理论力学--第十章 动量定理

C
A
B
α
u
受力分析 运动分析
Fix 0
e
Px = c (恒量)
C v A B P1 P3 P2 N
v棱柱 -v
v A ucos - v
u
α
v B usin - v
Px m1 ( u sin v ) m ( u cos v ) m3v 2
C v A B P1 P3 P2 N
dv A a dt
Fy
m2 FOy m1 g m2 g ( m1 )a 2
三、质点系的动量守恒定律
矢量形式守恒
F 0
i
P 常矢量
★投影形式守恒
F
x
0
Px 常量
实际问题解释
放置在光滑台面上 的台式风扇，工作 时会发生什么现象？
实际问题的解释
隔板
水池
抽去隔板后将会 发生什么现象？
第十章
动量定理
§10–1
§10–2 §10–3
动量与冲量
动量定理 质心运动定理
§10-1 动量与冲量
一、动量
1.质点的动量： 大小
mv
m | v |
与速度方向相同 kg•m/s
方向
单位
是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例：子弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2、质点系的动量
动量主矢
4：均质圆盘的质量为M，半径为R，以匀角速度ω绕
过质心的铅垂轴旋转。质量为m的物块以相对于圆盘vr 的速度沿半径向外运动，求当物块运动到离转轴的距 离为r时系统的动量。
5、履带行走机构中，履带的总质量为M；二轮的
质量各为ｍ，半径为R，视为均质圆盘。二轮的间 距为πR，车的前进速度为v，求系统的动量。
p mi vi
质点系中各质点动量的矢量和 3、动量主矢与质心运动之间的关系
p mi v i
rC
dri d mi mi ri dt dt
mr M
i i
动量主矢=质点系的质量与质心速度的乘积。
p Mvc
3、刚体的动量
MrC mi ri
平动
适用范围如何
0, Fy (m1 m2 ) g 称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为
x y
方向:
m2e sin t
2
方向:
m2e cos t
2
例11-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是 定常流动.求管壁的附加动约束力. 解:dt 内流过截面的质量及动量变化为
(i 1, 2, , n)
p mv
F (i) 0
质点系动量定理的微分形式
dp e Fi dt
质点系的动量主矢对于时间的导数等于作用于质点系的外力 的矢量和（或外力的主矢）
★投影形式
n d ( e) p Fi dt i 1
dp x e Fix dt
W1
N2
例4 质量为 mA 的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量 设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1) B的加速
为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为。
度；(2) 地面的支反力。
A B

受力分析 SFx(e)＝0
vB
A B
动量守恒
mA g
vr

运动学分析
mB g
R
vA vB vr
1 l 2

vcx v vCA cos
vcy vCA sin
vcx v
1 l cos 2
A C
v vCA v
B
1 vcy l sin 2
1 Px Mv ( mv ml cos ) 2
1 Py ml sin 2

例3、水平面上放一均质三棱
u
v0
受力分析
Fix 0
e
Px = c (恒量)
Px = Px0
Px0 ( m1 m2 )v0
x m2 v2 x m1v1 m2 ( v1 u ) Px m1v1
v v1 v0 0.52m / s
P1
P2
u
v0
v1
N1
N2
例 2 重为P3的直角三棱体置于光滑地面上， 其一倾 角为α；重量分别为P1、P2的物块A、B，用一跨过滑 轮C的绳相接，放在三棱体的斜面上。不计滑轮、绳 的质量及绳的伸长，且开始时都处于静止。试求当物 块B相对于三棱体以速度u运动时，三棱体的速度。
0
α
u
v u( P 1cos P2sin )/(P 1 P2 P 3)
例3 小车重2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测 得箱在车上滑动 0.2 s ，不计车与地面摩擦，求箱与车 之间的摩擦力。
v0
p x p0 x

(e) Ix ,
p y p0 y

(e) Iy ,
p z p0 z

(e) Iz
例1
电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳
的质量为m2 ,转子质量为 心 O2 , O1O2 e ,角速度 约束力.
为常量.求基础的水平及铅直
m1.定子和机壳质心 O1 ,转子质
对上式积分，得
dpy dt
n t
F
(e)
e iy
dp z Fize dt

