三角形面积公式的向量形式_杨元军
向量求三角形面积的原理
向量求三角形面积的原理
利用向量求三角形面积的原理可以概括为:
一、向量与三角形面积
设三角形ABC的三个顶点向量为a、b、c,则根据向量的性质,向量c可以表示为: c=a+b
二、向量叉乘计算面积
对上式两边取叉乘,根据向量叉乘的定义可得:
a×b=c×(a+b)
由向量叉乘的分配律可得:
a×b=c×a+c×b
三、运用行列式求面积
上式右端可看作两个行列式,将其展开可得:
SABC=1/2 a,b =1/2 c,a =1/2 b,c
这里SABC即为三角形ABC的面积。
四、求面积原理分析
1. 三角形三边向量满足向量闭合性质。
2. 利用向量叉乘的几何意义来表达三角形面积。
3. 将其化为行列式进行计算,得到面积公式。
五、公式意义
该公式表明:三角形面积等于三角形任意两边向量的行列式的一半。
六、应用实例
如给定三角形顶点坐标A(1,0)、B(0,2)、C(3,2),可求出其面积为2个单位面积。
综上所述,运用向量叉乘性质可以简便求出三角形面积,是计算三角形面积的重要方法之一。
这一公式融合了向量代数与几何概念,理论价值和实用价值非常高。
向量求三角形面积的推导过程
假设我们有三个顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
我们可以使用两个向量AB 和AC 来表示三角形的两条边。
推导过程如下：
计算向量AB 和向量AC：
AB = (x2 - x1, y2 - y1)
AC = (x3 - x1, y3 - y1)
计算向量AB 和向量AC 的叉积：
叉积AB ×AC = (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)
叉积的绝对值除以2即为三角形的面积：
面积= |AB ×AC| / 2
这个公式的推导基于向量的性质和叉积的定义。
叉积的结果是一个向量，其大小表示平行四边形的面积，除以2即为三角形的面积。
需要注意的是，在计算叉积时，我们可以采用行列式的形式进行计算，即：
叉积AB ×AC = det([[x2 - x1, y2 - y1], [x3 - x1, y3 - y1]])
这样就可以用行列式的计算方法得到叉积的结果。
三角形面积坐标公式
三角形面积坐标公式三角形的面积可以通过三个顶点的坐标来计算。
我们可以使用向量的方法来求解三角形的面积。
设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)。
首先，我们可以得到两个向量AB和AC的坐标表示：AB=(x2-x1,y2-y1)AC=(x3-x1,y3-y1)接下来，我们可以计算AB和AC的叉积，得到一个新的向量N：N=AB×AC=(x2-x1,y2-y1)×(x3-x1,y3-y1)=[(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)]*k其中，k是一个常数。
我们可以看到，N的长度和k成正比，所以，N的长度可以表示三角形ABC的面积的两倍。
因此，我们可以通过求解N的长度并除以2来得到三角形的面积。
N的长度可以通过以下公式计算：N， = sqrt((x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1))^2)最后，我们将，N，除以2即可得到三角形ABC的面积。
下面是一个具体的例子来演示如何使用上述公式来计算三角形的面积：假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(4,5)和C(7,3)。
我们可以计算向量AB和AC的坐标表示：AB=(4-1,5-2)=(3,3)AC=(7-1,3-2)=(6,1)然后，我们可以计算叉积N：N=(3,3)×(6,1)=(3*1-3*6)*k=-15kN的长度可以计算为：N， = sqrt((-15)^2)=15最后，我们将，N，除以2得到三角形ABC的面积：面积=，N，/2=15/2=7.5所以，三角形ABC的面积为7.5平方单位。
需要注意的是，在计算叉积N时，我们可以交换向量的顺序，得到的结果只需要考虑正负号的问题。
如果N为负，我们可以将其取绝对值再除以2来得到三角形的面积。
上述的方法可以计算任意三角形的面积，无论三角形是锐角、直角还是钝角。
坐标式三角形面积公式及其应用
坐标式三角形面积公式及其应用作者：甘志国来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第02期高考题1（2010年高考辽宁卷理科第8题）平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则△OAB的面积等于（）A.a2b2-（a·b）2B.a2b2+（a·b）2C.12a2b2-（a·b）2D.12a2b2+（a·b）2答案：C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：定理1若三点O，A，B不共线，则S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.证明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.由此结论，还可证得定理2若三点O，A，B不共线，且点O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则S△OAB=12x1y2-x2y1.证法1由定理1，得S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2=12x1y2-x2y1.证法2可得直线AB的方程是（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐标原点O到直线AB的距离是x1y2-x2y1AB，进而可得△AOB的面积是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.下面用定理2来简解几道高考题.高考题2（2014年高考四川卷理科第10题）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）.A.2B.3C.1728D.10解B.得F14，0，可不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得当且仅当y1=43，y2=-98时取等号）.所以选B.高考题3（2011年高考四川卷文科第12题）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn=（）.A.215B.15C.415D.13解B.所有满足题意的向量有6个α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的两个向量为邻边的平行四边形有n=C26=15个.设αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj为邻边的平行四边形的面积是S=12x1y2-x2y1=2，可得这样的向量αi，αj有3对：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.注用高考题3的解法还可求解2011年高考四川卷理科第12题.高考题4（2009年高考陕西卷文科、理科第21题）已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255.（1）求双曲线C的方程；图1（2）如图1所示，P是双曲线C上一点， A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.解（1）（过程略）y24-x2=1.