任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性(北师大版)
北师大版必修四 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
复习回顾
知识点四 特殊角的三角函数值
x
0 64
3
2 5
2 36
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
2
y sin x 0
1 2
2 31
22
3 2
1 2
0
1 3 22
1 3
2
1 2
0
y cos x 1
32 22
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
记作cosα,即cosα=u
复习回顾
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（二）终边定义法
对于角 α 终边上任意一点 P(x,y)，用 r （r 表示点 P 到原点的距离，则
x2 y2）
y P(x,y)
y 叫做角α的正弦函数，记作sinα，
r
即 sinα=
y r
=
y x2 y2
α
O
A.1
B.0
√C.2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝ssiinn αα－－cocos sαα＝2.
D.－2
3.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.
复习回顾
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（一）单位圆定义法
y
如图，对于任意角α，使角α的顶点
与原点重合，始边与x轴非ห้องสมุดไป่ตู้半轴重合，
终边与单位圆交于点P(u,v), 那么： P(u,v)
北师大版 高考数学总复习 三角函数-任意角的正弦函数、余弦函数的定义+单位圆与周期性
要
所以 sin α＝vr1＝45.
课 时 作 业
点
导 学
(2)由点 P(x,4)在角 α 的终边上，
预
习 负半轴重合，终边与单位圆交于点 P(u，v)，那么点 P 的纵坐标 v
叫作角 α 的正弦函数，记作 v＝sinα ；点 P 的 横坐标 u 叫作角
课 时
要 点
α 的余弦函数，记作 u＝cosα ，通常，我们用 x 表示自变量，即
作 业
导
学 x 表示角的大小，用 y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三
在直角坐标系中，以 原点 为圆心，以 单位长 为半径的圆， 课
时
要 称为单位圆．
作 业
点
导 学
2.
正弦函数、余弦函数的定义
第6页
第一章 §4 4.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
(1)定义 1：一般地，如图所示，在直角坐标系中，给定单位
自 主
圆，对于任意角 α，使角 α 的顶点与 原点 重合，始边与 x 轴非
角函数 y＝sin x 和 y＝cos x．它们的定义域为 全体实数 ，值域
为 [－1,1]．
第7页
第一章 §4 4.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
(2)定义 2：角 α 终边上任一点 P(u1，v1)，设|OP|＝r，由相
自 主
似形原理得设
预 习
v1 sin α＝v＝vr1＝ u21＋v21 ，
业
单位圆与周期性
第3页
第一章 §4 4.1、2
自 主 预 习 要 点 导 学
第4页
北师大版 ·数学 ·必修4
自主预习
课 时
作
业
第一章 §4 4.1、2
北师大版数学必修四课件：第1章§4 4.1-4.2
sin x, k ? Z ；
终边相同的角的余弦值相等，
cos x, k ? Z .
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 2 p
的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的. 我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期 函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2kp (k 喂Z , k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， - 4p , - 2p , 2p , 4p 等都是它们的周期.其中 2p
斜边 对边
对边 斜边
邻边
sin a = _____;cos a = _____;
邻边 斜边
锐角三角函数坐标化
y
P(u,v) r 设锐角 的顶点与原点O 重合,始边与 x 轴的非 负半轴重合.在 的终边上任取一 点 P(u, v) ,它与原点的距离 r u 2 v2 x
MP v sin OP r OM u cos OP r
P(u,v)
α x O M x(1,0)
任意角的三角函数定义
如图，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点 P(u,v)，那么：
y
P(u,v)
O
α
x(1,0) x
1.v叫作α的正弦函数， 记作sinα，即sinα=v；
2.u叫作α的余弦函数， 记作cosα，即cosα=u;
设α 是一个任意的象限角，那么当α 在第一、
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
§4 正弦函数和余弦函数的定义与 诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
1. 掌握正弦函数、余弦函数的定义. 2.利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数, 并知道它们的周期. 3. 知道周期函数的定义.
