特征值和特征向量的性质与求法
特征值与特征向量的求解方式
特征值与特征向量的求解方式在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
它们的求解在机器学习、图像处理、物理学等诸多领域中具有重要的应用。
本文将介绍特征值与特征向量的概念和求解方式。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么 k 称为矩阵A的特征值，x称为特征值k对应的特征向量。
特别的，当 k=0 时，x称为矩阵A的零向量。
特征值与特征向量有以下重要性质：1. 一个n阶方阵最多有n个不同的特征值。
2. 若A为实对称矩阵，则其特征向量对应的特征值均为实数。
3. 若A为正定矩阵，则其特征值均为正数。
4. 若A可逆，则其特征值均非零。
特征向量的长度一般不为1，我们可以将其归一化得到单位向量，使得 Ax=kx 中的特征向量x满足 ||x||=1。
二、1.利用特征多项式对 n 阶矩阵 A，设λ 为其特征值，用 |A-λI| =0 表示，其中 I 为n 阶单位矩阵。
化简方程，即得到 A 的特征值λ 的解析式。
求得λ 后，代入 (A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量 x。
举个例子，对于矩阵 A=[1 2;2 1]，我们有| A-λI |= | 1-λ 2; 2 1-λ| = (1-λ)^2 -4 = 0解得λ1=3, λ2=-1。
将λ1,λ2 代入 (A-λI)x=0 中分别求解，即可得到 A 的两个特征向量。
该方法简单易懂，但对于高阶矩阵，求解特征多项式需要高代数计算，计算复杂度较高。
2.利用幂法幂法是求最大特征值与对应特征向量的较为有效的方法。
该方法基于一下简单事实：给定一个向量 x，令 A 去作用若干次，Ax,A^2x,A^3x,...,A^nx，它们的向量长度将快速增长或快速衰减，且它们的比值趋于最大特征对应的幂指数。
假设 A 有一个不为零的特征向量 x，它对应的特征值为λ1，即Ax=λ1x。
那么，A^mx = A^mx/λ1^m λ1x当 m 充分大时， A^mx 与λ1^mx 相比变化就很小了。
特征值特征向量的计算
特征值特征向量的计算特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）是矩阵理论中一个非常重要的概念。
当矩阵作用于一些向量时，特征向量表示这个向量在变换后与原来的方向保持不变，只是长度发生了变化；而特征值则表示这个变化的比例。
特征向量的计算方法：设A为一个n阶矩阵，v为其中一个非零向量，如果满足方程Av=λv，则称v为矩阵A的特征向量，λ为相应的特征值。
解方程(A-λE)v=0，可以发现它是一个齐次线性方程组，对于非零向量v存在非零解的条件是它的系数行列式，A-λE，=0。
具体计算步骤如下：1.对于一个给定的n阶矩阵A，构造一个单位矩阵E，即E=I。
2.定义一个未知变量λ，并计算矩阵A减去变量λ乘以单位矩阵的结果，即(A-λE)。
3.计算(A-λE)的行列式，即，A-λE。
4.解方程，A-λE，=0，找出所有可能的λ，这些λ即为矩阵A的特征值。
5.将每个特征值λ带入方程(A-λE)v=0，解得对应的特征向量v。
特征值和特征向量的性质：1.当λ为A的特征值时，kλ（k为非零实数）也是A的特征值，而对应的特征向量不变。
2. 特征值的和等于矩阵的迹（trace），即A的所有特征值之和等于tr(A)。
3.特征向量可以通过特征值来缩放得到，即一个特征向量可以乘以一个常数得到一个沿着同一方向的新的特征向量。
特征值和特征向量的应用：1.特征值和特征向量常用于解决线性代数中的一系列问题，如解线性方程组、矩阵的对角化等。
2.在求解最优化问题时，特征值和特征向量可以用于求解函数的极值。
3.在机器学习和数据分析中，特征值和特征向量常被用于数据降维、图像处理、聚类分析等任务。
总之，特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，其计算方法可以通过解矩阵方程得到。
它们的性质和应用广泛存在于数学、工程和计算机科学的各个领域，对理解和解决实际问题具有重要意义。
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
求特征值和特征向量
求特征值和特征向量求特征值和特征向量是线性代数中的重要概念和操作。
在很多数学和工程问题中，需要通过求解特征值和特征向量来解决一系列相关的问题。