（2）可设A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及题设可得S△AOB=2st.由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入双曲线C的方程，化简得（1+λ）2=4λst，所以S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，可得△AOB面积的取值范围是2，83.图2高考题5（2010年高考重庆卷理科第20题）已知以原点O为中心，F（5，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=52.（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图2所示，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积.解（1）（过程略）双曲线C的标准方程为x24-y2=1，其渐近线方程为x±2y=0.（2）由“两点确定一直线”可得直线MN的方程为：xEx+4yEy=4.分别解方程组xEx+4yEy=4，x-2y=0，xEx+4yEy=4，x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.因为点E在双曲线C上，所以x2E-4y2E=4.由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.注下面将指出图2的错误：因为点E关于x轴的对称点E′（xE，-yE）也在双曲线C上，而双曲线C在点E′处的切线方程为xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直线MN，所以直线MN与双曲线C应当相切，而不是相离.高考题6（2008年高考海南、宁夏卷理科第21题）设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.（1）求的解析式.（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.高考题7（2008年高考海南、宁夏卷文科第21题）设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案：（1）y=x-3x.（2）6.下面给出这两道高考题结论的推广.定理3（1）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线与两条渐近线y=bax，y=-bax围成三角形的面积是S=ab；（2）曲线y=ax+bx（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x=0，y=ax围成三角形的面积是S=b；（3）曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x+d=0，y=ax+c围成三角形的面积是S=b.图3证明（1）如图3所示，可求得过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P（x0，y0）的切线方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，还可求得它与两条渐近线y=bax，y=-bax的交点分别为Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲证成立.（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以过该曲线上任一点Px0，ax0+bx0的切线方程是y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.从而可求得它与两条渐近线x=0，y=ax的交点分别为M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲证成立.（3）因为y=ax+c+bx+d=a（x+d）+bx+d+c-ad，所以曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）是由曲线y=ax+bx（b≠0）沿向量（-d，c-ad）平移后得到的，所以由结论（2）立得结论（3）成立.。
平面向量三角形面积公式
平面向量三角形面积公式
一、行列式法：
行列式法是通过行列式的运算来求解三角形的面积。
设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则向量AB为(a,b)=(x2-
x1,y2-y1)，向量AC为(c,d)=(x3-x1,y3-y1)。
根据行列式的定义，得到以下公式：
S=1/2*，a*d-b*c
例如，设三角形的三个顶点分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，则向量AB为(1,2)，向量AC为(2,1)，代入公式中得：
S=1/2*，1*1-2*2，=1/2*，-3，=3/2
二、向量法：
向量法是通过向量的内积和向量的模长来求解三角形的面积。
设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则向量AB为(a,b)=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为(c,d)=(x3-x1,y3-y1)。
根据向量的内积和向量的模长的关系，得到以下公式：
S=1/2*，a*d-b*c，=1/2*√((a*d-b*c)^2)
例如，设三角形的三个顶点分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，则向量AB为(1,2)，向量AC为(2,1)，代入公式中得：
S=1/2*√((1*1-2*2)^2+(1*1-2*1)^2)=1/2*√((-3)^2+(-
1)^2)=1/2*√(9+1)=3/2
综上所述，平面向量三角形面积公式可以通过行列式法或向量法来进行计算。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的方法进行计算，以便更加方便和高效地求解三角形的面积。
三角形面积公式的向量形式及其应用举例
∆ABC 的面积 S∆ABC =
��� � ���� ��� � ���� ��� � ���� AB ⋅ AC 因 为 cos < AB, AC >= ��� � ���� ， 故 sin < AB, AC >= 1 − AB ⋅ AC
1 2
��� � 2 ���� 2 ��� � ���� AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC )2 . ��� � ���� ( AB ⋅ AC )2 ��� � 2 ���� 2 ， 所 以 AB ⋅ AC
S∆OAB =
1 2
��� � 2 ��� � 2 ��� � ��� � 1 1 1 1 1 3 OA ⋅ OB − (OA ⋅ OB) 2 = 1 − (k + )2 ≤ 1 − × 22 = ,当且仅当 k = 1 时等号 2 16 k 2 16 4
成立.即 k = 1 时， ∆OAB 面积取得最大值 例4 已知 A, B 是椭圆 C :
S∆ABC
��� � ���� � ���� ��� � ���� � ���� 1 ��� ( AB ⋅ AC ) 2 1 1 ��� = AB ⋅ AC ⋅ sin < AB, AC > = AB ⋅ AC ⋅ 1 − ��� � 2 ���� 2 = 2 2 2 AB ⋅ AC
��� � 2 ���� 2 ��� � ���� AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC )2 .
