吉林大学考研真题数据结构1998
计算机专业基础综合数据结构(排序)历年真题试卷汇编1
计算机专业基础综合数据结构（排序）历年真题试卷汇编1(总分：72.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：15，分数：30.00)1.下列序列中，( )是执行第一趟快速排序后所得的序列。
【福州大学1998一、9(2分)】A.[68，11，18，69] [23，93，73]B.[68，11，69，23] [18，93，73]C.[93，73][68，11，69，23，18] √D.[68，11，69，23，18] [93，73]枢轴是73。
2.适合并行处理的排序算法是( )。
【西安电子科技大学2005一、8(1分)】【电子科技大学2005一、8(1分)】A.选择排序B.快速排序√C.希尔排序D.基数排序3.一组记录的关键字为(46，79，56，38，40，84)，则利用快速排序的方法，以第一个记录为基准得到的一次划分结果为( )。
【北京交通大学2005一、8(2分)【燕山大学2001一、4(2分)】A.(38，40，46，56，79，84)B.(40，38，46，79，56，84)C.(40，38，46，56，79，84) √D.(40，38，46，84，56，79)如何对一趟快速排序的结果在最短的时间内做出正确判断，这里给出建议：首先84应该不动，所以D排除了；接着40应调到序列首，所以A排除了；接着79应调到移走40的空位上，B排除了。
选择答案C，不必再继续做了(假定确有唯一正确答案)。
4.下列排序算法中，( )算法可能会出现下面的情况：初始数据有序时，花费的时间反而最多。
【中南大学2005一、4(2分)】A.快速排序√B.堆排序C.希尔排序D.冒泡排序5.将一组无序的数据重新排列成有序序列，其方法有：( )。
【武汉理工大学2004一、8(3分)】A.拓扑排序B.快速排序√C.堆排序√D.基数排序√6.就平均性能而言，目前最好的内排序方法是( )排序法。
【西安电子科技大学1998一、9(2分)】A.冒泡B.希尔插，AC.交换D.快速√7.如果只想得到1000个元素组成的序列中第5个最小元素之前的部分排序的序列，用( )方法最快。
吉林大学数据结构练习题
数据结构复习题一、单项选择题1. 不带头结点的单链表head为空的判断条件是( )。
A.head==NULLB.head->next==NULLC.head->next==headD.head!=NULL2. 链表不具有的特点是( )。
A.可随机访问任一元素B.插入删除不需要移动元素C.不必事先估计存储空间D.所需空间与线性表长度成正比3. 单链表中，增加头结点的目的是为了（）。
A.方便运算的实现B.用于标识单链表C.使单链表中至少有一个结点D.用于标识起始点的位置4. 设输入序列为A,B,C,D,借助一个栈不可以得到的输出序列是( )。
A.A,B,C,DB.A,C,D,BC.D,C,B,AD.D,A,B,C5. 栈和队列都是（）。
A.顺序存储的线性表B.链式存储的线性表C.限制存取点的线性结构D.限制存取点的非线性结构6. 串的长度是（）。
A.串中不同字符的个数B. 串中不同字母的个数C.串中所含字符的个数且字符个数大于0D.串中所含字符的个数7. 栈和队列的主要区别在于（）。
A.它们的逻辑结构不一样B.它们的存储结构不一样C.所包含的运算个数不一样D.插入删除运算的限定不一样8. 从具有n个结点的单链表中查找值等于x的结点时，在查找成功的情况下，平均需比较（）个结点。
A.nB.n/2C.(n-1)/2D.(n+1)/29. 线性表是具有n个（）的有限序列。
A. 表元素B. 字符C. 数据元素D. 信息项10. 某二叉树的前序和后序序列正好相同，则该二叉树一定是（）的二叉树。
A. 空或只有一个结点B. 高度等于其结点数C. 任一结点无左孩子D. 任一结点无右孩子11. 在一棵二叉树的二叉链表中，空指针域数等于非空指针域数加（）。
A. 2B. 1C. 0D. –112. 下列排序算法中,第一趟排序完毕后,其最大或最小元素一定在其最终位置上的算法是（）。
A. 归并排序B. 直接插入排序C. 快速排序D. 冒泡排序13. 深度为n的二叉树中所含叶子结点的个数最多为（）个。
数据结构考研真题及答案
一、选择题1. 算法的计算量的大小称为计算的〔B〕。
【邮电大学2000 二、3 〔20/8分〕】A．效率 B. 复杂性 C. 现实性 D. 难度2. 算法的时间复杂度取决于〔C 〕【中科院计算所1998 二、1 〔2分〕】A．问题的规模 B. 待处理数据的初态 C. A和B3.计算机算法指的是〔C〕，它必须具备〔B〕这三个特性。
(1) A．计算方法 B. 排序方法C. 解决问题的步骤序列 D. 调度方法(2) A．可执行性、可移植性、可扩大性B. 可执行性、确定性、有穷性C. 确定性、有穷性、稳定性D. 易读性、稳定性、平安性【理工大学1999 一、1〔2分〕【交通科技大学1996 一、1〔4分〕】4．一个算法应该是〔B〕。
【大学1998 二、1〔2分〕】A．程序B．问题求解步骤的描述C．要满足五个根本特性D．A和C.5. 下面关于算法说法错误的选项是〔D〕【理工大学2000 一、1〔1.5分〕】A．算法最终必须由计算机程序实现B.为解决*问题的算法同为该问题编写的程序含义是一样的C. 算法的可行性是指指令不能有二义性D. 以上几个都是错误的6. 下面说法错误的选项是〔C〕【理工大学2000 一、2 〔1.5分〕】(1〕算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间〔2〕在一样的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法〔3〕所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界〔4〕同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低4A．(1) B.(1),(2) C.(1),(4) D.(3)7．从逻辑上可以把数据构造分为〔C〕两大类。
【交通科技大学1996 一、4〔2分〕】A．动态构造、静态构造B．顺序构造、链式构造C．线性构造、非线性构造D．初等构造、构造型构造8．以下与数据的存储构造无关的术语是〔D〕。
【北方交通大学2000 二、1〔2分〕】A．循环队列 B. 链表 C. 哈希表 D.栈9．以下数据构造中，哪一个是线性构造〔D〕.【北方交通大学2001 一、1〔2分〕】A．广义表 B. 二叉树 C. 稀疏矩阵 D. 串10．以下那一个术语与数据的存储构造无关.〔A〕【北方交通大学2001 一、2〔2分〕】A．栈 B. 哈希表 C. 线索树 D. 双向链表11．在下面的程序段中，对*的赋值语句的频度为〔C〕【工商大学2001 一、10〔3分〕】FOR i:=1 TO n DOFOR j:=1 TO n DO*:=*+1;A．O(2n) B．O(n) C．O(n2) D．O(log2n) 12．程序段FOR i:=n-1 DOWNTO 1 DOFOR j:=1 TO i DOIF A[j]>A[j+1]THEN A[j]与A[j+1]对换；其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是〔D〕A. O〔n〕B. O(nlogn)C. O(n3)D. O(n2)【理工大学1998一、1(2分)】13．以下哪个数据构造不是多型数据类型〔D〕【大学1999 一、3〔1分〕】A．栈B．广义表C．有向图D．字符串14．以下数据构造中，〔A〕是非线性数据构造【大学1999 一、4】A．树B．字符串C．队D．栈15. 以下数据中，〔C〕是非线性数据构造。
数据结构考研真题及其答案完整版
数据结构考研真题及其答案完整版数据结构是计算机科学与技术领域中的一门重要课程，也是计算机考研中必考的一门科目。
通过研究数据结构，可以帮助我们更好地理解和应用计算机算法，提高计算机程序的效率和性能。
为了帮助考生更好地备考数据结构，本文将分享一些数据结构考研真题及其答案，供考生参考。
一、选择题1. 下列关于栈的叙述中，错误的是（）A. 栈是一种线性数据结构，具有后进先出（LIFO）的特点B. 栈可以用数组实现，也可以用链表实现C. 栈的插入和删除操作都是在同一端进行的D. 栈的插入和删除操作的时间复杂度都是O(1)答案：C解析：栈的插入操作叫做入栈，删除操作叫做出栈。
入栈和出栈操作都是在栈顶进行的，而不是同一端。
2. 假设要对n个整数关键字进行排序，以下排序算法中，平均时间复杂度最小的是（）A. 冒泡排序B. 快速排序C. 归并排序D. 直接插入排序答案：C解析：归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，平均时间复杂度最小。
