该如何分解速度

该如何分解速度？

——谈用微元法理解速度的分解问题

江苏省南菁高级中学 冯德强（江苏省江阴市 214400）

在中学物理中，往往遇到一些常规方法难以解决的问题。如研究对象非理想物理模型（如流体、一般曲线）；问题中所涉及的物理量是非线性变量（如引力势能的推导），无法用初等数学进行计算。等等，这时，可以采用微元法。而在现行的《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）中，也多次出现了微元思想。因此，笔者认为在教学中，应当帮助学生建立用微元思想解决问题的方法。

微元法的中心思想即：化曲为直、化变为恒。将所研究的对象或涉及的物理过程，分割成许多微小单元，从而将非理想物理模型变成理想模型；将非线性变量变成线性变量、甚至常量。然后用常规方法进行分析和讨论。微元法在物理学几乎所有的分支中均有应用，本文讨论用微元法理解速度的分解问题。

在运动的分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解。其实我们可以从瞬时速度的概念入手，即 ，找到经过极短时间内的位移关系就可以找到速度关系。

一、问题的提出

如图1，光滑细棒穿入A 、B 两个相同的刚性小球，两根一样长的轻细线与C 球相连，当细棒与细线夹角为θ时，A 、B 速度大小为V ，求C 球的速度V C 。

学生在解这道题目时，由于理解不透彻，往往会有如图2、图3两种分解的方法。而得到两种不同的答案。图2中：V C =2V 1sin θ=2Vcos θsin θ=Vsin2θ；图3中：V C sin θ=Vcos θ，得V C =Vcot θ。那么，哪一个才是正确的答案呢？

二、问题的还原

我们先来一个基本模型：如图4，均匀光滑细棒AB ，A 、B 两端分别靠在光滑墙和地板上，由于光滑，棒将开始滑动，当棒与墙的夹角为θ时，A 端速度为V ，问此时B 端速度多大？

图1 图2 图3

分析与解：用微元思想来理解。设经过极短时间，AB 运动至A ‘B ’

。如图5，交点为C 。

在AB 上取一点A 1，在A ‘B ’上取一点B 1，使A ‘C= A 1C ，B ’C= B 1 C 。由于时间很短，所

以角C 很小。∠CA 1A ‘=∠CA ’A 1=∠CB 1B ‘=∠CB ’B 1=900。∠BAO ≈∠B ‘A ’O=θ，AA 1=AA

‘cos θ，B ’B 1=B ‘Bsin θ。由于棒的长度不变，易知AA 1= B ’B 1。所以B ‘B= AA ‘cot θ，得 V B =V cot θ。

三、问题的解决

现在我们来看原题，由于对称性，C 球只能在竖直方向运动。设经过经过极短时间，系统运动至如图6的位置。用以上完全相同的方法。易得V C =Vcot θ。

那么，图2的方法问题在哪儿呢？其实将V C 分解成沿两根细线方向，也可以做。但是这两个分速度并不等于A 球在线方向的速度。设C 球沿线方向的分速度为V 2。应有V 1= V 2+V 2cos2（900—θ）= V 2（1—cos2θ）= 2V 2sin 2θ，而V 1= Vcos θ，V C =2V 2sin θ。联立以上各式可得V C =Vcot θ。

小结：绳子连接的两个物体速度的关系是：将速度分解成沿绳方向与垂直绳子方向。其中沿绳方向速度相等。

四、问题的延伸

如图7，有人用恒定的速度v 0拉绳使船靠岸，试求当绳与竖直方向夹角为θ时船的速度大小。

分析与解：将船的速度分解为分解成沿绳方向与垂直绳子方向。v sin θ=v 0，

得v = v 0/ sin θ。

本题可延伸一下，求此时船的加速度。（已知岸高h ）

由加速度的定义式 ，找到经过极短时间内的速度变化就可以求得加速度。如图8，取一小段时间微元△t ，船头从点向左移至点。绳子绕滑轮转过一个小角度△θ。船速 )sin('0θθ∆-=v v ，则速度增量⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∆-=∆θθθsin 1)sin(10v v ，而 θθ

θθθtan cos .cos 0v h v h t ∆=∆=∆。由加速度的定义式 ，

得θθθθθθθθθθθ

θθθθsin )sin()sin(sin tan cos lim tan cos sin 1)sin(1lim 2000∙∆-∙∆∆--∙=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆-=h v v h v a θθθθθθθθθ32

020cot sin )sin(2

2sin )2cos(tan cos lim h v h v =∙∆-∙∆∆∙∆-∙=。 五、实题演练

1、直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB 的方向向上移动，而直线CD 以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图9所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向。

2、两只小环O 和O ’分别套在静止不动的竖直杆AB 和A ’B ’上，一根不可伸长的绳子，一端系在A ’点上，绳子穿过环O ’，另一端系在环O 上，若环O ’以恒定速度V ’沿杆向下运动，∠AOO ’＝α.如图10。求环O 的运动速度为多大？ 附：参考答案1，ααcos 2sin 1212221v v v v v -+=。2，''cos v v v -=α