3 . 4
x2 1 + y 2 = 1 上两个动点，且直线 OA, OB 的斜率之积等于 − ，试探求 4 4
∆OAB 的面积是否为定值，并说明理由. 分 析 设 动 点 A, B 的 坐 标 分 别 为 A(2cos α ,sin α ), B (2cos β ,sin β ) ， 则 由 sin α sin β 1 kOA ⋅ kOB = = − 得， cos α cos β + sin α sin β = 0 ，即 cos(α − β ) = 0 . 4cos α cos β 4
三角形面积公式向量
三角形面积公式向量三角形的面积公式可以用向量表示。
设三角形的两个边表示为向量a和向量b，其夹角为θ，则三角形的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。
首先，我们定义向量的叉积。
对于二维平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，其叉积定义为：a×b=a1*b2-a2*b1然后，我们来推导三角形面积公式。
设三个顶点分别为A、B、C，边AB和AC分别对应向量a和向量b。
根据向量的叉积定义，我们可以得到向量a和向量b的叉积向量（叉积结果为一个向量）：n=a×b其中，n是垂直于平面ABC的一个向量，其模n的长度等于以向量a和向量b为边构成的平行四边形的面积。
但是，我们需要求的是三角形ABC的面积，而不是平行四边形的面积。
要得到三角形的面积，我们需要将平行四边形的面积除以2所以，我们可以将垂直于平面ABC的向量n的模除以2，即可得到三角形ABC的面积S：S=，n，/2现在，我们来具体推导一下面积公式。
向量a的模可以表示为：a，=√(a1²+a2²)向量b的模可以表示为：b，=√(b1²+b2²)向量a与向量b的夹角θ的余弦可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2) / (，a，b，)根据向量的叉积定义，我们可以知道向量a和向量b的叉积n的模可以表示为：n， = ，a × b， = ，a，b，sinθ将，a，b，和sinθ代入上面的式子，可以得到：n，= √(a1² + a2²) * √(b1² + b2²) * sinθ = √(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ将面积的公式S=，n，/2代入上面的式子，可以得到：S = (√(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ) / 2整理上式，可以得到：S=，a×b，/2也就是说，三角形ABC的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。
平面向量的向量积和三角形面积公式
平面向量的向量积和三角形面积公式平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。
在平面向量运算中，向量积和三角形面积公式是两个重要的概念，用于计算向量的叉乘和三角形的面积。
一、向量积的概念与计算向量积也称为叉乘，用符号×表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积a×b是一个新的向量c，其大小等于a和b的长度乘积与它们夹角的正弦值，方向垂直于平面a和b所张成的平面。
向量积的计算公式如下：c = a×b = |a|×|b|×sinθ×n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所张成平面的单位法向量。
二、向量积的性质1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 结合律：a×(b×c) = (a·c)b - (a·b)c三、向量积和三角形面积公式1. 向量的模长与面积关系设a和b是平面内的两个向量，S为以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，则有S = |(a×b)| = |a × b| = |a| × |b| × sinθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 三角形面积公式设△ABC为平面内的一个三角形，其边向量分别为a、b和c，则△ABC 的面积S可以由任意两个边向量的向量积求得，即S = ½ |(a×b)| = ½ |a × b|其中，a和b为△ABC的两边向量，S表示△ABC的面积。
四、实例分析为了更好地理解向量积和三角形面积公式的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
我们可以通过向量AB和向量AC来求得三角形ABC的面积。
向量方法求三角形面积
向量方法求三角形面积《向量方法求三角形面积》嘿，大家好！今天咱们来唠唠向量方法求三角形面积这事儿。
我记得有一次啊，我在数学作业里就碰到这么个要求用向量求三角形面积的题。
当时我就盯着那题目，感觉就像看一个神秘的宝藏地图，可我还没找到那把打开宝藏的钥匙呢。
那个三角形的三个顶点就像是三个调皮的小怪兽，在坐标纸上占着自己的地盘。
