12二次函数的图象

y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2
y 3 x 32
4
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴 顶点坐标
x=-3 x=-1
3, 1
2
1, 5
x=3
3, 5
x=-1 1, 0
x=0 0, 1
x=2 y轴 2, 5
x=-4 4, 2
有移什可么重关合系。？
(2)y 1 (x 2)2 2
(3)y 1 (x 2)2 2
抛物线
小
开口方向 a>o a<o
结
对称轴 顶点坐标
y=ax2 向上 向下 X=0 （0，0） y=ax2+c 向上 向下 X=0 （0，c）
y=a(x-h)2 向上 向下 X=h （h，0）
y=ax2
当c>0时，向上平移|c| 个单位长度 y=ax2+c
A(x,y)
⑤.对称于原点的两点:
议一议:
分析函数y=x2的解析式,回答下列图象:
(1)它的图象是否通过原点?为什么? (2)它的图象分布在哪几个象限?为什么? (3)它的图象是轴对称图形吗?为什么? 如果是它的对称轴在哪儿? (4)根据以上的分析,描述一下y=x2的图 象在直角坐标系上的位置和大致形状?
y=x2-1 8 3 0 -1 0 3 8
y
y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
y=x2-1
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2
y=x2+1 y=x2 y=x2-1
1
-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 -1 -2
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点:
y
Q(0,b) Q(b,-b) C(m,n)
M(a,(b-),+)
(+,+) P(a,0)
o
x
N(a,(--b,)-) (+,-) PD((a-,ma,)-n) B(-x,y
x=3 3, 0
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2
y=x2+1 y=x2 y=x2-1
1
-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5
x
-1
-2
不变的是 图象的形状
改变的是 图象的位置
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1 y=x2 y=x2-1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
（变化过程）--沿y轴上下平移
c=１>0，向上平移
y=ax2
y = x2 + 1
y = x2
y=ax2+c
y = x2 – 1
c=-1<0，向下平移
y
二次函数 y ax2 c的图象特征
抛物线
顶 点
坐 标
对
称 轴
开口方向
a>0,开口向上
y=ax2+c (0,c) y轴 a<0,开口向下
0x
抛物线
y=ax2 y=ax2+c
向上 向下 X=0 （0，0） 向上 向下 X=0 （0，c）
y=a(x-h)2 向上 向下 X=h （h，0） y=a(x-h)2+k 向上 向下 X=h （h，k）
抛物线
开口方向
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5 y 0.5x 12
x
列表
描点
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
连线
(3) y 2 x2 3
y x2
y x2
y1 x
用用用用自 用自用 自用 自用自自光 光光自光自左光左光左光左光左左滑滑滑左滑左向滑向滑向滑向滑向向曲曲曲向曲向右曲右曲右曲右曲右右线线线右线右顺线顺线顺线顺线顺顺连连连顺连顺次连次连次连次连次次结结结次结次连结连结连结连结连连时时时连时连结时结时结时结时结结要要要结要结要要要要
(3) 把二次函数 y 3x2 2 的图象 沿y轴向上平移 6 个单位，得到二次函数 的图象。 y (3x2 2) 6 3x2 4
做一做:
在同一坐标系中,画出函数
y 1 (x 1)2 y 1 (x 1)2 的图象,
2
2
比较它们与二次函数
y 1 x2 2
的图象
之间有怎样的关系?
-2 -4.5
...
画出下列函数的图象，
0 -0.5 观察-2他们的位置关系.，..
说出它们的开口方向、
对称轴、顶点的位置。
能说出抛物线 y 1 (x h)2 的开口方向及对称2 轴、
y 1 (x 1)2 顶点的位置吗？
2
(1)y 1 x2
2
y 1 x2 2
想 答三：个一形 图想状 象相 之：同 间三， 通条位 过抛置 沿物x不轴线同平。
。
y 2x2 4
新抛物线的顶点坐标是（__0_,_４__），对 称轴是_y_轴__，开口方向_向__下___。
(2) 把抛物线
y 的 12图x象2 沿y轴向
下是平移7个单y位。， 1得x到2 的7 抛物线解析式
2
新抛物线的顶点坐标是_（__0_,_-_7_）_，
对称轴是_y_轴__，开口方向__向__下__。
当c<0时，向下平移|c| 个单位长度
当h>0时，向右平移|h| 个单位长度 y=a(x-h)2
当h<0时，向左平移|h| 个单位长度
做一做:
2.二次函数 y 2(x 3)2＋5和 y 2(x 3)2 5
的函数图象与 y 2x2 的图象之间有怎样
的关系？
抛物线
小结
开口方向 a>o a<o 对称轴 顶点坐标
例题2：参照下表画出函数y 1 (x 1)2 与y 1 (x 1)2的图象
2
2
x ... ... y=-1/2(x+1)2 ... y=-1/2(x-1)2
小结
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ...
-2 -0.5 0 -0.5
-4.5 -2 -0.5
x=-1
x=1
y 1 (x 1)2 2
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数象画法
描点法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y
0
x
在同一坐标系中，作出下列函数的图象，并观察 c取不同的值时，二次函数y=ax2+c的图象和y=ax2 的图象有怎样的关系:
(1)y=x2 (2)y=x2+1 (3)y=x2-1
列 表
描 点
连 线
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2
94 1 01 49
y=x2+1 10 5 2 1 2 5 10
二次函数
y=ax2+bx+c(a ≠ 0)
的图象
一. 平面直角坐标系: 1. 有关概念:
P(a,b)
y(纵轴)
b
第二象限 第一象限
2. 平面内点的坐标:
ao
3. 坐标平面内的点与 第三象限 有序实数对是: 一一对应.
x(横轴)
第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序 实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都 有唯一的点M与它对应.
开口方向 a>o a<o
对称轴 顶点坐标
y=ax2 向上 向下 X=0 （0，0） y=ax2+c 向上 向下 X=0 （0，c）
y=ax2 当c>0时，向上平移|c| 个单位长度y=ax2+c
当c<0时，向下平移|c| 个单位长度
试一试
(1) 把抛物线 y 2沿x2y轴向 平移
__个上单位，得4到的抛物线解析式为
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2
3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2 3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2
y ax2 的图象特征：
抛物 顶点 对称 线 坐标 轴
开口方向
a>0,开口向上
y=ax2 (0,0) y轴 a<0,开口向下
x
-1
由由想y=yy==一xxx2-22想１的的图 图：的象 象图如沿 沿象何yy轴轴呢借向向?助下上y平平=x-移移22的11个个图单单象位位得，，到得得y到到=yyx==2xx+221-+和11的的图图象象
解析式分析
不变：图a的象值的不形变状 （图象的形状） 改变：图c的象值的改位变置（图象的位置）
抛物线 顶点 坐标
对开 称口 轴方
向
y=x2
（０，０） y轴 向上
x y=x2+1 （０，１） y轴 向上
y=x2-1 （０，－１） y轴 向上
X=0
y 10
y=x2+1
9
y=x2
8
改
7
y=x2-1
变
6 5
了
4
吗
3
？
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
看一看 图中三个函数图象的开口大小。