特征值和特征向量的性质与求法

特征值和特征向量的性质与求法

方磊

（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723000）”

指导老师：周亚兰

[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。

[关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量

1 特征值与特征向量的定义及性质

定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。

（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。

定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。

性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1

-λ 为1

-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)

设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =

⋅A 则λ1-A ξ=ξ即有 1-A ξ=1-λξ

∴1

-λ为1

-A

的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1

-A

ξ的特征值

性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n

n a χ+10111

1x a x a x

a n n +++--

证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n

n A a +E a A a A

a n n 011

1+++-- )ξ

= n n A a ξ+ 1

1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ

=n

n a λξ+1

1--n n a λ+…+E 0a ξ

=()λf ξ 又ξ≠0

∴ ()λf 是()A f 的特征值

性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值

证明：设 A= ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛nn n n n n a a a

a a a a a a 2

1222

2111211

则由题设条件知：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛nn n n n n a a a

a a a a a a 2

122221112

11 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛111

∴a 是A 的特征值

推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则

λ

A

为

*A 的特征值(*A 为A 的伴随矩阵)。

证明：因为

*A =1-A A

而1

-A 的特征值为1

-λ.

再由性质2知 ：

λ

A

是

*A 的特征值

性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。

证明：因为 ()A -E =A -E =A -E λλλ*

*

所以

*A 与A 具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。

性质5：如果λ是正交矩阵A 的特征值，那么1

-λ也是A 的特征值。

证明：设λ是A 的特征值，那么存在非零向量ξ使得 A ξ=λξ 用1

-A 作用之后得ξ=λ1

-A ξ 又 A 的特征值一定不为零 ，所以λ≠ 0

∴

1-λ是1-A 的特征值，

又 A 是正交矩阵

*A =1-A

∴

1-λ为1-A 的特征值

又 A 与

*A 相似，*A 与A 有相同的特征根

∴1

-λ

也是 A 特征根

性质6：设

i x 是A 对应于特征值i λ的特征向量，i y 是'

A 的对应与j λ的特征向量。

若 A i x =i λi x 则

'A =i λ'i x '

i

x (1)

并有

'A i y =i λi y (2)

给(1)右乘以i y 、(2)左乘以'

i x 相减得 0=i

λ'i x i y -j λ'i x i y 则'

i x i y =0

性质7：设A 、B 均为n 阶矩阵，则AB 与BA 的特征向量相同。

证明：若λ是AB 的特征值，x 是相应的特征向量 若 BX ≠ 0 则 BABX=λBX

若 BX=0 B 不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA 也不是可逆矩阵

故必有特征值0 同样AB 也有特征值0 由此AB 与 BA 有相同的特征值。

2 特征值与特征向量的求法

2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法

（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ （ⅱ）求出A E -λ的全部根

（ⅲ）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=A -E χλi 并求它的基础解系，即为A 的属

于特征根i λ的线性无关的特征向量。

② 用初等变换法

利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的

特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。