本文将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质以及求解方法。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
设A是一个n阶方阵。
如果存在一个非零向量x，使得Ax等于x的常数倍，即Ax=λx，其中λ是一个常数，那么我们称λ为矩阵A的一个特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是A的特征值，那么满足(A-λI)x=0的非零向量x称为属于特征值λ的零空间。
特征值和特征向量是矩阵A的一个固有性质，对于不同的特征值，对应的特征向量也是不同的。
接下来，我们来讨论特征值和特征向量的性质。
首先，特征值和特征向量一般是成对出现的，即对于矩阵A的一个特征值λ，一定存在对应的特征向量x。
特征向量的长度不影响其特征性质，即如果x 是特征向量，那么kx也是特征向量，其中k是一个非零常数。
特征值和特征向量具有重要的几何意义，特征向量决定了矩阵A的变换方向，特征值表示特定方向上的伸缩比例。
然后，我们来介绍求解特征值和特征向量的方法。
求解特征值和特征向量的常用方法有直接解特征方程和迭代法。
对于一个n阶矩阵A，要求解其特征值和特征向量，可以通过解特征方程det(A-λI)=0来得到特征值λ的值，其中I是n阶单位矩阵。
通过特征值，我们可以求出对应的特征向量。
特征向量的求解可以通过向量空间的方法，即解方程组(A-λI)x=0。
在实际计算中，我们可以利用数值计算软件来求解特征值和特征向量。
另外，对于特征值和特征向量的求解也可以通过迭代法来实现。
迭代法是一种基于数值计算的方法，通过迭代计算逼近矩阵的特征值和特征向量。
常见的迭代法有幂法、反幂法和QR方法。
幂法是一种基于逼近特征值和特征向量的迭代过程，通过不断迭代计算可以得到特征值和特征向量的逼近值。
反幂法和幂法类似，只是在每次迭代中求解矩阵的逆。
QR方法是一种通过矩阵的QR分解来求解特征值和特征向量的方法。
特征值与特征向量的求解
特征值与特征向量的求解特征值和特征向量是线性代数中一对重要的概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
在本篇文章中，我们将深入探讨特征值和特征向量的定义、性质以及求解方法。
一、特征值与特征向量的定义在介绍特征值与特征向量的求解方法之前，我们先来了解它们的定义。
在一个n维向量空间V中，若存在一个n阶方阵A和一个非零向量X，使得下式成立：AX = λX其中，λ为标量，称为矩阵A的特征值；X为矩阵A的特征向量。
特征值与特征向量的求解方法有多种，下面将介绍其中两种常用的方法。
二、特征值与特征向量的求解方法1. 特征方程法特征方程法是求解特征值和特征向量的一种常用方法。
假设A是一个n阶方阵，我们的目标是求解它的特征值和特征向量。
首先，我们将上述特征方程AX = λX两边同时左乘一个单位矩阵I，得到：(A-λI)X = 0其中，I为n阶单位矩阵，0为n维零向量。
由于X为非零向量，所以矩阵(A-λI)必须是奇异矩阵，即其行列式为0：|A-λI| = 0这就是特征方程。
接下来，我们需要求解特征方程|A-λI| = 0的根λ，即矩阵A的特征值。
求解得到的特征值λ可以有重根。
然后，将每个特征值λ带入原特征方程(A-λI)X = 0，解得对应的特征向量X。
注意，对于每个不同的特征值，我们都可以对应多个特征向量。
通过特征方程法，我们可以求解出矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。
2. 幂法幂法是求解矩阵特征值和特征向量的一种迭代方法，适用于大规模稀疏矩阵。
幂法的基本思想是：通过迭代将初始向量不断与矩阵A进行乘法运算，使得向量的模不断增大，趋向于对应最大特征值的特征向量。
具体做法是：1) 先选择一个非零向量X0作为初始向量。
2) 迭代计算X(k+1) = AX(k)，其中k表示迭代次数。
3) 归一化向量X(k+1)，即X(k+1) = X(k+1) / ||X(k+1)||，其中||X(k+1)||表示向量X(k+1)的模。
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
0第5章 特征值及特征向量
(6) A与B相似, 则 ( A) 与 (B ) 相似;
( t ) a0 a1t am t m 其中
(7) A与B相似, 且A可逆, 则 A1 与 B 1 相似。
例1
2 2 0 0 A 0 0 1 与 B 0 1 x
( E A) X 0 (2)
是 A 的特征值 使得(2)有非零解 E A 0
(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.
