数系的扩充历史和复数的概念
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
【高中数学】数系的扩充和复数的概念课件 2022-2023学年高一人教A版(2019)必修第二册
（2）虚数；
（3）纯虚数.
解：(1) 当m 1 Hale Waihona Puke 0,即m 1 时,复数z是实数.
(2) 当m 1 0,即m 1 时,复数z是虚数.
(3) 当m 1 0,且m 1 0，即m 1 时,复数z是纯虚数.
4. 复数相等
=a+bi， = c+di (a,b,c,d∈R)，若 = 则
当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
举个例子
1
1
1
3 2i, 3i, 3 i, 0.2i都是虚数,它们的实部分别是3, ,- 3 ,0,
2
2
2
1
虚部分别是 2, 3 , ,- 0.2,并且其中只有 0.2i是纯虚数.
2
练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
使这个方程有解吗？
数系的扩充：
引入一个
新的数集
正整数集N
自然数集N
整数集Z
0
负整数集
有理数集Q
分数集
实数集R
无理数集
？
？
解方程
x2+1=0
复数的概念：
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一
个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2= -1 .
纯虚数集
课后作业：
1.课本P73.习题7.1第1~3题
2.《优化设计——课后训练》练习
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复
数系的扩充与复数的概念(ppt)
在物理中的应用
交流电
复数可以用于描述交流电的电压、 电流等物理量，通过将实数表示 的物理量转换为复数形式，可以 方便地分析交流电的特性和规律。
信号处理
复数在信号处理中也有广泛应用， 例如频谱分析、滤波器设计等都 可以通过复数进行表示和计算。
量子力学
在量子力学中，波函数通常被表 示为复数形式，复数在描述微观 粒子状态和行为方面发挥了重要
整数系
整数包括正整数、0和负整数，通常 用Z表示整数集。
整数在数学中用于描述有始无终的量 ，如物体的位置、时间等。
有理数系
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
有理数包括有限小数和循环小数，它们都可以表示为两个整 数的比值。
实数系
实数包括有理数和无理数，是有理数系的扩充。
实数可以用来描述有始有终的量，如长度、面积、体积等。实数系具有完备性， 即实数的四则运算等是封闭的。
共轭复数是实部相等，虚部相反的复 数。
详细描述
在复数平面中，一个复数和它的共轭 复数关于实轴对称。共轭复数在数学 和物理中有广泛的应用，例如在解析 几何和向量分析中。
复数的模
总结词
复数的模是表示该复数在复平面上的 点到原点的距离。
详细描述
复数的模定义为$sqrt{a^2 + b^2}$， 其中$a$和$b$分别是复数的实部和虚 部。模的性质包括非负性、共轭复数 的模相等、模的加法运算性质等。
复数可以用于求解一元二次方程、一 元高次方程等代数方程，通过将方程 转化为复数形式，可以简化计算过程。
复数可以进行加、减、乘、除等基本 运算，而且运算规则相对简单，有助 于简化复杂数学问题的计算过程。
代数变换
复数在代数变换中也有广泛应用，例 如三角函数、指数函数、对数函数等 都可以通过复数进行表示和计算。
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
都是复数，
0.2i,
它们的实部分别是： 3, 虚部分别是： 2,
1 , 3, 0. 2 3 , 1 , 0. 2
2
其中，-0.2i是纯虚数.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间 的关系用韦恩图怎样表示？
复数集
纯虚数
实数
虚数
由此，有如下的 数系表： 复数
实数 虚数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有理数 无理数 纯虚数 非纯虚数
思考：两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚 数或两个虚数可以比较大小吗？
答：只有实数与实数可以比较大小；
一个实数与一个虚数不能比较大小；
虚数与虚数也不能比较大小.
例1 当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i 是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 解：由 m－1=0得m=1； 由m+1=0得m=-1；
（1）当b=0时，a+bi表示实数a，反之，对于 任意实数a可表示为复数a+0i，由此知实数集是
复数集的子集，即R C
两个复数可以相等，并且规定： a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R） 当且仅当a＝c且b＝d，
由此，a＋bi＝0的充要条件是 a＝b＝0
对于复数a+bi，由于a、b可以是任意实数，所以 实数集R不仅是复数集C的子集，而且是它
练习
1、说出下列复数的实部和虚部；
2 1 i, 3
2 i,
2 , 3i, i, 0.
