建立空间直角坐标系的几种方法
空间直角坐标系的建立过程
空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系是三维空间中的一种描述方法，将空间中的任意一点用三个数表示出来，称为它的直角坐标。
直角坐标系是物理、数学、计算机等领域中最基本的描述工具之一，本文将介绍空间直角坐标系的建立过程。
1. 三视图法建立空间直角坐标系的第一步是选定坐标轴方向。
三视图法是空间坐标系建立的常用方法，通过正、侧、俯三个视图，确定坐标轴的方向和位置。
建立坐标系的步骤如下：（1）将图形分解成不同的平面（一般取三平面）；（2）对每个平面分别画出三视图，分别为正视图、侧视图和俯视图；（3）在每个视图中确定一个原点，分别标出三个轴线（X、Y、Z）；（4）确定每个轴线的正负方向。
通过三视图法建立的坐标系具有明确的方向和位置，但是缺陷也明显，需要在设计过程中进行大量的图形拆解和视图的绘制。
2. 直线法直线法是另一种常用的坐标系建立方法。
直线法的思想是将空间中三条相交直线作为坐标轴，其中一条为X 轴，与其垂直的两条线分别为Y轴和Z轴。
建立坐标系的步骤如下：（1）选择任意一个点作为坐标原点；（2）从原点引出三条互相垂直的直线，作为坐标轴；（3）根据轴线的正方向确定坐标系的符号约定。
直线法建立空间坐标系简单方便，但是需要选择相交直线，容易出现方向的混乱。
3. 利用矢量利用矢量建立空间坐标系的方法也比较简单，是通过三个相互垂直的单位矢量 i、j、k 来建立坐标系。
其中，i 矢量表示X轴的正方向，j 矢量表示Y轴的正方向，k 矢量表示Z轴的正方向。
建立坐标系的步骤如下：（1）选定任意一点作为坐标原点；（2）在原点处引出 i、j、k 三个相互垂直的单位矢量；（3）确定坐标系的符号约定。
利用矢量建立坐标系时，不需要考虑相交直线或者视图的绘制，建立方便。
在物理、数学、计算机等领域中广泛应用。
4. 总结空间直角坐标系是三维空间中最基本的描述方法之一，建立坐标系的方法有三视图法、直线法和利用矢量法。
建立空间直角坐标系的方法及技巧
建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。
在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。
2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。
原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。
原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。
3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。
单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。
常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。
4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。
可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。
通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。
在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。
5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。
对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。
通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。
在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。
2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。
要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。
3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。
通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。
例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。
通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。
2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。
首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。
接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。
通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。
3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。
首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。
然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。
首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。
然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。
接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。
最后，选择原点位置。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系是数学中非常重要的一个步骤,用于描述物体的位置和形状,可以帮助我们更精确地测量和绘图。
下面是几种建立空间直角坐标系的方法:
1. 笛卡尔坐标系:笛卡尔坐标系是最常用的空间直角坐标系,由直角坐标系和极坐标系相结合而成。
在笛卡尔坐标系中,x轴代表水平方向,y轴代表垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
2. 极坐标系:极坐标系与笛卡尔坐标系相似,但使用z轴来表示物体的深度。
在极坐标系中,x轴代表物体的法向量,y轴代表物体的旋向量,而z轴则代表物体的深度。
3. 直角坐标系:直角坐标系是最简单的坐标系之一,由水平和垂直两条轴组成。
在直角坐标系中,x轴和y轴分别代表水平和垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
4. 球坐标系:球坐标系是一种特殊的直角坐标系,适用于描述球形或多边形的物体。
在球坐标系中,x轴代表球的x轴方向,y轴代表球的y轴方向,而z轴则代表球的深度。
除了以上几种方法,还有其他很多种坐标系可以用于描述物体的位置和形状,例如四维坐标系、环形坐标系等。
这些方法的优缺点和适用范围都不同,需要根据具体的需求来选择。
拓展:空间直角坐标系在实际应用中的重要性。
例如,在医学领域中,空间直角坐标系可以用于测量人体器官的位置和大小,以便进行手术和影像学检查;在
工程领域中,空间直角坐标系可以用于测量建筑物的高度、形状和尺寸,以便进行
设计和施工。
此外,空间直角坐标系在科学研究中也有着广泛的应用,例如在物理学、天文学和地球科学等领域中,都可以利用空间直角坐标系来描述物体的位置和形状。