分析
Ax x A E x 0 或 E A x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
A 12 n
(4) A 0 ，A 有一个特征值为______.
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
2
A E
0 4
2 1 2 0 (2 ) 4 3 1 3
1
1
( 2) 2 ( 1)
特征值为 1 1, 2 3 2. 第二步：对每个特征值
特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723000）”指导老师：周亚兰[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。
[关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。
（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。
性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。
证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-A ξ=ξ即有 1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =nn a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(nn A a +E a A a Aa n n 0111+++-- )ξ= n n A a ξ+ 11--n n A a ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ=()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则λA为*A 的特征值(*A 为A 的伴随矩阵)。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
特征值与特征向量的概念性质及其求法
特征值与特征向量的概念性质及其求法特征值与特征向量是矩阵的一个重要特性，它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。
特征值是一个标量，特征向量是一个向量。
特征值与特征向量的关系可以用方程表示：A*v=λ*v，其中A是一个矩阵，v是这个矩阵的特征向量，λ是对应的特征值。
换句话说，一个矩阵A作用在它的特征向量v上，结果是一个与v方向相同但大小为λ倍的新向量。
1.特征向量可以是零向量，但非零向量的特征向量被称为非零特征向量。
2.矩阵的特征值与特征向量是成对出现的，一个特征向量可以对应多个特征值，但一个特征值只能对应一个特征向量。
3.如果一个矩阵A的特征向量v对应的特征值λ，那么任意与v成比例的向量都是A的特征向量，且对应的特征值也是λ。
4.一个n×n的矩阵最多有n个特征值，即使重复的特征值，在进行特征值分解的时候也有对应的不同特征向量。
求解特征值与特征向量的方法有很多种，以下介绍两种常用的方法：1. 特征方程法：对于一个n×n的矩阵A，它的特征值可以通过求解特征方程 det(A−λI) = 0 来获得。
其中，λ表示特征值，I表示单位矩阵。
解特征方程得到的根即为特征值。
2. 幂迭代法：该方法适用于大型矩阵的求解。
假设矩阵A的最大特征值为λ1，对应的特征向量为x1、选取一个初始向量x0，通过迭代xk = A*xk−1，可以逼近特征向量x1、最终，通过归一化得到单位特征向量。
1.数据降维：在主成分分析（PCA）中，特征向量被用来定义新的特征空间，从而实现数据降维。
2.图像处理：特征值与特征向量被用来表示图像的特征，例如人脸识别中的特征向量。
3.振动分析：特征向量被用来描述物体的固有振动模式，通过求解特征值和特征向量，可以预测物体在不同频率下的振动表现。
总结来说，特征值和特征向量是矩阵的一个重要特性，它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。
特征值与特征向量可以通过特征方程法和幂迭代法来求解。
在实际应用中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维、图像处理、振动分析等领域。
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。
它们的求解和分析在线性代数、物理学、工程学以及数据分析领域中扮演着重要角色。
本文将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
特征向量表示了在矩阵变换下只发生比例缩放而不改变方向的向量。
二、求解特征值与特征向量的方法要求解特征值与特征向量，可以使用特征方程的方法。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程为|A-λI|=0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。
