求导公式大全

x
1 x ′ = (a )′ = y = y ln a = a ln a (log a y )′
x
即： x )′ = a x ln a (a > 0, a ≠ 1) (a
特别地， 特别地， ( e )′ = e
x
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x
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微积分--求导法则
(arcsin x )′ =
1 1− x
2
,
(arccos x )′ =
3 3
π
7
1 4 y′ = 3 x + x − sin x + 3 x ln 2 3 y = x ln x cos x 2 2 3 y′ = 3 x ln x cos x + x cos x − x ln x sin x
2
2012-1-1 微积分--求导法则
2 − 3
8
例3 求 y = tan x 的 数. 导 解
微积分--求导法则
14
例7
y = a (a > 0, a ≠ 1)，求y′
x
内单调连续, 解 x = log a y 在(0,+∞)内单调连续 值域 内单调连续 值域(-∞,+∞) 1 且(log a y )′ = ≠ 0，y ∈ (0, +∞ ) y ln a
内可导， 故其反函数 y = a 在 ( −∞ , +∞ ) 内可导， 且
f ( x ) − f ( x0 ) 复习： 复习：导数概念 f ′( x0 ) = lim . x → x0 x − x0
几个初等函数的导数 1.常数的导数： c′ = 0 常数的导数： 常数的导数 2.幂函数的导数：( x α )′ 幂函数的导数： 幂函数的导数
2
f ( x0 +∆x) − f ( x0 ) = lim ∆x→0 ∆x
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微积分--求导法则
10
三角函数求导公式
( sin x )
( tan x )
( sec x )
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′
= cos x
= sec x
2
( cos x )
( cot x )
( csc x )
′
′
= − sin x
= − csc x
2
′
′
′
= sec x tan x
= − csc x cot x
=αx
α −1
特殊： 特殊：
x ′ = 1 , ( x )′ = 2 x 1 1 1 ( )′ = − 2 , ( x )′ = x x 2 x
微积分--求导法则 1
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3.对数函数的导数 对数函数的导数
1 (lo g a x ) ′ = x ln a 1 (ln x ) ′ = x
4.正、余弦函数的导数 正
证： (2)
2012-1-1 微积分--求导法则 4
u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) 证 (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x) u( x ) + ∆u u( x ) − u( x ) v ( x ) + ∆v v ( x ) [ ]′ = lim ∆x → 0 ∆x v( x )
注意: 注意
2012-1-1 微积分--求导法则 20
v
= ∑ fi′( x)∏ fk ( x);
i =1 k=1 k≠i
2012-1-1 微积分--求导法则 6
i =1
i =1
n
n
n
2 3 解 y′ = 4 x − − sin x x 例2 求 y = sin 2x ⋅ ln x 的 数. 导 解 Q y = 2 sin x ⋅ cos x ⋅ ln x
1 x < 1时，f ′( x ) = 2 , x > 1时，f ′( x ) = x
ln[1 + ( x − 1)] x −1 = lim = lim =1 + + x →1 x →1 x − 1 x −1 f ′(1)不存在 2, x < 1 f ′( −1) = 2 1 即f (x)在x=1不可导∴ f ′( x ) = 1 , x > 1 在 不可导 f ′(2) = x 2
sin x y ′ = (tan x )′ = ( )′ cos x (sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x
cos 2 x + sin 2 x = 1 = sec 2 x = 2 2 cos x cos x
即 (tan x)′ = sec x.
2
同理可得
2012-1-1 微积分--求导法则 3
[u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); ( u + ∆u)(v + ∆v ) − uv （uv ′ = lim ） ∆x → 0 ∆x v ∆u + u∆v + ∆u∆v = lim ∆x → 0 ∆x ∆u ∆v ∆u = v lim + u lim + lim ⋅ ∆v ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x = u′v＋uv ′
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微积分--求导法则
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1 dρ ρ = ϕ sin ϕ + cos ϕ , 求 2 dϕ
dρ 1 1 = sin ϕ + ϕ cos ϕ − sin ϕ = sin ϕ + ϕ cos ϕ dϕ 2 2 dρ 2 2 π = + dϕ ϕ = π 4 8
4
ϕ=
π
4
y = xБайду номын сангаас+ x + cos x + 4 log 2 x + sin
2012-1-1 微积分--求导法则 19
小结 (1) (u±v)′=u′±v′； ± ± ；
(2) (uv)′=u′v+uv′； ； (3) (cu)′=cu′； ； u′v − uv ′ (4) (u/v)′= (v≠0)；
u( x ) u ′( x ) ]′ ≠ . [u( x ) ⋅ v ( x )]′ ≠ u′( x ) ⋅ v ′( x ); [ v( x ) v ′( x ) (5) 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 1 f ′( x ) = . ϕ ′( y ) 分段函数求导时 求导时, 分段函数求导时 不同表达式的分界 点处用左右导数定义式求导. 点处用左右导数定义式求导
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
5
推论
(1)[∑ fi ( x)]′ = ∑ fi′( x);
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
(3) [∏ fi ( x)]′ = f1′ ( x) f2( x)L fn( x) i =1 + f1( x) f2′ ( x)L fn( x) ′ +L+ f1( x) f2 ( x)L fn ( x)
f ( x ) − f (1) ln x − ln1 f +′ (1) = lim = lim + x →1 x →1+ x −1 x −1
二、反函数的求导法则
定理 如 函 果 数 x = ϕ( y)在 区 I y内 调 可 某 间 单 、 导
ϕ 且 ′( y) ≠ 0 , 那 它 反 数 y = f ( x)在 应 间 末 的 函 对 区
Ix内 可 , 且 有 也 导
1 f ′( x ) = ϕ ′( y )
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
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微积分--求导法则
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证
任取 x ∈ I x , 给x以增量 ∆x ( ∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ I x )
由y = f ( x )的单调性可知
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(cot x)′ = −csc x.