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD=(0, -1,0).坐标系，则C （0,设BC i与CD所成的角为vCD 3 '1717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.3解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,3•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,C1 第3 /—,—,0 .I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<3,I2丿22由EAL EB，得EAEB =0,CDBA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.訳=BA = （0,0八 2） , EA 二三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCDAB 丄 VA又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则J-1显1 I 22丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ< 2 丿+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |4 I 2丿3 4 即-2或a =| (舍去).故E 佇，,0 . ■ 3i3 去（3,0,_Q,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =灵晁^，即ta —子EA'B 1A 1(1)证明 AE 丄平面VAD(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）.由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得AB 丄平面VAD故所求二面角的余弦值为 —217四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VCc 2 , 23 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 21 1，即 cos Z DEB 二-一• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,••• E 吐 DV又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.(1) 求/ DEB 的余弦值;(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿•晁…3a ,I 2a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DEBE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 22,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2E 八EB .'21 …cosEB _ 7图4所以五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P — ABCDfQ-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.(1) 证明：PQL 平面ABCD(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得 出•第(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =AQ PB1 arccos —. 3(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0[nLAD = 0,得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -PQL nn| =2】2 .。
空间直角坐标系的建立(最新课件)
1．确定空间定点M的坐标的步骤 (1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次 交x轴、y轴和z轴于P、Q和R. (2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z. (3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤 (1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、 Q、R. (2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面． (3)三个平面的唯一交点就是M. 3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题， 要记住“关于谁对称谁不变”的原则．
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建 立适当的直角坐标系，写出点E、F、G、H的坐标．
解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC 所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立 空间直角坐标系． ∵点E在z轴上，且为D1D的中点， 故点E坐标为(0,0，12)．过F作FM⊥AD、 FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝12，故点F坐标为(12，12，0)；
10．点P在x轴上，它到点P1(0， 2，3)的距离为到点P2 (0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是_______． 解析：由已知可设P(x,0,0)，则 |PP1|＝2|PP2|. ∴x2＋( 2)2＋32＝4[x2＋1＋(－1)2]． ∴3x2＝3. ∴x＝±1. ∴P点坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 答案：(1,0,0)或(－1,0,0)
[精解详析] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为 (a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b， c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)， 关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)， 关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．
高中数学空间直角坐标系的构建策略知识点解析
达标检测
DABIAOJIANCE
1. 如 图 所 示 ， 已 知 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 ， E ， F 分 别 是 正 方 形 A1B1C1D1 和 ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为___4_5_°___.
123
2.在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为__3_6_.
第三章 空间向量与立体几何
专题突破三 空间直角坐标系的构建策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标 系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关 系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得 非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能 做到有的放矢，化解自如.
跟踪训练1 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°， 且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成 角的余弦值.
二、利用线面垂直关系 例 2 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥平面 BB1C1C，E 为棱 C1C 的中点， 已知 AB＝ 2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求 出图中所有点的坐标.