1.4.1-1.4.2任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件1(北师大版)
x．它们的定义域为全体实数，值域为 [－1,1] ．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号
象限
三角函数
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)∵cos α<0，∴角 α 的终边可能位于第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上． ∵sin α>0，∴角 α 的终边可能位于第一或第二象限或 y 轴非 负半轴上， ∴角 α 的终边只能位于第二象限． 故角 α 的集合为{α|π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
∴cos α＝ x2x＋5＝ 42x，∴x＝± 3.
∵α 是第二象限角，∴x<0，x＝－ 3，
∴sin α＝
5＝ 8
10 4.
答案
10 4
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课堂讲练互动
题型二 三角函数值的符号判定 【例 2】 已知 cos α<0，sin α>0， (1)求角 α 的集合； (2)求角α2的终边所在的象限； (3)试判断 sinα2，cosα2的符号． [思路探索] 由 cos α<0，知 α 在第二、三象限，包括 x 轴的负半 轴，由 sin α>0，知 α 在第一、二象限，包括 y 轴的正半轴，由 两角的范围求交集可求 α 的范围．
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3．关于周期函数和最小正周期的理解 (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个 别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期． (2)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果 没有特别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一，若 T 是 f(x)的周期，则 kT(k∈Z，k≠0) 一定也是 f(x)的周期．
高中数学第1章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课件北师大版必修4
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象 限．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余 弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y轴的右侧 时，cos α>0.
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在 非零实数T ，对定义域内的 任意一个 x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函 数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 最小 的一个， 称为 最小正周期 ．
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ<kπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．
[探究共研型] 利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？ 【提示】 相等． 探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？ 【提示】 都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角 函数定义知函数值相等．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．fπ＋π2≠f(π)不满足任意性． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
[小组合作型] 正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.
4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义(一)课件(北师大版)
求11 的正弦、余弦和正切的值.
3
sin 5 y 3
3
2
cos 5 x 1
3
2
tan 5 y 3
3x
5
3
1
O2
1x 3
12
P
1 2
,
3 2
点评：若已知角a的大小，可求出角a终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值.
结论：终边相同的角的同一三角函数值相等
sin k 2 sin 公式一 cos k 2 cos
在锐角的终边上任取一点P(a,b),设 OP r a2 b2 0
y
P(a, b)
P(a, b)
O
M M x 由OPM OPM ，可知
sin, cos, tan的值与终边上P点位置无关
二、提出问题，探求新知
探究一、锐角的三角函数
当P点选在终边上何处时，sin 和cos 的形式最简单？
以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.
此时P点为锐角终边与单位圆的交点
y
=b
1 P(a,b) OP r 1
a
1
O
1Mห้องสมุดไป่ตู้
x
1
二、提出问题，探求新知
探究一、锐角的三角函数
y
1P P
P
1
O
1
x
1
二、提出问题，探求新知
探究一、锐角的三角函数
如图：设为任意锐角，它的终边与单位圆交于P(a, b)
则b叫做锐角的正弦，记作sin，即sin b
y
tan k 2 tan
k Z.
公式作用:可以把求任意角的三角函数值,
转化为求0到 2 (或0°至360°)角的三角
新教材高中数学第一章单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义ppt课件北师大版必修第二册
2.若角α的终边与单位圆相交于点 ( 2 ， 2 ) ,则sin α的值为 ( )
22
A. 2
B.- 2
C. 1
D.- 1
2
2
2
2
【解析】选B.利用任意角三角函数的定义可知,点 ( 2 ， 2 )到原点的距离为1,
22
2
则sin α= 2 =
2.
1
2
3.(教材二次开发:练习改编)已知P(3,4)是α终边上一点,则sin α等于 ( )
第三步,求值:由sin α= y ,cos α= x 求值.
r
r
类型二 单位圆中的角(直观想象)
【典例】在直角坐标系的单位圆中,已知α= 8 π.
