线性规划案例

不等式变等式
不等式变不等式
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不 等 式 变 等 式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
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例2.1.3 把问题转化为标准形式
m axz x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s.t . x1 x 2 5 x1 0
=0
B 1 b x 0
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A 定义 2.2.2： B 是秩为m 的约束矩阵 的一个 m 阶满秩 设
B 子方阵，则称B 为一个基； 中 m 个线性无关的列向量称 为基向量，变量 x 中与之对应的 m 个分量称为基变量，其 余的变量为非基变量， 令所有的非基变量取值为 0， 得到的解 B 1 b 称为相应于B 的基本解。当B 1 b 0 则称基本解为 x 0 B 基本可行解，这时对应的基阵 为可行基。 1 如果 B b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线 性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化 的。
D { x Ax b , x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
O { x D c x c y , y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
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模 型 转 换
变量转换
令自由变量 x j
1 2 3
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模
型
max 3 x 1 5 x 2 4 x 3
s.t.
2 x 2 4 x 3 800
2 x1 3 x 2 1500
3 x 1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
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计 算 结 果
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
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例2.2.1 解线性规划
max z x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x 1 2 x 2 2 x1 x 2 5
A 不空，系数矩阵
满秩的， r ( A) m ，否则的话可以去掉多余约束。
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凸 集
定义 2.2.1：设 S R n n 维欧氏空间的点集，若对任意 是
x S , y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S
就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域
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例 考虑问题：
min z x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 4 2 s .t . x1 x 2 x 5 5 x j 0; j 1,2,3,4,5
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4 x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
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一 般 形 式
目标函数
m inz c1 x1 c 2 x 2 c n x n a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n bi ; i 1,2,..., p a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n bi ; i p 1,...,m s .t . x j 0; j 1,2,...,q x j 无限制; j 1,2,...,q
x x j j xj j ，其中 , x 为非负变量
目标转换
求最大可以等价成求负的最小
m axc x m in c x
约束转换 实例

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约 束 转 换
等式变不等式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
为系数矩阵。
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规 范 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
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标 准 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
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概
念
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x 1 , x 2 , x n ) 可行集（或可行域） ：所有的可行解的全体
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4
蕴含约束：数量非负
x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
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模
型
min s.t.
c
i 1 j 1
2
4
ij
x ij
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可行区域与基本可行解

图解法 可行域的几何结构


ຫໍສະໝຸດ Baidu
基本可行解与基本定理
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图 解 法
对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法求解： 变量用直角坐标系中的点表示 约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示 可行区域是一个凸多面体 目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少的方向 移动，与可行域最后的交点就是最优解。
约束条件
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注
x j ; j 1,2,...,n
释
为待定的决策变量，
c ( c 1 , c 2 , , c n ) 为价值向量，
c j ; j 1,2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a1n a 2n a mn
m inz x1 ( x 3 x 4 ) 2 x 1 ( x 3 x 4 ) x 5 2 x1 2( x 3 x 4 ) x 6 2 s.t . x1 ( x 3 x 4 ) x 7 5 x i 0; i 1,3,4,5,6,7
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基本可行解与基本定理

定义 基本定理


问题
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基本可行解定义
令 A ( B, N ) ， x =( x B x N )。 ,
Ax b
分块 左乘B 1
xN
Bx B Nx N b
x B B 1 Nx N B 1 b
即
x B B 1 b B 1 Nx N
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
剩余变量
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不等式变不等式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
原料可用量 （公斤/日）
2 0 3 3
3 2 2 5
0 4 5 4
1500 800 2000
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问 题 分 析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为 x 1 , x 2 , x 3 目标：每天的生产利润最大 利润函数 3 x 1 5 x 2 4 x 3 受制条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3 x 2 1500 原料 P2 ： 2 x 2 4 x 3 800 P 3 x 2 x 2 5 x 3 2000 原料 3 ： 1 蕴含约束：产量为非负数 x ,x ,x 0
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问 题 分 析
可控因素：从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量 设为 x ij ; i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小 费用函数 c ij x ij
i 1 j 1 2 4
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
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当目标函数该边后，等值线的方向会发生改变， 如果等值线与某个约束对应的函数直线平行， 则该函数值线上的所有可行解都是最优解
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x1 2 x 2 2
x1 x 2 5
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注
释
可能出现的情况：



可行域是空集 可行域无界无最优解 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优解
2675.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 375.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000 X3 75.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 1.050000 2) 0.000000 0.625000 3) 0.000000 0.300000
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可行域的几何结构

基本假设 凸集


可行域的凸性
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基 本 假 设
考虑线性规划的标准形式
m i nc x Ax b s.t . x 0
其中
x , c R n , b R m , A R mn
，并且假定可行域 是行
D { x R n Ax b , x 0}
运 筹 学 课 件
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming
决 胜
线性规划
千 里 之 外
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线 性 规 划

线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
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线性规划问题
线性规划实例
生产计划问题 运输问题


线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换 概念
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生 产 计 划 问 题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 料数量（公斤） 原料P1 原料P2 原料P3 单位产品的利润 （千元） 产品 Q1 产品 Q2 产品 Q3
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运 输 问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库Ai ; i 1,2 发送到零售点 B j ; j 1,2,3,4 ，仓库Ai 能供应的产品数量为 a i ; i 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为b j ; j 1,2,3,4 。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库Ai 运一个单 位产品往 B j 的运价为c ij 。问应如何组织运输才能使总运费 最 Ai 小？
D { x Ax b , x 0}
是凸集
定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
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可行域的凸性
超平面 半空间
H { x R n a x b} H { x R n a x b} ； H { x R n a x b}
多面凸集 S { x R n a i x bi ; i 1,2,..., p;a i x bi ; i p 1, p 2,..., p q }
S 定义 2.2.2：设 为凸集 x S ，如果对任意 y , z S 和0 1 ， 都有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。
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问
题
1.可行域顶点的个数是否有限？ 2.最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3.如何找到顶点？ 4.如何从一个顶点转移到另一个顶点?