三、利用面面垂直关系 例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°， E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC， BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直， 再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹 角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面 角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度 就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
空间直角坐标系的建立与应用方法探究
高中数学立体几何问题探究空间直角坐标系的建立与应用Ⅰ.概要：1.空间直角坐标系的建立-原则与方法；2.空间向量的表示；3.空间向量的模与夹角；4.空间角问题类型与求解方法。
Ⅱ.立体几何-空间直角坐标系基础建构：(一)空间直角坐标系的建立：1.空间坐标系建立的原则右手系或左手系原则，右手或左手的大拇指指向z 轴正方向以后,按食指、中指的顺序依次从x 轴正方向指向y 轴正方向，角度是90度，哪一只手能适配，就是哪个手系.数学应用中的空间坐标系通常取右手系；2.空间坐标系建立的方法在三垂（三条直线两两垂直）存在的条件下，建立空间直角坐标系：若经过点O 的三条直线OC OB OA ,,两两垂直，且按旋转的方向满足右手系原则，则以点O 为原点，以OC OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系。
在具体的数学问题中，通常由题设条件先证明：过同一点的三直线两两垂直，然后，对建系过程进行表述。
(二)空间直角坐标系下点或向量的坐标表示：3.空间直角坐标系中的点的坐标：在空间直角坐标系xyz O -中，其对应的标准正交分解的基底是),,(k j i ；对空间任一点P ，存在唯一的有序实数组),,(z y x ，使k z j y i x P O ++=，有序实数组),,(z y x 叫作向量P O 在空间直角坐标系xyz O -中的坐标，记作),,(z y x P ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点),,(z y x P 关于x 轴的的对称点为),,(z y x --,关于xOy 平面的对称点为),,(z y x -.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余部分的坐标均相反。
②在y 轴上的点为)0,,0(y ,在平面yOz 中的点为),,0(z y ；即在什么轴（或平面）上的点（非原点），则对应轴（或平面）的坐标非零，其余为零。
4.空间直角坐标系中的向量的坐标：（1）空间向量的直角坐标表示与运算：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则),,(121212z z y y x x B A ---= ；即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
空间直角坐标系建立方法
空间直角坐标系建立方法在几何学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。
它可以用来描述三维空间中的点和向量。
在本文中，我们将介绍如何建立空间直角坐标系及其相关概念和方法。
1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y和z表示。
这些坐标轴可以分别与长、宽和高相关联。
坐标轴的原点称为原点，确定了整个坐标系的基准点。
通过在每个坐标轴上选择一个单位长度，我们可以测量任意点的位置。
2. 建立空间直角坐标系的步骤建立空间直角坐标系的方法可以分为以下步骤：步骤1：选择基准面基准面是用于确定坐标轴位置的平面。
在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个基准面作为起点。
通常情况下，我们选择一个平面作为基准面，例如一个水平的地面或桌子。
步骤2：确定坐标轴方向在确定了基准面之后，我们需要确定三个坐标轴的方向。
通常情况下，我们选择一个垂直于基准面的方向作为z轴的正方向。
剩下的两个坐标轴的方向可以根据实际情况选择。
步骤3：确定坐标轴长度单位在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个长度单位来测量点的位置。
常用的长度单位包括米、英尺等，根据具体应用场景选择适合的单位。
步骤4：确定原点位置确定了基准面、坐标轴方向和长度单位后，我们需要确定原点的位置。
原点通常位于基准面上，它是坐标系的起点。
步骤5：确定坐标轴的位置和范围确定了原点位置后，我们需要确定坐标轴的位置和范围。
坐标轴的位置可以通过在基准面上选择足够多的点来确定，这些点可以作为参考点。
坐标轴的范围通常由应用场景决定，可以根据实际需要进行调整。
3. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学和物理学中具有广泛的应用。
它可以用来描述三维空间中的点和向量，计算点之间的距离和方向，以及解决各种几何和物理问题。
在几何学中，空间直角坐标系可以用来描述多面体的形状和位置关系，计算多面体的体积和表面积，以及解决与多面体相关的几何问题。