咱先来说说向量这个概念吧。
向量就像是一支带着方向的箭，有大小又有方向。
在三角形里，我们可以把三角形的边看成向量。
比如说一个三角形ABC，那向量AB就像是从A点指向B点的小箭头。
我当时就想象着这个箭头在纸上“嗖”地飞过去，那画面还挺有趣的。
那怎么用向量求三角形面积呢？这里面有个超酷的公式，就是三角形面积等于二分之一乘以两个向量的模长相乘再乘以这两个向量夹角的正弦值。
这个公式乍一看有点复杂，就像一个有着好多机关的小盒子。
我又瞅着我作业上那个三角形，那三个顶点的坐标就好像是三个小怪兽的藏身之处的坐标一样。
我得先算出向量的坐标。
就拿向量AB来说吧，它的坐标就是B点坐标减去A点坐标。
这就像是我要找到从A到B这个小箭头在坐标轴上走了多远。
我当时还特别小心，生怕算错了一个数，就像走在一个很窄的独木桥上，一步都不能错。
算出向量坐标之后呢，就要算向量的模长了。
模长就像是这个向量小箭头的长度。
我按照公式，把坐标值代进去算，那计算过程就像一场小心翼翼的冒险。
我一边算一边心里念叨着：“可别出错啊，可别出错啊。
”然后就是求两个向量夹角的正弦值。
这个就有点头疼了，我得用向量的点积公式先算出夹角的余弦值，然后再用三角函数关系求出正弦值。
我感觉我像是一个侦探，在各种线索（公式）里找我想要的东西。
我记得我在求余弦值的时候，算了好几遍才确定自己算对了，那感觉就像是在一个迷宫里转了好几圈才找到出口。
好不容易把这些值都算出来了，再代入到求三角形面积的公式里。
当我算出最后的结果时，那感觉就像我终于打败了那三个调皮的小怪兽，找到了宝藏一样。
坐标系中求三角形面积公式
坐标系中求三角形面积公式在二维坐标系中，求三角形的面积是一个常见而重要的问题。
一个三角形可以由三个顶点确定，我们可以利用这些顶点的坐标来计算三角形的面积。
假设我们有一个三角形，其顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
我们可以利用这三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
首先，我们可以定义两个向量。
向量AB可以表示为向量V1 = (x2 - x1, y2 - y1)，向量AC可以表示为向量V2 = (x3 - x1, y3 - y1)。
接下来，我们可以利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积。
向量叉乘的公式是V1 × V2 = |V1| * |V2| * sin(θ)，其中|V1|和|V2|分别表示向量V1和V2的模长，θ表示V1和V2之间的夹角。
三角形的面积可以通过向量叉乘的结果来计算，即S = 0.5 * |V1 × V2|。
接着，我们需要计算向量叉乘的结果。
向量叉乘的结果是一个新的向量，其模长等于|V1| * |V2| * sin(θ)，方向垂直于V1和V2所在的平面。
其模长也可以表示为S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)|。
最后，我们可以根据得到的面积公式计算三角形的面积。
如果得到的面积为正数，表示三角形是顺时针方向的；如果得到的面积为负数，表示三角形是逆时针方向的。
绝对值即为三角形的面积。
综上所述，坐标系中求三角形面积的公式是S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 -y1)(x3 - x1)|。
这个公式可以有效地帮助我们计算任意三角形的面积，无需其他复杂的几何知识，只需要利用三个顶点的坐标即可进行计算。
向量中三角形面积公式
向量中三角形面积公式要想用向量来算三角形的面积，这个话题可真有趣！想象一下，你在公园里，看到一块小小的三角形草坪，心里是不是想知道它的面积有多大呢？用向量的方法来解这个问题，就像用神奇的魔法棒，轻松搞定了。
咱们得搞清楚，向量就是一种有方向和大小的东西，简单来说，就是一条带箭头的线。
比如说，你从家到学校，这个路线就可以用向量来表示。
你出发的地方、到达的地方，都是坐标系里的点，搞定这一点，我们就能开始我们的三角形冒险了。
我们通常用三角形的三个顶点来定义它。
假设这三个点分别叫A、B、C。
A的坐标是(x1, y1)，B的坐标是(x2, y2)，C的坐标是(x3, y3)。
我们要做的就是用向量来连接这些点。
听起来是不是有点复杂？其实没有！我们只需要计算出AB和AC两个向量。
AB就是从A到B的向量，而AC则是从A到C的向量。
嘿，向量的计算方法其实就是简单的减法哦！就是把B的坐标减去A的坐标，AC同理。
这样，我们就得到了两个向量，嘿，这就像我们在画图的时候，用直线把它们连起来。
有了这两个向量后，我们的任务就变得更简单了。
三角形的面积可以用一个简单的公式算出来，听起来是不是特别轻松？公式是这样的：面积等于1/2乘以AB向量和AC向量的叉积的模。
哇，这里有个叉积，看起来是不是像个复杂的数学怪兽？其实不然，叉积就是一个公式，可以帮助我们找到这两个向量之间的关系。
叉积的结果是一个新的向量，它的大小正好代表了这两个向量围成的平行四边形的面积，而我们只需要一半的面积，就是三角形啦。
那怎么计算这个叉积呢？我们得把这两个向量写成一个矩阵。
