中考数学相似综合练习题含答案

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质可得 DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得 MN′= MD；则 NC 的长可求，由 已知条件易得 ΔNMC∽ ΔMN′G 根据所得的比例式即可求解. ,
4．如图，在平面直角坐标系中，直线
分别交 x 轴，y 轴于点 A，C，点 D
（m，4）在直线 AC 上，点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB=2OC．点 E 是 y 轴上任意一点，连结
由
，解得
，
∴ C（ ， ）．
∴ OC=
=8，
BC=
=10
（2）解：①当
∴
，
时，△ OPQ∽ △ OCB，
∴ t= ．
②当
时，△ OPQ∽ △ OBC，
∴
，
∴ t=1，
综上所述，t 的值为 或 1s 时，△ OPQ 与△ OBC 相似
（3）解：如图作 PH⊥OC 于 H．
∵ OC=8，BC=6，OB=10， ∴ OC2+BC2=OB2 ， ∴ ∠ OCB=90°， ∴ 当∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ． ∵ ∠ PHO=∠ BCO=90°， ∴ PH∥ BC，
的中点 ,
.
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
∵∥
∴
,
∴
,
,
∵
,
∴
,
又∵
,
∴
∽
,
∴
，即
,
∴ 【解析】【分析】（1）过点 E 作 EH⊥MN 于点 H ,由已知条件易得 EN=EM，解直角三角形 EMH 易得 MH 和 EM 的关系，由等腰三角形的三线合一可得 MN=2MH 即可求解； （2）在 Rt△ ABE 中，由直角三角形的性质易得 DE=BE=2AE，由题意动点 M 从点 E 出发沿 射线 ED 运动可知点 M 可在线段 ED 上，也可在线段 ED 外，所以可分两种情况求解：①当
（3）如果以 B，P，N 为顶点的三角形与△ APM 相似，求点 M 的坐标．
【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=px+q，
把 A（3，0），B（0，2）代入得
，解得
，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+2；
把 A（3，0），B（0，2）代入 y=﹣ +bx+c 得
， ∴ 抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+2 （2）解：∵ M（m，0），MN⊥x 轴， ∴ N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2）， ∴ NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2， 而 NP=PM， ∴ ﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得 m1=3（舍去），m2= ， ∴ N 点坐标为（ ， ）
∴ n﹣3=﹣ （n﹣4）+8，∴ n= ； ②当点 G 落在 BC 边上时，如图 3，作 DM⊥y 轴于 M，GN⊥DM 轴于 N，
由①同理可得△ DEM≌ △ GDN，∴ GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴ 点 G 纵坐标为 1，∴ ，∴ x=14，∴ DN=14+3=17=n﹣4，∴ n=21；
示，即 P（m,
）,N（m,
）,PM 与 PN 的长分别为相应两点的纵
坐标的绝对值，代入 PM=PN 即可的关于 m 的方程，解方程即可求解；
（3）因为以 B，P，N 为顶点的三角形与△ APM 相似，而△ APM 是直角三角形，所以分两
种情况：当∠ PBN= 时，则可得△ PBN∽ △ PMA，即得相应的比例式，可求得 m 的值；
点 M 在线段 ED 上时，过点 N 作 NI⊥AD 于点 I ,结合（1）中的结论 MN= EM 即可求 解；
②当点 M 在线段 ED 延长线上时，过点 N 作 NI'⊥AD 于点 I '，解 RtΔNI′M 和
可
求得 NI'和 NE，则 DM=NE−DE，所以以 M、N、D 为顶点的三角形面积 y= MD.NI 可求解； （3）连接 CM,交 BD 于点 N'，由（2）中的计算可得 MN、CD、MC 的长，解直角三角形 CDM 可得∠ DMC 的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠ NMC= ，根据平行线的性
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，与直线
