boltzmann方程与输运现象 (1)

0f f f f dk fv r k dt t τ-∂∂∂⋅+⋅+=-∂∂∂Blotzmann 方程及其应用1. Blotzmann 方程（1） 即0f f f f F fv r k t τ-∂∂∂⋅+⋅+=-∂∂∂ （2）2. 静态电阻率在均匀静电场E 下，对于均匀材料，分布函数f 只与k 有关，（2）式变为：0f Ef f ekτ∂=+⋅∂ （3） 在低场下，F eE k τ<<，作为近似，f f k k∂∂≈∂∂ 则001f fE f ee v E k ττε∂∂=⋅=⋅∂∂ （4） 电流密度：031()()4f J e e v E vdk τπε∂=-⋅∂⎰ （5） 设样品各项同性：0J E σ=所以， 22003()4f e v n dk στπε∂⎛⎫=⋅- ⎪∂⎝⎭⎰ （6）其中，n 为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下22()3v v n ⋅=，并且，样品温度远小于费米温度，0()F f δεεε∂-≈-∂,在这种情况下： 222203323()()121212F F k Fermi Surfacee e dS v dk v d e vdSστδεετδεεεππετπ=-=-∇=⎰⎰⎰（7）所以：22203*412F F F F ne e v k m τστππ== （8） （（8）式利用：*F F m v k =，并且323Fk n π=）3. 电导率随频率和波矢的变化外加电场为交变场：()0e i q r t E E ω⋅-=，并设01f f f =+ 从Boltzmann 方程出发，经过适当近似后：0111()f f f f eE v r k t τ∂∂∂-⋅+⋅+=-∂∂∂ （9） 设()1()e i q r t f k ωφ⋅-=，并代入上式解得：0()()1()f v E e k i q v τεφτω∂⋅∂=--⋅ （10） 同前面的方法类似：203()41()f e v v E J dk i q v τπετω∂⋅⎛⎫=- ⎪∂--⋅⎝⎭⎰ （11）设样品各向同性：2203()41()f e v n dk i q v στπετω∂⋅⎛⎫=- ⎪∂--⋅⎝⎭⎰ （12） 从上式不难看出，当0q →（长波近似）和0ω→（静态）时，0σσ→由于电磁波为横波，设ˆq qz =，00ˆE E x =，代入（12）：2203(,)41()x z f v e q dk i qv σωτπετω∂⎛⎫=- ⎪∂--⎝⎭⎰ （13）利用0()F f δεεε∂-≈-∂，在球坐标下： 222223sin cos 1(,)sin 41(cos )F F F F F FFermi Surfacev e q k d d i qv v θφσωτθθφπτωθ=--⎰ （14）令cos θη=；1F FF i qv s i ττω=-2221311(,)4(1)1F F FF v k e q d i s πτησωηπτωη--=-+⎰ （15）其中2212311211ln 11s s d s s s s ηηη---+⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦⎰所以，202331211(,)ln 4(1)1F s s q i s s s σωστω⎡⎤-+⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ （16） 极限情况：1s >>， 01(,)(1)F q i σωστω=-，(,)q ω正常区；3(,)4F q v qπσωστ=，称为(,)q ω极端反常区；4 在电场和温度梯度下的Boltzmann 方程在存在温度梯度时，[];T T r = 化学势[,]n T μμ= 局域平衡分布函数01(,)()()exp 1B f k r k r k T εμ=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Boltzmann 方程在近似下为：001()f f feE v r k τ∂∂-⋅+⋅=-∂∂ （17） 其中：000B rB f ff k T T T r k T T T εμεμεε⎡⎤∂∂∂-⎡⎤=∇=-∇-∇⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎣⎦ （18） 000k f f fv k εεε∂∂∂=∇=∂∂∂ 因此，00100()r r r r f f f T T v eE vT T f f eE T v T vT T εμττεεμεττεε∂∂⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--∇-∇⋅+--⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎣⎦⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=---∇⋅+--∇⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ (19)分别代入电流密度和能流密度表达式：01r r T J eK eE T eK T T μ∇⎡⎤=+∇+⎢⎥⎣⎦ （20）12r r T u K eE T K T T μ∇⎡⎤=-+∇-⎢⎥⎣⎦ （21）1s <<其中0K 、1K 和2K 称为动理系数，动理系数n K （n=0,1,2）的普遍表达式为：22003311()412n n n k f f v K v n dk dSd ττεεεπεπεε∂∂⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪∂∂∇⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ (22) 定义广义电导率：223()12k const e v dS ετσεπε==∇⎰ （23） 20()n n f e K d εσεεε∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭⎰ （24）利用：2224020()()()()()6B f d g g d g k T O T d πεεεμεε∞⎛⎫∂⎛⎫-=++ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎰ 得到：222''0222'''12222'2''2()()()6()()2()()6()()2()4()()6B B B e K k T e K k T e K k T πσμσμπμσμσμμσμπμσμσμμσμμσμ=+⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=+++⎣⎦（24）将（24）式各项分别代入（20）、（21）并经整理：201()r r J e K E S T T e μ⎡⎤=+∇-∇⎢⎥⎣⎦（25）其中：22'101()()3()B K k T S T e TK e πσμσ⎡⎤=-=⎢⎥--⎣⎦ 称为Seebeck 系数； 211120001()()re r K K K u J K T J k T e K T K e K ⎛⎫=--∇=-∇ ⎪--⎝⎭ （26） 并且2221202013B e K k k K T T K eπσ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 5 相关现象的讨论（1） 漂移电流与扩散电流在样品温度均匀，但存在浓度梯度的情况下，（25）变为：222000001r r r e K J e K E e K E E e e e σμμσμ⎡⎤=+∇=+∇=+∇⎢⎥⎣⎦（27）T 1 > T 0Heat Heat Source sink 图1 均匀棒材，两端保持在不同温度 上式由两个部分组成，其中漂移电流0drift J E σ=，扩散电流0diff r J eσμ=∇，对于金属导带20*e ne ne m τσμ==，迁移率*ee m τμ=，化学势222/3*(3)2n m μπ=，因而()2/3n n μμ∇∇=；（27）式改写为： e J ne E eD n μ=+∇ （28）D 为扩散系数：()2/3Fe D eεμ= （29）对于非简并半导体情形，则有B nk T nμ∇∇=，所以： B e k TD eμ=（30） （29）和（30）针对简并和非简并电子气体，描述了扩散系数和迁移率的关系，称为爱因斯坦关系。

