩子，为时而发现一块比平常光滑的石子或 美丽的贝壳而感到高兴，但那浩瀚的真理之海洋，却 还在我的面前未曾发现呢？”。 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
1、牛顿第一定律
牛顿第一定律的内容可表述如下： 任何物体都保持静
止或匀速直线运动状态，直到受其它物体所作用的力
在非惯性系中，牛顿运动定律不成立，我们应该如何进行修正与补充？
a
F
a0
物体相对地面加速度为 a a a0
以地面为参照系( 惯性系) , 牛顿定理成立 , F ma m( a0 a) F ( ma0 ) ma
若以车厢为参照系( 非惯性系) , 定义 : 惯性力F惯性力 质量m 牵连加速度a0 则 F F惯性力 ma ( 非惯性系相对惯性系加 速度)
O'
m1 g T m1a0 m1a'
T m2a0 m2 g m2a'
a'
T m1 g
a'
T m2 g
m1 m2 1 a' ( g a0 ) g m1 m2 6
a0
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
THE END
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
《自然哲学的数学原理》被看作是经典物理学的“圣经”。 内容包括：绝对时空观、惯性系、相对性原理、力学三定律、 万有引力和叠加原理（平行四边形法则）。由于当时微积分刚 刚初创，很不成熟，这本书的主要数学工具是几何。这本书的 出版使经典物理学多年积累的显得有些杂乱无章的大量成果系 统化了，物理学从此成为一门成熟的自然科学。
大学物理
University Physics
2016/4/30
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本章主要讲解二个方面问题：
1）牛顿运动三定律及其应用。
2）非惯性参照系及惯性力。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿 (Issac Newton) 1642---1727 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿 (Sir Isaac Newton) 生平
个孩子一顿。这次胜利，增长了牛顿的信心，
牛顿 (Isaac Newton)
学习上也努力起来，毕业时已成为班上成绩 最好的学生。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿14岁那年，他的母亲再次成为寡妇，因家中农活忙不 过来，将牛顿叫回家帮忙。但牛顿干农活不在行，牛顿的舅舅 劝说牛顿的母亲让他继续上学。 18岁时牛顿以减费生的身份考上剑桥大学三一学院 （Trinity College，三一的意思是上帝、耶稣和圣灵三位一体）。 大学期间的牛顿也并不突出。23岁时牛顿取得学士学位，这一 年英国爆发大规模的瘟疫，牛顿只得去乡下躲避。1665－1666 年，一年半的乡间生活，是牛顿创造力最旺盛的时期。他一生 中的最重要的成果，涉及力学、光学、数学、哲学等许多领域， 但他的几乎所有重要的数学物理思想，都诞生于这一时期。这 时他才23－24岁，只是个刚毕业的大学生。牛顿回到母校后， 工作表现很出色。27(1669年)岁成为剑桥的教授(巴罗教授将自 己的“卢卡斯讲座教授”的荣誉职位让给牛顿)，30岁(1672年) 成为英国皇家学会的会员（因发明反射式望远镜）。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】在倾角为30°的光滑斜面上，放一质量m1=8
kg的物体。用一跨过滑轮的轻绳与质量m2=10 kg 的物
体相连，如图所示。求两物体运动时的加速度及绳上
的张力。
m1
300
m2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
N
m1
30 0
T
m2
m1
m1 g
a1
T
m2 a 2
受的合外力正比于相对于惯性系的加
速度。
注意：
① 牛顿第二定律仅适用于惯性参照系；
dv F ma m dt
② 牛顿第二定律是力的瞬时作用规律；
③ 牛顿第二定律的表达式是矢量式； 成立。
dp ④ 当质点以接近光速运动时，m为变量，F m a 不成立，但 F 仍 dt
牛顿诞生在伽利略逝世的1642年12月25
日（旧历）圣诞节那天，他出生在英国一个 农民之家。牛顿的童年是不幸的，他是遗腹
子，母亲汉娜改嫁后将他留给了外祖父母，
由外祖父母带大的。小时侯，牛顿身体并不 强壮，经常生病；性情孤僻，不善和人交往， 学习成绩平平，各方面都缺乏自信心。有一 次，班上一个孩子欺负他，踢了他肚子一脚。 这一脚对物理学产生了重要的影响！——激 怒了平素腼腆的牛顿，奋起反抗，痛揍了这
m 2 g m1 g sin 300 a 3.3 m 2 s m1 m 2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】在图中所示的装置中，略去轴上和桌
