函数泰勒展开式的应用【文献综述】

毕业论文文献综述

数学与应用数学

函数泰勒展开式的应用

1、本课题研究的意义

多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。

2、目前国内的研究现状

本人以 1999—2010 十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到 30 余篇文章，发现国内外对泰勒公式及其研究进展主要分配在:1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。

3、本课题的研究方向和重点

泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式, 对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。

一、带不同型余项泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式的证明。

二、泰勒公式的应用举例。本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中, 不定式极限的计算始终为我们所注意, 因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解, 会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。

2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及, 事实上, 它在这方面的应用起着不可替代的

作用, 我将通过应用泰勒公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计, 寻找简便有效的判定级数及

广义积分的敛散性的方法。 3、泰勒公式在行列式中的应用；函数的泰勒公式在数值计算及数学

论中占有很重要的地位, 我将通过借助于罗尔定理及函数的泰勒多项式的行列式表示, 给出两个函数之间的泰勒公式的关系, 借助于这种关系给出其应用 4、泰勒公式在近似计算中的应用；利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式，余项应当以拉格朗日型表达，以便于误差的估计。 5、泰勒公式在证明等式、不等式中的应用；对于一般不等式，泰勒公式可适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题；对于积分不等式上，泰勒公式适用于已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号的类型题目；对于积分等式，泰勒公式适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题。 6、泰勒公式在求初等函数的幂级数展开式中的应用；利用基本初等函数的幂级数展开式，可通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式。 7、泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用。

4、本课题研究所存在的问题

泰勒公式不仅仅可以用来判断函数的单调性、极值，也可尝试利用它来研究函数的凹凸性及判断拐点。同时，在利用泰勒公式对函数极值的判定时，可以相似地推出函数拐点的判定。

本次论文所设定的拟解决的关键问题和难点是：在解题中怎么分析题设条件及其形式特点,并把握处理规则,如何比较好地利用泰勒公式来提高解题的技巧，如何对泰勒公式的证明和七个应用做一个系统的归纳和总结。

5、参考文献

[1] 陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用[J].昌潍师专学报,2000,(02).

[2] 赵临龙.多项式的泰勒展开式的应用[J].高师理科学刊,2008,(05).

[3] 王新,任佩文.泰勒展开式不同形式的各种应用[J].高等函授学报(自然科学

版),2009,(01).

[4] 安丽微.泰勒公式及其应用[J].素质教育论坛,2009,(03).

[5] 程龙生;谢莉;冯予;;Taylor展开式的推广及在统计分析中的应用[A];中国现场统计研究会

第九届学术年会论文集[C];1999年

[6] 王素芳,陶荣,张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[J].洛阳工业高等专科学校学

报,2003,(02).

[7] 王书华.浅谈泰勒公式的应用[J].科技风,2010,(03).

[8] 潘劲松.泰勒公式的证明及应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,(04).

[9] 赵小样.泰勒公式的证明及其应用推广[J].科技风,2008,(03).

[10] 张天虹.泰勒公式在解题中的研究[J].数学教学与研究,2009,(51):94-95.

[11] 龚冬保.泰勒公式在解题中的妙用——从2008年的几道数学考研题说起[J].高等数学研

究,2008,(05).

[12] 华东师范大学数学系，数学分析(第三版)[M] 北京：高等教育出版社，2001