（2） 金属中电子的热导率如图1所示，由（26）式，0J =，因此能流密度由温度梯度产生：e u k T =-∇ 且2221202013B e K k k K T T K eπσ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （31） 在自由电子模型下，22203e Bk k L T e πσ==，称为Lorentz 数（3）Seebeck 效应与热电势Metal BT 1 ○1 ○2 T 2T 0= T 3Metal A Metal A○0 ○3图2 由两种金属组成的开环电路，两个结○1和○2温度不同（12T T ≠）如图2所示，0J =，由（25）式：1()E S T T eμ=-∇+∇，当两个结保持在不同的温度时，○3和○0两端的电势差为： int3int3int330int 0int 0int 01()Po Po Po Po Po Po V V E dl dl S T T dl e μ-=-⋅=∇⋅-∇⋅⎰⎰⎰ （33） 因为03T T =，int3int 010Po Po dl e μ∇⋅=⎰ 所以：[]30122121int3int1int 2int3int 0int 0int1int 2()()()()()()()()()Po Po Po Po A B A Po Po Po Po T T T T T A B A B A T T T T S T T dl S T dT S T dT S T dTS T dT S T dT S T dT S T S T dT=∇⋅=++=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得到：[]2130()()T A B T V V S T S T dT -=-⎰ （34）（4） Thomson 效应当电流通过一个具有温度梯度的均匀材料时，单位截面单位时间释放或吸收的热量与通过的电流密度大小成比列关系，并且因子与材料性质有关。

如图3所示，设圆柱体截面积为dS ，,B A B A x x dl T T dT -==+，AB 两端的能流密度分别为：1100()(),()()A B A B A B K T K T u J u J eK T eK T =-=-在圆柱体dldS 内，dt 时间所产生的热量：Q dU L δδ=+，这里dU 是两端的能流密度差引起的，而L δ是dt 内电场所做的功，所以： Q dU LdtdS dtdS dtdS δδ=+，并且：1100()()()()A B A B A B K T K T dUu u J dtdS eK T eK T ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦（35） 0201()()()B AB B A A T B A T LJ J Edl J S T T dl dtdS e J Jdl J S T dTeδμσμμσ⎡⎤=⋅=-∇+∇⎢⎥⎣⎦=--+⎰⎰⎰ （36）所以：[]1100()()()()()()()()B A BAT A A B B T A B T A A B B T K T K T QJ J J S T dT dtdS eK T e eK T e T S T T S T J J S T dTμμδ⎡⎤⎡⎤=-+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰经整理：()()B B A AT T T T Q dS T J TdS T J T dT dtdS dTδ=-=-⎰⎰ （37）定义Thomson 系数：hom ()()T son dS T K T T dT=，得到：hom ()B AT T son T QJ K T dT dtdS δ=-⎰ （38）（5） Peltier 效应Metal BA A图4 Peltier 效应电路示意图图4中两种金属形成闭路，在等温条件下，电路中的电流密度为J ，两种金属连接处，吸收或释放的热量为：AB J QdtdSδ=∏ （39） 利用（37）式证明：在温度不变时：[]B A ()T ()()B AT T QJ TdS T J S T S T dtdSδ=-=--⎰定义Peltier 系数：T ()S T ∏= （40）。