面摩擦以及滑轮和绳的质量，且假设绳不可伸
长，则质量为m1的物体的加速度a1=______。
m1
2m2 g 答案： a1 4m1 m2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿定律的解题步骤 :
1、运用第三定律对研究对象进行受力分析, 画出各物体受力图
(隔离体法)
2、选取惯性参考系, 建立合适坐标系。
( 尽量使加速度的方向与坐标轴正向一致 ) 3、根据物体受力图, 运用第二定律列出联立方程
Fi x m a x 直线运动 Fi y m a y
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【例题】质量为m的小球在液体中由静止释放，竖直
下沉。设液体相对地面静止。液体对小球的浮力为 F ，
粘滞阻力为 kv ， k 是与液体的粘滞性和小球半径有关
的一个常数，求任意时刻小球的速度。
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dv mg F kv ma m dt
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3、牛顿第三定律
牛顿第三定律的内容可表述如下：作用力与反作用力大小
相等，方向相反，作用在同一条直线上。
F12 F21
注意： ① 作用力与反作用力等值、反向、共线、共性。 ② 作用力与反作用力分别作用在两个物体上，同时产生，同 时消失。 ③ 牛顿第三定律不包含运动量，适用于任何参照系。
T m1a1 m 2 g 2T m 2 a 2 a 2a 2 1
m2
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本章主要讲解二个方面问题：
1）牛顿运动三定律及其应用。 2）非惯性参照系及惯性力。
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非惯性参照系定义
a
A
p.17
以教堂为参照系，物体A静止，满足牛顿第一定律。 以汽车为参照系，物体A运动，不满足牛顿第一定律。 牛顿第一定律成立的参照系，称为惯性参照系。 牛顿第一定律不成立的参照系，称为非惯性参照系。 相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性参照系。 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
m2 g
对m1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 N m1 g cos 30 0 T m g sin 30 m1a1 2 1
0
对m2
m2 g T m2a2
3 4
约束关系 a1 a2
由1234 得
T m 2 g a 65 N
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a
F
a0
F F惯性力 ma F惯性力 m a0 ( 非惯性系相对惯性系加 速度)
引入惯性力的概念之后，牛顿运动定律在非惯性系中仍然 成立，只不过定律中的力应该既包括作用力，又包括 惯性力 。 另外，需要指出的是：惯性力是一个假象的力，既没有施力者， 也没有反作用力。惯性力的实质是物体惯性在非惯性系中的反 映。
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由于牛顿的谨慎态度（更多的原因是牛顿与胡克之争吵色 彩理论，争夺万有引力定律的发现权，与莱布尼兹争吵微积分 的发现权），他的研究成果大都没有及时发表。在好友哈雷的 一再劝说之下，45岁时（1687年），出版了自己的划时代巨 著——《自然哲学的数学原理》。而《光学》一书则推迟到牛 顿65岁时才发表。
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【例题】质量分别为 m1 ＝2kg 和 m2= 1kg 的两物体用轻细绳相连 接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的 质量以及所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时，
m1 相对于电梯的加速度大小为 g 6 。 解：取电梯为参考系
对 m1 有 对 m2 有
迫使它改变这种状态为止。
对于牛顿第一定律应明确： 牛顿第一定律的重要意义是从力的起源（力是物体间的相互作 用）和力的效果（力是改变运动状态的原因）上肯定了力的概
念。并说明了一切物体都具有惯性，所以又称为惯性定律。
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2、牛顿第二定律
牛顿第二定律的内容可表述如下：质点所