y= 相交于点 C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点 Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜ 2）．
（1）直接写出点 C 坐标及 OC、BC 长；
（2）连接 PQ，若△ OPQ 与△ OBC 相似，求 t 的值； （3）连接 CP、BQ，若 CP⊥BQ，直接写出点 P 坐标．
【答案】（1）解：对于直线 y=﹣ x+ ，令 x=0，得到 y= ，
∴ A（0， ）， 令 y=0，则 x=10， ∴ B（10，0），
∴
，
∴
，
∴ PH=3t，OH=4t，
∴ tan∠ PCH=tan∠ CBQ，
∴
，
∴ t= 或 0（舍弃），
∴ t= s 时，PC⊥BQ． 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 A,B 点的坐标，解联立直线 AB,与直线 OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接 算出 OC,OB 的长； （2）根据速度乘以时间表示出 OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当 OP∶ OC=OQ∶ OB 时， △ OPQ∽ △ OCB，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值；②当 OP∶ OB=OQ∶ OC 时， △ OPQ∽ △ OBC，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值，综上所述即可得出 t 的值； （ 3 ）如 图作 PH⊥OC 于 H ．根 据勾 股定 理 的逆 定 理判 断出 ∠ OCB=90°， 从 而得 出当 ∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出 PH∥ BC，根据平行线分线段 成比例定理得出 OP∶ OB=PH∶ BC=OH∶ OC,根据比例式得出 PH=3t，OH=4t，根据等角的同 名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠ PCH=tan∠ CBQ，列出方程，求解得出 t 的 值，经检验即可得出答案。
【答案】（1）证明：：∵
°,
°,
∴
°
∵
,
∴
∵∥,
∴
∴
°,
∴
过点 作
于点 ,则
.
在
中，
∴ ∴
（2）解：在 ∴ ∵ a.当点 在线段
中， 上时，过点 作
在
中，
， 于点 ,
由（1）可知： ,
∴
∴
∴ b.当点 在线段 延长线上时，过点 作
于点
在
中，
,
在
中，
,
∴
,
∴ （3）解：连接 ,交 于点 .
∵为 ∴ ∴
当 = 时，△ BPN∽ △ ABO，则△ BPN∽ △ APM，即 m： =（﹣ m2+4m）： 2，
整理得 2m2﹣5m=0，解得 m1=0（舍去），m2= ，
此时 M 点的坐标为（ ，0）；
综上所述，点 M 的坐标为（ ，0）或（ ，0） 【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线 AB 都过点 A（3,0）、B（0,2），所以用待定系 数法求两个解析式即可； （2）由题意知点 P 是 MN 的中点，所以 PM=PN；而 MN OA 交抛物线与点 N，交直线 AB 于点 P，所以 M、P、N 的横坐标相同且都是 m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表
③当点 F 落在 AB 边上时，如图 4，作 DM⊥y 轴于 M，
由①同理可得△ DEM≌ △ EFO，∴ OE=DM=3，即 n=3； ④当点 G 落在 AC 边上时，如图 5．
∵ ∠ CDE=∠ AOC=90°， ∠ DCE=∠ OCA ， ∴ △ DCE∽ △ OCA ， ∴
，∴
，
∴ n= ，显然，点 G 不落在 AB 边上，点 F 不落在 AC 边上，故只存在以上四种情况．
当∠ PNB= 时，则可得△ PNB∽ △ PMA，即得相应的比例式，可求得 m 的值。
3．在矩形 ABCD 中，BC＝6，点 E 是 AD 边上一点，∠ ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD.动点 M 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 M 作 MN∥ BD 交直线 BE 于点 N.
（1）如图 1，当点 M 在线段 ED 上时，求证：MN＝ EM； （2）设 MN 长为 x，以 M、N、D 为顶点的三角形面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当点 M 运动到线段 ED 的中点时，连接 NC，过点 M 作 MF⊥NC 于 F，MF 交对角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 MG 的长.