二、填空题1. 下列关于图的遍历顺序的说法中，正确的是：深度优先搜索访问的顺序是________，广度优先搜索访问的顺序是________。
答案：前序遍历，层次遍历解析：深度优先搜索即前序遍历，广度优先搜索即层次遍历。
2. 给定一个最小堆，若删除堆顶元素后，需要对堆进行调整，所采用的操作是________。
答案：下滤解析：删除堆顶元素后，将最后一个叶子节点放到堆顶，然后进行下滤操作。
三、简答题1. 请简要说明动态规划算法的基本思想和应用场景。
答：动态规划算法的基本思想是将问题分解为多个子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
它通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划算法可以大大减少问题的重复计算，提高算法的效率和性能。
它在求解最短路径、最长公共子序列、背包问题等具有广泛的应用。
2. 请简要介绍红黑树的特点和应用场景。
答：红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它具有以下特点：1) 每个节点都有一个颜色，红色或黑色；2) 根节点是黑色的；3) 叶子节点（NIL节点）都是黑色的；4) 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的；5) 从根节点到叶子节点的路径上，不同路径上黑节点的个数相同。
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰=_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()xd tf x t dt dx -⎰= (A)2()xf x (B)2()xf x - (C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π (B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有 (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.附:t 分布表 {()()}p P t n t n p ≤=1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x →=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x x xx →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limxx →''洛0x→= 0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x →-++=14=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++ 【分析】因为1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x ∂∂或z y∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求z x∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦,2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().z y f xy f xy y x y x y y x x yf xy x f xy f xy x x y y x y x x xf xy f xy yf xy x y y x y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求z y∂∂. 11()()()()()()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x xf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []22()()()()()().z z f xy x y y x y x y y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：()[][][]21()()1()()()()()()().z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x yyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上,22222213412(34)1212.43L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰因此, 原式222(34)12LLxyds x y ds a =++=⎰⎰.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分(),lf x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l 关于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：()()()()12,,,,0,l lf x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：()()()()22,,,,0,l lf x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. (4)【答案】 21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】方法1：设A 的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有,(0)A ξλξξ=≠.由0A ≠,知0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),将上式两端左乘A *,得A A A A A ξξλξλξ***===,从而有 *,AA ξξλ=(即A *的特征值为Aλ).将此式两端左乘A *,得()22**AA A A ξξξλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭.又E ξξ=,所以()()22*1A A E ξξλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.方法2：由0A ≠,A 的特征值0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),则1A -有特征值1λ,A *的特征值为A λ；*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.若AX X λ=,则()()A kE X AX kX k X λ+=+=+.即若λ是A 的特征值,则A kE +的特征值是k λ+.2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且11AA A-*=. (5)【答案】14【解析】首先求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y .21(,)|1,0D x y x e y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭, 区域D 的面积为22111ln 2.e e D S dx x x===⎰1,(,),(,)20, x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.其次求关于X 的边缘概率密度.当1x <或2x e >时,()0X f x =；当21x e ≤≤时,1011()(,)22x X f x f x y dy dy x+∞-∞===⎰⎰. 