3
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦函数值.
【思路导引】(1)利用终边相同的角找到α的终边; (2)利用直角三角形中的边角关系求交点坐标; (3)利用三角函数定义求正弦函数值.
55
2.已知P(-2,y)是角α终边上一点,且sinα=- 5 ,
5
则cos α=______.
()
3.已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sinα,cosα的值.
【解析】1.选A.由三角函数的定义可知sin α=
3=- , 3
cos α=
4= , 4
42＋ 32
5
42＋ 32
5
所以2sinα+cosα=2× ( 3+) =4- 2.
(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解 ①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数). ②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即 实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v 正弦 实数α(弧度)对应于点P的横坐标u 余弦
北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余 弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边
邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进 一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义 ：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的 终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;
高中数学第一章三角函数4第1课时单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性教学案北师大版必
第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性[核心必知]1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义称为单位圆．，为半径的圆单位长为圆心，以原点以，单位圆的定义：在直角坐标系中(1) (2)正弦、余弦函数的定义：O 终边与单位圆，重合正半轴轴x 始边与，其顶点与原点重合，是任意角α设，如图所示u横坐标的P ；点α_sin ＝v 记作，的正弦函数α叫作角v 纵坐标的P 那么点，)v ，u (P 交于点．α_cos ＝u 记作，的余弦函数α叫作角 (3)正弦、余弦函数的定义域，值域：通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任．]1，1－[值域为，R 它们的定义域为．x _cos ＝y 和x _sin ＝y 意角三角函数 (4)正弦函数、余弦函数值的符号象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sin α ＋ ＋ － － cos α＋－－＋ (1)周期函数)T ＋x (f 都有，值x 任意一个对定义域内的，T 非零常数如果存在，)x (f 对于函数，一般地称为这个函数的周期．T ，为周期函数)x (f 则称，)x (f ＝ ，是正弦函数、余弦函数的周期)0≠k ，Z ∈k (πk 2，数是周期函数正弦函数、余弦函(2) ．最小正周期称为，是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个π2其中(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系；)Z ∈k (α_sin ＝)πk 2＋α(sin ① ．)Z ∈k (α_cos ＝)πk 2＋α(cos ② [问题思考]是2π3那么能否说明，是否成立？如果这个式子成立°sin 30＝)°120＋°(30sin 等式．1正弦函数y ＝sin x 的周期？的周x sin ＝y 是2π3但不能说，成立12＝°sin 30＝°sin 150提示：根据三角函数的定义期，在周期函数定义中，对每一个x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则T 是周期，而等式sin(x ＋120°)＝sin x ，不是对任意的x 成立．如x ＝0°时sin 120°≠sin 0°.2．公式sin(2k π＋x )＝sin x ，k ∈Z ；cos(2k π＋x )＝cos x ，k ∈Z ，揭示了什么规律，有什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．讲一讲1．已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．[尝试解答] 法一：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，，1＝2y ＋2x ．又因为0)＞x (x 2＝y 则 .55＝x ＝αcos ，255＝y ＝αsin 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255，所以 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)，则，|x |5＝x2＋4x2＝x2＋y2＝OP .x 5＝OP 所以，0＞x 又因为；255＝y 5x ＝y x2＋y2＝αsin 所以 .55＝x 5x ＝x x2＋y2＝α cos求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义．(2)利用正、余弦函数定义的推广：若P (x ，y )是角α终边上的任意一点，则sin α＝x x2＋y2.＝αcos ，y x2＋y2练一练1．[多维思考] 本讲中，把“射线y ＝2x (x >0)”改为“直线y ＝2x ”，求sin α，cosα.解：设直线y ＝2x 与单位圆的交点为P (x ，y )．)255－，55－(或)255，55(P 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x2＋y2＝1，则 ；55＝αcos ，255＝αsin 则，)255，55(P ，时>0x 当 ，)255－，55－(P ，时<0x 当 .55＝－αs co ，255＝－αsin 则讲一讲2．(1)判断符号：sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． [尝试解答] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0.∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵sin 2α>0，∴2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， ．)Z ∈k (π2＋πk <α<πk ∴ 当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，；)Z ∈m (π2＋πm 2<α<πm 2有 当k 为奇数时，设k ＝(2m ＋1)(m ∈Z )． ．)Z ∈m (3π2＋πm <2α<π＋πm 2有 ∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x 轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y 轴的右侧时，cos α>0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．进行分类讨论．k 所在象限时应对θ确定)Z ∈k (π2＋πk <θ<πk 由．3 练一练2．已知sin αcos α<0，试写出角α所适合的集合．解：∵sin αcos α<0.⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，cos α>0.或⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，∴ ∴α是第二或第四象限的角．.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪kπ＋π2<α<kπ＋π，k∈Z 的集合为α角∴讲一讲3．求下列三角函数值． (1)cos(－1 050°)；；⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4sin (2) ．)°sin 1 110(42(3)log [尝试解答] (1)∵－ 1 050°＝－3×360°＋30°，∴－1 050°的角与30°的角终边相同．.32＝°cos 30＝°1 050)－(cos ∴，π4＋π4×2＝－31π4－(2)∵ 的终边相同．π4与角31π4角－∴ .22＝π4sin ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4sin ∴ ，12＝°sin 30＝)°30＋°(3×360sin ＝°sin 1 110(3)∵ 1.＝22log ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×42log ＝°4sin 1 1102log ∴利用公式sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x ，k ∈Z ，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．一般步骤是：(1)把角β写成β＝2k π＋α(k ∈Z )形式；(2)求出角α的正弦或余弦；(3)得到角2k π＋α(k ∈Z )的正弦或余弦．练一练3．求下列三角函数值．.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6cos (2)；)°1 020－(sin (1) 解：(1)∵－1 020°＝－3×360°＋60°， ∴－1 050°的角与60°的角的终边相同．.32＝°sin 60＝)°1 050－(sin ∴ ，π6＋π3×2＝－π6＋36π6＝－35π6－(2)∵ 角的终边相同；π6角的终边和35π6－∴ .32＝π6cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6cos ∴已知角α的终边落在直线y ＝－3x 上，求2sin α＋3cos α的值．[错解一] 取直线上一点(1，－3)，则sin α＝－3，cos α＝1，∴2sin α＋3cos α＝2×(－3)＋3×1＝－3.⎝ ⎛1010，与单位圆的交点x 3＝－y 取直线 ]错解二[⎭⎪⎫－31010，1010＝αcos ，－31010＝αsin 得 .31010＝－αcos 3＋α2sin ∴ [错因] 错解一，犯了两个错误，一是对正、余弦函数的定义理解有误．定义中的(x ，y )须是α终边与单位圆的交点坐标，不是任意点。
1.4.1、2任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性 课件 高中数学必修四(北师大版)
法二：当 α 的终边在第一象限时，取终边上一点 P(1,2)． r＝ |OP|＝ 12＋22＝ 5， y 2 2 5 ∴sin α＝ ＝ ＝ ， 5 r 5 x 1 5 cos α＝ ＝ ＝ 5 . r 5 当 α 的终边在第三象限时，同理可求得 y －2 2 5 sin α＝ ＝ ＝－ ， 5 r 5 x －1 5 cos α＝ ＝ ＝－ 5 . r 5
正弦函数、余弦函数的定义
已知角 α 的终边落在直线 y＝2x 上，求 sin α 和 cos α 的值．
【思路探究】 终边落在直线 y＝2x 上的角有两类，所
以应分类讨论求解．
【自主解答】 x＝ 5 5 得 y＝2 5 5
y＝2x 法一：由 2 2 x ＋y ＝1
●重点难点 重点：借助单位圆理解三角函数的定义；利用三角函数 的定义求函数值． 难点：利用角的终边上的点的坐标刻画三角函数；三角 函数的符号以及三角函数线的几何意义．
●教学建议 在讲三角函数的定义时，首先应使学生理解每一个三角 函数都是以角为自变量的函数，在角的终边上所取的点 P(x， y)是任意取定的(当然不取原点)，由三角形的相似可知，所得 比值都对应相等，因此，三角函数值都决定于角的终边的位 置．三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
§ 4 4．1
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4．2 单位圆与周期性
●三维目标 1．知识与技能 根据任意角三角函数的定义，归纳出三角函数在各象限 的符号，并能根据角 α 的某种函数值符号，判断出 α 可能存 在的象限．
2．过程与方法 通过三角函数的定义过程，培养由特殊到一般的解决问 题的思想方法及数形结合分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过三角函数定义的学习，培养从特殊到一般，从简单 到复杂，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到 理性认识的飞跃．
必修4-1.4 .1~1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的定义
虹屏居
4
新 知 预读
预读1解析： 在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位 圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始 边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一 的点P（u，v），我们把点P的横坐标v定义为角α 的正弦函数，记作v=sinα；点P的横坐标u定义为 角α的余弦函数，记作u=cosα． 对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边 与x轴的非负半轴重合，终边上任一点Q(x，y)， OQ的长度为r，
