三角形面积公式的向量形式_杨元军

o 初数研究o
三角形面积公式的向量形式
杨元军
(江苏省姜堰市蒋垛中学,225503)
大家知道,三角形的面积公式有:
S =1
2
底@高;S =
12ab sin C =12ac sin B =12
bc sin A.在向量的问题中,有时也涉及到有关三角形面积的计算.可是运用上面两个公式,计算比较繁,那么有没有向量形式的面积计算公式呢?答案是肯定的.运用此公式不但可以简化运算,也可以提高思维能力、知识的应用能力和探究能力.
一、三角形面积公式的向量形式
在直角坐标平面内,O 、A 、B (O 为坐标原点)为不共线三点,向量OA =(x 1,y 1),向量OB =(x 2,y 2),则&OAB 面积
S &OAB
=1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.证明 设向量OA,OB 的夹角为A ,则OA #OB =|OA ||OB |cos A ,_cos 2
A =(OA #O
B )
2
OA 2#OB
2,
_si n A =
1-cos 2
A
=1-(OA #OB )2
OA 2#OB )
2=
OA 2
#OB 2
-(OA #OB
2
|OA ||OB |,
_S &OAB =1
2
|OA |#|OB |sin A =12OA 2
#OB 2
-(OA #OB )
2
=
12
(x 21+y 21)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)
2
=
1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.推广1 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,向量AB =(x 1,y 1),向量AC =(x 2,y 2),则&ABC 面积为
S &ABC =
1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.推广2 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,A (x 1,y 1),B =(x 2,y 2),C =(x 3,y 3),则&ABC 面积为S &A BC =
1
2
|(x 2-x 1)(y 3-y 1)-(x 3-x 1)(y 2-y 1)|.
二、面积公式的应用
例1 对于平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),定义f (a #b )=|x 1y 2-x 2y 1|,那么对于直角坐标平面内不共线三点O 、A 、B (O 为坐标原点),f (OA #OB )的值恰好表示( )
(A )点O 到直线AB 的距离(B)向量OA 、OB 夹角的正切值(C)&OAB 面积的2倍(D )向量OA 、OB 的数量积
解 根据面积公式直接得到f (OA #OB )=|x 1y 2-x 2y 1|=2S &ABC ,从而选C .
例2 设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴,y 轴正方向上的单位向量且AB =4i +2j ,AC =
3i +4j ,则&ABC 的面积等于( )
(A )15 (B)10 (C)7.5 (D )5解 因为AB =4i +2j =(4,2),AC =3i +4j =(3,4),所以,根据面积公式得S &A BC =12|x 1y 2-x 2y 1|=12|4@4-2@3|=5,从而选D .
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41#第1期 高中数学教与学
一道高考题的推广
陈小明
(重庆市武隆中学,408500)
数学命题的推广是数学发展不可缺少的
手段,它是一项富有挑战性和创造性的活动.
在教学中培养学生对数学问题的推广意识,
有利于培养学生的发现意识、探究能力,锻炼
创新思维能力和独立思考的习惯.本文笔者
结合一道高考题,作如下探究.
2006年高考全国理科卷Ò第21题第(1)
小题:已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是
抛物线上的两动点,且AF=K FB(K>0),过
A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为
M,证明:FM#AB为定值.
证明由已知条件得F(0,1),设A(x
1
,
y 1),B(x
2
,y
2
),由AF=K FB,
_(-x
1
,1-y1)=K(x2,y2-1).
_-x1=K x2,¹1-y
1
=K(y
2
-1).º
将¹式两边平方并把y
1
=1
4
x2
1
,y
2
=
1 4x2
2
,代入其中得
y
1
=K2y
2
.»
解º、»式得y
1
=K,y
2
=1K,且x1x2=
-K x2
2
=-4K y
2
=-4.抛物线方程为y=
1
4
x2,求导得y c=1
2
x.所以过抛物线上A、B
两点的切线方程分别是y=
1
2
x
1
x-1
4
x2
1
,y=
1
2
x
2
x-1
4
x2
2
.解出两条切线的交点M的坐标
为
x1+x2
2
,
x1x2
4
=x1+x2
2
,-1,所以FM#
AB=x1+x2
2
,-2#(x2-x1,y2-y1)=
1
2
(x22-x21)-21
4
x22-
1
4
x21=0.所以FM#
AB为定值0.
抛物线,椭圆,双曲线是否具有类似的性
质?现将本题作如下推广.
命题1若AB是过抛物线y2=2px的焦
点F的弦,过A、B两点分别作抛物线的切线,
交于点M,则FM L AB.
例3在&OAB中,O为坐标原点,A(1,
cos H)、B(sin H,1),H I0,P
2
,则当&OAB
的面积达到最大值时H=()
(A)P
6
(B)P
9
(C)P
4
(D)P
2
解根据面积公式得
S&ABC=1
2
|x
1
y
2
-x
2
y
1
|
=1
2|1-sin H cos H|
=
1
2
1-1
2
si n2H.
因为H I0,
P
2
,所以2H I(0,P],所以
0[sin2H[1,所以si n2H=0时,S&ABC取得
最大值,此时H=
P
2
.从而选D.
练习:在平面直角坐标系中,A、B、C为不
共线三点,A(1,2),B(4,1),C(3,-1),试求
&ABC的面积.
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高中数学教与学2008年。