2．如图，抛物线 y=﹣ +bx+c 过点 A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段 OA 上一 个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于 点 P、N．
（1）求直线 AB 的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点 P 是 MN 的中点，那么求此时点 N 的坐标；
（3）解：∵ OB=2OC=16，∴ B 为（16，0），∴ BC 为：
；
①当点 F 落在 BC 边上时，如图 2，作 DM⊥y 轴于 M，FN⊥y 轴于 N．
在 △ DEM 与 △ EFN 中 ， ∴ NF=EM=n﹣4，EN=DM=3 ∴ F 为（n﹣4，n﹣3）
， ∴ △ DEM≌ △ EFN （ AAS ） ，
综上可得，当 n= 或 21 或 3 或 时，正方形的顶点 F 或 G 落在△ ABC 的边上． 【解析】【分析】（1）根据点 D 在直线 AC 上；于是将 D（m，4）代入直线 AC 的解析式 得出 m=-3,从而得出 D 点的坐标； （2）①如图 1，过点 D 作 DH⊥y 轴于 H，根据和 y 轴垂直的直线上的点的坐标特点及 y
∴ 4= m+8，解得 m=﹣3，∴ 点 D 的坐标为（﹣3，4） （2）解：①如图 1，过点 D 作 DH⊥y 轴于 H，
则 EH=|n﹣4| ∴ S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9； ②当 DF∥ x 轴时，点 H 即为正方形 DEFG 的中心，∴ EH=DH=3，∴ n=4+3=7，∴ S=（7﹣4） 2+9=18
轴上两点间的距离，则 DH=|n-4|,根据正方形的面积等于边长的平方及勾股定理得出 S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；②当 DF∥ x 轴时，点 H 即为正方形 DEFG 的中心，故 EH=DH=3，n=7，将 n=7 代入函数解析式即可得出 S 的值； （3）首先找到 C 点的坐标，得出 OC 的长度，然后根据 OB=2OC=16 得出 B 点的坐标，利 用待定系数法得出直线 BC 的解析式，①当点 F 落在 BC 边上时，如图 2，作 DM⊥y 轴于 M，FN⊥y 轴于 N．利用 AAS 判断出∴ △ DEM≌ △ EFN，根据全等三角形对应边相等得出 NF=EM=n﹣4，EN=DM=3 从而得出 F 点的坐标，根据 F 点的纵坐标的两种不同表示方法得 出关于 n 的方程，求解得出 n 的值；②当点 G 落在 BC 边上时，如图 3，作 DM⊥y 轴于 M，GN⊥DM 轴于 N，由①同理可得△ DEM≌ △ GDN，GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，从而得 出 G 点的纵坐标为 1，根据点 G 的纵坐标列出方程，求解得出 N 的值；③当点 F 落在 AB 边上时，如图 4，作 DM⊥y 轴于 M，由①同理可得△ DEM≌ △ EFO，OE=DM=3，即 n=3； ④当点 G 落在 AC 边上时，如图 5．首先判断出△ DCE∽ △ OCA，根据相似三角形对应边成 比例得出 C E∶ A C = C D∶ O C，从而得出关于 n 的方程，求解得出 n 的值，综上所述得出 所有答案。
，解得
（3）解：∵ A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），
∴ AB=
= ，BP=
= m，
而 NP=﹣ m2+4m， ∵ MN∥ OB， ∴ ∠ BPN=∠ ABO，
当= ，
时 ， △ BPN∽ △ OBA ， 则 △ BPN∽ △ MPA ， 即
m ： 2= （ ﹣ m2+4m ） ：
整理得 8m2﹣11m=0，解得 m1=0（舍去），m2= ， 此时 M 点的坐标为（ ，0）；
DE，将线段 DE 按顺时针旋转 90°得线段 DG，作正方形 DEFG，记点 E 为（0，n）．
（1）求点 D 的坐标； （2）记正方形 DEFG 的面积为 S， ① 求 S 关于 n 的函数关系式； ② 当 DF∥ x 轴时，求 S 的值； （3）是否存在 n 的值，使正方形的顶点 F 或 G 落在△ ABC 的边上？若存在，求出所有满 足条件的 n 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）解：∵ 点 D（m，4）在直线 AC 上；