在物理学中，空间直角坐标系可以用来描述物体的运动和力的作用，计算物体的速度和加速度，以及解决与物体运动和力相关的物理问题。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法方法一：直角坐标系基于物体的参考点和参考线。
首先，选择一个点作为原点，然后选择一个方向作为x轴的正方向，并将参考直线从原点开始延伸。
然后，选择与x轴垂直的方向作为y轴的正方向，并延伸直线。
最后，选择与xy平面垂直的方向作为z轴的正方向，并延伸直线。
这样，就完成了一个空间直角坐标系的建立。
方法二：直角坐标系基于坐标系的旋转和平移。
在二维平面中，我们可以通过将一个坐标系进行旋转和平移来建立另一个坐标系。
同样，在三维空间中，我们可以通过对一个已有的坐标系进行旋转和平移来建立一个新的坐标系。
通过旋转和平移的组合，我们可以得到一个新的坐标系，其中的坐标轴可以与原坐标系的坐标轴成直角。
方法三：直角坐标系基于物体的方向和参考面。
在航空航天等领域，直角坐标系通常是根据物体的方向和参考面来建立的。
例如，在航空航天器中，航天员在太空中的朝向通常是以地球为参考面建立的直角坐标系。
方法四：直角坐标系可以通过测量和计算得到。
在地理测量和地质勘探等领域，可以通过测量物体的位置和方向来确定一个直角坐标系。
测量可以通过使用全站仪或其他测量设备进行精确的三维测量来完成。
方法五：直角坐标系可以基于地图坐标系建立。
在地理信息系统（GIS）中，地图坐标系是一种基于平面坐标系的直角坐标系。
通过将地图上的点与已知的地理坐标进行对应，并利用平面坐标系的投影方法，可以建立地图坐标系。
以上是建立空间直角坐标系的几种常见方法。
这些方法在各种领域中得到广泛应用，可以帮助我们更好地理解和描述物体在空间中的位置和方向。
空间几何体建立空间直角坐标系技巧
空间几何体建立空间直角坐标系技巧建立空间直角坐标系是空间几何体研究和分析的基础工作。
通过建立空间直角坐标系，可以方便地描述和计算三维空间中的几何体的位置、形态和运动等属性。
下面将介绍一些建立空间直角坐标系的技巧。
1.选择坐标原点：首先需要选择直角坐标系的原点。
原点一般选取在空间中一些具有特殊意义或易于确定的点上，如几何体的重心、交点或者与几何体相关的特殊点等。
选取原点后，可以确定其他点的坐标。
2.确定坐标轴：确定坐标轴的方向及正负方向。
一般情况下，选择坐标轴与几何体的对称轴、对称面等相关。
确定坐标轴后，可以根据坐标轴的方向及正负方向确定其他点的坐标。
3.量取坐标轴长度：确定坐标轴的长度。
对于三维空间来说，坐标轴的长度是可变的。
可以通过测量或估算的方式确定坐标轴的长度。
为了方便计算和描述，通常将坐标轴的长度确定为单位长度，如1单位长度。
4.描点定位：确定其他点的坐标。
在坐标轴上选择一点A，通过在坐标轴上量取点A的坐标，即可确定点A的坐标。
对于其他点，可以通过描点、测量或计算的方式确定其坐标。
5.确定坐标顺序：确定坐标的顺序。
在三维直角坐标系中，一般采用右手法则确定坐标的顺序。
右手法则是指将右手的拇指指向x轴的正方向，其余四指弯曲成曲线，曲线的方向即为y轴、z轴的正方向。
确定坐标的顺序后，可以依次确定其他点的坐标。
6.坐标精度控制：确定坐标的精度。
在建立坐标系时，需要确定坐标的精度，即小数点后的位数。
一般情况下，坐标的精度取决于实际应用需要，可以根据实际需要进行调整。
在实际应用中，根据几何体所在的具体位置、形态和运动等属性，可以灵活选择建立空间直角坐标系的技巧。
通过合理选择和确定坐标原点、坐标轴及坐标精度等参数，可以方便地描述和计算三维空间中几何体的属性。
常见建立空间直角坐标系的方法
常见建立空间直角坐标系的方法在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。
然而，当我们需要描述三维空间中的点的位置时，就需要使用空间直角坐标系。
空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常分别记作x、y和z轴。
建立空间直角坐标系的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法：1. 建立三个相互垂直的平面：这是最常见的方法之一、我们可以选择一个水平的平面作为xy平面，再选择一个与之垂直的平面作为xz平面，最后选择与之都垂直的平面作为yz平面。
通过这三个平面的交线，我们就可以建立一个空间直角坐标系。
2.直角投影：这是另一种常见的方法。
它通过将三个相互垂直的轴投影到一个平面上来建立坐标系。
首先，选择一个水平平面作为基准面，通常选择地面或水平桌面。
然后，沿着垂直于基准面的方向，线性地延长三个轴线段，直到它们相交于一个点P。
此时，基准平面上的四个交点将构成一个四边形，可以将其看作一个平行于基准平面的投影区域。
通过将这个投影区域等分成正方形或长方形，我们可以建立一个坐标系。
3.三面角投影法：这种方法的基本思想是选择三个不共面的平面，用它们的交线来建立坐标系。
三个平面可以是任意的，只要它们不共面即可。
通过选择适当的角度和距离，我们可以确保三个平面的交线相互垂直，并与坐标轴一一对应。
4.旋转和平移：这是一种几何变换法，通过对平面或轴进行旋转和平移来建立坐标系。
首先，我们可以选择一个水平平面作为基准平面。
然后，通过旋转和平移一个或多个轴，使其与基准平面垂直。
通过这种方式，我们可以建立一个与基准平面相垂直的坐标系。
通过以上方法可以建立一个空间直角坐标系，然后就可以用来描述三维空间中的点的位置。