AB向量的坐标是(x2 x1, y2 y1)，AC向量的坐标是(x3 x1, y3 y1)。
然后，我们可以用行列式来计算叉积。
这个步骤可能听起来像是要用高级数学，但其实只需要简单的乘法和减法。
把这些数代入公式，就能得到一个数，这个数的绝对值就是你那个小三角形的面积啦！是不是简单到家？说到这里，你可能会想，数学真是个奇妙的世界！用向量来计算三角形的面积，不仅简单，而且有趣！想想看，生活中无处不在的三角形，像房子的屋顶、交通标志，甚至是你画的图画，都能用这个方法来计算面积，真是太神奇了！而且这个方法还让人感觉很酷，仿佛自己是个数学魔法师，随手就能算出各种三角形的秘密。
三角形面积公式与向量
三角形面积公式与向量在这儿，咱们聊聊三角形的面积公式和向量，听上去有点儿学术，但其实可以很轻松！首先，大家都知道，三角形是个非常神奇的图形，就像是一块饼干，脆脆的，形状简单却有无穷的魅力。
你想想，三角形在生活中的身影无处不在，从建筑物的结构到艺术作品的构图，简直是个万金油！好啦，咱们先从最基础的说起，三角形的面积公式。
这个公式可真是经典，简单到不行，只需要用底边乘以高，再除以二，公式就是：面积= 1/2 × 底× 高。
是不是觉得这有点太简单了？当然！简单是因为它是基础，但这基础可不是说没用哦！你想，底边和高分别代表了三角形的两个关键特征，结合起来就像做了一道美味的菜肴，底边就是主料，高则是调味，缺一不可。
不过，咱们要聊的可不仅仅是这个公式，向量也是个重要的角色。
向量听起来就像是高大上的科学词汇，其实它就是个描述方向和大小的工具。
就像你在街上走，往东走10步，往北走5步，最后的目的地就是一个向量！把这个向量和三角形结合，咱们就可以更深入地理解三角形的面积啦。
让我们先来看看，如何用向量来表示一个三角形。
想象一下，咱们在一个平面上，有三个点，分别是A、B和C。
通过向量AB和AC，我们就可以描绘出一个漂亮的三角形ABC。
其实，利用向量来计算面积，真的像是在做数学魔法。
面积可以用公式表示为：面积= 1/2 × |AB × AC|，这里的“×”可不是简单的乘法，而是向量的叉乘。
通过这个方法，我们不但可以计算出面积，还能了解这两个向量之间的夹角，真的是一举两得，嘿嘿！有时候，咱们也会想，为什么要用向量来解决问题呢？其实，向量就像是咱们生活中的指南针，帮我们确定方向。
在实际问题中，三角形的面积可能不仅仅是个数字，还关乎到很多实际应用，比如建筑设计、计算地块的面积，甚至是规划游戏中的地图。
把这两个看似简单的概念结合起来，就能让我们的思维变得更为灵活和开阔。
而且，咱们再想想，向量的引入，不仅让计算变得简洁，还让我们可以从几何的角度深入分析问题。
向量法求三角形面积
向量法求三角形面积
叉积:数学上也叫外积和叉积，物理上也叫矢积和叉积。
它是向量空间中向量的二元运算。
向量积可以被定义为：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
）
向量积的模（长度）在数值上等于，，及其夹角θ组成的平行四边形的面积。
所以求三角形ABC的面积，根据向量积的意义，可得三角形ABC的面积S：
a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成：
其中i，j，k是三个相互垂直的单位向量。
它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=（1，0，0），j=（0，1，0），k=（0，0，1）。
即：
tips：空间向量(x,y,z)，其中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是
即：
因为是二维三角形，所以az，bz=0，所以：。
利用向量计算三角形面积的方法
利用向量计算三角形面积的方法三角形是几何学中最基本的图形之一，计算三角形的面积对于解决各种几何问题非常重要。
在传统的方法中，我们通常会使用三角形的底和高来计算其面积。
然而，利用向量计算三角形面积的方法同样简单且有效。
要计算三角形的面积，我们首先需要知道三个顶点坐标。
假设三个顶点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）和C（x3，y3）。
接下来，我们使用向量运算来计算三角形的面积。
步骤一：计算两个向量我们可以使用第一个顶点A和另外两个顶点B、C创建两个向量，分别为向量AB和向量AC。
向量的表示方法是使用终点减去起点，因此有：向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)向量AC = (x3 - x1, y3 - y1)步骤二：计算向量的叉积计算向量AB和向量AC的叉积，即AB × AC。
向量的叉积可以通过以下公式计算：AB × AC = (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)步骤三：计算面积最后，我们计算得到的叉积的绝对值除以2，即可得到三角形的面积。
面积 = |AB × AC| / 2利用向量计算三角形面积的方法相较于传统的底高方法，具有以下优势：1. 适用范围广：向量计算方法不仅适用于一般的三角形，也适用于任意形状的三角形，包括无法使用底高计算的情况。