2
上面复数的实部分别是：
2,
2,
2 , 0,
0， 0.
2
虚部分别是：
1 ,
1,
3
0, 3,
1， 0.
练习
数系的扩充和复数的概念
必要不充分
条件.
17:06
思
考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
17:06
复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
17:06
在测量过程中，常常会发生度量不尽的 情况，如果要更精确地度量下去，就必然 产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就 应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃 及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引 进正分数,这是数的概念的第一次扩展. 最初 人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在 生产实践中,需要记录和计算的东西越来越 多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记 数法，零的产生就不可避免的了.我国古代 筹算中，利用 “空位”表示零.公元6世纪， 印度数学家开始用符号“0”表示零.
17:06
• 上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须 指出，数的概念的产生，实际上是交错进 行的.例如，在人们还没有完全认识负数之 前，早就知道了无理数的存在;在实数理论 还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程 了. 直到19世纪初，从自然数到复数的理论 基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学 严密性的需要以及公理化倾向的影响，促 使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构. 从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano， 1855~1939)、康托尔(G.Cantor， 1845~1918)、戴德金(R.Dedekind， 1831~1916)、外尔斯特拉斯
x 2 y i (2x 5) (3x y)i
求 x与 y .
，
y R,
数系的扩充历史和复数的概念
负数
数够用了吗？
数集扩充到实数集R以无理后数，我们可以解 x 2-2=0这样的方程
但是方程 x 2+1=0还是无解的，因为没有一个实数的平方
等于-1.
如何解决这个问题？
欧拉 Leonhard Euler （1707-1783）
1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
高斯 Johann Carl Friedrich Gauss
=0，求x的值.
x=2
（2）若x，y为实数，且 x2y2xyi24i
求x，y. x=-3,y=4
探究：任意两个复数可以比较大小吗？
认为可以者，请拿出进行比较的方法；认 为不可以者，请说明理由。
两个实数可以比较大小
实数与虚数不可以比较大小 虚数与虚数不可以比较大小
拓展提升
若 m 为实数， z1 m 2 1 3 m 2 2 m i,
海平面
玛
重
峰
吐鲁番盆地
比海平面低155米 班级信息栏 记作-155米
大 进 步
分分数数
正正整整数数
负数
无理数
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
设斜边长是x,根据 勾股定理可得，
1 x x2 =12+12=2
毕达哥拉 斯
x 2
1
在“数”的发展史上， 希腊的毕达哥拉斯学派 发现了“无理数”。
无理数
分分数数
正正整整数数
则 z 为 纯 虚 数 的 充 要 条 件 是 ( )
2 、 设 a R , 复 数 a 2 a 6 a 2 3 a 1 0 i 是 纯 虚 数 ， 则 a 的 取 值 为 （ ）
数系的扩充和复数的概念
自然数集
整数集
有理数集
实数集
负数不能开方
除法，分数 (有限及无限循环小数)
i的引入
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： i2=-1 实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立 • i 与实数b 相乘得bi , 规定0• i =0 • bi 与实数a相加得a+bi • bi=0+bi，a=a+0i，i=0+1i 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表 示. 即C={a+bi |a,b∈R}
复平面与复数
实数的几何意义是什么？ 实数可用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点一 一对应. 类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？ 复数z=a+bi与一个有序实数对(a,b)一一对应； 复数集与平面直角坐标系中的点集可建立一一对应. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x 轴叫实轴，y轴叫虚轴. 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点（除原点一一对应
数系的扩充和
复数的概念
数系的发展历史
人类在社会发展中，逐步学会了以对应的方法来计算 事物的个数，如“屈指”计数，“结绳”计数，“堆 石子”计数等。经过长期的实践，把表示事物的个数： “一个”、“二个”、“三个”……；或把表示事物 的次序：“第一”、“第二”、“第三”，……抽象 出来的数1，2，3，4，……叫做自然数. “0” 是特殊的自然数，零作为符号和作为数经历长期的 发展过程. 公元前6世纪的巴比伦用空出一格来表示“零”. “0”、“○”是印度人的卓越发明.
