任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性(北师大版)

归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④周期函数、最小正周期的概念。正弦函数和余弦 函数都是周期函数。 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
的终边
y
说 明
P( x, y )

x
A(1,0)
o （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0，tan
y 无意义，此时 k (k z ). x 2
的终边在 y 轴上时，点P 的
x 12 cos r 13
在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位
圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦
函数值填入下表
0 1
1 2
3 2
2 2 2 2
3 2 1 2
1 0
3 1 2 2 1 3 2 2
0 -1
1 3 2 2 3 - 1 2 2 -
-1 0
1 3 2 2 1 3 2 2
sin
c
A

b
a
C
cos
tan
a c b c a b
当角α 不是锐角时，我们必须对sinα ， cosα ，tanα 的值进行推广，以适应任意角的需
要.如何定义任意角的三角函数呢?
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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y

b
M
x
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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP v sin OM u OP r MP v OM u cos 2 2 OP r u v OP r
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos

3 6 3 1 1 3 1 3 2 2
sin

tan
或0到360 角的三角函数值 .
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2的
整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化
的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫
作周期函数.
例如， 4, 2,2,4 等都是它们的周期. 其中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的 一个，称为最小正周期.
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
典例剖析
例3 确定下列各三角函数值的符号：
⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4)。
解： （1）易知250°为第三象限角，所以 cos250°的符号为负； （2）易知-π/4为第四象限角，所以sin(-π/4) 的符号为负； 回顾归纳： 准确确定三角函数值中角所在象限是基础， 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关 键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦”来记 忆．
单位圆中定义锐角三角函数
v sin v, cos u , tan u
y sin y, cos x , tan x
单位圆中定义任意角的三角函数
实例
例1
剖析
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB
4.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) 。
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
M 0 P0 4
OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OM x MP y
O
P x, y
x
P0 3,4
4 0 于是， sin y y | MP | M 0 P ; 1 OP OP 5 0 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
0 1
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx
的变化有什么特点吗？
探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
﹒Pu, v

MP v tan OM u
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
﹒
M

O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
思考：由三角函数的定义，如何求任意角α 的正弦、
余弦值？
提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步
求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P
的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
y
x
﹒ Px, y

O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. 注：三角函数 sinα=y，cosα=x都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表示 自变量，即表示角的大小(弧度制），用y表示函数值，这样 就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx。
3.锐角三角函数（在单位圆中）
v u 由三角形相似知识可知,比值 , 与点P(u,v)在终边 r r
上的位置无关,只与角 有关.
若OP r 1 ，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(u, v)
1

o
x
M
MP sin v OP OM cos u OP v MP tan OM u
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固
求
提高
练习 1、已知角

的终边过点
P 12,5 ，

的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
，
5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
5 tan 3 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，
对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的 最小正周期. 说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的
1.了解单位圆的概念. 2.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函
数的定义.(难点)
3.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.
（重点）
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，
tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值分
别等于什么？ B
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
思考
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x)
是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期. 2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如 果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R 的一个周期？为什么？ 答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每 一个x.
最小正周期.
特别提醒：
1.T是非零常数.
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域
无界是成为周期函数的必要条件.
3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期
性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓
住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行.
4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么nT也是 y=f(x)的周期.
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r
x2 y2 0
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2