数系的扩充历史和复数的概念

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？
不对 如果两个复数都是实数，就可以 比较大小 只有当两个复数不全是实数 时才不能比较大小
复数的发展史
后来德国数学家高斯给出 虚数这种假设,是需了要复勇数气的的,人定们义在，当但时他是们无法仍接感到 受虚兴数时的单期,认位意为的大她假利是设有想研名象究的的数:,第不学一存这们家次在“也种认的怪感数真,但杰讨到有这”论它点丝卡这毫的虚丹种不作无，数影他用缥的响是．缈是数1文，15学48艺5尽3家年0复对管年开他， 始讨论这种数的，当时复高数被斯他详称细作论“述诡了辩量用”直.几角乎坐过标系
无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的 信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了 2 以外的许多无理数 。这些“怪物”深深地困扰着古希 腊的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危 机”。
分分数数
正正整整数数
无无理理数数
我国公元3世纪的刘徽已经对负数 有了深刻的认识。在《九章算术注》
在生产实践中，人 中，他认为“今两算得失相反，要令 正负以名之。”他还认为“言负者未
数的发展历程
——数系的扩充
正整数
等额分配问题
随着生产，生活的需要，人 们慢慢发现，仅仅表示出正 整数是不够的。如果分配猎 物时，5个人分三只羊，每 个人应该得到多少呢？自然 地，分数就出现了。
分数
正整数
毕达哥拉斯
勾股定理
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
毕达哥拉斯
在“数”的发展史上，希腊的 毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。 毕达哥拉斯学派基本的信条是“万 物皆数”。他们所说的数仅指整数， 分数被看成两个整数的比，他们相 信任何量都可以表示成两个整数之 比。即可得到，任何两条线段的比 都是整数的比，即有理数。然而， 毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯后 来发现：并不是任意两条线段都有 一个公共度量。
班级信息栏
负 数 的 引 入
重 大 进 步
在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著 作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承 认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称 为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
1629年，吉拉尔出版了它的著作《代数新 发现》。在这本书中，他明确主张：负数 与正数具有相同的地位;负数可以作为方程 的根，他还指出，负数是正数的相反数， 直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负 数终于有了一席之地 。
印度人起初也用空位表示“0”，后记成“点”，
现
最后发展成“圆”。直到公元11世纪，包括有“0”的 印度数码和十进制计数法臻于成熟。特别是印度人不
仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看作可
施行运算的一个特殊的数。
“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。
零
分数
负数
正整数
无理数
正整数
分数
负数
无理数
零
数还够用吗
数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实 施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的 矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。
但是，数集扩充到实数集R以后，像x 2+1=0 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的 平方等于-1.
形如 a b即i(aC,b Ra )的bi数a叫,b做复R 数.
二.复数的代数形式
通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
其中a 叫做实部 , b 叫做虚部 ,
i 称为虚数单位.
问:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？
·
三
复 数 的 分 类
需要掌握的一个充要条件
x2 12 12 2
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
—
现在假设一个直角三角形的两条直角边的长 度都是1，那么斜边的长度是多少呢？
设斜边长是x,根据勾股定理可得，
x2 =12+12=2
1xΒιβλιοθήκη 因此斜边长度x必定是其平方等于2的 一个数。这个数能否写成两个整数比
的形式呢？答案是否定的，即没有任
何一个分数的平方等于2,也就是说 不是有理数。
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负 数 的 引 入
重 大 进 步
分分数数
正正整整数数
负数
无无理理数数
人类很早就发现了正整数、无理数、负数，但是
“0”的发现却晚得多。“0”最早源自于人们表示的
零
“没有”，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它 当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。
的 发
在我国，战国时期人们就用“空”表示“0”了， 但没有把“空”看做是一个单独的数。
2
1
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
不可公度量的发现，大约是在公元前470年左右， 当时毕达哥拉斯早已不在人世。传说学派成员希帕苏 斯发现了不可公度性，他认为边长为1的正方形的对角 线的长不能用有理数来表示。当时他们正在海上泛舟 集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成 员将他抛进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露 了不可公度的秘密而遭此厄运。
如何解决这个问题？这就是我们今天 要探讨的课题。
小 结
§ 3.1.1
数系的扩充和 复数的概念
一.问复题数解的决定义
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新
数 i ，把复数i 的叫定做义虚：数形单位如，a并+且bi规(a定, ：b R )的数叫复
(1数) ，i 2a叫1；复数的实部，b叫复数的虚部.全 (2体)实复数数可以所与成i的进集行四合则叫运做算,复在数进行集四，则用运算字时母,原C有的加 法与乘表法示的.运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 这全样体就复会数出所现成许的多新集数合,如C 叫2i 做、3复i 、数2集 i.、3 i 等.
两个复数相等的定义：如果两个复 数的实部和虚部分别相等，那么我们 就说这两个复数相等。
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么
a+bi=c+di a=c，b=d
即:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R) 相等的充要条件是 a c 且 b d .
需要掌握的一个结论
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能 比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
们往往需要测量相反意义的 必负于少，言正者未必正于多。”这 两句话都是关于正负数的绝对值而言
量，例如海拔，高度等等， 的，即负数的绝对值未必小，正数的 绝对值未必大。这种思想与现代的数
因此负数也学思就想是应完全运一致而的。生了。
中国是世界上对负数认识最早的国家， 负数是在《九章算术》里首先发现的。但欧 洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千 多年。