余弦函数值．
解 x 2，y 3；
y
r (2) 2 (3) 2 13，
x
O
P
y 3 3 13 sin ； r 13 13 x 2 2 13 cos . r 13 13
虹屏居
17
新知检测
2.确定下列三角函数值的符号:
(1) cos 250 ；
Q y α N MO x
利用△POM∾△QON，
由相似比求出．
P
虹屏居
12
新知探究
例2 在直角坐标系的单位圆中，α= -/4， （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标．
y
解 （1）如图，以原点为角的顶点， 以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 /4，与单位圆交于点P，作PM垂直x轴， 垂足为M，则∠MOP为所求的角．
5、函数 f(x)=x2 满足 f(-3+6) = f(-3)，这个函数是不是以6为 周期的周期函数？
虹屏居
8
新知思议
1、在单位圆中，定义正弦函数、余弦函数时，分别 给出了角α的终边在第一象限、第二象限、第三象 限、第四象限的情况，说明了什么？ 对于给定的角α，点P的横坐标u、纵坐标v都是唯 一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自 变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．
北师大版数学必修四：《任意角的正弦函数余弦函数的定义与周期
北师大版数学必修四：《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简单应用.在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值叫作角α的 ,记作:sin α=;比值叫作角α的 ,记作:cos α=,r= .当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P 的纵坐标b是的函数,称为函数,记作: ;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作: .通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为 ,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为 ,余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值 ,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sin α sin β,cos α cos β.问题3:正、余弦函数值的符号 (1)表格表示象限第一象限三角函数sin α cos α 第二象限第三象限第四象限问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的 .(2)正弦函数、余弦函数是周期函数, 为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为 .1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为( ).A.-B.C.-D.3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是 .4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号. (1)cos(-345°); (2)sin 175° cos 248°.周期函数的证明已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角α的终边在直线y=-x上,求cos α-的值.若角α的终边落在直线y=-x上,求+的值.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北师大版高中数学-必修第二册-第一章三角函数-§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
重要的不是知识的数量，而是知识的质量， 有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东 西.
——列夫•托尔斯泰
函数值、余弦函数值. 解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况.
设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的
坐标为(cosα,sinα),且OP=1.
点Q(x,y)在角α的终边上,则OQ= x2 y2 . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N.
易知△POM∽△QON.所以
PM
QN
，即
sin α
§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函 数的定义
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念 之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的 喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相 当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷 格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外 对三角知识作了较系统的阐说.
sin MP v v, cos OM u u.
OP 1
OP 1
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v 是该角的正弦函数值，记作v=sinα;点P的横 坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数
给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为 P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角 三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为 角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标 u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.