p
p0
dp Fi dt
i 1 0
或
p p0 I i(e)
i 1
n
质点系动量定理的积分形式， 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力的冲量矢量和。
★投影形式
A
O
B
C
2：斜面的倾角为45度，A物体的质量为m，B滑轮的 质量为2m，C物体的质量为m。其中A物体以速度v匀 速下降，求系统的总动量。
B C
A
3： OA杆长为L1，质量为m1；AB杆长为L2，质量 为m2；滚子的质量为m3，半径为R。OA杆以匀角 速度ω转动。求图示瞬时系统的动量。
A B O
ω
即 设
qV (vb va ) P Fa Fb F
F F F
F 为附加动约束力
F 为静约束力;
由于
得
P Fa Fb F 0
F qV (vb va )
例 重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速
度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。
x
Px mAvA mOA v1 sin t mABvC sin t
P y mBvB mOA v1 cost mABvC cost
1：曲柄OA长度为R，质量为ｍ，绕轴O以匀角速 度 ω 转动；滑块的质量为ｍ，滑道的质量为 M ， 求当OA与水平线成30度角时系统的总动量。
二、冲量
1．力 F 是常矢量： I F (t t ) 2 1
作用力与作用时间的乘积。 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： 冲量：
dI F(t) dt
I F (t) dt
t1 t2
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为
N· s
§10-2
一、质点的动量定理
ma F
动量定理
dv ma m F dt
d ( mv ) F dt
微分形式： 积分形式：
d(mv ) Fdt
mv2 mv1
t2
Fdt I
t1
二、质点系的动量定理
矢量形式
d (mi vi ) Fi (e) Fi (i) dt
d dt ( mi vi ) Fi e Fi i d ( mi vi ) Fi e Fi i dt
2、但内力能改变其中各部分的动量。
3、动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；
4、确定一个动量的正方向，严格按照投影的正负计算。
例题 1： 小车重P1= 2kN, 车上有一人，重 P2=0.7kN，车与人以共同速度v0在光滑直线轨道
上匀速行驶。如人以相对于车的水平速度u向后
方跳出，如图示。求小车增加的速度。
柱 A，在此三棱柱上又放一 均质三棱柱B。 两三棱柱的 横截面都是直角三角形，且 质量分别为M和m。设各接触
B
面都是光滑的，在图示瞬时,
三棱柱A的速度为v，方向向
A

左；三棱柱B相对于A下滑的
速度为u，求该瞬时系统的动 量。
P PA PB
PAx = - M v
B v u A
vBx = - v + u cos
p p0 pa1b1 pab ( pbb pa b ) ( pa b paa ) 1 1 1 1
pbb1 paa1
qV dt (vb va )
流体受外力如图,
由动量定理,有
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt
P mi vi ( mi )vC MvC P mi vi MvC
定轴转动
平面运动 P
m v
i i
MvC
注意 动量计算中使用质心的绝对速度
例1:圆盘质量为M，半径为r，图示瞬时三种情况下圆 盘的，求各自的动量。

C vC

C C

vC
P 1 Mvc Mr
vBy = - u sin
v
Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin
u
例 4 、椭圆规机构的规尺
AB 的 质 量 为 2m1 ， 曲 柄 OC 的 质 量 为 m1 ， 滑块 A 和 B的的质量均为m2。已 知 OC ＝ AC ＝ CB ＝ l 。曲
解:
p m2 e
p x m2 e cos t
p y m2 e sin t
由
得
dp x Fx dt dp y Fy m1 g m2 g dt Fx m2 e 2 sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 e 2 cos t
电机不转时, Fx 力.
几个有意义的实际问题
太空拔河，谁胜谁负？
偏心转子电动机 工作时会不会左 右运动？
这种运动有什么 规律？ 会不会上下跳动？
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤指示数会不会发生变化？
放置在光滑台面上 的台式风扇，工作 时会 发生什么现象？
隔板
水池
抽去隔板后将会 发生什么现象？
水
光滑台面
为什么射击时有后坐力？
P2 0
P3 MvC Mr
例2.质量为M 的滑块A 在 滑道内滑动,其上铰接一质
量为m长度为 l的均质杆
AB,当AB 杆与铅垂线的夹
A C
v
角为 时,滑块A 的速度为
v, 杆AB的角速度为,求该 瞬时系统的动量.

B
P PA PAB
A C
v vCA v
B
vCA
vAx vr cos vB
vB
vr
vAy vr sin
vAx vr cos vB
vAy vr sin
mB (vB ) mA (vr cos vB ) 0
取一阶导数
vB
B
A
vr
mA g

mB g
R
mAar cos (mA mB )aB (1)
运动学分析 FOy
1 vB v A 2
动量计算
FOx
px 0
py m1vA m2vB
受力分析 vB m1g
aA
vA
m2g
FOy 应用动量定理 水平方向 FOx
dPx FOx dt
FOx 0
aA vB m1g m2g vA
铅锤方向
dPy
dt d m2 [(m 1 )v A ] m g m g F 1 2 Oy dt 2
水
光滑台面
为什么射击时有后坐力？
利用动量守恒原理
宇航员A、B的质量分别为mA mB，开始时二人在太空 保持静止。若A的力气大于B，问二人的胜负如何？
F 0
m Av A mB v B 0 =(mA+mB)vc
不分胜负
注意事项
1、只有外力才能改变质点系的动量 内力不能改变质点系的动量；
y
B

ωt
C
柄和规尺均为均质细直杆。 O 曲柄以角速度 逆时针转 动。求机构的动量。
A
x
y
运动分析 分析质心运动速度
vB
B
vC
v1
ห้องสมุดไป่ตู้v A cost vC cos( 90 2t )
O
t
vC cos( 90 2t ) vB cos( 90 t )
A vA
x
F
x
0
px c
W3
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
W W2 W3 W1 W2 v0 1 v g g
W2
N1
v0
x
W1
N2
v＝3 m/s
再以小车为研究对象
F
N1
N
px p0 x Ft
W1 W1 v v0 Ft g g
v
F＝0.5 kN