三角形面积公式的向量形式_杨元军

o 初数研究o

三角形面积公式的向量形式

杨元军

(江苏省姜堰市蒋垛中学,225503)

大家知道,三角形的面积公式有:

S =1

2

底@高;S =

12ab sin C =12ac sin B =12

bc sin A.在向量的问题中,有时也涉及到有关三角形面积的计算.可是运用上面两个公式,计算比较繁,那么有没有向量形式的面积计算公式呢?答案是肯定的.运用此公式不但可以简化运算,也可以提高思维能力、知识的应用能力和探究能力.

一、三角形面积公式的向量形式

在直角坐标平面内,O 、A 、B (O 为坐标原点)为不共线三点,向量OA =(x 1,y 1),向量OB =(x 2,y 2),则&OAB 面积

S &OAB

=1

2

|x 1y 2-x 2y 1|.证明 设向量OA,OB 的夹角为A ,则OA #OB =|OA ||OB |cos A ,_cos 2

A =(OA #O

B )

2

OA 2#OB

2,

_si n A =

1-cos 2

A

=1-(OA #OB )2

OA 2#OB )

2=

OA 2

#OB 2

-(OA #OB

2

|OA ||OB |,

_S &OAB =1

2

|OA |#|OB |sin A =12OA 2

#OB 2

-(OA #OB )

2

=

12

(x 21+y 21)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)

2

=

1

2

|x 1y 2-x 2y 1|.推广1 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,向量AB =(x 1,y 1),向量AC =(x 2,y 2),则&ABC 面积为

S &ABC =

1

2

|x 1y 2-x 2y 1|.推广2 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,A (x 1,y 1),B =(x 2,y 2),C =(x 3,y 3),则&ABC 面积为S &A BC =

1

2

|(x 2-x 1)(y 3-y 1)-(x 3-x 1)(y 2-y 1)|.

二、面积公式的应用

例1 对于平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),定义f (a #b )=|x 1y 2-x 2y 1|,那么对于直角坐标平面内不共线三点O 、A 、B (O 为坐标原点),f (OA #OB )的值恰好表示( )

(A )点O 到直线AB 的距离(B)向量OA 、OB 夹角的正切值(C)&OAB 面积的2倍(D )向量OA 、OB 的数量积

解 根据面积公式直接得到f (OA #OB )=|x 1y 2-x 2y 1|=2S &ABC ,从而选C .

例2 设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴,y 轴正方向上的单位向量且AB =4i +2j ,AC =

3i +4j ,则&ABC 的面积等于( )

(A )15 (B)10 (C)7.5 (D )5解 因为AB =4i +2j =(4,2),AC =3i +4j =(3,4),所以,根据面积公式得S &A BC =12|x 1y 2-x 2y 1|=12|4@4-2@3|=5,从而选D .

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41#第1期 高中数学教与学

一道高考题的推广

陈小明

(重庆市武隆中学,408500)

数学命题的推广是数学发展不可缺少的

手段,它是一项富有挑战性和创造性的活动.

在教学中培养学生对数学问题的推广意识,

有利于培养学生的发现意识、探究能力,锻炼

创新思维能力和独立思考的习惯.本文笔者

结合一道高考题,作如下探究.

2006年高考全国理科卷Ò第21题第(1)

小题:已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是

抛物线上的两动点,且AF=K FB(K>0),过

A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为

M,证明:FM#AB为定值.

证明由已知条件得F(0,1),设A(x

1

,

y 1),B(x

2

,y

2

),由AF=K FB,

_(-x

1

,1-y1)=K(x2,y2-1).

_-x1=K x2,¹1-y

1

=K(y

2

-1).º

将¹式两边平方并把y

1

=1

4

x2

1

,y

2

=

1 4x2

2

,代入其中得

y

1

=K2y

2

.»

解º、»式得y

1

=K,y

2

=1K,且x1x2=

-K x2

2

=-4K y

2

=-4.抛物线方程为y=

1

4

x2,求导得y c=1

2

x.所以过抛物线上A、B

两点的切线方程分别是y=

1

2

x

1

x-1

4

x2

1

,y=

1

2

x

2

x-1

4

x2

2

.解出两条切线的交点M的坐标

为

x1+x2

2

,

x1x2

4

=x1+x2

2

,-1,所以FM#

AB=x1+x2

2

,-2#(x2-x1,y2-y1)=

1

2

(x22-x21)-21

4

x22-

1

4

x21=0.所以FM#

AB为定值0.

抛物线,椭圆,双曲线是否具有类似的性

质?现将本题作如下推广.

命题1若AB是过抛物线y2=2px的焦

点F的弦,过A、B两点分别作抛物线的切线,

交于点M,则FM L AB.

例3在&OAB中,O为坐标原点,A(1,

cos H)、B(sin H,1),H I0,P

2

,则当&OAB

的面积达到最大值时H=()

(A)P

6

(B)P

9

(C)P

4

(D)P

2

解根据面积公式得

S&ABC=1

2

|x

1

y

2

-x

2

y

1

|

=1

2|1-sin H cos H|

=

1

2

1-1

2

si n2H.

因为H I0,

P

2

,所以2H I(0,P],所以

0[sin2H[1,所以si n2H=0时,S&ABC取得

最大值,此时H=

P

2

.从而选D.

练习:在平面直角坐标系中,A、B、C为不

共线三点,A(1,2),B(4,1),C(3,-1),试求

&ABC的面积.

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高中数学教与学2008年