2019 年陕西省高考数学一模试卷及答案(理科)

2019年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤3}D．{x|2＜x≤3} 2．（5分）复数的模是（）A．B．C．D．3．（5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝24．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64B．32C．80D．325．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）A．12B．24C．48D．966．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5D．57．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝，则△ABC的面积（）A．2B．3C．4D．68．（5分）函数（x∈[﹣π，π]）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m，其中m，n∈R，则m+n的值为（）A．1B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，则不等式＞x3+3x的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）D．（﹣2，1）11．（5分）已知直线y＝与曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右支交于M，N 两点，点M在第一象限，若点Q满足＝，且∠MNQ＝30°（其中O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝±x12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+x+t（≤x≤3）与g（x）＝3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．（1，2+3ln]B．（，3ln3﹣]C．（，6﹣3ln3]D．[6﹣3ln3，3ln3﹣]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．）13．（5分）某校读书活动结束后，欲将4本不同的经典名著奖给3名同学，每人至少一本，则不同的奖励方式共有种．14．（5分）关于x、y的二项式（ax+y）3的展开式的系数和为8，那么（e x+1）dx的值为．15．（5分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m，直径153m，匀速旋转一周需时间30min，以摩天轮的中心为原点，建立坐标系，如图示意图，以你登上摩天轮的时刻开始计时，求出经过t分钟后你与地面的距离为．16．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0且当x∈（0，1]时f （x）＝x，则下列四个命题正确的序号是．①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝0；②方程f（x）＝log5|x|有5个根；③f（x）＝；④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2＝5，前5项和S5＝45．（Ⅰ）求{a n}的通项公式．（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n a n，求数列{b n}前2n项和T2n．18．（12分）如图所示，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2．点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到P AD位置，使P A⊥AB，连接PB，PC．（Ⅰ）求证：AD∥面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的余弦值．19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]质量指标值[95，100）[100，105）频数14192051（Ⅰ）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（Ⅱ）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．参考公式及数据：x2＝P（x2≥k）0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635 20．（12分）在直角坐标系中椭圆C：＝1经过A（，0），B（0，2）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）过原点O的直线与线段AB交于点D，与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2x+ax+lnx，（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝，若对任意给定的x0∈（0，2]，关于x的函数y＝f（x）﹣g（x0）在（0，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，且∠POQ＝，求△POQ的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的最大值t；（Ⅱ）若正实数m，n满足n+m＝mn，求证：≥t．2019年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤3}D．{x|2＜x≤3}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，∴A∩B＝{x|0≤x＜2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）复数的模是（）A．B．C．D．【分析】利用商的模等于模的商求解．【解答】解：||＝．故选：D．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝2【分析】抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），可得＝2，解得p，即可得出．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），∴＝2，解得p＝4．则准线方程为：x＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64B．32C．80D．32【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【解答】解：几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：S＝＝32+16．故选：B．【点评】本题考查由三视图求几何体的面积，关键是判断几何体的形状与对应数据是解题的关键．5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）A．12B．24C．48D．96【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．6．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5D．5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1）．化目标函数z＝3x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣5．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝，则△ABC的面积（）A．2B．3C．4D．6【分析】利用余弦定理求出B，然后求解C，再利用正弦定理求得a，然后由三角形的面积公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵a＝b cos C，∴由余弦定理可得a＝b cos C＝b×，即a2+c2＝b2，∴△ABC为直角三角形，B为直角，∵A＝，c＝6，∴可得C＝，由正弦定理，即＝，解得a＝2．∴S△ABC＝ac＝×6×2＝6．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正弦定理以及三角形边角关系的应用，是基础题．8．（5分）函数（x∈[﹣π，π]）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的特殊点的位置判断即可．