故1(2).4X f =二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,u x t =-2:0:0t x u x →⇒→,()222du d x t tdt =-=-12dt du t⇒=-, 222022220001()()211()(),22xx xx tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰()2220022221()()211()()2(),22x x d d tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x -='=⋅=⋅=⎰⎰选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t ft t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 22222222(2)(1),1,(2)(1),10,()(2)(1),01,(2)(1),1,x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧---<-⎪----≤<⎪=⎨---≤<⎪⎪---≤⎩⇒ ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x ---→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,即()f x 在1x =-处可导.又()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x ---→→-----'===, ()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x+++→→-----'===-,所以()f x 在0x =处不可导.类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ϕ=. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y x y x α∆∆=++有2.1y y x x xα∆=+∆+∆ 令0,x ∆→得α是x ∆的高阶无穷小,则0lim0x xα∆→=∆,0limx y x ∆→∆∆20lim 1x yx x α∆→⎛⎫=+ ⎪+∆⎝⎭200lim lim 1x x y x x α∆→∆→=++∆21y x =+ 即21dy y dx x=+. 分离变量,得2,1dy dx y x=+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.xy C e=代入初始条件(0),y π=得()arctan0110.y C e C π===所以,arctan xy eπ=.故 arctan 1(1)xx y eπ==arctan1eπ=4.e ππ=【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:x a y b z c L a a b b c c ---==---,1112232323:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.又由333121212x a y b z c a a b b c c ---==---得333121212111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,即()()()312312312121212x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==---. 同样由111232323x a y b z c a a b b c c ---==---,得111232323111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,即 ()()()123323323232323x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知{}{}{}{}{}{}{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A-==-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).【相关知识点】条件概率公式：{}{}{}|P AB P B A P A =.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入平面∏的方程,得(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11:112x y z L --'==-,即1,,12.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩并求L '与平面∏的交点2N ：1(1)()2(12)103t t t t +--++-=⇒=-,交点为2211(,,)333N .1N 与2N 的连接线即为所求021:421x y zL --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是111110112x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：2,1(1).2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为,,.xy yzθθ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩消去θ得S的方程为()222212(1)2x z y y⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦,即2224174210.x y z y-++-=四、(本题满分6分)【解析】令42(,)2(),P x y xy x yλ=+242(,)(),Q x y x x yλ=-+则(,)((,),(,))A x y P x y Q x y=在单联通区域右半平面0x>上为某二元函数(,)u x y的梯度Pdx Qdy⇔+在0x>上∃原函数(,)u x y⇔,0.Q Pxx y∂∂=>∂∂其中, 42242132()()4Qx x y x x y xxλλλ-∂=-+-+⋅∂,424212()2()2Px x y xy x y yyλλλ-∂=+++⋅∂.由Q Px y∂∂=∂∂,即满足4224213424212()()42()2()2x x y x x y x x x y xy x y yλλλλλλ---+-+⋅=+++⋅,424()(1)01x x yλλλ⇔++=⇔=-.可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求(,)u x y,采用折线法,在0x>半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有2(,)42(1,0)2(,)x yxydx x dyu x y Cx y-=++⎰24421020x yx xdx dy Cx x y⋅-=++++⎰⎰(折线法)242y x dy Cx y-=++⎰2242(1)yx dy C y x x -=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(第一类换元法)222222004221(1)(1)yy x x y y d C d C x x y y x x x ⋅⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2arctan yC x=-+(基本积分公式) 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数(,)u x y 的梯度公式：u u gradu i +j x y∂∂=∂∂. 2.定理：设D 为平面上的单连通区域,函数()P x,y 与(,)Q x y 在D 内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：(1),(,)Q Px y D x y∂∂≡∈∂∂； (2) 0,LPdx Qdy L +=⎰为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3)LABPdx Qdy +⎰仅与点,A B 有关,与连接,A B 什么样的分段光滑曲线无关；(4) 存在二元单值可微函数(,)u x y ,使du Pdx Qdy =+(即Pdx Qdy +为某二元单值可微函数(,)u x y 的全微分； (5) 微分方程0Pdx Qdy +=为全微分方程；(6) 向量场P +Q i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度u P +Q =grad i j .换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)u x y .五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得202,0,0.t t d ym mg B g kv y vdtρ===--== (*)由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程10,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.