在这个坐标系中，每个点都可以由一个有序的三元组（x，y，z）来表示，其中x，y和z分别表示该点在x、y和z轴上的投影坐标。
总结起来，建立空间直角坐标系的方法包括建立相互垂直的平面、直角投影、三面角投影法以及旋转和平移等方法。
高中数学立体几何建系设点专题
2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得CA DB QP 、、，．所求异面直线(02)(02)AQ PB =--=-u u u r u u u r 1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 、所成的角是．1arccos3（3）由（2）知，点．(00)(0)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则得取x ＝1，得00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg 、、nn 00z x y +=+=⎪⎩、、．点P 到平面QAD 的距离(11--、、n =PQ d ==u u u r g nn途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱中，AB ＝BC ，D 、E 分别为111ABC A B C -的中点．11BB AC 、（1）证明：ED 为异面直线与的公垂线；1BB 1AC （2）设，求二面角的大小．1AA AC ==11A AD C --解：（1）如图2，建立直角坐标系，其中原点O 为O xyz -AC 的中点，设则，，(00)A a 、、1(00)(02)B b B b c 、、、、、则，即．11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 、、、、、、1ED BB ⊥同理． 因此ED 为异面直线与的公垂线．1ED AC ⊥1BB 1AC （2）不妨令，则，1a b c ===1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r 、、、、、、、、．即BC ⊥AB ，BC ⊥，又∵，∴BC ⊥面100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u rg g 、1AA 1AB AA A =I ．1A AD 又，，(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg 、、、、、、、、、0EC ED =u u u r u u u r g 即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面．∴1C AD ，即得和的夹角为．所以，二面角1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 、EC u u u r BC u u u r 60o 为．11A AD C --60o 练2：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，，O ABCD -ABCD 4ABC π∠=， ，为的中点。
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧建立空间直角坐标系是解决空间向量问题的基础。
下面将介绍建立空间直角坐标系的方法及技巧。
一、确定坐标轴的方向和位置1.确定原点：选择一个固定点作为原点，通常选择一个与问题相关的点，如物体的质心或一个已知的点。
2.确定x轴的方向和位置：选择一个与原点不共线的点作为x轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴垂直的直线作为x轴，并确定x轴的正方向。
3.确定y轴的方向和位置：选择一个与原点和x轴不共面的点作为y轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴和y轴都垂直的直线作为y轴，并确定y轴的正方向。
4.确定z轴的方向和位置：选择一个与原点、x轴和y轴不共线的点作为z轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴、y轴和z轴都垂直的直线作为z轴，并确定z轴的正方向。
二、确定坐标轴的刻度和单位1.确定刻度：确定每个坐标轴上的刻度间隔，刻度的选择应根据问题而定，可以根据已知数据、问题要求或实际情况选择。
2.确定单位：确定每个坐标轴上的单位，单位的选择应根据问题而定，可以选择国际单位制（如米、千克）或其他适当的单位。
三、确定坐标系的右手定则建立空间直角坐标系时，要符合右手定则，即将右手放在坐标轴上，大拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，则中指指向的方向即为z轴的正方向。
四、根据空间向量的位置确定其坐标根据已知空间向量的位置，确定其在空间直角坐标系中的坐标。
首先确定向量所在直线与坐标轴的交点，然后根据交点的坐标确定向量的坐标。
五、利用正交性简化向量运算空间直角坐标系有一个重要的特点，即坐标轴两两正交。
利用这一性质，可以简化向量的运算。
例如，两个向量的数量积可以分别计算各个坐标上的乘积，然后相加，而不必进行向量的点积运算。
总结：建立空间直角坐标系的方法及技巧主要包括确定坐标轴的方向和位置、确定坐标轴的刻度和单位、确定坐标系的右手定则、根据空间向量的位置确定其坐标和利用正交性简化向量运算。
如何建立恰当的空间直角坐标系
