不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文

不等式的几种证明方法及简单应用

姓名

院系数学与计算机科学学院

专业数学与应用数学

班级

学号

指导教师

答辩日期

成绩

及简单应用

不等式的几种证明方法

摘要

我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.

【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式

Method and application of several simple proof of inequality

Abstract

We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.

【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequaliti

es

目录

一、常用方法 (1)

（一）比较法 (1)

（二）分析法 (2)

（三）综合法 (3)

（四）反证法 (3)

（五）迭合法 (4)

（六）放缩法 (4)

（七）数学归纳法 (5)

（八）换元法 (5)

（九）增量代换法 (6)

（十）三角代换法 (6)

（十一）判别式法 (7)

（十二）等式法 (7)

（十三）分解法 (8)

（十四）构造函数法 (8)

（十五）构造向量法 (8)

（十六）构造几何不等式 (9)

（十七）构造方程法 (9)

（十八）“1”的代换型 (10)

（十九）排序不等式 (10)

二、利用函数证明不等式 (11)

（一）函数极值法 (11)

（二）单调函数法 (11)

（三）泰勒公式法 (12)

（四）优函数法 (13)

（五）拉格朗日中值定理法 (14)

三、利用著名不等式证明 (15)

（一）利用均值不等式 (15)

（二）利用柯西不等式 (15)

（三）琴生（Jensen）不等式 (16)

（四）切比雪夫不等式 (17)

（五）赫尔德（Holder）不等式 (18)

（六）伯努利不等式 (19)

（七）三角形不等式 (20)

小结 (20)

参考文献 (21)

致谢 (22)

及简单应用 不等式的几种证明方法

:学生姓名 指导老师：

引 言

不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识， 故论述几种简单的证明方法. 在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而 人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应 的理论，真正进入数学理论部分.

从不等式的探究过程可以发现，在生活中有重要的作用，例如：不等式性 质、证明方法、解法.在本文中，介绍部分证明不等式常用方法、函数证明不等式 和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科 的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增 加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索 不等式的证明使不等式证明更加完善.

一、常用方法

（一）比较法]1[

1.作差法

两个实数a 和b 的大小，可由b a -的正负比较判断.

,0>-b a 如果,那么b a >；,0<-b a 如果,那么b a <;,0=-b a 如果,那么b a =.

例题1： 若两个角0<α<2π，0<β<2

π，求证： sin （α+β）

证：sin （α+β）-(sin α+sin β)=sin α·cos β+cos αsin β-sin α-sin β

=sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1).