分离变量得 mvdy dv mg B kv ρ=--,两边积分得 mvdy dv mg B kv ρ=--⎰⎰,2222()()()Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dvk mg B kv m m mg B dv dvk k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+=------+=--⎛⎫- ⎪=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2()ln()m m mg B v mg B kv C k kρρ-=----+.再根据初始条件0|0,y v ==即22()()ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k k ρρρρ----+=⇒=-.故所求y 与v 函数关系为()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭六、(本题满分7分)【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含12222()x y z ++,因此不能立即加、减辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：2212222()1().()axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++==++++⎰⎰⎰⎰ 添加辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,其侧向下(由于∑为下半球面z =侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有11222211()()()1()().D I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a z a ax dV a dxdy a x z ∑+∑∑Ω=++-++⎛⎫⎡⎤∂+⎛⎫∂⎣⎦ ⎪=-+-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz 平面投影面积为零,则10axdydz ∑=⎰⎰,而1∑上0z =,则()22z a a +=.21(2())D I a z a dV a dxdy a Ω⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D 为1∑在xoy 面上的投影222{(,)|}D x y x y a =+≤. 从而,220322001321232.3D a I a dv zdv a dxdy a a a d rdr a a a ππθπΩΩ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.()2042400242200242300224224440411222112()21()1122242412a a a aI a d r z dr a a a d r a r dr a a d a r r draa r r a a a a a a a a a a ππππθππθπθππππππ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎝⎭⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⋅-=-+⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4342a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 方法2：逐项计算：2212222212()1()()1().axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a x y z xdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,12,Dyz DyzDyzI xdydz ∑==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域∑的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积函数在x 取负数.yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤,用极坐标,得2102203223320212()2222()(0),333aI d a r a r a a ππθππππ=-=-⋅--=-=-=-⎰⎰⎰(222222002302300042230044411()1(22)2(22)2222123422(3Dxya a a a a a a I z a dxdy a dxdya a d a r rdra a r r dr a a rdr a r dr a r a r a a a a a a aπθππππ∑=+=-=-=-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3),46a π=其中yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|}yz D y z y z a =+≤.故312.2I I I a π=+=-【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均相同是n 时,n 项和式2sin sinsin n n n n n x nnnπππ=+++是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分1sin xdx π⎰求得极限lim nn x→∞.【解析】由于sinsin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n iπππ≤≤=⋅⋅⋅++,于是,111sinsin sin 11nn ni i i i i i n n n n nn iπππ===≤≤++∑∑∑.由于 1011sin12limlim sin sin nnn n i i i i n xdx n n n ππππ→∞→∞=====∑∑⎰,10111sin112lim lim sin lim sin sin 11nn nn n n i i i i n i i n xdx n n n n n n πππππ→∞→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦∑∑∑⎰根据夹逼定理知,1sin2lim1nn i i n n iππ→∞==+∑. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞→+∞==,则lim n n x a →+∞=.八、(本题满分5分)【解析】方法1：因正项数列{}n a 单调减少有下界0,知极限lim n n a →∞存在,记为a ,则n a a ≥且0a ≥.又1(1)nn n a ∞=-∑发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a >(否则级数1(1)n n n a ∞=-∑收敛).又正项级数{}n a 单调减少,有11,11nnn a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭而1011a <<+,级数11()1n n a ∞=+∑收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 方法2：同方法1,可证明lim 0n n a a →∞=>.令1,1nn n b a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则11lim1,11n n na a →∞==<++根据根值判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<反之,若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2)lim 0n n u →∞=,所以有lim 0.n n u →∞>(否则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛)2.