初等数论2不定方程.ppt
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问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 例如 6x 8 y 1. 定理2 ax by c (1) 有整数解 (a,b) c . 显然； ，记d (a,b) 若d c，则c c1d ,c1 Z . d可以表示为as bt. 所以c c1(as bt )
取 x c1s, y c1t， 即为方程〔1〕的解。
注：如果(a,b) 1,则(1)的解为x x0 bt, y y0 at.
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定理1的证明：
ax by c (1)
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。
设x ', y'是(1)的任一解，又x0 , y0是(1)的解. 所以有 ax ' by' ax0 by0 . a1( x ' x0 ) b1( y' y0 ) （*） Q (a1,b1 ) 1 a1 ( y' y0 ) t Z ,使得 y' y0＝a1t， 即 y' y0+a1t 代入（*），得 x ' x0 b1t.
(3)6x 8 y 12; x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L 或 x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L (4)6x 8 y 1. x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L
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说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。
这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，
方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数
〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。
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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ）
A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④
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例4 求 111x 321y 75〔1〕的一切整数解。 解：(111,321) 3 原方程可以化为 37x 107 y 25 (2)
先求 37 x 107 y 1〔3〕 的一个整数解。 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 1 37 4 9 37 (37 3 107) 9 37 (26) 107 (9)
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例2 写出下列方程通解的形式：
(1)5x 8 y 2; x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1, 2,L 或 x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1, 2,L (2)5x 8 y 3; x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1,2,L
x 3 37t, y 8 107t,t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
变量代换法
例6 求 176x 162 y 2 的一切整数解。 解：原方程可化为 88x 81 y 1 令 x y z，则方程可化为 7 x 81z 1.
7 4 1L 3 3 7 4 1 4 3 1L 1 1 4 3 1 所以，1 4 (7 4 1) 1, 即 7 (1) 4 2 1. 从而，x0 1; y0 2.
注：若原方程是 7x 4 y 1，则化为 7x 4( y) 1 ，
原方程有一个特解 x 1, y 2 .
故〔3〕的一个整数解是 x 26, y 9
〔2〕的一个整数解是 x 26 25, y 9 25
原方程的整数解为
x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
或者，x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c, a,b,c Z, a,b 0
(1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x0 , y y0
则〔1〕式的一切解可以表示为
x x0 b1t, y y0 a1t,
（2）
Baidu Nhomakorabea
其中，a1
a (a,b)
,b
b (a,b)
,
t
0, 1, 2，L
例5 求 107 x 37 y 25 的一切整数解。
解：y 25 107 x 3x 25 4 x
37
37
令y' 25 4x x 37 y' 25 9 y' 6 y' 1
37
4
4
取y' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为
3
二元一次不定方程的一般形式为
ax by c, a,b,c Z, a,b 0
(1)
例1 求方程 7 x 4 y 100 所有正整数解.
y 100 7 x 25 7 x
4
4
x 4, y 18;
x 8, y 11;
x 12, y 4.
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c, (a,b) 1
(3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1, 则 x0 cs, y0 ct.
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例3 求方程 7x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数
解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙， 所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角， 并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转 化成不定方程求正整数解的问题。
设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，
则有
60m+90n=360.
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第二章 不定方程
§2.1 二元一次不定方程
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1
一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”
分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：
x y z 100
5 x
3
y
1 3
z
100
消去z得到方程 7x 4 y 100
取 x c1s, y c1t， 即为方程〔1〕的解。
注：如果(a,b) 1,则(1)的解为x x0 bt, y y0 at.
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定理1的证明：
ax by c (1)
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。
设x ', y'是(1)的任一解，又x0 , y0是(1)的解. 所以有 ax ' by' ax0 by0 . a1( x ' x0 ) b1( y' y0 ) （*） Q (a1,b1 ) 1 a1 ( y' y0 ) t Z ,使得 y' y0＝a1t， 即 y' y0+a1t 代入（*），得 x ' x0 b1t.
(3)6x 8 y 12; x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L 或 x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L (4)6x 8 y 1. x x0 4t, y y0 3t,t 0, 1, 2,L
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说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。
这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，
方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数
〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。
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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ）
A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④
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例4 求 111x 321y 75〔1〕的一切整数解。 解：(111,321) 3 原方程可以化为 37x 107 y 25 (2)
先求 37 x 107 y 1〔3〕 的一个整数解。 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 1 37 4 9 37 (37 3 107) 9 37 (26) 107 (9)
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例2 写出下列方程通解的形式：
(1)5x 8 y 2; x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1, 2,L 或 x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1, 2,L (2)5x 8 y 3; x x0 8t, y y0 5t,t 0, 1,2,L
x 3 37t, y 8 107t,t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
变量代换法
例6 求 176x 162 y 2 的一切整数解。 解：原方程可化为 88x 81 y 1 令 x y z，则方程可化为 7 x 81z 1.
7 4 1L 3 3 7 4 1 4 3 1L 1 1 4 3 1 所以，1 4 (7 4 1) 1, 即 7 (1) 4 2 1. 从而，x0 1; y0 2.
注：若原方程是 7x 4 y 1，则化为 7x 4( y) 1 ，
原方程有一个特解 x 1, y 2 .
故〔3〕的一个整数解是 x 26, y 9
〔2〕的一个整数解是 x 26 25, y 9 25
原方程的整数解为
x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
或者，x 26 25 107t, y 9 25 37t,t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c, a,b,c Z, a,b 0
(1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x0 , y y0
则〔1〕式的一切解可以表示为
x x0 b1t, y y0 a1t,
（2）
Baidu Nhomakorabea
其中，a1
a (a,b)
,b
b (a,b)
,
t
0, 1, 2，L
例5 求 107 x 37 y 25 的一切整数解。
解：y 25 107 x 3x 25 4 x
37
37
令y' 25 4x x 37 y' 25 9 y' 6 y' 1
37
4
4
取y' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为
3
二元一次不定方程的一般形式为
ax by c, a,b,c Z, a,b 0
(1)
例1 求方程 7 x 4 y 100 所有正整数解.
y 100 7 x 25 7 x
4
4
x 4, y 18;
x 8, y 11;
x 12, y 4.
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c, (a,b) 1
(3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1, 则 x0 cs, y0 ct.
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例3 求方程 7x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数
解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙， 所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角， 并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转 化成不定方程求正整数解的问题。
设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，
则有
60m+90n=360.
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第二章 不定方程
§2.1 二元一次不定方程
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一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”
分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：
x y z 100
5 x
3
y
1 3
z
100
消去z得到方程 7x 4 y 100