【解答】解：函数（x∈[﹣π，π]）是奇函数，排除选项A、C，当0＜x≤π时，f（x）＝﹣xe cos x，f′（x）＝﹣e cos x（1+x sin x），存在x0∈（0，π），1+x0sin x0＝0时，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（x0，π），f′（x）＞0，函数是增函数，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用函数的单调性以及函数的奇偶性的判断，考查数形结合以及函数的图象的判断能力．9．（5分）如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m，其中m，n∈R，则m+n的值为（）A．1B．C．D．【分析】由平面向量的线性运算得：＝＝﹣，＝﹣，＝+，由此求得m，n的值即可．【解答】解：因为＝+＝+，＝+＝+，所以＝﹣，＝﹣，又＝+＝﹣+﹣＝+，所以m＝，n＝，故m+n＝，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形合成法则，是基础题目．10．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，则不等式＞x3+3x的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）D．（﹣2，1）【分析】根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：函数f（x）＝x3+3x在R递增，不等式＞x3+3x，即f（）＞f（x），故＞x，故＜0，故（x+2）（x+1）（x﹣1）＜0，解得：x＜﹣2或﹣1＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，不等式问题，是一道常规题．11．（5分）已知直线y＝与曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足＝，且∠MNQ＝30°（其中O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝±x【分析】由题意可得M，Q关于原点对称，由作差法可得k MN•k QN＝，分别求出相对应的斜率，再根据渐近线方程即可得到所求．【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，设M（m，n），N（u，v），则Q（﹣m，﹣n），即有﹣＝1，﹣＝1，两式相减可得＝，可得k MN•k QN＝•＝＝，∵k MN＝﹣，k QN＝tan150°＝﹣，∴＝1，即a＝b，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查方程思想和直线的斜率公式，运算化简能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+x+t（≤x≤3）与g（x）＝3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．（1，2+3ln]B．（，3ln3﹣]C．（，6﹣3ln3]D．[6﹣3ln3，3ln3﹣]【分析】求出f（x）关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x﹣t，（≤x≤3），转化为y＝x2﹣x ﹣t，（≤x≤3），与g（x）有两个不同的交点，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：f（x）＝﹣x2+x+t（≤x≤3）关于x轴对称的函数为﹣y＝﹣x2+x+t，（≤x≤3），即y＝x2﹣x﹣t，（≤x≤3），若函数f（x）＝﹣x2+x+t（≤x≤3）与g（x）＝3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，即函数y＝x2﹣x﹣t，（≤x≤3）与g（x）＝3lnx的图象上有两个交点，即x2﹣x﹣t＝3lnx，在（≤x≤3）上有两个不同的根，即t＝x2﹣x﹣3lnx，设h（x）＝x2﹣x﹣3lnx，（≤x≤3），则h′（x）＝2x﹣1﹣＝由h′（x）＞0得2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）＞0，即2x＞3，x＞时，函数h（x）为增函数，当≤x≤时，函数h（x）为减函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值，此时h（）＝﹣﹣3ln＝﹣3ln，当x＝3时，h（3）＝6﹣3ln3，当x＝时，h（）＝3ln3﹣＞h（3），即若t＝x2﹣x﹣3lnx，有两个不同的根，则﹣3ln＜t≤6﹣3ln3，即实数t的取值范围是（，6﹣3ln3]，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出f（x）关于x轴对称的函数，转化为对称函数与g（x）又两个不同的交点，构造函数，求出函数的导数，研究的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．）13．（5分）某校读书活动结束后，欲将4本不同的经典名著奖给3名同学，每人至少一本，则不同的奖励方式共有36种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4本书分成3组，有1组2本，其余2组每组1本，②，将分好的三组全排列，对应3名同学，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4本书分成3组，有1组2本，其余2组每组1本，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3名同学，有A33＝6种情况，则不同的奖励方式有6×6＝36种；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意先分组，再进行排列．14．（5分）关于x、y的二项式（ax+y）3的展开式的系数和为8，那么（e x+1）dx的值为e．【分析】令x＝y＝1可得二项式（ax+y）3展开式中各项的系数和为（a+1）3＝8，从而求出a的值，然后根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：令x＝y＝1可得二项式（ax+y）3展开式中各项的系数和为（a+1）3＝8，求得a＝1，∴（e x+1）dx＝（e x+1）dx＝（e x+x）|＝（e+1）﹣（e0+0）＝e，故答案为：e．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．15．（5分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m，直径153m，匀速旋转一周需时间30min，以摩天轮的中心为原点，建立坐标系，如图示意图，以你登上摩天轮的时刻开始计时，求出经过t分钟后你与地面的距离为f（t）＝83.5﹣76.5cos t，t∈[0，+∞）．【分析】由题意可设f（t）＝b﹣a cosωt，求出b、a和ω的值即可．【解答】解：由题意设f（t）＝b﹣a cosωt，其中b＝160﹣×153＝83.5，a＝×153＝76.5，ω＝＝；∴以登上摩天轮的时刻开始计时，经过t分钟后与地面的距离为：f（t）＝83.5﹣76.5cos t，t∈[0，+∞）．故答案为：f（t）＝83.5﹣76.5cos t，t∈[0，+∞）．【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，是中档题．16．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0且当x∈（0，1]时f（x）＝x，则下列四个命题正确的序号是①②③④．①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝0；②方程f（x）＝log5|x|有5个根；③f（x）＝；④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．【分析】由奇函数的定义和性质，结合条件可得f（x）的周期为4，求得f（1），f（2），f（3），f（4）可判断①；由f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），可判断④；由f（x）的图象和y＝log5|x|的图象的交点，可判断②；由f（x）的周期和一个周期内的函数解析式，即可判断③．