正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1)当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2)当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3)当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.3.根值判别法：设0n u >,则当111, 1, lim 0,1, .n n n n n n n u u u ρ∞=∞→∞=⎧<⎪⎪⎪=>≠⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑时收敛，时发散，且时此判别法无效九、(本题满分6分)【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：1(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则存在正交矩阵P ,使得 1000010004P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 记,即A B 与相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,211014,3, 1.(1)0.a a b A b B ++=++⎧⎪⇒==⎨=--==⎪⎩从而,111131.111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当10λ=时,()1110131111E A ---⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1(1)23⨯-行分别加到，行111020000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为12320,20.x x x x ---=⎧⎨-=⎩(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为1(1,0,1).Tα=-当21λ=时,()011121110E A --⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3(1)2⨯-加到行011011110--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(1)2⨯-行加到行011000110--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，行互换011110000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是得方程组()0E A x -=的同解方程组为23120,0.x x x x --=⎧⎨--=⎩()2r E A -=,可知基础解系的个数为()321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为2(1,1,1).Tα=-当34λ=时,()3114111113E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12，行互换111311113--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1行的3,(-1)倍分别加到2，3行111024024--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23行加到行111024000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是得方程组(4)0E A x -=的同解方程组为123230,240.x x x x x -+-=⎧⎨-=⎩(4)2r E A -=,可知基础解系的个数为(4)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取22x =,解得基础解系为3(1,2,1).Tα=由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123,,ααα相互正交. 将123,,ααα单位化,得111222333,,.TTTαηααηααηα======因此所求正交矩阵为0P ⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣. 评注：利用相似的必要条件求参数时,iiiia b=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用E A E B λλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特征值的性质：11nni iii i aλ===∑∑2.相似矩阵的性质：若矩阵A B 与相似,则A B =.十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得10110.()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*两边左乘1k A -,则有()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,即 12(1)0110k k k k A A Aλαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0kA α=,可知()2110k k A A αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以00.λ=将00λ=代入()*,有1110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.两边左乘2k A -,则有 ()21110k k k A A A λαλα---+⋅⋅⋅+=,即123110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.同样,由0kA α=,()2110k k A A αα-+==,可得110.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以10.λ=类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k 使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．十二、(本题满分5分) 【解析】()II 的通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.理由：可记方程组22()0,()0,n n n n I A X II B Y ⨯⨯==()I ,()II 的系数矩阵分别记为,A B ,由于B 的每一行都是20n n A X ⨯=的解,故0T AB =.TB 的列是()I 的基础解系,故由基础解系的定义知,T B 的列向量是线性无关的,因此()r B n =.故基础解系所含向量的个数2()n n r A =-,得()2r A n n n =-=.因此,A 的行向量线性无关.对0TAB =两边取转置,有()0TT T ABBA ==,则有T A 的列向量,即A 的行向量是0BY =的线性无关的解.又()r B n =,故0BY =基础解系所含向量的个数应为2()2n r B n n n -=-=,恰好等于A 的行向量个数.故A 的行向量组是0BY =的基础解系,其通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.十三、(本题满分6分)【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y-,这样可以简化整题的计算.【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且()()()0E Z E X E Y =-=,11()()()122D Z D X D Y =+=+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.()()()()()()()22222()1.D X Y D ZE ZE Z D Z E Z E ZE Z-==-=+-=-而2222z z E Z z dz ze dz +∞+∞---∞==⎰2222202z z z ed e+∞+∞--⎡⎤⎛⎫==-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ 故21.D X Y π-=-【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2.