∴y＝－8.
4．已知
sin
x＝2m＋3，且
x∈
－π，π 66
，求
m
的取值范围．
解
∵x∈
－π，π 66
高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
数学北师大版必修第二册1.4.1-2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义与性质课件
探究二
探究三
当堂检测
4.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则θ是第 角. 解析因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,
象限
所以θ为第二象限角. 答案二
激趣诱思
知识点拨
一、任意角的正弦函数和余弦函数 任意角的正弦函数和余弦函数的定义 1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆. 2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作 单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐 标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作 v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cos α. 正弦v=sin α、余弦u=cos α分别是以角α的大小为自变量,以单位圆 上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数, 其值域为实数的子集合.
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
正、余弦函数值的符号判断及应用 例2如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所 在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
激趣诱思
知识点拨
名师点析
类型 sin α cos α
第一象限 ＋ ＋
第二象限 ＋ －
第三象限 － －
第四象限 － ＋
激趣诱思
知识点拨
微练习 判断下列正弦函数值与余弦函数值的符号:
探究一
探究二
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﹒Pu, v
MP v tan OM u
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
﹒
M
O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
典例剖析
例3 确定下列各三角函数值的符号：
⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4)。
解： （1）易知250°为第三象限角，所以 cos250°的符号为负； （2）易知-π/4为第四象限角，所以sin(-π/4) 的符号为负； 回顾归纳： 准确确定三角函数值中角所在象限是基础， 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关 键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦”来记 忆．
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④周期函数、最小正周期的概念。正弦函数和余弦 函数都是周期函数。 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
最小正周期.
特别提醒：
1.T是非零常数.
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域
无界是成为周期函数的必要条件.
3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期
性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓
住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行.
4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么nT也是 y=f(x)的周期.
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos
3 6 3 1 1 3 3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
M 0 P0 4
OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OM x MP y
O
P x, y
x
P0 3,4
4 0 于是， sin y y | MP | M 0 P ; 1 OP OP 5 0 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
单位圆中定义锐角三角函数
v sin v, cos u , tan u
y sin y, cos x , tan x
单位圆中定义任意角的三角函数
实例
例1
剖析
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB
sin
c
A
b
a
C
cos
tan
a c b c a b
当角α 不是锐角时，我们必须对sinα ， cosα ，tanα 的值进行推广，以适应任意角的需
要.如何定义任意角的三角函数呢?
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP v sin OM u OP r MP v OM u cos 2 2 OP r u v OP r
或0到360 角的三角函数值 .
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2的
整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化
的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫
作周期函数.
例如， 4, 2,2,4 等都是它们的周期. 其中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的 一个，称为最小正周期.
1.了解单位圆的概念. 2.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函
数的定义.(难点)
3.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.
（重点）
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，
tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值分
别等于什么？ B
思考：由三角函数的定义，如何求任意角α 的正弦、
余弦值？
提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步
求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P
的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
，
5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
x 12 cos r 13
在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位
圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦
函数值填入下表
0 1
1 2
3 2
2 2 2 2
3 2 1 2
1 0
3 1 2 2 1 3 2 2
0 -1
1 3 2 2 3 - 1 2 2 -
-1 0
1 3 2 2 1 3 2 2
y
x
﹒ Px, y
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. 注：三角函数 sinα=y，cosα=x都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表示 自变量，即表示角的大小(弧度制），用y表示函数值，这样 就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx。
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r
x2 y2 0
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x
3.锐角三角函数（在单位圆中）
v u 由三角形相似知识可知,比值 , 与点P(u,v)在终边 r r
上的位置无关,只与角 有关.
若OP r 1 ，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(u, v)
1
o
x
M
MP sin v OP OM cos u OP v MP tan OM u
0 1
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx
的变化有什么特点吗？
探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
思考
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x)
是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期. 2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如 果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R 的一个周期？为什么？ 答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每 一个x.
4.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) 。