【解答】解：定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，可得f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即有函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，故④正确；又f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由x∈（0，1]时f（x）＝x，可得f（1）＝1，又f（0）＝0，f（2）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝504×（1+0﹣1+0）+1+0﹣1＝0，故①正确；由x∈[﹣1，0），﹣x∈（0，1]，f（﹣x）＝﹣x＝﹣f（x），可得f（x）＝x（﹣1≤x＜0），即有f（x）＝x（﹣1≤x≤1），由f（x）的图象关于直线x＝1对称可得f（x）＝2﹣x（1≤x≤3），作出y＝f（x）的图象和y＝log5|x|的图象，可得它们有五个交点，即方程f（x）＝log5|x|有5个根，故②正确；由f（x）的周期为4，且﹣1≤x≤1是，f（x）＝x；1≤x≤3时，f（x）＝2﹣x，可得当﹣1+4k≤x≤4k+1是，f（x）＝x﹣4k；1+4k≤x≤4k+3时，f（x）＝2﹣x+4k，k∈Z，故③正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查抽象函数的性质和运用，考查周期性和对称性、图象交点个数和函数解析式的求法，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2＝5，前5项和S5＝45．（Ⅰ）求{a n}的通项公式．（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n a n，求数列{b n}前2n项和T2n．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n＝（﹣1）n a n＝（﹣1）n（4n﹣3），运用并项求和，即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝5，前5项和S5＝45，可得a1+d＝5，5a1+10d＝45，解得a1＝1，d＝4，则a n＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n a n＝（﹣1）n（4n﹣3），可得前2n项和T2n＝（﹣1+5）+（﹣9+13）+…+[﹣4（2n﹣1）+3+8n﹣3]＝4+4+…+4＝4n．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的并项求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18．（12分）如图所示，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2．点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到P AD位置，使P A⊥AB，连接PB，PC．（Ⅰ）求证：AD∥面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD∥BC，由此能证明AD∥面PBC．（Ⅱ）推导出AD⊥AB，RB⊥平面P AD，P A⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵点A，D分别是RB，RC的中点，∴AD∥BC，∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥面PBC．解：（Ⅱ）∵等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2．点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到P AD位置，使P A⊥AB，连接PB，PC．∴AD⊥AB，又P A∩AD＝A，∴RB⊥平面P AD，P A＝AD＝1，PD＝＝＝，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1），＝（0，1，﹣1），＝（1，2，﹣1），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（﹣1，1，1），平面ACD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为α，则cosα＝＝＝．∴二面角A﹣CD﹣P的余弦值为．【点评】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]质量指标值[95，100）[100，105）频数14192051（Ⅰ）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（Ⅱ）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．参考公式及数据：x2＝P（x2≥k）0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【分析】（Ⅰ）结合频数分布表，求出满足条件的频率和频数；（Ⅱ）求出2×2列联表，计算k2的值，判断即可；（Ⅲ）根据题意，利用满足条件的频率与方差的含有，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5＝0.16；∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为5000×0.16＝800（件）；（Ⅱ）由表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484290不合格品2810合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得K2＝＝4＞3.841；∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为＝0.96，乙套设备生产的合格品的概率约为1﹣0.16＝0.84，且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，所以甲套设备优于乙套设备．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．（12分）在直角坐标系中椭圆C：＝1经过A（，0），B（0，2）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）过原点O的直线与线段AB交于点D，与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2，b＝，解得即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，由点F满足4x22+3y22＝12，及S△BOE ＝S△BOF＝x2，S△AOE＝S△AOF＝y2，四边形AEBF的面积S＝S△BEF+S△AEF再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：|AO|＝，|BO|＝2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y＝kx代入+＝1，可得x2＝﹣x1＝，x2＞0，y2＝﹣y1＞0，且4x22+3y22＝12，∴S△BOE＝S△BOF＝×2x2＝x2，S△AOE＝S△AOF＝×y2＝y2，故四边形AEBF的面积S＝S△BEF+S△AEF＝2x2+y2＝＝∵4x2y2∴S当且仅当2x2＝y2时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为2．【点评】本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和计算能力．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2x+ax+lnx，（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝，若对任意给定的x0∈（0，2]，关于x的函数y＝f（x）﹣g（x0）在（0，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝lnx+ax2+（2+a）x（a∈R）．∴f′（x）＝+2ax+2+a＝，x＞0，当a＝0时，f′（x）＝＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．（Ⅱ）∵g（x）＝﹣2，∴g′（x）＝，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）单递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，由已知，由f（e）＝1+ae2+2e+ae≤﹣2，得a≤﹣，f（﹣）＝ln（﹣）+﹣+1＞﹣2，∴﹣ln（﹣a）﹣﹣+1＞0，∴ln（﹣a）++﹣1＜0，令h（x）＝ln（﹣x）++﹣1，则h（x）单调递增，而h（﹣e）＝0，∴a∈（﹣e，0）时，ln（﹣a）++＜1，∴a∈（﹣e，0），综上，实数a的取值范围（﹣e，﹣）．【点评】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查运用求解能力，是中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。