解特征方程可以得到矩阵A所有的特征值。
将每个特征值带入特征方程，可以求解对应的特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 矩阵的特征值个数等于其阶数，即n阶矩阵有n个特征值。
2. 特征值与特征向量是成对出现的，特征值有多少个，对应的特征向量就有多少个。
3. 特征值可以是实数，也可以是复数。
4. 如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是正交的。
5. 特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的积等于矩阵的行列式。
四、特征值与特征向量的应用领域1. 特征值与特征向量在物理学中的应用非常广泛。
例如，在量子力学中，特征向量对应着粒子的状态，特征值则是测量粒子所得到的数值结果。
2. 在工程学领域，特征值与特征向量可以用于解决振动问题、结构强度分析等。
通过求解特征方程可以得到物体的固有振动频率和振型。
3. 在数据分析中，特征值与特征向量可以用于降维、聚类、图像处理等。
通过分析特征向量的特征值大小，可以选择最重要的特征进行数据分析和模型建立。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在矩阵的变换与分析中具有重要作用。
通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值，进而求解对应的特征向量。
特征值与特征向量的性质和应用也使其在各个领域中得到广泛的应用。
特征值特征向量及其应用
特征值特征向量及其应用特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将从概念、性质、计算方法以及应用等方面详细介绍特征值和特征向量。
一、概念：在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量x，使得Ax与x方向相同，即有Ax=λx，其中λ为一个实数，x为A的特征向量，λ为对应的特征值。
特征值和特征向量总是成对出现的。
二、性质：1.特征值可重复：一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
2.特征向量线性无关：对于不同特征值所对应的特征向量，它们之间线性无关。
3.特征值分解：一个n阶方阵可以分解为特征值和对应特征向量的形式，即A=PDP^(-1)，其中P为特征向量矩阵，D为特征值对角矩阵。
三、计算方法：通常，计算特征值和特征向量可以使用以下方法：1.特征多项式法：求解矩阵的特征多项式，即，A-λI，=0，其中I为单位矩阵。
2.幂法：通过迭代的方式逼近特征向量和特征值，其基本思想是不断将矩阵A乘以向量x，并归一化，直至收敛。
3.特征值分解方法：通过计算矩阵的特征值和特征向量矩阵，进行特征值分解。
四、应用：特征值和特征向量在许多领域都有着广泛的应用，如下所示：1.特征脸识别：在计算机视觉领域，特征向量可以用于进行人脸识别，通过求解人脸图像矩阵的特征值和特征向量，可以进行人脸的分类和识别。
2.特征降维：在数据分析和模式识别领域，通过求解特征值和特征向量，可以对数据进行降维处理，从而减少数据的复杂性，并提高计算效率。
3.统计分析：特征值和特征向量在统计分析中有广泛应用，如主成分分析（PCA）和因子分析等都是基于特征值和特征向量的方法，用于变量之间的关系分析。
4.系统控制：在控制系统理论中，特征值和特征向量可以用于对系统的稳定性和动态响应进行分析和设计，从而实现对系统的控制。
5.图像处理：特征值和特征向量在图像处理中也有重要应用，如图像压缩、图像分割和特征提取等。
总结：特征值和特征向量在数学和工程领域有着广泛应用，能够从矩阵中提取出重要的信息和特征。
5.2方程的特征值与特征向量
总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解， 即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2
a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉 设 A 为 n 阶矩阵， 是一 个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称 为A 的一个特征值，相应的非零向 量 x 称为与 对应的特征向量。
若 是A 的一个特征值， 则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
特征值特征向量
二、特征值与特征向量的求法
(1) 令 A − λ I = 0, 求出λi
(2)对每个λi , 令( A − λi I ) x = 0, 求出基础解系ξ1 , ..., ξ t ,
则对应于λi的全部特征根为: x = c1ξ1 + Biblioteka .. + ct ξ t .
