材料力学斜弯曲

Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl

另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz

Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2

M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
4. 强度条件：
危险点处于单向应力状态
max
M y max M z max W Wz y
21
内容
材力9-1
Chap.9 组合变形 9.1 概念 9.2 斜弯曲 9.3 拉压、弯组合 正确判断组合变形，掌握组合 变形强度计算原理和方法 一般分析 9 – 3 ， 4， 6，7
要求 练习 作业
第九章
组合变形
基本变形知识的综合应用
结构在复杂变形下的强度问题
§9.1 概述
一、简单变形（基本变形）
1
z
危险点
2
1000 1000
75
y 50
2
Mz=2kN.m My=1.5kN.m
t max

M y max Wy

M z max Wz
1500 2000 50 75 2 10 9 / 6 75 50 2 10 9 / 6 96 MPa
例9-2 求最大正应力
z
y y
A
Fφ
B
=
z
+
A Fz=F cosφ
A
Fy=F sinφ
2.分别计算------内力分析
My
Flcosφ
危险截面为A
Mz
Flsinφ
z y
z y
+
A
My Flcosφ
Fz=F cosφ Mz Flsinφ
A
Fy=F sinφ
分别计算------应力分析
M y max Wy
A
M z max Wz
A
Mymax单独作用
Mzmax单独作用
3.叠加
Mymax单独作用
M y max Wy
Mzmax单独作用 A D2
M z max Wz
共同作用
t max Wy D1
M y max M z max Wz
A A
D2 M y max M z max c max c max Wy Wz
t an
z
Iy Iz Iy
Iz
t an
y
t an
f
F
t an
φ
β II
y z
t an
（1）当Iy≠Iz ，β ≠ 挠度与载荷方向不一致------斜弯曲； （2）α = β ， 挠度总是与中性轴垂直。
例9-2 求最大正应力
危险点 危险 截面
1
Fz=1.5kN Fy=1kN
压
FAy
Fy
弯
P
F F
M F
F
y
z
受 偏 心 载 荷 作 用 的 柱
组合变形的形式有无穷多种，本章学 习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉（压）弯组合； 3. 偏心拉压； 4. 弯扭组合。 应注意通过这四种典型组合变形的学 习， 学会计算一般组合变形强度的原理和 方法。
三、组合变形强度计算方法
方法：
叠加法
前提条件： 1. 材料服从胡克定律 ； 2. 小变形。 基本步骤： 1. 分类: 目标——几种简单变形
2. 分别计算: 内力计算（一般画内力图） —— 确定危险截面 应力计算 —— 确定危险点 3. 叠加： 危险点应力叠加 （注意应力作用面） 4. 强度计算： 选择适当的强度理论。
§9.2 斜弯曲
F
Me Me
F
轴向拉压 扭转
F
平面弯曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
事实上，简单变形不过是简化模型，只有 在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计 的情况下才有可能发生。
q ＜＜ F
F F
F
F
当几种变形的影响相近时再用简单模型计算， 将会引起较大的误差。
二、组合变形
同时发生两种或两种以上的简单变形。
FAx
FAy
FAx
FAy FAx Fx
l
φ
F
一、概念
外力：轴向，横向 内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）
二、强度计算
Fsinφ
A B
φ l
=
FN
A
B Fcosφ
＋
M
A
B
F
l
Fcosφ
l
Flsinφ
1.
分类
2. 分别计算：作内力图 ; 危险截面：A: FN=Fcosφ, M =Flsinφ 危险点：A 截面上缘，单向应力状态 3. 强度条件：
正应力在横截面内按平面规律分布
2. 中性轴方程
cos sin M z y 0 I Iz y cos sin z y0 Iy Iz
z
y K · z y
α
F φ 中性轴
（1）过截面形心的直线；
Iy z 斜率 t an t an y Iz
t max
FN M t A W
c max
FN M c A W
作业
9–3 9-4 9-6 9-7
D1
z
y
z
D1
z
D2
A
y
Fφ
B
y
D2
危险点：D1, D2
无棱角截面危险点如何确定？
三、中性轴
z
F
y K · z y F φ
l
x
1. 任意一点K（y,z）的正应力
My=F x cosφ = M cosφ , Mz=Fx sinφ = M sinφ

M yz Iy
cos Mz y sin M z y I Iz Iz y
（2） 中性轴与载荷线不在同一象限内 （注意到 α 和 φ角的定义不难看出）； （3）当Iy≠Iz , 中性轴与载荷线不垂直。
3. 无棱角截面的斜弯曲强度
z
D1（y1 , z1）
α
F φ
危险点-----距中性轴最远点 作中性轴的平行线，与边 界相切的切点便是危险点。 强度条件
t max
cos sin M z y I Iz y cos sin
危险 截面
Fz=1.5kN Fy=1kN
z
'
M y max Wy
y
"
65 1000 1000
M z max Wz
t max
z
M y max Wy
M z max Wz
Mz=2kN.m My=1.5kN.m
y
M
My
2 M y M z2
t max
M
Mz
M M W d 3 32