方差的定义：22()DX EX EX =-.3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：212,,,~(3.4,6)n X X X N ,11nn i i X X n ==∑,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,211~(,)n n i i X X N n μσ==∑.其中11n n i i EX E X n μ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑,211n n i i DX D X n σ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑.根据期望和方差的性质,1122222211111 3.4 3.4,11166.n nn i i i i n n nn i i i i i i n EX E X EX n n n n DX D X D X DX n n n n n μσ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑所以,2116~(3.4,)n n i i X X N n n ==∑.把n X 标准化,~(0,1)X U N =. 从而,{}{}{}{}1.4X 5.4 1.4 3.4X 3.4 5.4 3.42X 3.42X 3.42210.95,P P P P P <<=-<-<-=-<-<=-<=<=Φ-≥⎝⎭⎪⎩⎭故0.975,Φ≥⎝⎭查表得到 1.96,3≥即()21.96334.57,n ≥⨯≈所以n 至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-十五、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：001:70,:70,H H μμμ==≠由于2σ未知,故用t 检验.选取检验统计量,X T ==在070μμ==时,2~(70,),~(35).X N T t σ 选择拒绝域为{}R T λ=≥,其中λ满足：{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：1.42.0301t ==<.所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.。
数据结构考研真题及其答案
数据结构考研真题及其答案数据结构是计算机科学与技术专业考研中的重要科目之一，它对于培养学生的程序设计和算法分析能力具有关键作用。
以下将为大家呈现一些典型的数据结构考研真题，并提供详细的答案解析。
一、选择题1、若一个栈的输入序列为 1, 2, 3, 4, 5，不可能得到的输出序列是（）A 2, 3, 4, 1, 5B 5, 4, 3, 2, 1C 1, 5, 4, 3, 2D 3, 4, 2, 5, 1答案：C解析：栈的特点是“后进先出”。
对于选项 C，先输出 1，意味着 2、3、4、5 都已入栈，此时栈顶元素为 5，不可能接着输出 5 之后就输出4。
2、已知一棵二叉树的先序遍历序列为 ABCDEFG，中序遍历序列为 CBDAEGF，则其后序遍历序列为（）A CDBAFGEB CDBGFEAC CDBAGFED BCDAFGE答案：B解析：先根据先序和中序遍历序列构建二叉树。
先序遍历中第一个节点 A 为根节点，在中序遍历中找到 A，其左边的 CBD 为左子树，右边的 EGF 为右子树。
同样的方法确定左子树和右子树的结构。
然后按照“左子树右子树根节点”的顺序得到后序遍历序列 CDBGFEA。
3、对于一个具有 n 个顶点的无向图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的非零元素个数为（）A n(n 1) ／ 2B n(n ＋ 1) ／ 2C n(n 1)D n(n ＋ 1)答案：A解析：无向图的邻接矩阵是对称的。
对于顶点 i 和 j（i ≠ j），若它们之间有边，则矩阵中对应位置为 1，共有 n(n 1) ／ 2 对不同的顶点对，所以非零元素个数为 n(n 1) ／ 2 。
二、简答题1、简述冒泡排序的基本思想，并分析其时间复杂度和空间复杂度。
答案：冒泡排序的基本思想是通过相邻元素的两两比较和交换，将最大（或最小）的元素逐步“浮”到数组的一端。
时间复杂度：在最坏情况下，即数组完全逆序，需要进行 n 1 轮比较，每轮比较 n i 次（i 为轮数，从 1 到 n 1），所以总的比较次数为n(n 1) ／ 2，时间复杂度为 O(n^2)。
1998考研数学一真题及答案详解
1998考研数学一真题及答案详解1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)limx?01?x?1?x?2?.x21?2z(2)设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?.x?x?yx2y222(2xy?3x?4y)ds?.??1,其周长记作a,则?(3)设l为椭圆?l43(4)设a为n阶矩阵,a?0,a为a的充斥矩阵,e为n阶单位矩阵.若a存有特征值?,则(a*)2?e必有特征值.(5)设平面区域d由曲线y?*12及直线y?0,x?1,x?e所围起,二维随机变量(x,y)在x区域d上顺从均匀分布,则(x,y)关于x的边缘概率密度在x?2处的值_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设f(x)连续,则2dx22tf(x?t)dt?()?0dx222(a)xf(x)(b)?xf(x)(c)2xf(x)(d)?2xf(x)23(2)函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导点的个数是()(a)3(b)2(c)1(d)0(3)未知函数y?y(x)在任一点x处的增量?y?y?x??,且当?x?0时,?就是?x的高21?x阶无穷小,y(0)??,则y(1)等同于()(a)2?(b)?(c)e(d)?e44a1(4)设矩阵a2a3b1b2b3c1?x?a3y?b3z?c3c2?是满秩的,则直线与直线a1?a2b1?b2c1?c2c3??x?a1y?b1z?c1??()a2?a3b2?b3c2?c3(a)平行于一点(b)重合1(c)平行但不重合(d)异面(5)设a、b是两个随机事件,且0?p(a)?1,p(b)?0,p(b|a)?p(b|a),则必有()(a)p(a|b)?p(a|b)(b)p(a|b)?p(a|b)(c)p(ab)?p(a)p(b)(d)p(ab)?p(a)p(b)三、(本题满分5分)谋直线l:x?1yz?1??在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,ZR1911?1l0拖y轴转动一周阿芒塔曲面的方程.四、(本题满分6分)确认常数?,并使在右半平面x?0上的向量a(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,ZR19u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按观测建议,须要确认仪器的下陷深度y(从海平面算是起至)与下陷速度v之间的函数关系.设仪器在重力促进作用下,从海平面由恒定已经开始圆外下陷,在下陷过程中还受阻力和浮力的促进作用.设仪器的质量为m,体积为b,海水比重为?,仪器难以承受的阻力与下陷速度成正比,比例系数为k(k?0).试创建y与v所满足用户的微分方程,并算出函数关系式y=y?v?.六、(本题满分7分)排序axdydz?(z?a)2dxdy(x2?y2?z2)12,其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)2sinsinsinnn谋lim.n??11n?1?n?n??2n??八、(本题满分5分)2设正项数列?an?单调减少,且明理由.九、(本题满分6分后)设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存有x0?(0,1),使在区间?0,x0?上用f(x0)为低的矩形面积,等同于在区间?x0,1?上用y?f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设立f(x)在区间(0,1)内可微,且f?(x)??