建立空间直角坐标系的几种方法

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建立空间直角坐标系的几种方法

坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,是运用坐标法解题的关键.下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略.

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值.

解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0),

∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-,

,. 设1BC 与CD 所成的角为θ,

则11317cos 17BC CD BC CD θ==. 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB =,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3

π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值.

解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系.

由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3

π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1(0,2,0)、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

,,、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝

⎭,,. 设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

,,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =,

即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,,,,

233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭, 即12a =或32a =(舍去).故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

,,. 由已知有1EA EB ⊥,111B A EB ⊥,故二面角A -EB 1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角.

因11(002)B A BA ==,,,31222EA ⎛

⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭

,, 故11

112cos 3

EA B A EA B A θ==,即2tan 2θ=

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系

例3 如图3,在四棱锥V -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .

(1)证明AB ⊥平面VAD ;

(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值.

解析:(1)取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系.

设AD =2,则A (1,0,0)、D (-1,0,0)、B (1,2,0)、

V (0,0,3),∴AB =(0,2,0),VA =(1,0,-3).

由(020)(103)0AB VA =-=,

,,,,得 AB ⊥VA .

又AB ⊥AD ,从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,∴ AB ⊥平面VAD ;

(2)设E 为DV 的中点,则1

3022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

,, ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,,33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

,,,(103)DV =,,.

∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,,,,, ∴EB ⊥DV .

又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角.

∴21cos 7

EA EB

EA EB EA EB ==,. 故所求二面角的余弦值为217

. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例4 已知正四棱锥V -ABCD 中,E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为2a ,高为h .

(1)求∠DEB 的余弦值;

(2)若BE ⊥VC ,求∠DEB 的余弦值.

解析:(1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系,其中O x ∥BC ,O y ∥AB ,则由AB =2a ,OV =h ,有B (a ,a ,0)、C (-a ,a ,0)、D (-a ,-a ,0)、V (0,0,h )、222a a h E ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

,, ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,,,3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

,,. ∴22

226cos 10BE DE

a h BE DE a h BE DE -+==+,, 即22

22

6cos 10a h DEB a h -+=+∠; (2)因为E 是VC 的中点,又BE ⊥VC ,

所以0BE VC =,即3()02

22a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭,,,,, ∴22

230222

a h a --=,∴2h a =. 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+,,即1cos 3

DEB =-∠. 引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空

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