二、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 但有一定对称关系 （如正三棱柱、 正四棱柱等） ，
利用自身对称性可建立空间直角坐标系，再写出空间点的坐标。
例 3、 已知两个正四棱锥 P－ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2，AB ＝ 4, 两个正四棱锥底
面重合，试建立适当的直角坐标系，并写出各点坐标．
为零 , 则 C（ 0， 1，0）， M 点在面 xOy 的射影是 A1，因此 M 同 A1 的横坐标和竖坐标相同，
又 M为 A1B1 的中点，故其纵坐标值为
1 ，故 M （ 1， 1 ， 1），同理可得 N （ 1， 1， 1 ） .
2
2
2
z
D1
C1
A1
M
B1
D O A
x
N Cy
B
点评：对于正方体和长方体， 可以直接建立右手直角坐标系， 再根据棱长写出各点坐标。
由已知，容易得 A （0， 0， 0）， B（0，a， 0）， A 1（0， 0， 2 a），下面重点谈谈如何
计算点 C 的坐标，在平面 ABC 中，过点 C 作直线 AB 的垂线 CD 交 AB 于点 D，过点 C 作
xA 的垂线于点 E,则在等边三角形 ABC 中， AD
1 AB
1 a ，AE
AC cos
如何建立恰当的空间直角坐标系
引入空间向量坐标运算， 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，
只需
建立空间直角坐标系进行向量运算， 而如何建立恰当的坐标系， 成为用向量解题的关键步骤
之一．下面通过举例分析建立空间直角坐标系的三个方法．
一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系
空间几何体建立空间直角坐标系技巧
空间几何体建立空间直角坐标系技巧空间几何体建立空间直角坐标系技巧在空间几何中，建立空间直角坐标系是非常重要的一步。
它能够帮助我们更清晰的看到空间中的几何体，更好地理解空间几何的概念。
本文将探讨如何建立一个空间直角坐标系。
一、基本概念在开始建立坐标系之前，我们需要先了解一些基本概念。
在空间几何中，我们通常使用三个数作为一个点的坐标，其中第一个数表示点在x轴上的位置，第二个数表示点在y轴上的位置，第三个数表示点在z轴上的位置。
我们将这三个数分别称为点的x坐标、y坐标和z坐标，用一个有序三元组(x, y, z)表示。
有了这些基础知识，我们就可以开始建立坐标系了。
二、建立坐标系的基本步骤建立坐标系的主要步骤如下：1.确定坐标轴首先，确定一个点作为坐标系原点。
然后，确定x轴、y轴和z轴的方向。
x轴通常取与yoz平面交点在y轴正半轴上，y轴取与xoz平面交点在x轴正半轴上，z轴取与xy平面交点在x轴和y轴所在平面第一象限中。
2.标出单位长度在确定坐标轴后，需要在每个方向上标出单位长度。
在三维空间中，单位长度可以用一个“1”长度的线段表示，但实际上，我们需要画出更多的线段以便表示更大的距离。
因此，需要选择一个适当的比例尺，使得在较小的范围内可以表示出较大的距离。
3.绘制坐标平面接下来，我们需要在每个坐标轴上绘制坐标平面。
x轴和y轴的交点是坐标平面xy，y轴和z轴的交点是坐标平面yz，x轴和z轴的交点是坐标平面xz。
在这些坐标平面上，我们可以确定几何体各点的坐标。
4.确定坐标最后，根据需要，确定空间几何体的坐标。
将每个点的坐标写成一个有序三元组(x, y, z)，表示该点在x轴、y轴和z轴上的位置。
在确定每个点的坐标后，我们可以方便地绘制几何体，并进行各种运算。
三、小结本文介绍了建立空间直角坐标系的基本步骤。
通过这些步骤，可以方便地确定空间几何体的坐标，并进行各种运算。
建立坐标系的过程需要认真细致，希望通过本文的介绍，能够对读者有所帮助。
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧在数学和物理领域中，空间直角坐标系是一个重要的工具，用于描述和分析三维空间中的位置和运动。
建立空间直角坐标系的方法和技巧可以总结如下：1.空间直角坐标系的三个轴：在空间直角坐标系中，三个轴通常被命名为x轴，y轴和z轴。
要建立一个坐标系，首先需要确定这三个轴的方向和位置。
通常情况下，我们可以选择x轴为水平方向，y轴为垂直于x轴的水平方向，z轴为垂直于x和y轴的竖直方向。
这样就建立了一个右手坐标系，其中x和y轴构成一个平面，z轴垂直于该平面。
2.坐标轴的标定：确定了轴的方向和位置后，就需要对坐标轴进行标定。
标定的目的是为了确定每个轴的起点和单位长度。
通常情况下，我们可以选择x轴起点为原点O，y轴起点为O点到x轴正向的一个单位长度，z轴起点为O点在x-y平面上的投影到z轴上的一个单位长度。
标定完成后，就可以根据需要选择适当的比例来表示不同长度的点和线段。
3.坐标的表示和读取：在空间直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用一组坐标来表示。
坐标是一个有序的数对或数组，一般表示为(x,y,z)，其中x表示点在x轴上的投影距离原点的长度，y表示点在y轴上的投影距离原点的长度，z表示点在z轴上的投影距离原点的长度。
在读取坐标时，先读取x轴上的坐标，再读取y轴上的坐标，最后读取z轴上的坐标。
4.坐标系的旋转和平移：空间直角坐标系可以通过旋转和平移来与物体的实际位置和方向相适应。
旋转可以改变坐标系中的轴的方向和位置，平移可以改变坐标系中的原点位置。
要进行旋转和平移操作，可以通过矩阵变换的方法或向量运算的方法来实现。
5.坐标系的投影：在进行建立空间直角坐标系时，我们通常需要将三维空间中的物体投影到一个二维平面上进行观察和分析。