十、(本题满分6分)未知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4,可以经过正交变换(1)an发散,试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛？并说an?12f(x),证明(1)中的x0是唯一的.x?xy??pz?化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵p.十一、(本题满分4分后)设a是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组ax?0有解向量?,且a??0,证明：向量组?,a?,?,a十二、(本题满分5分后)已知线性方程组k?1kk?1?就是线性毫无关系的.a11x1a12x2a1,2nx2n0,a21x1a22x2a2,2nx2n0,(i) an1x1?an2x2?????an,2nx2n?0?的一个基础解系为(b11,b12,,b1,2n),(b21,b22,,b2,2n),,(bn1,bn2,,bn,2n),试写出线性方程组ttt3b11y1b12y2b1,2ny2n0,b21y1b22y2b2,2ny2n0,(ii) bn1y1?bn2y2?????bn,2ny2n?0?的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分后)设两个随机变量x,y相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态分布,谋随机变量2x?y的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体n(3.4,62)中提取容量为n的样本,如果建议其样本均值坐落于区间(1.4,5.4)内的概率不大于0.95,问样本容量n至少马热里角多小？附表：标准正态分布表中?(z)??z??1edt2??t22z(z)1.280.9001.6450.9501.960.9752.330.990十五、(本题满分4分后)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t分布表p{t(n)?tp(n)}?pp0.950.975tp(n)n35361.68961.68832.03012.028141998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分后,满分15分后.)(1)【答案】?14【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替代,原式?limx?01?x?1?x?2x21?x?1?x?21?x?1?x?2??limx?01?x?1?xx22?41?x?1?x?2limx?02?1?x2?14x2?1?x211?1?x2?1??x2?lim22??.x?02x24方法2：使用洛必达法则.原式?洛?limx?011?1?x?1?x?2?lim21?x21?xx?02xx211?1?x?1?x1?x?1?x?洛?lim21?x21?x?lim?limx?0x?0x?044x4x1?x211limx?021?x121?x??.44方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式进行至x项,211111?x?1?x?x2?o1?x2?,1?x?1?x?x2?o2?x2?,282811111?x?x2?o1?x2??1?x?x2?o2?x2??22828从而原式?lim2x?0x1?x2?o1?x2??o2?x2?1??.?lim42x?04x(2)【答案】yf??(xy)(x?y)?y(x?y)5。
吉林大学语言学真题
（25）吉林大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题报考专业：现代汉语、语言学研究方向：汉语言文字学、语言学考试科目：现代汉语一、解释下列概念。
（其中第1题至第4题要求说明二者之间的关系。
每题5分，共30分。
）1、辅音和声母；2、偏旁和部首；3、义位（义项）和义素；4、词组和句子；5、实词和虚词；6、列举分承。
二、简答题。
（每题5分，共20分。
）1、汉语拼音方案用同一个字母i代表哪几个不同的音素？为什么不至于发生混淆？2、“和”有几个读音？请列举说明并注音。
3、词的比喻义和词在修辞上的比喻用法有何区别？请列举说明。
4、“你不觉得我们的解放军战士不都像当年的雷锋吗？”上面这个句子为什么是错误的？三、分析和变换题。
（共30分）1、分析下边各组音素中的两个音素的相同相异之处。
（5分）（1）z—c；（2）sh—r；（3）f—h；（4）i—ü；（5）i—Ê2、分析下边的词各有几个语素，并说明理由。
（5分）（1）朦胧诗；（2）蜘蛛网；（3）迪斯科；（4）积极性；（5）玫瑰红3、像下面这类句子（a、b），从句型上看，可以有几种分析法？（4分）a、他什么都会。
b、我一个人也不认得。
4、分析下边各句中的同形词各属于什么性质的，并说明理由。
（6分）（1）那个人卖的瓜很甜．，他的嘴儿更甜。
．．（2）你别．把钢笔别．在胸前。
（3）请那位翻译．．一下。
．．过来给翻译5、用层次分析法分析下面的词组。
（6分）静得几乎连一根松针落下来都可以听见6、把下列句子改写成主谓谓语句。
（4分）（1）这本书的内容相当不错。
（2）我们调查清楚了造成事故的原因。
（3）他觉得写起这种文章来很费劲。
四、论述题。
（每题10分，共20分）1、副词“很”都能修饰哪些词类或词组？它在区分词类方面有何功能？2、修辞要“适应特定的题旨情境”，“题旨情境”包括哪些内容？请结合《战国策》中的《触龙说赵太后》或《天安门诗抄·黄浦江上有座桥》的内容加以论述。
数据结构 吉林大学考试题库答案
数据结构单选题：1．线性链表中各结点之间的地址（）。
4.连续与否无所谓2 线性表是具有n个( )的有限序列。
3.数据元素3 若长度为n的线性表采用顺序存储结构，在其第i个位置插入一个新元素的算法的时间复杂度为( )。
（1?i ?n+1）3.O(n)4.不带头结点的单链表head为空的判断条件是( )。
1.head==NULL5.线性表的长度是指（）3.表中的元素个数6.某数组第一个元素的存储地址为200，每个元素的长度为4，则第五个元素的地址是（）。
3.2167.链栈和顺序栈相比，有一个较明显的优点是( )。
1.通常不会出现栈满的情况8 带头结点的单链表head为空的判断条件是( )。
2.head->next==NULL9 在单链表中增加头结点的目的是为了( )。
1.方便运算的实现11 若某链表最常用的操作是在最后一个结点之后插入一个结点和删除最后一个结点，则采用( )存储方式最节省空间。
3.带头结点的双循环链表12.单链表的存储密度（）。
3.小于113 非空的循环单链表head的尾结点（由p指针所指）满足( )。
3.p->next==head14 在一个单链表中，已知(*q)结点是(*p)结点的前驱结点，若在(*q)和(*p)之间插入(*s) 结点,则执行( )。
3.q->next=s ; s->next=p ;15 在一个单链表中，若删除(*p)结点的后继结点，则执行( )。
1.p->next=p->next->next ;16 设输入序列为的1,2,3,4,借助一个栈可以得到的输出序列是( )。
1.1,3,4,217．以下叙述正确的是( )。
3.顺序存储的线性表可以随机存取18.设输入序列为的A,B,C,D,借助一个栈不可以得到的输出序列是( )。
4.D,A,B,C19 栈和队列都是（）3.限制存取点的线性结构20．设输入序列为1,2,3,4,5，借助一个栈可以得到的输出序列是( )。
1998考研数学一真题及答案解析
关系式 y = y v .
六、(本题满分7分)
计算
axdydz (z (x2 y2
a)2 z2)
dxdy
12
,
其中
为下半球面
z
a2 x2 y2 的上侧, a 为大
化为椭圆柱面方程 2 4 2 4 ,求 a, b 的值和正交矩阵 P .
十一、(本题满分4分)
设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k ,使线性方程组 Ak x 0 有解向量 ,且 Ak1 0 , 证明：向量组 , A ,, Ak1 是线性无关的.
十二、(本题满分5分)
区域 D 上服从均匀分布,则 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x 2 处的值为 _ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1) 设 f (x) 连续,则 d x tf (x2 t2 )dt
dx 0
(A) xf (x2 )
(B) xf (x2 )
(C) 2xf (x2 )
y
y ( x
y)
f (xy) y(x y)
x
y
yf (xy) (x y) y(x y).