2
微积分--求导法则 9
例4 解
求 y = sec x 的 数. 导
1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x sin x − (cos x )′ = = 2 2 cos x cos x
= sec x tan x .
同理可得
(csc x)′ = −csc xcot x.
= e x (sin x + cos x ) + e x (cos x − sin x ) = 2e x cos x
y = ( x 2 + 3a x )(sin x − 1)
y′ = ( x 2 + 3a x )′(sin x − 1) + ( x 2 + 3a x )(sin x − 1)′
= (2 x + 3a x ln a )(sin x − 1) + ( x 2 + 3a x )cos x x sin x f ( x) = 1 + cos x ( x sin x )′(1 + cos x ) − x sin x (1 + cos x )′ f ′( x ) = (1 + cos x )2 2 2 (sin x + x cos x )(1 + cos x ) + x sin x sin x + x = = 2 (1 + cos x ) 1 + cos x
∆ y ≠ 0,
Q f ( x )连续 , ∴ ∆x → 0 时 ∆y → 0
又知 ϕ ′( y ) ≠ 0
∆y 1 ∴ f ′( x ) = lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆y → 0 ∆ x ∆y
1 = ϕ ′( y )
1 . 即 f ′( x ) = ϕ ′( y )
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• 练习：求下列函数的导数 练习：
1 (1) y = ，且 ， f ( x ) ≠ 0， 且 f ( x )可导 f ( x)
(2) y = x ln x − xe + ln 2
x
(3) y = e (sin x − 2 cos x )
x
tan x (4) y = + 3 3 x arctan x x + sin x
例1 求 y = 2x − 3ln x + cos x＋ i sn
2
π
导 的 数.
y ′ = 2 cos x ⋅ cos x ⋅ ln x + 2 sin x ⋅ ( − sin x ) ⋅ ln x 1 + 2 sin x ⋅ cos x ⋅ x
1 = 2 cos 2 x ln x + sin 2 x . x
(sin x ) ′ = co s x (c o s x ) ′ = − sin x
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微积分--求导法则
2
3.2 求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 果 数 u( x), v( x)在 点 x处 导 则 可 , 它 定理 如 函 们 和 差 积 商 (分 不 零)在 的 、 、 、 母 为 点 x处 也 可 ,并 导 且
微积分--求导法则
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例5 解
2( x − 1), x < 1 设f ( x ) = x≥1 ln x ,
求f ′( x )及f ′( −1), f ′(2)
f ( x ) − f (1) 2( x − 1) − ln1 = lim =2 x=1时: f −′(1) = lim 时 − − x →1 x →1 x −1 x −1
−1 1− x
2
证：(arcsin x )′
1 = (sin y )′ 1 = cos y 1 = 2 1− x
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y = arcsin x x = sin y
cos y = 1 − sin y = 1 − x
2 2 2
Q−
π
2
< y<
π
2
∴ cos y > 0
微积分--求导法则 16
1 −1 (arctan x )′ = , (arc cot x )′ = 2 2 1+ x 1+ x
证： (arctan x )′
1 = (tan y )′ 1 = 2 sec y
y = arctan x π π x = tan y − < y <
2
sec y = 1 + tan y = 1 + x
2 2 2
2
1 = 2 1+ x
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≠0
微积分--求导法则 17
y = e x (sin x + cos x ) y′ = (e x )′(sin x + cos x ) + (e x )(sin x + cos x )′
∆u ∆v ⋅ v ( x ) − u( x ) ⋅ ∆x = lim ∆x ∆x → 0 v ( x + ∆x )v ( x )
∆uv ( x ) − u( x )∆v = lim ∆x → 0 ( v ( x ) + ∆v )v ( x )∆x
u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) = 2 [v ( x )]