2
z z 2 i , z iz ( i 为虚数单位
7.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章复数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用复数的发展史1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋－15和5－－15，积为25－(－15)＝40.但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的. 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函数论都有着重要应用.[读图探新]——发现现象背后的知识问题1：1545年，数学家卡尔丹在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)＝40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？问题2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡当的问题？在正数范围内，方程x＋2＝0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2＝2有解吗？我们又是怎样让它有解的？问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算；定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念课标要求素养要求通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛.一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.张明：海纳百川，心阔容海.海、心孰大？王华：夸张的手法，不可比较.张明：那么数m，n可否比较大小？王华：未必.问题同学们，你能准确回答张明的问题吗？提示若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小.1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集.(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z 的实部与虚部. 2.复数相等在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . 3.复数的分类(1)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以分类如下： 复数⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数）.(2)集合表示：教材拓展补遗[微判断]1.若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数.(×)2.若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数.(√)3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(√) 提示 1.当b ≠0时，z ＝a ＋b i 为虚数. 2.z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，为实数.3.当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等. [微训练]1.在2＋7，27i ，8＋5i ，(1－3)i ，0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析 由纯虚数的定义可知27i ，(1－3)i 为纯虚数. 答案 C2.若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________.解析 由a －2i ＝b i ＋1，所以a ＝1，b ＝－2，所以a 2＋b 2＝5. 答案 53.若(x ＋y －2)＋(x －y －4)i ＝0(x ，y ∈R )，则x ＝________，y ＝________. 解析 根据复数相等的充要条件有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 答案 3 －1 [微思考]1.(1)两个复数一定能比较大小吗？ (2)复数z ＝a ＋b i 的虚部b 可以为零吗？提示 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)可以.当b ＝0时，z 为实数.2.(1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝0，则a ＋b 的值为多少？(2)若复数z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？ 提示 (1)0；(2)4.题型一 复数的概念【例1】 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.规律方法 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.【训练1】下列命题中，正确命题的个数是()按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行判断，否定一个命题只需举出一个反例即可①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.答案 A题型二复数的分类根据复数z＝a＋b i(a，b∈R)是实数、纯虚数、虚数的充要条件求解【例2】(1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________；(2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.解析(1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.(2)由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋π2(k∈Z).答案(1)±1(2)kπ＋π2(k∈Z)规律方法根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；第四步，明确结论.【训练2】 实数m 取什么值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数.题型三 两个复数相等把复数问题转化为实数问题解方程(组)求解 【例3】 已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值. 解 ∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.规律方法 求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是： (1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数.【训练3】 关于x 的方程3x －a2－1＝(10－x )i 有实根，求实数a 的值. 解 设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m －a2－1＝(10－m )i ，∴⎩⎨⎧3m －a2－1＝0，10－m ＝0，解得a ＝58.一、素养落地1.通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养.通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养.2.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况.3.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断. 二、素养训练1.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5D.±2，1解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.答案 C2.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2iD.±2i解析 x 2＝－1×2，∴x ＝±2i. 答案 C3.i 2 021＝________.解析 i 2 021＝i 2 020·i ＝(i 2)1 010·i ＝(－1)1 010·i ＝i. 答案 i4.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.答案 1基础达标一、选择题1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－iB.iC.－1D.1解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i·(－i)＝1，∴z ＝－i. 答案 A2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.－5＋5i C.2＋iD.5＋5i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 答案 A4.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1B.0C.－1D.－1或1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋1）＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.答案 B5.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z ) B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .答案 B 二、填空题6.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________.解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 答案 17.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________. 解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3. 答案 38.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________.解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}. 答案 {0} 三、解答题9.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m ＋3≠0，得m ＝2.∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.10.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.能力提升11.下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数是________.解析 ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小.②若z 2＝－1，满足z 2∈R ，而z ＝±i ，不满足z ∈R .③若a ＝0，则a i 不是纯虚数.④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确.答案 012.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1. 创新猜想13.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是( )A.若x 是实数，则x 可能不是复数B.若z 是虚数，则z 不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.－1没有平方根解析 因实数是复数，故A 错，B 正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C 错；因－1的平方根为±i ，故D 错.答案 ACD14.(多填题)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________.解析 设a 是方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 答案 112 －12。
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
人教202XA版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
Hale Waihona Puke 回顾数系的扩充过程①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定：
4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？
【解析】由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数， ∴m＝5 或－3.
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
a2＝2， 【解析】令－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
3．已知
x2－y2＋2xyi＝2i，则实数
x，y
的值分别为
x
y
11或
x y
1 1
．
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，.