投影可以是正交投影或透视投影。
正交投影是指物体在投影过程中保持平行关系，透视投影是指物体在投影过程中呈现出透视效果。
根据具体需求，可以选择适当的投影方式。
6.坐标系的缩放和变换：在实际问题中，我们经常需要将物体的大小和形状进行缩放和变换。
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建立空间直角坐标系的几种方法
坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０），
∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，
，． 设1BC 与CD 所成的角为θ，
则11317cos 17BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3
π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3
π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，，． 设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，
即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，
233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．
因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛
⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 故11
112cos 3
EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
（1）证明AB ⊥平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、
V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）．
由(020)(103)0AB VA =-=，
，，，，得 AB ⊥VA ．
又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；
（2）设E 为DV 的中点，则1
3022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，， ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(103)DV =，，．
∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．
又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．
∴21cos 7
EA EB
EA EB EA EB ==，． 故所求二面角的余弦值为217
． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．
（1）求∠DEB 的余弦值；
（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．
解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，，． ∴22
226cos 10BE DE
a h BE DE a h BE DE -+==+，， 即22
22
6cos 10a h DEB a h -+=+∠； （2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，
所以0BE VC =，即3()02
22a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，， ∴22
230222
a h a --=，∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3
DEB =-∠． 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空
间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与
Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．
（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；
（3）求点P 到平面QAD 的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>=
=，． 所求异面直线所成的角是1arccos 3
． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，
，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪
⎩，，取x ＝1，得
(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n
n ．
点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第
（3）问也可用“等体积法”求距离．。