2. 简洁高效：向量计算方法只需要进行简单的向量运算和一次乘法、减法操作，计算过程简洁高效。
3. 准确性：使用向量计算方法可以提高计算的准确性，避免由于测量误差或计算近似造成的面积误差。
4. 可拓展性：向量计算方法可用于更高维度的几何计算，如计算四面体、多边形等复杂图形的体积或面积。
举例说明：假设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)。
根据上述方法，我们可以进行如下计算：步骤一：计算两个向量向量AB = (3-1, 4-2) = (2, 2)向量AC = (5-1, 6-2) = (4, 4)步骤二：计算向量的叉积AB × AC = (2 * 4) - (4 * 2) = 0步骤三：计算面积面积 = |AB × AC| / 2 = |0| / 2 = 0因此，根据给定的顶点坐标计算得到三角形ABC的面积为0。
三角形的面积公式向量
三角形的面积公式向量嘿，大家好！今天咱们聊聊三角形的面积，别担心，听起来有点学术的东西，咱们就轻松聊聊。
三角形这个形状，真是个神奇的东西。
它在生活中无处不在，看看你手上的纸张，或者那些建筑物的设计，三角形真的是个超级明星。
说到面积，大家可能会想起那条公式：底乘高除二。
听起来挺简单的对吧？不过，今天咱们用点不一样的方式来看看这个公式，嘿嘿，让我们来用向量来玩玩吧。
先来聊聊什么是向量。
想象一下，你在操场上追逐那个你喜欢的小伙伴，跑得飞快，右转、左转，跑来跑去。
你的运动方向和速度，这就是向量。
简单点说，向量就是有方向的东西。
就像你在地图上画的箭头，指向某个地方。
它的长度代表你要走的多远，而方向则告诉你该往哪走。
对于三角形来说，咱们可以用向量来定义它的三个顶点。
哇，这可真酷！三角形的面积呢，也可以通过这三个顶点的向量计算出来，简直是数学界的小魔法。
咱们设想一下，有三个点A、B、C，分别是三角形的三个顶点。
把这三点用向量连接起来，嘿，这时候三角形就出来了！如果你用向量表示这三点，像这样，A点是(mathbf{a)，B点是(mathbf{b)，C点是(mathbf{c)。
那么三角形的面积其实可以用一个神奇的公式来表示，嘿，就是面积等于向量(mathbf{AB)和(mathbf{AC)的叉乘的模长，再除以二。
看起来有点复杂，不过想想其实也没那么难。
叉乘就像是在玩一场旋转游戏，结果出来的就是一个新的向量，它的长度就是咱们要的三角形的面积。
有没有觉得这个公式有点像魔法？你只需要知道三角形的三个顶点，其他的就交给向量的魔力吧！这个公式也不怕你忘。
因为不管你是在哪种坐标系下，只要把坐标带进去，结果永远是正确的。
数学果然是有它独特的魅力。
再来说说生活中的三角形。
有没有想过，为什么许多建筑设计都喜欢用三角形？这就像是人们常说的，三角形最坚固。
建筑物的承重结构用上三角形，能够分散压力，让整栋楼稳稳当当，不容易倒塌。
想象一下，坐在一栋三角形的房子里，阳光洒进来，感觉就像置身于一个美丽的梦境中。
三角形面积向量叉乘公式
三角形面积向量叉乘公式好的，以下是为您生成的文章：咱今天来唠唠三角形面积向量叉乘公式，这可是数学里一个挺有意思的玩意儿。
要说这三角形面积向量叉乘公式啊，那先得搞清楚啥是向量。
向量就好比是有方向的小箭头，它既有大小又有方向。
比如说，从咱教室这头走到那头，不光知道走了多远，还得知道是朝哪个方向走的，这就是向量。
那这和三角形面积有啥关系呢？咱们来仔细瞅瞅。
假设咱有一个三角形，三个顶点分别是 A、B、C。
对应的向量咱就叫它们\(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\) 。
这时候三角形 ABC 的面积 S 就可以用这俩向量的叉乘来算，公式是 \(S =\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\) 。
这里面的“| |”表示取向量的模，也就是向量的长度。
那这个叉乘到底是咋算的呢？其实就像是给这两个向量做了一种特别的乘法运算。
我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵，问我：“老师，这咋这么难理解呢？”我就跟他说：“你就想象这俩向量像是两个会打架的小人儿，它们互相一撞，产生的效果就和三角形面积有关系。
” 这同学一听，乐了，好像还真有点开窍了。
咱们继续说啊，这个公式用起来其实挺方便的。
比如说给您两个点的坐标，(1, 2) 和 (3, 4) ，还有 (5, 6) ，让您算围成的三角形面积，您就可以先算出对应的向量，然后用这个叉乘公式，一下子就能得出答案。
而且这个公式在解决一些几何问题的时候，那可真是神器。
有时候题目看起来很复杂，绕来绕去的，但是您只要巧妙地运用这个向量叉乘公式，就能轻松找到突破口。
我还记得有一回，做一道竞赛题，那道题给的条件特别绕，好多同学都在那抓耳挠腮。
我就提醒他们试试用这个三角形面积向量叉乘公式，结果还真有几个聪明的孩子一下就做出来了，那脸上的得意劲儿，我到现在都记得。
三角形面积向量方法
三角形面积向量方法三角形是平面几何中最基本的图形之一、计算三角形的面积是解决平面几何问题的重要一步。
平面几何中有多种方法可以计算三角形的面积，其中一种常用的方法是面积向量法。