（1）i 2 1；
x=i是方程 x2+1=0的解
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
我们把 i 叫做虚数单位。
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念1. 数系的演变说到数，大家可能会想起从小到大学的那些简单的算数题。
其实，数的世界可不止这些啊，随着时间的推移，数学家们可没闲着，他们不断在探索和扩充数的种类，直到把它们搞得五花八门，简直让人眼花缭乱。
首先，我们从最基本的自然数说起，自然数就像我们在数手指头时用到的那些，比如1、2、3……这些都是小朋友们耳熟能详的。
但是，等到你发现了零，这可就是个“翻天覆地”的概念了。
零的加入，瞬间让自然数的大家族扩展成了整数的大家庭，嘿，这可是一种“大门大开”的感觉呀！1.1 整数的引入说到整数，大家知道它们就是自然数加上了负数部分，像1、2、3……这样的存在。
整数让我们的数系更加丰富，原本的“有钱”小朋友们也多了些“欠债”的伙伴，嘿嘿，这样一来，数的对比和运算就变得更加有趣了。
想想，如果没有负数，我们能做多少有趣的数学题呢？而整数的出现，恰如给数系加上了一对翅膀，让它飞得更高，看到更广的世界。
1.2 有理数的诞生紧接着，数学家们又发现了“有理数”。
这可是一群有趣的数，它们可以被写成分数的形式，像是1/2、3/4、甚至5/6这样的，真是让人觉得“哇塞”。
有理数的加入，给我们提供了更多的可能性，特别是在解决实际问题的时候。
想象一下，我们在做蛋糕时，切一块有理数大小的蛋糕，那可真是“酸甜苦辣”的完美结合了！2. 复数的出现不过，数系的扩展可不止于此！随着数学的发展，复数这个家伙也横空出世了，简直是个“黑马”。
复数的形式看上去有点怪异，像是a + bi，其中a是实数，b是虚数，i是一个让人咋舌的数，它的平方竟然是1！这真是让许多人瞠目结舌，脑袋里一片空白。
“这怎么可能呢？”不少人疑惑地问。
但是，复数的引入，真的让我们可以解决许多在实数范围内无法解决的问题，简直是“救命稻草”。
2.1 复数的应用再想想，复数的应用可真广泛，从电工程到量子物理，它们都大展身手。
比如，在电路中，复数可以用来描述交流电的性质。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
数系的扩充历史和复数的概念
2.课本
x, y 的 值 .
1 9i,
p104 练习 1、2、3
1 .
谢谢合作
的值.
2y i
a c b d
2x 5 3x y i ,
x 3, y 2
学习小结
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 3.复数的分类
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
课后作业
1 .若 3 1 0 i y 2 i x
“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。
零
分数
负数
正整数 无理数
零 分数 负数 正整数 无理数
数还够用吗
数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实 施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的 矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。 2 但是，数集扩充到实数集R以后，像x +1=0 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的 平方等于-1.
中国是世界上对负数认识最早的国家， 负数是在《九章算术》里首先发现的。但欧 洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千 多年。 班级信息栏
负 数 的 引 入 重
大 进 步
在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著 作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承 认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称 为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
（3）纯虚数
m 1或 m 1
m 1且 m 1
m 2
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
(3)纯虚数； 解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5≠00， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2.
(4)0.
解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5＝00， 时，复数 z 是 0， ∴m＝－3.
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10.分别求满足下列条件的实数x，y的值. (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的
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8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为__2___. 解析 由题意得mm22－ －21>m1＝，0， 解得 m＝2.
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9.当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)实数；
解 因为z>0，所以z为实数，
需满足m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得 m＝5.
反思 感悟
复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R) 的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和 虚部满足的方程(不等式)即可.
数系的扩充和复数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
易错警示 在利用复数的有关概念解题时,需要注意一些隐含条件,如本题中a2-1 ≠0这一条件.
对复数扩充过程的理解
在对数字运算的研究过程中,意大利数学家卡当(1501—1576年)遇到一个让他 非常头痛的问题,即将10分成两部分,使两部分的乘积等于40,那么这两部分分别是 多少?
1.列出解决此问题的方程. 提示:设其中一个数是x,则x满足方程x(10-x)=40,即x2-10x+40=0.
所以m2-2提m+示(m2:+复m-数2)i=z-是1或实m2-数2m的+(m充2+要m-2条)i=4件i. 是
(2)当z为虚数时,m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是实数?