注: 1) 特征向量不唯一; 2）λi 对应的特征向量不构成向量空间
T
当λ2,3 = 1 时, 解方程 ( A − 1 ⋅ I ) x = 0, 得
基础解系
ξ 2 = ( −1, −2,1)
T
∴ λ2,3 = 1的特征向量为: kξ 2 , k ≠ 0, k ∈ R
显然， 显然，ρ λ2 = 1 ≤ 2 = mλ2 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． A 例３ 设 = 0 2 0 , 求A 的特征值与特征向量． − 4 1 3
(少了个0向量).
λi的特征子空间=λi的特征向量+零向量
即为(A − λi I ) x = 0的解空间,记为N(A − λi I )
dim ( N ( A − λi ) ) 称为λi的几何重数, 记为ρ λi
称λi 在f (λ ) = 0的重数为代数重数,记为mλi
(代 数 重 数 ≥ 几 何 重 数 )
3. 方阵A与A 的特征值相同，
T
但 特 征 向 量 却 未 必 一 样.
0 0 A= , λ1,2 = 0, 1 0 0 x = c 1
0 1 A= , λ1,2 = 0, 0 0
1 x = c 0
4. 设 Ax = λ x , 且 A 可逆，则 可逆，
∴ y j T Axi = y j T λi xi , xi T AT y j = xi T λ j y j
特征值和特征向量
特征值和特征向量(英文名：eigenvalue 和 eigenvector)是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍它们的定义、性质和应用。
一、的定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 是标量，$v$ 是 $n$ 维非零向量。
如果存在非零向量 $v$，使得 $Av=k v$，即 $A$ 作用在 $v$ 上的结果是 $v$ 的倍数 $k$，则称 $k$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是$A$ 的相应于特征值 $k$ 的特征向量。
例如，对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$，如果存在向量 $v=(1,1)^T$，使得 $Av=7v$，则 $7$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是 $A$ 的相应于特征值 $7$ 的特征向量。
由定义可知，任何 $n$ 阶矩阵都有 $n$ 个特征值，但不一定有$n$ 个不同的特征值，因为可能存在重复的特征值。
每个特征值都对应一个特征向量，但一个特征向量未必对应唯一的特征值。
二、的性质1. 特征值的求法特征值可以通过求解 $A-\lambda I$ 的行列式为 $0$ 得到，其中$I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是未知特征值。
设 $k$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，则有 $|A-\lambda I|=0$，即$\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix}=0$展开行列式后得到关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，称为$A$ 的特征多项式。
特征值与特征向量的概念、性质及其求法
0,0,,0
上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列
式,当各i不相等时,该行列式不等于 0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0 ,
即xj pj 0 j 1,2,,m.但 pj 0,故 xj 0 j 1,2,,m.
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
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得基础解系
1 p2 2,
1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
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例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
因为,如果设x同时是A的属于特征值1 ,2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
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三、特征值与特征向量的求法
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n 阶方阵，其特征多项式为
, n ,就是A的全部特征值 ; 3. 对于特征值i ,求齐次方程组
A i Ex 0
的非零解, 就是对应于 i的特征向量 .