面积向量法是通过向量的运算来计算三角形的面积。
具体说来，对于三角形ABC，可以用向量AB和向量AC来表示，然后计算这两个向量的叉积的模来得到三角形的面积。
下面将详细介绍面积向量法的计算步骤。
首先，假设有一个三角形ABC，其中A、B、C分别是三个顶点的坐标，即A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
然后可以计算向量AB和向量AC的坐标表示，即向量AB的坐标是(x2-x1,y2-y1)，向量AC的坐标是(x3-x1,y3-y1)。
接下来，通过向量的叉积来计算三角形的面积。
向量的叉积可以表示为：v1 × v2， = ，v1，× ，v2，× sinα其中，v1和v2分别是两个向量，v1×v2，表示两个向量的叉积的模，v1，和，v2，分别是两个向量的模，α表示两个向量之间的夹角。
根据这个公式，可以计算向量AB和向量AC的叉积的模，即：AB × AC， = ，AB，× ，AC，× sinθ其中，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
最后，根据叉积的模来计算三角形的面积S=1/2×，AB×AC计算得到的面积S即为三角形ABC的面积。
通过面积向量法，可以计算任意三角形的面积，不管三角形的形状和大小如何。
只要给定三个顶点的坐标，就可以轻松地计算出三角形的面积。
需要注意的是，面积向量法只适用于平面上的三角形。
如果三角形不在一个平面上，就不能使用面积向量法来计算。
此外，面积向量法还有一个重要的性质，即只计算面积的大小，不考虑三角形的方向。
所以，计算得到的面积是一个无符号的量，即它没有正负之分。
总结起来，面积向量法是通过计算向量的叉积来计算三角形的面积。
三角形面积的向量方法
b e三角形面积的向量方法向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景．公式 中，若向量，，则．ABC ∆CB a = CA b =ABC S ∆=证明 1sin ,2ABCS a b a b ∆=<>==１．利用公式求三角形的面积．例1．已知，点，，，求的面积．ABC ∆(1,1)A (4,2)B (3,5)C ABC ∆解：∵，，∴，，，(3,1)AB = (2,4)AC =210AB = 220AC = 10AB AC ⋅= ∴．ABCS ∆=5==例2．已知中，向量，，求的ABC ∆00(cos 23,cos 67)BA = 00(2cos 68,2cos 22)BC = ABC ∆面积．解：由已知，得，，∴，，00(cos 23,sin 23)BA = 00(2sin 22,2cos 22)BC = 1BA = 2BC = ∴．00002(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ⋅=+ 02sin 45==∴ABCS ∆==２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．例3．平面直角坐标系内有点，，，为坐标原点，(sin ,cos )P x x (cos ,sin )Q x x [,]2412x ππ∈-O 求面积的最值．OPQ ∆解：．OPQS ∆===1cos 22x =∵， ∴当时，；当时，面积的最[,2412xππ∈-12xπ=OPQ∆0x=OPQ∆大值为．12３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．例4.已知中,，，且，求面积的最大值．OAB∆OA a=OB b=3,2a b a b+=-=OAB∆解：∵，∴，，解得，3,2a b a b+=-=2229a ab b+⋅+=2224a ab b-⋅+=54a b⋅=，∴，22132a b+=OABS∆==≤32=当且仅当时，取“=”号．a b==例5.已知向量，，与之间有关系式(cos,sin)OA aαα==(cos,sin)OB bββ==ab，（，且，为坐标原点，求面积的最大值，并ka b kb+=k>2k≠±O AOB∆求此时与的夹角．abθ解：将两边平方，得ka b kb+=22222223(2)k a ka b b a ka b k b+⋅+=-⋅+∵，∴，又∵，∴，1a b==22213(12)k ka b ka b k+⋅+=-⋅+k>111(42a b kk⋅=+≥当且仅当时取“=”号．∴， 1k=AOBS∆==≤=∴，此时，∴，∵，∴AOB∆12a b⋅=1cos2a ba bθ⋅==000180θ<<．60θ=。
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o 初数研究o
三角形面积公式的向量形式
杨元军
(江苏省姜堰市蒋垛中学,225503)
大家知道,三角形的面积公式有:
S =1
2
底@高;S =
12ab sin C =12ac sin B =12
bc sin A.在向量的问题中,有时也涉及到有关三角形面积的计算.可是运用上面两个公式,计算比较繁,那么有没有向量形式的面积计算公式呢?答案是肯定的.运用此公式不但可以简化运算,也可以提高思维能力、知识的应用能力和探究能力.