分m为别何确值定时两即,个复复数数z=的 实+部(m与2虚+5部m;+6)i(m∈R,i为解虚数得单m位=)是-2虚,数?
提解示析:复(数1)解z当是z析虚∈数R时的,(充m12要)-若2条m件复-1是5=数0,解解z是得得mm实≠=-53数或且mm,则=≠--32.,
判断此方程在实数范围内解的情况. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数?
提 由示0<：i⇒两0×个即i<虚i2数⇒0不<能-1比,这较与大0>小-1.矛盾;由0>所i⇒-i以×0>ai×=(6-i).⇒-i2<0⇒1<0,这与1>0矛盾.
2.判断此方程在实数范围内解的情况. 提示:由判别式Δ=(-10)2-4×40=-60<0知,此方程无实数解. 3.在复数范围内,如何解此方程?
数系的扩充
数系的扩充数系的扩充是数学领域的一个重要概念，指的是在已有的数系中引入新的元素，以扩大数学的范围和应用。
数系的扩充不仅可以克服原有数系的不足，还可以拓展数学理论和解决实际问题。
本文将详细介绍数系的扩充概念、发展历程以及应用领域。
数系的扩充是数学发展的一个重要环节。
早在古希腊时期，人们就开始思考“无理数”的存在。
无理数是无法被两个整数之比表示的实数，如π和e等。
公元前5世纪，希帕索斯将π的值近似计算到小数点后四位，显示了无理数的存在。
然而，古希腊数学家认为数是有理数的集合，不承认无理数的存在。
只有公元3世纪，爱尔兰数学家埃欧吉尔将无理数作为新的数系引入数学，并命名为“超越数”，扩充了原有的有理数系。
在埃欧吉尔的影响下，人们开始研究无理数的性质和应用。
无理数的引入不仅丰富了数学理论，还解决了一些实际问题。
例如，无理数的引入使得平方根的概念得以建立，可以解决许多几何问题。
此外，无理数还在数学分析、物理学等各个领域有广泛应用，成为数学研究和实际应用的重要工具。
除了无理数，人们还陆续引入了其他新的数系，以应对数学发展和实际需要。
其中，复数是一个重要的扩充数系。
复数由实数和虚数组成，虚数是负数的平方根。
复数的引入解决了方程$x^2+1=0$在实数范围内无解的问题。
复数的概念不仅在数学分析中有重要应用，还在电工学和量子力学等领域具有广泛应用。
除了无理数和复数，人们还提出了超实数、超复数等更高阶的扩充数系。
超实数是在实数的基础上扩充，引入了超越数、超自然数等新的元素。
超实数的引入解决了一些实分析问题，也在非标准分析中有应用。
超复数则是在复数的基础上扩充，引入了超乘法和超加法等新的运算规则。
超复数不仅可以模拟现实世界中的超光速现象，还在量子理论和弦理论中有应用。
数系的扩充不仅解决了数学理论中的问题，还拓展了数学的应用领域。
数学在自然科学和社会科学中都有广泛应用，数系的扩充为各个领域提供了新的工具和方法。
例如，复数在电工学中用于描述交流电流的相位和复功率，无理数可以用于记数系统和数据编码中，超实数和超复数可以用于描述非线性系统和实时控制系统等。
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不对 如果两个复数都是实数，就可以 比较大小 只有当两个复数不全是实数 时才不能比较大小
复数的发展史
后来德国数学家高斯给出 虚数这种假设,是需了要复勇数气的的,人定们义在，当但时他是们无法仍接感到 受虚兴数时的单期,认位意为的大她假利是设有想研名象究的的数:,第不学一存这们家次在“也种认的怪感数真,但杰讨到有这”论它点丝卡这毫的虚丹种不作无，数影他用缥的响是．缈是数1文，15学48艺5尽3家年0复对管年开他， 始讨论这种数的，当时复高数被斯他详称细作论“述诡了辩量用”直.几角乎坐过标系
无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的 信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了 2 以外的许多无理数 。这些“怪物”深深地困扰着古希 腊的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危 机”。
分分数数
正正整整数数
无无理理数数
我国公元3世纪的刘徽已经对负数 有了深刻的认识。在《九章算术注》
在生产实践中，人 中，他认为“今两算得失相反，要令 正负以名之。”他还认为“言负者未
数的发展历程
——数系的扩充
正整数
等额分配问题
随着生产，生活的需要，人 们慢慢发现，仅仅表示出正 整数是不够的。如果分配猎 物时，5个人分三只羊，每 个人应该得到多少呢？自然 地，分数就出现了。
分数
正整数
毕达哥拉斯
勾股定理
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
毕达哥拉斯
在“数”的发展史上，希腊的 毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。 毕达哥拉斯学派基本的信条是“万 物皆数”。他们所说的数仅指整数， 分数被看成两个整数的比，他们相 信任何量都可以表示成两个整数之 比。即可得到，任何两条线段的比 都是整数的比，即有理数。然而， 毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯后 来发现：并不是任意两条线段都有 一个公共度量。
班级信息栏
负 数 的 引 入
重 大 进 步
在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著 作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承 认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称 为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