评注：本题中, f , 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注
意到对 x 求导时, y 视为常数；对 y 求导时, x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a
(A) 相交于一点
(B) 重合
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吉林大学《材料科学基础》1998年-2015年考研真题
吉林大学1998年-2015年硕士研究生入学考试《材料科学基础》1998年硕士研究生入学考试试题《材料科学基础》1.1对比解释下列概念1.1金属与非金属的本质差别是什么？1.2间隙固溶体与间隙相得本质差别是什么？1.3过冷奥氏体与残余奥氏体的本质差别是什么？1.4加工硬化和二次加工硬化的区别是什么？2计算题2.1计算体心立方晶体晶胞和面心立方晶胞中的原子半径（r），晶格常数为a 2.2计算出在体心立方体晶胞和面心立方体晶胞中的滑移系数2.3计算出在Wc=5.9%过共晶白口铸铁中的室温组织组成物和相组成物的含量{注：铁素体的含碳量忽略不计}3解释下列定义3.1过冷度3.2位错密度3.3伪共晶3.4晶格4回答下列问题4.1在二元合金状态图中，由相律判断自由度f等于零的线叫做什么线？{举出4个例子}4.2不能用热处理强化的Al-Si合金或变形铝合金的强化途径是什么？5叙述与回答下列问题5.1钢的退火及其种类5.2常用的淬火方法有几种，在C-曲线图中表示出来6以共析钢为例试分析连续冷却转变曲线（CCT曲线）对热处理生产有何直接指导作用7金属的结晶形核有哪些要点8在铸铁一般都进行哪些热处理9绘出A-m直线上的合金垂直截面和填上各区的相1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题《材料科学基础》1.1解释下列概念1.1滑移系1.2伪共晶1.3晶体的各向异性1.4再吸附2说明下列概念的本质区别2.1结晶、再结晶2.2金属热加工、冷加工2.3间隙相、间隙固溶体3简述晶体长大的条件4根据晶体的塑性变形过程，分析多晶体变形的特点5写出扩散第一定律和扩散第二定律的表达式{注：J-扩散通量D-扩散系数（与浓度无关）C-浓度x-距离t-时间}6根据铁碳相图分析60号钢的结晶过程，并用杠杆定律计算出它在室温下的组织组成物的含量{注：a点含碳量视为零}7分别叙述锰硅硫磷氢对钢质量性能的影响8简述金属固态相变类型吉林大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题《材料科学基础》1.1解释下列概念1.1金属键1.2加工硬化1.3比重偏析1.4回火1.5晶胞2对比说明下列物理现象的异同点2.1间隙原子在晶内，晶界和晶体表面处的扩散速度2.2晶体的点、线、面缺陷2.3金属材料中的杂质和数量合金化元素3论述影响再结晶后晶粒大小的因素4论述晶体材料分别经过平衡结晶和非平衡结晶之后的组织，性能差别5论述金属结晶时均匀形核和非均匀形核时热力学条件的差异6绘出Fe-Fe3C相图，并说明其中三条水平线的意义，写出反应式7论述奥氏体转变为马氏体过程的特点8论述晶粒大小对塑性变形的影响9按照Pn-Sn合金相图，计算含锡30%合金在室温下先共晶α和共晶体（α+β）的质量百分数吉林大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题《材料科学基础》1.1解释下列概念1.1合金中的相1.2成分过冷1.3伪共晶1.4滑移1.5再结晶2对比说明下列概念的异同点2.1刃型位错、螺型位错2.2TTT曲线、CCT曲线2.3自扩散、异（互）扩散3计算题3.1体心立方晶胞中晶格常数为a，计算出体心立方晶胞中的原子半径r与致密度k3.2根据Fe-Fe3C相图计算共析转变产物中铁素体和渗碳体的含量4综述晶体长大的要点5根据Fe-Fe3C相图分析含碳量对铁碳合金平衡组织和工艺性能的影响6钢的淬透性与淬硬性的本质区别是什么？7试述金属经塑性变形后对组织结构和金属性能的影响8简述金属固态相变的特点和类型吉林大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题《材料科学基础》1.1对比解释下列概念1.1置换固溶体、间隙固溶体1.2晶界、亚晶界1.3凝固、结晶1.4共析转变、共晶转变1.5滑移带、滑移线1.6脆性断裂、韧性断裂1.7一次再结晶、二次再结晶1.8第一次、第二次回火脆性1.9上贝氏体、下贝氏体1.10晶体生长的光滑界面、粗糙界面2α-Fe属于哪种晶体结构，配位数是多少？画出晶胞示意图并计算其致密度和四面体间隙半径与原子半径的比值。
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吉林大学研究生考试题目1998数据结构
一．简要回答下列问题
1．在有个结点的有向图中，会存在长度大于n的欧拉路吗？会存在长度小于n的欧拉路吗？为什么？
2．在权图中，两点u,v的最短路及距离是如何定义的？
3．能否给出一个１０个顶点的图G，且最小度为４，是G成为非HALMILTON图？证明你的结论。
二．已知二叉树T的结点在先根次序下的排列为A[1],A[2],…A[n]，在中根次序的排列为B[1],B[2],…B[n]．其中，A和B是一维数组，数组元素的值为T中相应节点的INFO字段值，并假定二叉树中节点的INFO字段的值互不相同，试回答：
１．证明由A[1:n]和B[1:n]能唯一地确定二叉树的结构；
２．给出建造二叉树T的算法，要求所建造的二叉树以LLINK/RLINK链接结构表示，且该算法是非递归算法；
３．分析你所给算法的时间复杂性，该过程包括如何确定基本运算，如何推导出期望复杂性和最坏复杂性。
三．假定Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是有向图，Ｖ＝｛１，２，．．．，Ｎ｝，Ｎ＞＝１，Ｇ以邻接矩阵方式存储，Ｇ的邻接矩阵为Ａ，即Ａ是一个二维数组，如果Ｉ到Ｊ有边，则Ａ［I,j］=1，否则A[I,j]=0，请给出一个算法，该算法能判断G是否是非循环图（即G中是否存在回路），要求算法的时间复杂性为O(n*n)。
四．设二叉树HT是一棵高度平衡树，当使用二叉查找树的查找与插入算法插入一个新的节点时，该操作可能会破坏HT的平衡性。
试列出可能破坏ＨＴ的平衡性的所有情况，并论证你的结论的正确性（即要证明你所列举的情况恰好是可能破坏ＨＴ的平衡性的所有情况）。