一、三角形面积公式的向量形式
在直角坐标平面内,O 、A 、B (O 为坐标原点)为不共线三点,向量OA =(x 1,y 1),向量OB =(x 2,y 2),则&OAB 面积
S &OAB
=1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.证明 设向量OA,OB 的夹角为A ,则OA #OB =|OA ||OB |cos A ,_cos 2
A =(OA #O
B )
2
OA 2#OB
2,
_si n A =
1-cos 2
A
=1-(OA #OB )2
OA 2#OB )
2=
OA 2
#OB 2
-(OA #OB
2
|OA ||OB |,
_S &OAB =1
2
|OA |#|OB |sin A =12OA 2
#OB 2
-(OA #OB )
2
=
12
(x 21+y 21)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)
2
=
1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.推广1 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,向量AB =(x 1,y 1),向量AC =(x 2,y 2),则&ABC 面积为
S &ABC =
1
2
|x 1y 2-x 2y 1|.推广2 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,A (x 1,y 1),B =(x 2,y 2),C =(x 3,y 3),则&ABC 面积为S &A BC =
1
2
|(x 2-x 1)(y 3-y 1)-(x 3-x 1)(y 2-y 1)|.
二、面积公式的应用
例1 对于平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),定义f (a #b )=|x 1y 2-x 2y 1|,那么对于直角坐标平面内不共线三点O 、A 、B (O 为坐标原点),f (OA #OB )的值恰好表示( )
(A )点O 到直线AB 的距离(B)向量OA 、OB 夹角的正切值(C)&OAB 面积的2倍(D )向量OA 、OB 的数量积
解 根据面积公式直接得到f (OA #OB )=|x 1y 2-x 2y 1|=2S &ABC ,从而选C .
例2 设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴,y 轴正方向上的单位向量且AB =4i +2j ,AC =
3i +4j ,则&ABC 的面积等于( )
(A )15 (B)10 (C)7.5 (D )5解 因为AB =4i +2j =(4,2),AC =3i +4j =(3,4),所以,根据面积公式得S &A BC =12|x 1y 2-x 2y 1|=12|4@4-2@3|=5,从而选D .
#
41#第1期 高中数学教与学
一道高考题的推广
陈小明
(重庆市武隆中学,408500)
数学命题的推广是数学发展不可缺少的
手段,它是一项富有挑战性和创造性的活动.
在教学中培养学生对数学问题的推广意识,
有利于培养学生的发现意识、探究能力,锻炼
创新思维能力和独立思考的习惯.本文笔者
结合一道高考题,作如下探究.
2006年高考全国理科卷Ò第21题第(1)
小题:已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是
抛物线上的两动点,且AF=K FB(K>0),过
A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为
M,证明:FM#AB为定值.
证明由已知条件得F(0,1),设A(x
1
,
y 1),B(x
2
,y
2
),由AF=K FB,
_(-x
1
,1-y1)=K(x2,y2-1).
_-x1=K x2,¹1-y
1
=K(y
2
-1).º
将¹式两边平方并把y
1
=1
4
x2
1
,y
2
=
1 4x2
2
,代入其中得
y
1
=K2y
2
.»
解º、»式得y
1
=K,y
2
=1K,且x1x2=
-K x2
2
=-4K y
2
=-4.抛物线方程为y=
1
4
x2,求导得y c=1
2
x.所以过抛物线上A、B
两点的切线方程分别是y=
1
2
x
1
x-1
4
x2
1
,y=
1
2
x
2
x-1
4
x2
2
.解出两条切线的交点M的坐标
为
x1+x2
2
,
x1x2
4
=x1+x2
2
,-1,所以FM#
AB=x1+x2
2
,-2#(x2-x1,y2-y1)=
1
2
(x22-x21)-21
4
x22-
1
4
x21=0.所以FM#
AB为定值0.
抛物线,椭圆,双曲线是否具有类似的性
质?现将本题作如下推广.
命题1若AB是过抛物线y2=2px的焦
点F的弦,过A、B两点分别作抛物线的切线,
交于点M,则FM L AB.
例3在&OAB中,O为坐标原点,A(1,
cos H)、B(sin H,1),H I0,P
2
,则当&OAB
的面积达到最大值时H=()
(A)P
6
(B)P
9
(C)P
4
(D)P
2
解根据面积公式得
S&ABC=1
2
|x
1
y
2
-x
2
y
1
|
=1
2|1-sin H cos H|
=
1
2
1-1
2
si n2H.
因为H I0,
P
2
,所以2H I(0,P],所以
0[sin2H[1,所以si n2H=0时,S&ABC取得
最大值,此时H=
P
2
.从而选D.
练习:在平面直角坐标系中,A、B、C为不
共线三点,A(1,2),B(4,1),C(3,-1),试求
&ABC的面积.
#
42
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高中数学教与学2008年。