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思考题
思考题
设4阶方阵A满足条件 : det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
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特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723000）”指导老师：周亚兰[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。
[关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。
（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。
性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。
证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-A ξ=ξ即有 1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =nn a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(nn A a +E a A a Aa n n 0111+++-- )ξ= n n A a ξ+ 11--n n A a ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ=()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则λA为*A 的特征值(*A 为A 的伴随矩阵)。
证明：因为*A =1-A A而1-A 的特征值为1-λ.再由性质2知 ：λA是*A 的特征值性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。
证明：因为 ()A -E =A -E =A -E λλλ**所以*A 与A 具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。
性质5：如果λ是正交矩阵A 的特征值，那么1-λ也是A 的特征值。
证明：设λ是A 的特征值，那么存在非零向量ξ使得 A ξ=λξ 用1-A 作用之后得ξ=λ1-A ξ 又 A 的特征值一定不为零 ，所以λ≠ 0∴1-λ是1-A 的特征值，又 A 是正交矩阵*A =1-A∴1-λ为1-A 的特征值又 A 与*A 相似，*A 与A 有相同的特征根∴1-λ也是 A 特征根性质6：设i x 是A 对应于特征值i λ的特征向量，i y 是'A 的对应与j λ的特征向量。
若 A i x =i λi x 则'A =i λ'i x 'ix (1)并有'A i y =i λi y (2)给(1)右乘以i y 、(2)左乘以'i x 相减得 0=iλ'i x i y -j λ'i x i y 则'i x i y =0性质7：设A 、B 均为n 阶矩阵，则AB 与BA 的特征向量相同。
证明：若λ是AB 的特征值，x 是相应的特征向量 若 BX ≠ 0 则 BABX=λBX若 BX=0 B 不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA 也不是可逆矩阵故必有特征值0 同样AB 也有特征值0 由此AB 与 BA 有相同的特征值。
2 特征值与特征向量的求法2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ （ⅱ）求出A E -λ的全部根（ⅲ）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=A -E χλi 并求它的基础解系，即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量。
② 用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。
定理1：设F ()λ=A I -λ 且 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I λF 列初等变换→()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλP B ，其中()λB 为下三角矩阵，则()λB 的主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根i λ ，若矩阵()i B λ中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵()i P λ 中和 ()I B λ 中零向令所对应的列向量是属于特征根i λ 的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到 ()i B λ*中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么()i P λ*中和()i B λ*中零向量所对应的列向量是属于特征根i λ 的全部线向无关的特征向量。
证明：设A =()n n ij ⨯α且()()()()()()()()()()nn nn n n n m f f f f f f f f f F ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλλλλλ212222111211，其中()()().⎩⎨⎧=-≠-=j i a j i a f ij ij if λλ通过列初等变换将化为()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλλλλnn n n n g g g g g g f2122221100记为 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*λλG f 01 ()λG 中第一行元素不可能全为0，否则秩()λF <n 与秩 ()λF =n 矛盾。
可任取其中次数最低的一多项式，设为()λ1g ,再对()λG 施以列初等变换，可使该行期于元素都化为零多项式或次数低于()λ1g 的λ多项式，在这些次数低于()λ1g 的多项式元素中，再任取其中一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使()λG 化为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλH f *02 如此下去，可将()λF 化为F 三角矩阵()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n f f f B λλλλ*0000212.2 线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1 利用定义求解： (1) 在线性空间v 中取一组基nεεε 21写出在此基下的矩阵A 。
(2) 求出A 的特征多项式A I -λ 在数域P 中的全部根。
把所有不同的特征值代入()0210=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n x x x A I λ ， 对每一个特征值I λ 解方程组()021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i x x x A I λ 求其基础解系，解的一组属于I λ 的线性无关的特征向量，从而求得A 的全部特征向量。
2.2.2 利用相似性求解同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。
3 例子例1求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100112001的特征根与特征向量。
解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I 1101000011100120010101000010101120011000100011001120012λλλλλλλλλλλF 所以A 的特征根11=λ(二重)12-=λ当11=λ时，因 的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11λλP B =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1*1*2121100000000010000210100001000012000λλP B 由()1*λB 的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为1λ 的全部线性无关的特征向量为()*201和()*210。
属12-=λ的线性无关的特征向量为()*010例2：设 是四维线性空间v 的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------711310252921323133425，求A 的特征值和特征向量。
解： A 的特征多项式为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+----=B -I 21125002327004505602λλλλλλλλ所以A 的特征值为： 021==λλ 13=λ 214=λ 所以A 的属于特征值0 的线性无关特征向量为321132εεεξ++=4212εεεξ+--=属于1的特征向量为：4321323εεεεξ-++=属于21 的特征向量为：43214624εεεεξ++--=参考文献：[1]北京大学数学系〈高等代数〉高教出版社 1988.2月第二版176-178[2] 王向东、周士谨〈高等代数的常用方法〉科学出版社 1989.5月第二版105页[3] 威尔全集〈代数特征值问题〉科学出版社 2001.4月第三版53-59[4] 张贤科、许莆华〈高等代数学〉清华出版社 1998.2月第二版 121-124。