1629年，吉拉尔出版了它的著作《代数新 发现》。在这本书中，他明确主张：负数 与正数具有相同的地位;负数可以作为方程 的根，他还指出，负数是正数的相反数， 直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负 数终于有了一席之地 。
印度人起初也用空位表示“0”，后记成“点”，
现
最后发展成“圆”。直到公元11世纪，包括有“0”的 印度数码和十进制计数法臻于成熟。特别是印度人不
仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看作可
施行运算的一个特殊的数。
“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。
零
分数
负数
正整数
无理数
正整数
分数
负数
无理数
零
数还够用吗
数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实 施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的 矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛 盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。
但是，数集扩充到实数集R以后，像x 2+1=0 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的 平方等于-1.
形如 a b即i(aC,b Ra )的bi数a叫,b做复R 数.
二.复数的代数形式
通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
其中a 叫做实部 , b 叫做虚部 ,
i 称为虚数单位.
问:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？
·
三
复 数 的 分 类
需要掌握的一个充要条件
x2 12 12 2
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
—
现在假设一个直角三角形的两条直角边的长 度都是1，那么斜边的长度是多少呢？
设斜边长是x,根据勾股定理可得，
x2 =12+12=2
1xΒιβλιοθήκη 因此斜边长度x必定是其平方等于2的 一个数。这个数能否写成两个整数比
的形式呢？答案是否定的，即没有任
何一个分数的平方等于2,也就是说 不是有理数。
班级信息栏
负 数 的 引 入
重 大 进 步
分分数数
正正整整数数
负数
无无理理数数
人类很早就发现了正整数、无理数、负数，但是
“0”的发现却晚得多。“0”最早源自于人们表示的
零
“没有”，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它 当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。
的 发
在我国，战国时期人们就用“空”表示“0”了， 但没有把“空”看做是一个单独的数。
2
1
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
不可公度量的发现，大约是在公元前470年左右， 当时毕达哥拉斯早已不在人世。传说学派成员希帕苏 斯发现了不可公度性，他认为边长为1的正方形的对角 线的长不能用有理数来表示。当时他们正在海上泛舟 集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成 员将他抛进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露 了不可公度的秘密而遭此厄运。
如何解决这个问题？这就是我们今天 要探讨的课题。
小 结
§ 3.1.1
数系的扩充和 复数的概念
一.问复题数解的决定义
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新
数 i ，把复数i 的叫定做义虚：数形单位如，a并+且bi规(a定, ：b R )的数叫复
(1数) ，i 2a叫1；复数的实部，b叫复数的虚部.全 (2体)实复数数可以所与成i的进集行四合则叫运做算,复在数进行集四，则用运算字时母,原C有的加 法与乘表法示的.运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 这全样体就复会数出所现成许的多新集数合,如C 叫2i 做、3复i 、数2集 i.、3 i 等.
两个复数相等的定义：如果两个复 数的实部和虚部分别相等，那么我们 就说这两个复数相等。
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么
a+bi=c+di a=c，b=d
即:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R) 相等的充要条件是 a c 且 b d .
需要掌握的一个结论
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能 比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
们往往需要测量相反意义的 必负于少，言正者未必正于多。”这 两句话都是关于正负数的绝对值而言
量，例如海拔，高度等等， 的，即负数的绝对值未必小，正数的 绝对值未必大。这种思想与现代的数
因此负数也学思就想是应完全运一致而的。生了。
中国是世界上对负数认识最早的国家， 负数是在《九章算术》里首先发现的。但欧 洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千 多年。